SKKN một số bài TOÁN về cực TRỊ HÌNH học KHI GIẢI bài tập PHẦN PHƯƠNG PHÁP tọa độ TRONG KHÔNG GIAN

LỜI GIỚI THIỆU Bài toán cực trị hình học trong chương Phương pháp tọa độ trong không gian là dạngtoán hay và khó.. Để làm bài toán dạng này đòi hỏi phải nắm vững kiến thức hình họckhông

MỤC LỤC

Mục Lục………1

1 Lời giới thiệu……….………2

2 Tên sáng kiến……… … 2

3 Tác giả sáng kiến……… ……2

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến……… ……2

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến……… 2

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử……… 2

7 Mô tả bản chất của sáng kiến………3

- Nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan - Một số bài toán cực trị hình học 8 Những thông tin cần được bảo mật (nếu có) 19

9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến 19

10 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử 19

11 Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu 20

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

I LỜI GIỚI THIỆU

Bài toán cực trị hình học trong chương Phương pháp tọa độ trong không gian là dạngtoán hay và khó Để làm bài toán dạng này đòi hỏi phải nắm vững kiến thức hình họckhông gian, mối liên hệ giữa đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu

Là dạng toán xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia những năm gần đây và trong đềtham khảo thi THPT Quốc gia năm 2019 của Bộ Giáo Dục – Đào Tạo, nhiều em học sinhcòn lúng túng không biết hướng làm bài Để giúp học sinh không bị khó khăn khi gặpdạng toán này tôi đưa ra phương pháp phân loại bài tập từ dễ đến khó Nhằm mục đíchgiúp học sinh tiếp cận một cách đơn giản, dễ nhớ và từng bước giúp học sinh hình thànhlối tư duy giải quyết vấn đề

Giúp các em hoàn thành tốt bài thi THPT Quốc gia môn Toán, tiền đề để các em bướctiếp vào tương lai

II TÊN SÁNG KIẾN:

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHI GIẢI BÀI TẬP PHẦN

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.

III TÁC GIẢ SÁNG KIẾN:

- Họ và tên: NGUYỄN THỊ THÚY BÍNH

Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Quang Hà Gia Khánh Bình Xuyên Vĩnh Phúc

Số điện thoại:0975 009 619

Email: Nguyenthithuybinh gvquangha@Vinhphuc.edu.vn

IV CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN: NGUYỄN THỊ THÚY BÍNH

V LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN:

Sáng kiến được áp dụng trong quá trình giảng dạy ôn thi THPT Quốc gia môn Toán lớp 12

VI NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU

Một số bài toán cực trị hình học trong Phương pháp tọa độ trong không gian đươc ̣

áp dung ̣ lần đầu năm hoc ̣ 2017 – 2018 khi giảng daỵ ôn thi THPT Quốc gia cho

hoc ̣ sinh lớp 12 Kết quả: Hoc ̣ sinh nắm đươc ̣ nôịdung vàbiết vâṇ dung,̣ bước đầu thu đươc ̣ môṭsốkết quảkhảquan.

VII MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG

KIẾN 1 Nội dung của sáng kiến

Phần I Nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan

1, Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

+ ≠ và có giá vuông góc với mặt phẳng (α) thì được gọi là vectơ pháp tuyến của mp

(α)

Chú ý: + là vectơ pháp tuyến của (α) thì (k ≠ 0) cũng là vectơ pháp tuyến của (α)

+ nếu ) , không cùng phương và có giá song song hoặc nằm

phương trình (α) là: A(x - x 0 ) + B(y - y 0 ) + C(z - z 0) = 0 3, Phương trình tham số của đường thẳng

Định nghĩa: Phương trình tham số của đường thẳng  đi qua điểm M0(x0; y0; z0) và có

Bài toán 1: Viết phương trinh̀ mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d vàcách môṭđiểm

M d môṭkhoảng lớn nhất.

