Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x: A.. b Tìm các giá trị nguyên dương của a để phương trình có nghiệm x là số nguyên tố.. 4,0 điểm Cho hình vuông ABCD cạnh
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
PHÒNG GD&ĐT ĐÔNG SƠN
KIỂM TRA CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI
DỰ THI CẤP TỈNH CÁC MÔN VĂN HÓA LỚP 9
NĂM HỌC 2018 – 2019 MÔN THI: TOÁN
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
Bài 1 (4 điểm)
1 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x:
A
Điều kiện x 0, x 4; x 9; x 1
2 Rút gọn biểu thức:
Bài 2 (6,0 điểm)
1 Cho phương trình:
2 2
(a là tham số).
a) Giải phương trình trên
b) Tìm các giá trị nguyên dương của a để phương trình có nghiệm x là số
nguyên tố
2 Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình sau:
2
3 2
Câu 3 (4 điểm)
1) Tìm tất cả các số tự nhiên có ba chữ số abc sao cho:
2 2
1 2
abc n cba n
Với n¢; n2.
2) Cho tam giác ABC có ba cạnh ; ; a b c thỏa : a b c + + = 6
Chứng minh : 52 3 £ ( a2+ b2 + c2) + 2 abc < 54
Bài 4 (4,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD cạnh là a và N là một điểm trên cạnh AB Tia CN
cắt tia DA tại E Trên tia đối của tia BA lấy điểm F sao cho BFDE Gọi
M là trung điểm của EF.
1) Chứng minh tam giác ACE đồng dạng với tam giác BCM
2) Xác định vị trí điểm N trên AB sao cho diện tích tứ giác ACFE gấp ba lần
Trang 2Cho ABC : µ B C µ 105 ;0 AB AC 2 2 BC Tính µ µ B C , ?
HẾT
-LỜI GIẢI CHI TIẾT
Bài 1 (4 điểm)
1 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x:
A
Điều kiện x 0, x 4; x 9; x 1
2 Rút gọn biểu thức:
Lời giải
1 Với điều kiện x , 0 x ; 4 x ; 9 x 1
Ta có 2 6 1 63 3 2 2 23 3 11 2
A
6 11 6
1
2
Vậy A không phụ thuộc vào giá trị của x
2
2 2 3 2 2 3
2 2 3 2 2 3 2 4 2 3 2 4 2 3
Trang 3
2 2 3 2 2 3 2 4 2 3 2 4 2 3
2 3 1 3 2 1 3
1 3 3 1 3 1 2 3 3 2 3 1 6 3 1
3
Vậy
6 3 1 3
Bài 2 (6,0 điểm)
1 Cho phương trình:
2 2
(a là tham số).
a) Giải phương trình trên
b) Tìm các giá trị nguyên dương của a để phương trình có nghiệm x là số
nguyên tố
2 Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình sau:
2
3 2
Lời giải
1 Rút gọn các biểu thức sau:
a) Điều kiện: x a
Phương trình đã cho tương đương với:
3a1 x a a x a 1 2a a 21
4ax2a32a2
Nếu a 0 thì phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x 0
Nếu a 0 thì 2 1
2
Vậy : Nếu a 0 thì phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x ¡ *
Nếu a 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất 1 1
2
x a a
b) Với aZ* thì ta có 1 1
2
x a a
* Nếu a2k k Z*
thì x k 2k1
2
a
Trang 4* Nếu a2k1kZ* thì xk1 2 k1 .
Để x là số nguyên tố thì k 1 1 k 0(vì 2 k 1 k 1) khơng thỏa mãn vì
*
kZ.
Vậy a 2 là giastrij cần tìm.
2 Từ phương trình (1) của hệ ta cĩ:
x y z xyz
x y z x x y z y z yz
x y z x 2 y2 z2 xy xz yz 0
0
Vì theo giả thiết x , y, z 0 nên : 2 2 2
0
x y x z y z suy ra : 0
x y z x y z Thay vào phương trình (2) ta cĩ :
loại)
x =2 Với x 2 y z 2 Vì y z, là các số nguyên dương suy ra: y z 1.
Thử lại ta thấy với : x 2, y z 1 thỏa mãn hệ phương trình đã cho.
