PHÂN THỨC đại số

PHÂN THỨC ĐẠI SỐA.. Kiến thức cần nhớ 1.. Định nghĩa: Một phân thức đại số hay nói gọn là phân thức là một biểu thức đại số có dạng A B , trong đó A và B là các đa thức khác 0, A được gọ

PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

A Kiến thức cần nhớ

1 Định nghĩa: Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức đại số có

dạng

A

B

, trong đó A và B là các đa thức khác 0, A được gọi là tử thức (hay tử), B được gọi

là mẫu thức (hay mẫu)

Chú ý: Mỗi đa thức được coi là một phân thức với mẫu thức bằng 1

2 Hai phân thức bằng nhau

Hia phân thức

A B

và

C D

gọi là bằng nhau nếu A D B C. = .

3 Chú ý :

- Các tính chất về tỷ lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau của phân số cũng đúng cho phân thức

- Các giá trị của chữ làm cho mẫu thức nhận giá trị bằng 0 gọi là giá trị làm phân thức vô nghĩa hay không xác định

B Bài tập vận dụng và các dạng toán

Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức

Bài 1: Tìm điều kiện xác định của các phân thức sau

a

2

5 4

2

x

x x

−

−

b x x( −20181) (x− 2)

c

2

2

4

4 5

x

−

x y

+

Lời giải

a) Điều kiện xác định

2

0

2

x

x

≠







b) Điều kiện xác định x x( − 1) (x− 2) ≠ ⇔ ∉ 0 x {0;1;2}

c) Ta có 2 ( )2

với mọi x nên phân thức đã cho luôn có nghĩa d) Điều kiện xác định

3; 2

x= − y=

không đông thời xảy ra

Bài 2:

Chứng minh rằng phân thức sau luôn có nghĩa

4 2 4

2

x y

+

Lời giải

Ta có 4 2 4 ( 2 )2 2

Vậy với mọi x y, biểu thức luôn có nghĩa

Bài 3: Tìm điều kiện xác định của các phân thức sau

a

2

2

4

9 16

x

x

−

−

2

3 2

4 4

x

−

c

2

2

1

x

x

−

−

2 2

2

x y x

+

e (x+ 1) (2x− 3)

2

2 1

5 6

x

+

− +

g

2 2

8

x +y

2 2

2

2 1

x y x

+

i

2

5 4

6 10

x y

+

2

2 5 4

x y x

+

−

l ( )2 2

3 7

1

x y

+

2

2018 2019

9 24 16

+

Lời giải

a) Điều kiện xác định

2

4 3

4 3

x

x

 ≠



 ≠



b) Điều kiện xác định 2 ( )2

c) Điều kiện xác định x2 − ≠ ⇔ 1 0 (x− 1) (x+ ≠ ⇔ ≠ ± 1) 0 x 1

d) Điều kiện xác định 2x≠ ≠ ≠0 x 0

e) Điều kiện xác định

( 1) ( 3) 0 1

3

x

x

≠





f) Điều kiện xác định

( ) ( )

3

x

x

≠





g) Điều kiện xác định x và y không đồng thời bằng 0

h) Điều kiện xác định 2 ( )2

i) Ta có 2 ( )2

với mọi x Nên phân thức đã cho xác định với mọi giá trị của x

k) Điều kiện xác định x2 − ≠ ⇔ 4 0 (x− 2) (x+ 2) ≠ ⇔ ≠ ± 0 x 2

l) Điều kiện xác định

1; 0

x= y=

không đồng thời xảy ra

m) Điều kiện xác định

( )2

3

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức Cách giải: Thực hiện theo 3 bước

Cách 1: Biến đổi vế trái thành vế phải

Cách 2: Biến đổi vế phải thành vế trái

Cách 3: Biến đổi đồng thời 2 vế

bằng nhau nếu cần, từ đó suy ra điều phải chứng minh

Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau

a)

2

2;

x

b)

2 5 4 2 3 2

2; 4

c) ( ) ( )

2

3

a

−

d)

2

2; 3

Lời giải

a) Ta có

2

x

−

b) Ta có

c) Ta có ( ) ( ) ( )

d) ta có

2

;

Bài 2: Chứng minh các đẳng thức

a)

3 4 4

3

5

7 35

xy x y

x y

=

b)

2 2

2 ( 2)

c)

2

2

( 3)

x x + = x

d)

2 8 7 2 6 7

Lời giải

a) Ta có:

3 4 4

3 3 4 4 4 4

3

5

7 35

xy x y

x y

b) Ta có: ( ) ( 2 ) ( ) (2 )

2 2

2 ( 2)

c) Ta có:

2

( 3)

+

d) Ta có:

Bài 3: Ba phân thức sau có bằng nhau không

Lời giải

Ta có (2x+ 3 15) ( x− 20) (= 5 2x+ 3) (x− = 4) 15 2( x2 − 13x− 24)⇒ =A B( )1

Lại có (2x+ 3 75) ( x− 30) = 15 2( x+ 3 5) ( x− = 2) 15 10( x2 + 11x− ⇒ = 6) A C( )2

Từ (1)(2) ⇒ = =A B C

Dạng 3: Tìm đa thức thỏa mãn đẳng thức cho trước Cách giải: Thực hiện theo hai bước sau