Giải

3

+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (P M

+ Gọi K là hình chiếu vuông góc của M trên d

+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (P)

+ Gọi K là hình chiếu vuông góc của M trên d

x  1  y  z  2 va cach M

2 1 1 ̀€ ́

VD2: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm A (1;-2;1) song song với đường thẳng d:

x  y 1  z va cach gốc toạ đô ̣môṭkhoang lơn nhất.

Giải

+ (P) chứa d’: qua A, // d Phương trình d’: d

+ Tìm được t = 1/9

VD3: Viết phương trinh€ măṭphẳng (P) đi qua O, vuông góc với măṭphẳng (Q) : 2x – y +

z – 1 = 0 vàcách điểm M ( (1

2; 0; 2) ) môṭkhoảng lớn nhất Giải

+ (P) chứa đường thẳng d: qua O, vuông góc với (Q).

+ Gọi H là hình chiếu của M trên (P), I là hình chiếu của M trên d

Bước 1: Lấy K thuộc d Đường thẳng qua K, // d’

Bước 2: Lấy 1 điểm M thuộc đường thẳng, tìm hình chiếu I của M trên d

Bước 3: (P) qua I, vuông góc với IM.

VD1: Viết phương trinh măṭphẳng (P) chưa d: x  1 y  1  z  2 taọ vơi đương thẳng

Tìm được điểm I Mp (P): qua I, vuông góc MI có phương trình: x – 4y + z – 7 = 0

VD2: Viết phương trinh€ măṭphẳng đi qua O vàvuông góc với măṭphẳng (P) : 2x + y – z

– 1 = 0 và tạo với truc ̣ Oy môṭgóc lớn nhất

Giải

+ chứa đường thẳng : qua O, vuông góc với mặt phẳng (P);

VD3: Viết phương trinh măṭ phẳng đi qua O, song song vơi

+ Gọi a là đường thẳng qua O, // d

+ qua O, vuông góc với (P) có PT:

Gọi I là hình chiếu của M trên a

VD4: Viết phương trình măṭphẳng đi qua 2 điểm A(1;2;-1), B(2;1;3) vàtaọ với truc ̣ Ox

Giải

+ Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên (P) và d

7

Ta có MK MH (MK)min khi K H

+ Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên (P) d qua A và H

VD1: Viết phương trinh€ đường thẳng d đi qua gốc toạ đô ̣O, nằm trong măṭphẳng (P) :

2x – y + z = 0 vàcách điểm M (1;2;1) môṭkhoảng nhỏnhất

Giải

+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (P)

+ Đường thẳng qua M, vuông góc với (P):

+ Xét hệ:

VD2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua O.song song với măṭphẳng (P) :

2x – y – z + 1 = 0 vàcách điểm M (1;-1;2) môṭkhoảng nhỏnhất

Giải

+ Vì d qua O, // (P) nên d nằm trong mặt phẳng qua O, // (P)

+ Gọi H là hình chiếu của M trên

+ Xét hệ:

d nằm trong (P): qua A, vecto pháp tuyến

+Gọi H là hình chiếu của O trên (P)

+ Mà

VD1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1;1;-1) cho trước, nằm trong măṭ

phẳng (P) : 2x – y – z = 0 và cách điểm M( 0;2;1) môṭkhoảng lớn nhất

Giải

VD2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc toạ đô ̣O, vuông góc với đường thẳng

d1 : x  1  y  1 z 1 va cach điểm M (2;1;1) môṭkhoang lơn nhất

Giải

+ d nằm trong qua O, vuông góc d1

VD3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A (1;0;2), song song với măṭphẳng

(P) : 2x – y + z – 1 = 0 vàcách gốc toạ đô ̣O môṭkhoảng lớn nhất

Bài toán 5: Cho măṭ phẳng (P) vàđiểm A∈ (P) , vàđường thẳng d (d cắt (P) và d không vuông góc với (P)) Viết phương trinh ̀ đường thẳng d’ đi qua A, nằm trong

(P) vàtạo với d môṭgóc nhỏnhất.