Vậy nghiệm nguyên dương của hệ phương trình là : x y z , , 2,1,1
Câu 3 (4 điểm)
1) Tìm tất cả các số tự nhiên cĩ ba chữ số abc sao cho:
2 2
1 2
abc n cba n
Với n¢; n2.
2) Cho tam giác ABC cĩ ba cạnh ; ; a b c thỏa : a b c + + = 6
Chứng minh : 52 3 £ ( a2+ b2 + c2) + 2 abc < 54
Lời giải
1 abc n 21 100a10b c n 21 1
cba n c b a n n 2
Trừ từng vế 1 và 2 ta cĩ:
100a10b c 100c10b a n2 1 n24n4
Trang 5
99 a c 4 n 5
4 n 5 99
Mặt khác abc n 21 mà 100abc999.
2
2
Từ 3
và 4 4n 5 99 n 26
2
abc
Vậy abc675.
3 + + + 2 = 3 é + + - 2 + + ù + 2
2
= ê ë - ab bc ca + + ú û + abc = - ab + bc + ca abc
-Ta sẽ chứng minh 27 3 < ( ab bc ca + + ) - abc £ 28
Thật vậy theo bdt tam giác ta có
ï + > Þ ï > Þ < < Þ ï - >
Xét ( 3 - a )( 3 - b )( 3 - c ) = 27 9 - ( a b c + + + ) 3 ( ab bc ca + + ) - abc > 0
Þ - + ab bc ca + + - abc > Þ ab bc ca + + - abc >
Mặt khác theo bđt Cô si ta có
( 3 - a ) ( + - 3 b ) ( + - 3 c ) ³ 3 33( - a )( 3 - b )( 3 - c ) Þ 3 3 3 ³ 3( - a )( 3 - b )( 3 - c )
Vậy ta có 52 108 2 3 £ - ( ab + 3 bc + 3 ca abc - ) < 54
Þ £ a + b + c + abc <
( đpcm )
Bài 4 (4,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD cạnh là a và N là một điểm trên cạnh AB Tia CN
cắt tia DA tại E Trên tia đối của tia BA lấy điểm F sao cho BFDE Gọi
Trang 61) Chứng minh tam giác ACE đồng dạng với tam giác BCM
2) Xác định vị trí điểm N trên AB sao cho diện tích tứ giác ACFE gấp ba lần
diện tích hình vuông ABCD
Lời giải
1).
Có BFC DEC c g c vì
CB CD
CBF CDE
BF DE
Suy ra CE CF và · FCB ECD · .
Mà ECD ECB · · 90 BCF ECB · · 90 ECF · 90 .
Suy ra tam giác ECF vuông cân tại C suy ra CM vừa là trung tuyến vừa là
đường cao của tam giác ECF và tam giác CME vuông cân tại M .
Dễ thấy tam giác ABC vuông cân tại B.
Có MCE : BCA ( Hai tam giác vuông cân đồng dạng với nhau) suy ra
CE CA
Lại có MCE BCA · · 45 MCB ECA · · .
Vậy ACE : BCM (c.g.c) vì
CE CA
và MCB ECA · · (đpcm).
Trang 7Đặt AN x
ax AE
a x
, 2
ax
AF a
a x
, điều kiện 0 x a
1
2
S S S AE AF CB AF 1 2 AF AE CB
1
2 2
a x a x
12a22a xx a xx 112a22a x a x a x a
3
2
2 2
a a x
a x
Có S ACFE 3S ABCD
3
2 2
2
3 2
a a x
a
a x
2 a x a 6 a x
4 ( ) 3 ( ) 2
a
a
Bài 5 (2,0 điểm)
Cho ABC : µ B C µ 105 ;0 AB AC 2 2 BC Tính µ µ B C , ?
Lời giải
Trang 8Kẻ BM AN CP; AN ( ,P MAN)
* Xét ABM có M ¶ 90 ;0 µ A 300
Áp dụng định lý góc đối diện cạnh
0
30 bằng nửa cạnh huyền
2
* Xét APC có PAC · 450
Nên APC vuông cân tại P
2
2 AC 2 PC
Từ (1) và (2) AB 2AC2(BM PC) 2( BN CN ) 2 BC
để thoả mãn bài toán thì M N P hay B µ 60 ;0 C µ 45 0
HẾT