16 HSG h 20 BA THUOC

a Chứng minh rằng: AE AB AF AC.. d Cho BC2a .Tim GTLN của diện tích tứ giác AEHF.. Tìm GTNN của biểu thức:... a Chứng minh rằng: AE AB AF AC... d Cho BC2a .Tim GTLN của diện tích tứ gi

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN BA THƯỚC - NĂM 2019 Câu 1: (4,0 điểm)

Cho biểu thức:

  , với x4;x0.

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm các giá trị của x để P x  1 0

Câu 2: (4,0 điểm)

a Cho 3 số x y z, , 0 thỏa mãn

1 1 1

0

x  y z

Tính giá trị của biểu thức:

2019

2 2 2 3

xy yz xz P

    

b Giải phương trình: 10 x3 1 3x2 6

Câu 3: (4,0 điểm)

a) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: xy22xy x 32y.

b) Tìm số tự nhiên n để số p là số nguyên tố biết: p n    3 n2 n 1

Câu 4: (2,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông ở A , AH BC , HE AB , HF AC

H BC E AB F ,  , AC.

a) Chứng minh rằng: AE AB AF AC  , BH BC cos B 2 .

b) Chứng minh rằng:

3

3

AB BE

AC CF

c) Chứng minh rằng: 3 BC2  3CF2 3 BE2 .

d) Cho BC2a .Tim GTLN của diện tích tứ giác AEHF

Câu 5: (2,0 điểm)

Cho , ,x y z là các số thức dương thay đổi và thỏa minh điều kiện xyz1 Tìm GTNN của

biểu thức:

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN BA THƯỚC - NĂM 2019 Câu 1: (4,0 điểm)

Cho biểu thức:

b) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm các giá trị của x để P x  1 0

Lời giải

a

2

1

x x

P

x

          

P

2

P

x



1

2

P

x



1

P



1

1 1

P

x





2

P x

b) P x  1 0  x2 x 1 0

2 0

1 0

x x



 

 



4 1

x x





  

 Vậy với 1  thì x 4 P x  1 0

Câu 2 (4,0 điểm)

a Cho 3 số x y z, , 0 thỏa mãn

1 1 1

0

x  y z

Tính giá trị của biểu thức:

2019

2 2 2 3

xy yz xz P

    

b Giải phương trình: 10 x3 1 3x2 6

Lời giải

a) Ta có

1 1 1

0 yz xz xy 0

Lại có

2019

2 2 2 3

xy yz zx P

    

2019

3 3 3 3 3 3

2 2 2 3

x y y z z x P

x y z

2 2 2

3

3

xy yz xz xy yz yz xz xy xz P

x y z

2019

2 2 2

2 2 2

3

x y z P

x y z

b) ĐK x  1

Phương trình đã cho tương đương với phương trình:

3 x   x 1 3 x 1 10 x1 x  x 1 Đặt x2   , x 1 u x  thì ta có phương trình:1 v

2 2

3u 3v 10uv0 3u v u   3v 0

TH1: 3u v thì 9x2   x 1 x 1 9x210x 8 0 (Phương trình này vô nghiệm).

TH2: u thì 3v x2  x 1 9x1 x210x 8 0   x 5 33.

Vậy phương trình đa cho có 2 nghiệm là x 5 33

Câu 3 (4,0 điểm)

a) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: xy22xy x 32y.

b) Tìm số tự nhiên n để số p là số nguyên tố biết: p n    3 n2 n 1

Lời giải

a) Ta có: xy22xy x 32y  2

1

y x

y



Để x nguyên dương thì y12U 32 và  2

1

y là 1 số chính phương.

y

     y 1 1, 2, 4  y 0,1, 2 vì y nguyên dương nên

y  x , y  3 x 6.

b) Ta có p n 3   n2 n 1 n1 n21

Lại có: n 1 n21    n 1 1  n 2

Với n 2  p 5 là số nguyên tố.

Câu 4 (6 điểm)

Cho tam giác ABC vuông ở A , AH BC, HE AB, HF AC

H BC E AB F ,  , AC.

a) Chứng minh rằng: AE AB AF AC  , BH BC cos B 2 .

b) Chứng minh rằng:

3

3

AB BE

AC CF

c) Chứng minh rằng: 3 BC2  3CF2 3 BE2 .

d) Cho BC2a .Tim GTLN của diện tích tứ giác AEHF

Lời giải

a) Xét AHB và AEH có:

 µA chung;

 µE Hµ   90

Vậy AHB ∽ AEH (g.g)

Suy ra: AE AB.  AH2 (1)

Tương tự ta có: AF AC.  AH2 (2)

Từ (1) và (2):  AE AB AF AC 

Ta có:

AB



cos

Lại có: cos

AB B AC



cos

Từ (3) và (4) : suy ra BH BC cos B. 2

b) Ta có ABC vuông ở A có AH là đường cao

2

2

AB BH BC

AC CH BC

  



2

2

AB BH

AC CH

Lại có HCA vuông tại H có HF là đường cao CH2 CF AC

2

CH CF AC

Suy ra

c) Ta có

3

; Tương tự,

3 2

3

CH CF

BC

=

Do đó

Vậy 3BE2 +3CF2 = 3BC2 .

d) Gọi O là trung điểm của BC Ta có S AEHF AE AF. .

Mà

2

AH AE AB AE

AB

Tương tự,

2

AH AF AC



Do đó

AEHF

S

AB AC AB AC AH BC BC BC a

Vậy S AEHF lớn nhất khi H  hay ABC O  vuông cân tại A

Câu 5 (2,0 điểm)

Cho , ,x y z là các số thức dương thay đổi và thỏa minh điều kiện xyz1 Tìm GTNN của

biểu thức:

Lời giải

Ta có: x y z2   2x x Tương tự, y x z2   2y y, z x y2   2z z.

2

y y

P

Đặt a x x 2y y, b y y 2z z, c z z 2x x.

Suy ra:

9

c a b

x x   

,

9

a b c

y y   

,

9

b c a

z z   

Do đó:

9

P

2 4 6 24.3 3 6 2

             

Do

Hoặc

3

3 3

b c a   b c a 

Tương tự, 3

a b c

b c a  

Dấu " " xảy ra    x y z 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P 2