Giải

+ Từ A, vẽ // d

+ Gọi H, I lần lượt là hình chiếu của M trên (P) và d’

+ Lấy điểm M thuộc

Bước 1: Viết qua A, // d

Bước 2: Lấy M thuộc , gọi H là hình chiếu của M trên (P)

+ d’ nằm trong mặt phẳng : qua O, vuông góc với d

+ d’ tạo với đường thẳng a (vuông góc với (P)) một góc nhỏ nhất

VD3: Viết pt đương thẳng đi qua gốc toạ đô ̣O, cắt đương thẳng d: x  y 1  z va taọ

Bài toán 6: Cho măṭphẳng (P) vàđiểm A∈ (P) , vàđường thẳng d cắt (P) taịđiểm

M khác A Viết pt đường thắng d’ nằm trong (P) đi qua A vàkhoảng cách giữa d và d’ lớn nhất.

Giải

+ Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d, // d’

12

+ K là hình chiếu của A trên d.

Ta có: AK vuông góc với (Q) nên AK vuông góc với d’

VD: Cho măṭphẳng (P) : 2x + y + z – 3 = 0 va đương thẳng d’: x 1 y  z Viết

phương trình đường thẳng d đi qua A, nằm trong (P) vàkhoảng cách giữa d vàd’ lớn nhất

Giải

+ K là hình chiếu của A trên d’

Bài toán 7: Cho mặt phẳng (P) và

thẳng d' nằm trong (P), d’ và cách

đường thẳng d // (P) Viết phương trinh̀ đường

d môṭkhoảng nhỏnhất Giải

+ Lấy A là một điểm thuộc d Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của A trên (P)

+ d’ là đường thẳng qua A’ và song song với đường thẳng d.

VD: Cho măṭphẳng (P) : 2x – y + z + 1 = 0 Viết phương trinh€ d nằm trong mp (P), song

song với mặt phẳng (Q) : x – 2y + z + 2 = 0 vàcách gốc O môṭkhoảng nhỏnhất

Giải

+ d đi qua hình chiếu H của O trên (P)

+ d là giao của (P) với (Q’) trong đó (Q’) // (Q)

+ Trong (P) tìm M thuộc đường tròn tâm I, bán kính = 3, cách K một khoảng lớn nhất, nhỏ nhất.

+ Gọi d’ là đường sinh của mặt trụ: trục d, bán kính

+ Gọi (P) là mặt phẳng chứa và song song với d (d’// d và d’ // )

Khi (P) cắt mặt trụ thì d’ là giao của mặt trụ với mp(Q) chứa d và vuông góc (P)

+ Gọi M(x; y; z) là giao của IH với mặt trụ (gần (P) nhất)

VD4: Cho đương thẳng d:€

x  3 

2t

 y  2  t

z  2  t

Viết phương trinh mp (P) song song va cach d môṭ€€́

khoảng R = 2 vàcách M (0;1;2) môṭkhoảng nhỏnhất ( lớn nhất )

Giải

+ (Q): qua M, vuông góc với d và cắt d tại I

+ Đường thẳng qua M, vuông góc với (P) và cắt (P) tại A Gọi B’ là hình chiếu vuông góc của I trên (P)

Ta thấy: I, M, B, A thuộc (Q) và

VD5: Cho măṭcầu (S): (x + 1)2 + (y – 4)2 + z2 = 8 vàđiểm A (3;0;0) , B (4;2;1) GoịM

làđiểm thuôc ̣ măṭcầu (S) Tính giátrị nhỏnhất của biểu thức MA + 2MB

Giải

+ M(a; b; c) thuộc mặt cầu (S), ta có:

16

+ Kiểm tra được B’ nằm trong mc(S), B nằm ngoài

mc(S) Vậy MA + 2MB = 2(MB’ + MB)

YCBT: (MB’ + MB) min khi: B’, M, B thẳng hàng

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1 Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm A(1; 0; 1), B(2; 1; 3) và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất (P) đi qua điểm nào sau đây?

A M (0; 2; -1) B M (1; 1; 1) C M (3; 2; 1) D.M(-1;1;1)

Câu 2 Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng và tạo với trục Oz một góc

lớn nhất Hỏi mp(P) đi qua điểm nào dưới đây?

