Bài toán 50 cực trị HHKG

Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD.. có đáy ABCD là hình vuông tâm O,các cạnh bên và cạnh đáy của hinh chóp đều bằng a, E là trung điểm SB.. Gọi M N, là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc cạ

1 Phát triểu câu tương tự

Câu 2 Cho hình chóp S ABCD Một mặt phẳng song song mặt đáy cắt các cạnh SA SB SC SD lần lượt tại ; ; ;

, , ,

M N P Q Gọi M N P Q    lần lượt là hình chiếu của , , ,, , , M N P Q lên mặt đáy Tìm tỉ số SM

SA

để thể tích khối đa diện MNPQ M N P Q     lớn nhất

Đáp án: …………

Câu 3 Cho hình chóp hình tứ giác đều SABCD cạnh bên SA600 (mét), ASB15O Chọn trên các cạnh

bên SA SB SC SD lần lượt các điểm ,, , , Q M N P sao cho độ dài đường gấp khúc AMNPQ ngắn , , nhất Tính tỉ số k AM MN

NP PQ





 Đáp án: …………

Câu 4 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCD bằng 4 Gọi Vlà thể

tích khối chóp S ABCD , giá trị lớn nhất của Vlà

Đáp án: …………

Câu 5 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O,các cạnh bên và cạnh đáy của hinh

chóp đều bằng a, E là trung điểm SB Lấy I trên đoạn OD với DI x Gọi    là mặt phẳng qua I và song song mp EAC Giá trị x sao cho thiết diện của hình chóp và mặt phẳng    có diện tích lớn nhất là ma 2

n với m n,  ; * m n, 1 Khi đó m n bằng Đáp án: …………

Câu 6 Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 Gọi M N, là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc

cạnh BC BD sao cho mặt phẳng (, AMN luôn vuông góc với mặt phẳng () BCD Gọi ) V V lần 1, 2 lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện ABMN Tính V V1 2

Đáp án: …………

2 Lời giải tham khảo

Câu 1 (Đề minh hoạ) Người ta cần chế tạo các món quà lưu niệm bằng đồng có dạng khối chóp tứ giác đều, được mạ vàng bốn mặt bên và có thể tích bằng 16cm Diện tích mạ vàng nhỏ nhất của khối chóp bằng 3

bao nhiêu cm (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) 2

Đáp án: …………

Lời giải

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/

Gọi ,O N lần lượt là trung điểm của AC BC Gọi , a b a,  0,b0, 4b22a2 0lần lượt là độ dài cạnh của hinh vuông và cạnh bên của hình chóp tứ giác đều

Theo bài ra

4

a



Hình chóp tứ giác đều có tất cả các mặt bên bằng nhau nên diện tích của 4 mặt bằng

S  S  BC SM  a SO OM a b a

4

4608 4608 4608 4608

Câu 2 Cho hình chóp S ABCD Một mặt phẳng song song mặt đáy cắt các cạnh SA SB SC SD lần lượt tại ; ; ;

, , ,

M N P Q Gọi M N P Q    lần lượt là hình chiếu của , , ,, , , M N P Q lên mặt đáy Tìm tỉ số SM

SA

để thể tích khối đa diện MNPQ M N P Q     lớn nhất

Đáp án: …………

Lời giải

Đặt SM  Suy ra x SN  SP  SQ x

Ta có: 1 . 2 4 1  . 4. 2 2 4

x x

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 1 2

x

   

Câu 3 Cho hình chóp hình tứ giác đều SABCD cạnh bên SA600 (mét), ASB15O Chọn trên các cạnh

bên SA SB SC SD lần lượt các điểm ,, , , Q M N P sao cho độ dài đường gấp khúc AMNPQ ngắn , , nhất Tính tỉ số k AM MN

