Chứng minh rằng trong các tổng nhận được bao giờ cũng tìm ra hai tổng mà hiệu của chúng là một số chia hết cho 10... Chứng minh rằng đường thẳng ahoặc không cắt, hoặc cắt ba hoặc cắt bốn
Trang 1PHÒNG GD & ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS BÌNH MINH ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 6 Năm học 2018-2019
Môn thi: Toán Câu 1.
a) Tìm xbiết: (x+ + + + + +1) (x 2) ( x 3) + +(x 100) =5750
b) Tìm
,
x y∈¢
biết 2 124 5
c) Tìm kết quả của phép nhân 100 6 100 9
6666 6.9999 9
A=14 2 43 14 2 43
Câu 2.
a) Chứng minh rằng :
2014
10 8 72
+
là một số tự nhiên b) Cho abcM7
Chứng tỏ rằng 2a+3b c+ M7 c) Cho các số tự nhiên từ 11 đến 21 được viết theo thứ tự tùy ý, sau đó đem cộng mỗi số đó với số chỉ thứ tự của nó ta được một tổng Chứng minh rằng trong các tổng nhận được bao giờ cũng tìm ra hai tổng mà hiệu của chúng là một số chia hết cho 10
Câu 3 Cho
20 21 22 23 49
Chứng minh rằng 3< <S 8
Câu 4.
Tìm ba số có tổng bằng 420, biết rằng
6 7
số thứ nhất bằng
9 11
số thứ hai và bằng
2 3
số thứ ba
Câu 5.
a) Cho
· 80 ,0 · 300
xOy= xOz=
Tính số đo
·yOz
Trang 2b) Cho 4 điểm A B C D; ; ;
không nằm trên đường thẳng a Chứng minh rằng đường thẳng ahoặc không cắt, hoặc cắt ba hoặc cắt bốn đoạn thẳng trong số các đoạn thẳng sau: AB AC BC BD CD AD, , , , ,
ĐÁP ÁN Câu 1.
0
) 1 2 100 5750
100 101.50 5750
100 700 7
) 0 2 124 5 3
0 2 124 ` ' ~ 2 124 5 ( )
y
x
Vậy
0; 5
x= y=
99
) 6666 6.9999 9 6666 6 10000 0 1
6666 6000000 00 6666 6
6666 653
chu so
=
142 43 14 2 43 14 2 43 14 2 43
14 2 43 1 4 2 4 3 14 2 43
14 2 43
99
33 334
chu so
14 2 43
Câu 2.
a) Chứng minh
2014 2014
10 +8 8 ;10M +8 9M
mà ( )8,9 = ⇒1 102014 +8 72M 2014
10 8
72
+
⇒
là một số tự nhiên
) 7 100 10 7 98 7 2 3 7
7 14 2 3 7
` 7 14 7 2 3 7
M
Trang 3c) Khi xét 1 số tự nhiên khi chia cho 10 có thể xảy ra 10 trường hợp về số dư
{0;1;2; ;9}
∈
(1)
Mà các số tự nhiên từ 11→21
gồm 21 11 1 11− + =
số Biết mỗi số cộng với đúng số thứ tự của nó được 1 tổng
Suy ra có 11 tổng , mỗi tổng đều có giá trị là 1 số tự nhiên (2)
Từ (1) và (2) suy ra trong 11 tỏng trên chắc chắn có 2 tổng có cùng số dư khi chia cho 11 nên luôn tồn tại hai tổng có hiệu chia hết cho 10
Câu 3.
Xét tổng
3
8
S
S
S
S
S
⇒ >
⇒ <
⇒ < <
Câu 4.
Lập luận ⇒
Số thứ nhất bằng
21 22
số thứ hai, số thứ ba bằng
27 22
số thứ hai
⇒
Tổng của ba số bằng:
22 21 27 70
số thứ hai
Nên số thứ hai là:
70
420 : 132
22 =
Số thứ nhất:
21 132 126
22 =
Số thứ ba là:
27 132 162
22 =
Câu 5.
a) Th1: Hai tia Oy và Oz nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ chứa tia Ox
Trang 4Lập luận tia Ox nằm giữa 2 tia Oy và Oz
· 800 300 1100
yOz
+Th2: Hai tia Oy, Oz cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox
Lập luận suy ra tia Oz nằm giữa hai tia Ox, Oy
· 800 300 500
yOz
b) +Th1: Bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là a
⇒
Đường thẳng a không cắt các đoạn thẳng nào trong các đoạn thẳng AB AC AD, , , ,
BC BD CD
Trang 5+Th2:Trong hai nửa mặt phẳng đối bờ a, mỗi nửa mặt phẳng chứa 2 trong 4 điểm
; ; ;
A B C D⇒
Đường thẳng a cắt 4 đoạn thẳng trong số 6 đoạn thẳng AB AC AD, ,
, , ,
BC BD CD
Th3: Trong hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ a, một nửa mặt phẳng chứa 1 điểm, nửa
mp còn lại chứa 3 trong số 4 điểm A B C D, , ,
nên đường thẳng a cắt 3 đoạn thẳng trong số 6 đoạn thẳng: AB AC AD BC BD CD, , , , ,
Suy ra điều phải chứng minh