Bài 1: Tìm đa thức A để các phân thức sau bằng nhau

a)

1

x

A = x

+

b)

2 2

+

=

c)

4 3 3

( 3)( 3) 3

d)

2 2

4

A

Lời giải

a) Ta có

( 1)

A x

+

+

b) Ta có

3

c) Ta có

( ) (3 )

4 3

3

3

d) Ta có

2 2 4 7 7

4

−

+

Bài 2: Tìm đa thức A để các phân thức sau bằng nhau

a)

2 2

x

b)

2

c) ( ) 2

; 1; 3

y

d)

1

2

a

Lời giải

a) Cách 1: Ta có

2 2

A x

+

2 2

b) Ta có :

( )

2

2 2

3

c) Ta có y2 − 4y+ = 3 (y− 1) (y− ⇒ = 3) B 2y2 − 3y+ 1

d) Ta có : a3 − = 8 (a− 2) (a2 + 2a+ ⇒ = 4) B a2 − 3a+ 2

Bài 3:

Tìm cặp đa thức P và Q thỏa mãn đẳng thức

( 2 ) (2 ) ( )

2

x

Lời giải

Ta có :

( ) ( )

Chọn Q=(x+ 1) (x− ⇒ = 2) P (x− 1) (x+ 2)

Bài 4:

2

2;1;3

x

Hãy tìm một cặp đa thức A và B thỏa mãn đẳng thức trên

Lời giải

Ta có:

x

−

Chọn A=(x+ 2) (x− ⇒ = − 3) B x 1

Dạng 4: Chứng minh đẳng thức có điều kiện Cách giải: Thực hiện theo hai bước sau

Bài 1:

Cho hai phân thức

P Q

và

R S

thỏa mãn

P Q

Q = S ≠

Chứng minh R S≠

và

Q P = R S

Lời giải

Điều cần chứng minh

Bài 2:

Chứng minh đẳng thức

với hai phân thức

P Q

và

R S

thỏa mãn

P R

Q = S

Lời giải

Ta có:

dpcm

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1:

Chứng minh các đẳng thức sau

a)

2

2

1

x

b)

y y

Hướng dẫn

a) Gợi ý: x2 − 3x+ = 2 (x− 1) (x− 2 ;) x2 − = 1 (x− 1) (x+ ⇒ 1) dpcm

b) Gợi ý: 4y3 − =y y(2y− 1 2) ( y+ 1)

Bài 2:

Chứng minh các đẳng thức sau

2

2; 1

b)

3 2

27

3

3 9

v

v

− +

Hướng dẫn

a) Gợi ý: 2 ( ) ( ) 2 ( )2

b) Gợi ý : v3 + 27 = +(v 3) (v2 − + 3v 9)

Bài 3: Tìm đa thức M trong mỗi đẳng thức sau

a)

2

1;

b)

2

2

x

Hướng dẫn

a) Đáp số: M =(x+ 1 2) ( x− 3)

b) Đáp số: M =(2x− 1) (x− 2)

Bài 4: Tìm đa thức N trong mỗi đẳng thức sau

a)

2

3

1; 2 8

+

b)

3; 2

Hướng dẫn

a) Đáp số: N =(x+ 1) (x+ 2)

b) Đáp số: N = 2(x+ 3) (x− 3)

Bài 5:

Cho hai phân thức

A B

và

C D

và

E F

thỏa mãn

.

B = D = F

Chứng minh

B D F+ − = B

+ −

Hướng dẫn

Ta có:

CB EB DA FA

B D F+ − = ⇒ − = −B

+ −

Mà

đpcm

Bài 6:

Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị nguyên

a)

3

2x− 1

b) 2

5 1

x +

c) 2

7 1

x − +x

Hướng dẫn

a) Vì x nguyên nên 2x−1 nguyên

do đó

3

2x− 1

nguyên ⇔ 2x− ∈ 1 U( ) {3 = ± ± ⇔ ∈ − 1; 3} x { 1;0;1; 2} b) Vì x nguyên nên

2 1

x +

nguyên

do đó

2

5

1

x +

nguyên

0

2

2

x

x

x

=



c) Vì x nguyên nên

2 1

x − +x

nguyên

do đó

2

7

1

x − +x

nguyên

2

2 2

1 0

1 1

1 7

x x

x x

x x

 − + =

− + =

Bài 7:

a) Tính giá trị của biểu thức

3 2

3 2

x y A

x y

−

= +

, biết

2 2

9x + 4y = 20xy

và 2y<3x<0

b) Tính giá trị của biểu thức

x y B

x y

−

= +

, biết

2 2 10

3

x y xy

và

0 x y< <

Hướng dẫn

a) Vì

2y< 3x< 0

nên

3x− 2y> 0

và

3x+ 2y< 0

suy ra A<0

Ta có

2

3 2

A

x y

+

1

2

A −

⇒ =

(vì A<0)

b) Ta có

2 2

2 2

10

3

x y

xy

2

B

x y

+

Vì 0< < ⇒ − <x y x y 0

và x y+ >0

Suy ra

1 0

2

x y

x y

+