NP PQ





 Đáp án: …………

Lời giải

Giả sử trải các mặt hình chóp đều trên đường tròn tâm và bán kính Ta có có

đều

Mà đoạn ngắn nhất khi AQSA và , , , , thẳng hàng Khi đó là trọng tâm

Câu 4 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCD bằng 4 Gọi Vlà thể

tích khối chóp S ABCD , giá trị lớn nhất của Vlà

Đáp án: …………

Lời giải

Q

P

N

M D

C

B A

S

Q P N M

D C

A

S

15 4 60o  o  





k

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/

Ta vẽ hình như hình vẽ E là trung điểm của CD, OH SE

Dề dàng cm được OH d O SCD ;   1    

2d A SCD

Gọi SEO(0  90 )0

2 sin sin

OH OE

2 cos cos

OH SO

   Cạnh của hình vuông ABCD là: 4

sin

S ABCD ABCD

Đặt cos t t  0;1  thì sin2.cos t1t2

Xét hàm   3   2  

1 3

1 3

t

f t t t f t t f t

t

  





 





Ta có bảng biến thiên:

 0;1   2 3

9 Min f t

Giá trị nhỏ nhất của V đạt được khi f t  lớn nhất tức là minV 16 3

Câu 5 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O,các cạnh bên và cạnh đáy của hinh

chóp đều bằng a, E là trung điểm SB Lấy I trên đoạn OD với DIx Gọi    là mặt phẳng qua I và song song mp EAC Giá trị x sao cho thiết diện của hình chóp và mặt phẳng    có

0

1

0 0

2 3 9

1 3

f(t)

t

Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 5

   // EAC

SBD  EACEO

Suy ra     SBDIy Iy EO Iy SB Q, // ,  

Dễ dàng có IQ SD //

+ mp SAD cắt mặt phẳng   

M  M SAD M   SAD

  IQ

SADSD IQ SD, //

Suy ra     SADMz Mz SD Mz SA R, // ,  

+ Tương tự mp SDC cắt mặt phẳng   

SDC    Nt Nt SD Nt, // , SC

+ mp ABCD cắt mặt phẳng    theo giao tuyến MN AC//  2

+ mp SAD cắt mặt phẳng    theo giao tuyến MR SD //  5

+ mp SAB cắt hai mặt phẳng    theo hai giao tuyến RQ  3

+ mp SBC cắt mặt phẳng    theo hai giao tuyến QP  4

+ mp SCD cắt hai mặt phẳng    theo hai giao tuyến PN SD //  2

Thiết diện của hình chóp và mặt phẳng    là ngũ giác MNPQR

Ta có MR //IQ //NP

Hay tứ giác RMNP là hình bình hành

Mà EAC cân do EA EC ( hai trung tuyến của 2 tam giác đề cạnh a) OE AC

Do đó MRMN IQ, MNnên RMIQ QINP là hai hình thang vuông bằng nhau ,

Do MN // AC MN DI MN AC.DI 2x MI x

AEC cân cạnh AC a 2,

SD a

OE  

Do MI // AO AM OI

Do MR // SD AM MR

O

I O E S

C D

Q

P

R

N M

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/

Vậy

2

2 2 2

2

a x

2

3 2

RQPNM MRQI

x

            

RQPMN

a

S  a  x m n    m n

Câu 6 Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 Gọi M N, là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc

cạnh BC BD sao cho mặt phẳng (, AMN luôn vuông góc với mặt phẳng () BCD Gọi ) V V lần 1, 2 lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện ABMN Tính V V1 2

Đáp án: …………

Lời giải

Gọi I J K, , lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC BD CD , , Glà trọng tâm ABC

Tứ diện ABCD đều, G là tâm tam giác đều BCD AG (BCD)

Ta có (AMN)(BCD)(AMN) AG G MN

2

BM x BN  y x y

Ta có

2

 

BMN BGM BGN

S S S  BM BN B BM GI BMN GJ

Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong

Tham gia ngay:Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/

Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương

 https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber

Tải nhiều tài liệu hơn tại: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/