A M (1; 3; 2) B M (2; 1; 0) C M (4; 1; 1) D M (1; 1; 1) Câu 3 Gọi d là đường thẳng đi qua O và nằm trong mặt phẳng (Oyz) và cách điểm

M(1; - 2; 1) một khoảng nhỏ nhất Tính góc giữa d và trục tung

Câu 4 Cho đường thẳng d: (a, b là các tham số đã biết) Biết

khoảng cách giữa d và Ox lớn nhất Tính

Câu 5 Cho mặt phẳng (P): và đường thẳng Gọi d’ làđường thẳng nằm trong (P), song song với d và khoảng cách giữa d và d’ nhỏ nhất Hỏid’ đi qua điểm nào sau đây?

Câu 6 Gọi d là đường thẳng đi qua O và song song với mặt phẳng (P):

và tạo với trục Ox một góc nhỏ nhất Hỏi d đi qua điểm nào sau đây?

Câu 7 Gọi (P) là mặt phẳng đi qua O và song song với đường thẳng

và cách điểm A (- 1; 2; 3) một khoảng lớn nhất Hỏi (P) song song với đường thẳng nào sau đây?

Câu 8 Cho mặt phẳng (P): Gọi d là đường thẳng đi qua

A, nằm trong (P) và cách O một khoảng nhỏ nhất Hỏi d đi qua điểm nào sau đây?

Câu 9 Gọi d là đường thẳng đi qua A(1; 2; - 1), vuông góc với trục Ox và cách điểm

M(2; 1; - 2) một khoảng nhỏ nhất Một vecto chỉ phương của d là:

Câu 10 Cho mặt phẳng (P): Gọi d là đường thẳng điqua A, nằm trong (P) Tính khoảng cách lớn nhất giữa Oy và d

2 Khả năng áp dụng của sáng kiến:

Sau khi hướng dẫn học sinh một số bài toán về cực trị hình học khi giải bài tậpphần “Phương pháp tọa độ trong không gian” tôi thấy học sinh đã giải quyết tốt các bàitập về viết phương trình mặt phẳng và phương trình đường thẳng trong không gian vànâng cao được kết quả thi THPT Quốc gia năm học 2017 - 2018

Chuyên đề giúp các em có được cái nhìn tổng quan về phương pháp tọa độ trongkhông gian nói chung và một số bài toán về cực trị hình học nói riêng Tạo hứng thú say

mê học tập trong bộ môn Toán Từ đó phát huy được khả năng tự giác, tích cực của họcsinh, giúp các em tự tin vào bản thân khi gặp bài toán cực trị hình học Đó chính là mụcđích mà tôi đặt ra

VIII NHỮNG THÔNG TIN CẦN ĐƯỢC BẢO MẬT: không có

IX CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN:

- Học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản về vecto pháp tuyến của mặt phẳng; vecto chỉphương của đường thẳng; phương trình tổng quát của mặt phẳng và phương trình tham

số, phương trình chính tắc của đường thẳng

X ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC

1 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả:

- Sáng kiến đã xây dựng và lựa chọn một hệ thống các bài tập cực trị hình học vềviết phương trình mặt phẳng và viết phương trình đường thẳng khi giải bài tập phầnphương pháp tọa độ trong không gian, mức độ vận dụng khi ôn thi THPT Quốc Gia

- Bước đầu nghiên cứu sử dụng hệ thống bài tập này theo hướng tích cực thể hiện qua

sự thích thú say mê bộ môn Học sinh có thể vận dụng để giải nhanh bài toán cực trị hình họctọa độ không gian bằng cách tìm được vị trí đặc biệt của nghiệm hình để cực trị (số đo

góc, khoảng cách, độ dài) xảy ra

2 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân: không có

XI DANH SÁCH NHỮNG TỔ CHỨC/ CÁ NHÂN ĐÃ THAM GIA ÁP DỤNG THỬ HOẶC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN LẦN ĐẦU.

1 NguyễnThị Giáo viên Trường THPT Quá trình ôn thi THPT Quốc

Nguyễn Thị Thúy Bính Nguyễn Viết Ngọc