RÚT gọn PHÂN THỨC

Kiến thức* Để rút gọn một phân thức ta có thể làm như sau: Bước 1: Sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi cả tử và mẫu thành nhân tử Bước 2: Sử dụng các tính chấ

A Kiến thức

*) Để rút gọn một phân thức ta có thể làm như sau:

Bước 1: Sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi cả tử và mẫu thành nhân tử

Bước 2: Sử dụng các tính chất cơ bản của phân thức đã học để rút gọn phân thức đã cho

*) Tính chất cơ bản của phân thức

A A M

B  B M

(M là đa thức khác đa thức 0)

:

:

A A N

B B N

(N là một nhân tử chung)

*) Quy tắc đổi dấu của phân thức:

B B







B Bài tập và các dạng toán

Dạng 1: Rút gọn phân thức Cách giải: Thực hiện theo hai bước sau

Bước 1: Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử

Bước 2: Rút gọn bằng cách triệt tiêu nhân tử chung

Bài 1: Rút gọn các phân thức sau

x

3

Lời giải

a) Ta có:

2

x x



2

48 75

Bài 2: Rút gọn các phân thức sau

2 1

1; 0

3 3

    

0; 0

12 4



Lời giải

a) Ta có:

2

   



b) Ta có:

2 2 2



Bài 3: Đơn giản các phân thức sau

3; 1

      

m n



Lời giải

a) Ta có:

2

3 2

b) Ta có:

4 4

Bài 4: Tối giản các phân thức sau

a) 34  

1 1

x

x

48 12 3

4 64

y y



Lời giải

a) Ta có :

2 3

x x



b) Ta có :

2

2 3

 

Bài 5:

Thu gọn phân thức sau

10 8 7 6 4 2

30 24 18 12 6

1 1

M

      



    

Lời giải

Ta có: TS x10x4  x8x2  x7 x x6 1 x61 x4  x2 x 1

24 12

1

1

 

Thu gọn phân thức sau

2

1 1

N

x

      



Lời giải

Ta có:

6 4 2

2

N

Bài 7:

Cho phân thức

4 3

1

A

  



a) Rút gọn A

b) Chứng minh rằng A luôn không âm với mọi giá trị của x

Lời giải

a) Ta có:

4 3

1

x x x A

  

b) Với mọi x, ta có:  2 2  

Bài 8:

Cho phân thức

4 3

1

B

   



a) Rút gọn B

b) Chứng minh rằng B luôn không âm với mọi giá trị của a

Lời giải

a) Rút gọn được

4 3

1 1

a

B

 

   

Bài 9: Rút gọn các phân thức sau

a)

10 8 6 4 2

4

1 1

A

x

    



40 30 20 10

45 40 35 5

1 1

B



Lời giải

a) Ta có:

A

b) Ta có:

B

Bài 10:

Cho x0 Hãy rút gọn 2

1

A

  



 

Lời giải

Bài 11:

x y z

a   b c

, hãy rút gọn

2

(ax+by+cz)

Lời giải

Đặt

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

Bài 12: Rút gọn các phân thức sau

a)

2 3 8

3 3 4

15

9

x y z

2 2



 c)

3 2

3

1 1

x

  

3 3 2



 e)

2 2

2 2

1 2

1 2

  

2 2

  

   g)

4 2

3

3 2

 

a) Ta có:

2 3 8 4

3 3 4

b) Ta có:

2 2

1

y y x

y xy

xy y y x y



 

c) Ta có:

2 2

3 2

1

     

d) Ta có:

3 3 2

xy y x y x

xy x y

y y x

x xy x x y

e) Ta có:

2

2 2

2

1

x y

f) Ta có:

2

2

   

g) Ta có:

2

4 2

2 1

Bài 13:

Cho

2 2 2

2 4 4 2

A



a) Rút gọn A

b) Chứng minh A0

c) Với giá trị nào của m thì biểu thức A đạt GTLN

Lời giải

b) Ta có

2 2 2

0

A

c) Ta có 2

m



Bài 14:

Cho

3 2

3 2

10 8

4 5 20

A



a) Rút gọn A

b) Với giá trị nào của x thì A0;A0

Lời giải

a) Ta có

A

b) Ta có:

5 0 0 ( 1)( 2) 0

2

x

x

 



           

c)

1

0 ( 1)( 2) 0

2

x

x

 



        

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức Cách giải:

Cách 1: Thực hiện theo hai bước sau

Bước 1: Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử

Bước 2: Rút gọn bằng cách triệt tiêu nhân tử chung

Cách 2: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau

A C

AD BC

B  D  

Bài 1:

2 ;

Lời giải

Ta có

Bài 2:

Chứng minh đẳng thức 2 2 2 23 2  

2

2 ;

Lời giải

Ta có

2

2

b a b b a b

a b ab b

Cho hai phân thức

3 2

P



0; 1; 2

4 4

  

rằng P Q

Lời giải

Cách 1: Rút gọn được

3 2



Cách 2: Xét P Q 4xy24x y x2  3 4x4x2  2xy x 2 2y x  4x38x y2 

Sử dụng phương pháp nhân đa thức với đa thức để đưa về biểu thức luôn đúng.

Bài 4:

Chứng tỏ rằng hai phân thức

A



2

x y



Lời giải

Ta có:

2

3

2

x y



BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Rút gọn các phân thức sau

5 6

3

6 9

x

   

  

Hướng dẫn

a) Ta có

2

2

   

b) Ta có

2

2

    

Bài 2: Thu gọn các phân thức sau

a) 3 2 2  

3 9

a a

0;

pq q

Hướng dẫn

a) Ta có

2

b) Ta có





Bài 3: Tối giản các phân thức sau

2

3

2

5 2

n m

5

10 25

b

b

 

 

Hướng dẫn

a) Ta có  3  2

5 2n m 5 2n m

b) Ta có

2



Bài 4:

Rút gọn phân thức sau

7 4 3

6 5 4 2

1 1

P

  



    

Hướng dẫn

Ta có

7 4 3

1

1

  

Bài 5:

Cho phân thức 10 8 6 4 4 2  

1

1

x



     Chứng minh Q luôn nhận giá trị âm với mọi x 1

Hướng dẫn

Thu gọn được

2 4

2

1 1

x x





Bài 6:

Chứng minh đẳng thức 3 2 2 2  1

v

Hướng dẫn

Ta có

2

3

1

1

v u v

Bài 7:

Chứng tỏ hai phân thức 2 2

ab cx ax bc A

  



x b B

x y





 bằng nhau với y 2 ;x a c

Hướng dẫn

Ta có :

a c x b

ay cx ax cy a c x y x y

Bài 8:

Tìm GTNN của các phân thức sau

a)

2 4 6

3

b)

4 2 1 2 5

x



Hướng dẫn

a) Ta có:

2

x

x  x  x      x R A      x R A   x

b)

x

Bài 9:

Tìm GTLN của các phân thức sau

a)

12

3 5 1 2 1

A



5

B



Hướng dẫn

a) Có:

-1 x=

5

1 2

y





 



b ) Có:

1

1

max

x

y



 



 

