29 HSG h 20 KIM DONG

Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ D xuống AB và AC.. a Chứng minh rằng: AE AB... Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ D xuống AB và AC.. a Chứng minh

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN KIM ĐỘNG - NĂM 2019

Câu 1: (2,0 điểm)

18

b) x 1 x1x x 1 0

Câu 2: (2,0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức:

3 3

3 3

4 2 2

4 2 1

A  

 

b) So sánh B 20202  1 20192  và 1 2 2

2.2019

2020 1 2019 1

C 

Câu 3: (2,0 điểm)

a) Chứng minh hàm sốym22m2x

luôn đồng biến với mọi tham số m

b) Cho các số a , b thỏa mãn: a b  và 3 a  ; 1 b ; 5 b 4.

Tính giá trị của biểu thức:

8 4

5 3 3

E

Câu 4: (3,0 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, có ba đường cao AD , BI , CK cắt nhau tại H

Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ D xuống AB và AC

a) Chứng minh rằng: AE AB.  A F AC.

b) Giả sử

1 3

HD AD

và ·ABC  ; ·ACB  Chứng minh tan.tan 3.

c) Gọi M ; N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ D đến BI và CK Chứng minh bốn điểm E , M , N , F thẳng hàng

Câu 5: (1,0 điểm): Cho các số dương a , b , c thỏa mãn a b c   3

Chứng minh rằng:

5 5 5 1 1 1

6

     

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN KIM ĐỘNG- NĂM 2019

Câu 1: (2,0 điểm)

18

b) x 1 x1x x 1 0

Lời giải

a) Điều kiện xác định:

4 5 6 7

x x x x

 



  



  



  

18

x 4 1x 5 x 5 1x 6 x 6 1x 7 181

 74  47 181

  

x 4 3x 7 181

2 11 28 54

2 11 26 0

2 13 2 26 0

( 13) 2( 13) 0

x 2 x 13 0

2 (tm)

13 (tm)

x x





   

Vậy tập nghiệm của phương trình là S   13; 2 .

b) x 1 x1x x 1 0

Điều kiện xác định: x 0

x  x x x 

 x 1 1 1  x 0

1 1 0

x x

   

 

 



1 1 1

x x

  

 





0 (tm)

1 (tm)

x x





   Vậy tập nghiệm của phương trình là S  0; 1 .

Câu 2: (2,0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức:

3 3

3 3

4 2 2

4 2 1

A  

 

b) So sánh B 20202  1 20192  và 1 2 2

2.2019

2020 1 2019 1

C 

Lời giải

a)

3 3

3 3

4 2 2

4 2 1

A  

 

3

4 2 8 2( 4 2 1)

2

b) Ta có

2020 1 2019 1

2020 1 2019 1

2020 1 2019 1



2020 2019

2020 1 2019 1





2020 2019 2020 2019

2020 1 2019 1



2020 2019

2020 1 2019 1





2.2019

2020 1 2019 1



C



Vậy ta có B C

Câu 3: (2,0 điểm)

a) Chứng minh hàm sốym22m2x

luôn đồng biến với mọi tham số m

b) Cho các số a , b thỏa mãn: a b  và 3 a  ; 1 b ; 5 b 4.

Tính giá trị của biểu thức:

8 4

5 3 3

E

Lời giải

a) Ta có: 2  2

m  m  m     ¡m

Vậy hàm sốym22m2x

luôn đồng biến với mọi tham số m

b)

8 4

5 3 3

E

Có a b     3 a b 3

1 1 0

5 3 3 5 3(b 3) 3 5 3 12

E

Vậy E  0

Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, có ba đường cao AD , BI , CK cắt nhau tại H

Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ D xuống AB và AC

a) Chứng minh rằng: AE AB.  A F AC.

b) Giả sử

1 3

HD AD

và ·ABC  ; ·ACB  Chứng minh tan.tan 3.

c) Gọi M ; N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ D đến BI và CK Chứng minh

bốn điểm E M N F, , , thẳng hàng

Lời giải

a) Xét ADB vuông tại D ta có DE  AB

2

AE AB AD

  (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (1)

Xét ADC vuông tại D ta có DF AC

2

AF AC AD

  (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (2)

Từ (1) và (2)AE AB AF AC.  . (đpcm)

b) Ta có

1

3 3

AD

HD

Xét ADB vuông tại D ta có:

· tan tan ABD AD

BD

Xét ADC vuông tại D ta có:

· tan tan ACD AD

DC

2 tan tan

AD

BD DC

(3)

Xét ADB và CDH ta có :

·ADB CDH · ( 90 ) 

DAB DCH (cùng phụ với ·ABD )

ADB CDH

  ∽ (g.g)

(cặp cặp tương ứng)

AD HD BD DC

1

AD

2

BD DC HD

AD

AD

BD DC

(4)

Từ (3) và (4) tan tan  3 (đpcm).

c) Xét tứ giác DEKN ta có :

· 90

DEK   (do DE AB )

· 90

EKN   (do CK AB )

DNK   (do DN KC )

 tứ giác DEKN là hình chữ nhật.

EDN

  

Ta có: ·HDN  ·BDE (cùng phụ với ·EDH ) (5)

Xét tứ giác BEMD ta có:

· ·  90 

BED BMD  

Mà ·BED và · BMD là 2 góc kề nhau cùng nhìn cạnh BD dưới một góc vuông

 tứ giác BEMD nội tiếp (dấu hiệu nhận biết) (6)

 ·BME BDE· (2 góc nội tiếp cùng chắn ¼MD )

Chứng minh được tứ giác MDNH nội tiếp

HMN HDN

  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HN ) (7)¼

Từ (5); (6); (7) HMN· BME·

 , M , H thẳng hàng

Chứng minh tương tự ta có M , N , F thẳng hàng

 bốn điểm E , M , N , F thẳng hàng.

Câu 5: (1,0 điểm) Cho các số dương a , b , c thỏa mãn a b c   3

Chứng minh rằng:

5 5 5 1 1 1

6

     

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô si đối với hai số dương a5 và

1

a ta có:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si đối với hai số dương b5 và

1

b ta có:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si đối với hai số dương c5 và

1

c ta có:

2 2 (3)

Cộng từng vế của (1); (2); và (3) ta có:

2(a b c ) (4)

Ta lại có:

2 1 2

a   a

2 1 2

b   b

2 1 2

c   c

2 2 2 3 2(a b c)

a b c

      

Mà

3

a b c   nên suy ra a2    b2 c2 3 6 a2  b2 c2 3 (5)

5 5 5 1 1 1

6

Vậy:

5 5 5 1 1 1

6

     