Bài toán về cực trị tọa độ không gian và cách giải I LÝ THUYẾT Với bài toán cực trị trong không gian Oxyz chúng ta thường xử lí theo một trong hai hướng sau Hướng 1 Đại số Chuyển đại lượng cần tìm min[.]
Trang 1Bài toán về cực trị tọa độ không gian và cách giải
I LÝ THUYẾT
Với bài toán cực trị trong không gian Oxyz chúng ta thường xử lí theo một trong hai hướng sau:
Hướng 1: Đại số: Chuyển đại lượng cần tìm min, max về một biểu thức đại số và dùng các bất đẳng thức hoặc khảo sát hàm số để tìm min, max
Hướng 2: Hình học: Với hướng này ta sử dụng các bất đẳng thức để đánh giá
II PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Bài toán 1: Trong không gian Oxyz cho các điểm A x ; y ;z( A A A) (, B x ; y ;zB B B) và mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = 0 Tìm điểm M(P) sao cho
1 MA + MB nhỏ nhất
2 |MA – MB| lớn nhất với d A, P( ( ) )d B, P( ( ) )
Phương pháp:
+) Xét vị trí tương đối của các điểm A, B so với mặt phẳng (P)
+) Nếu (axA +byA +czA +d)(axB +byB +czB +d)0 thì hai điểm A, B cùng phía với mặt phẳng (P)
+) Nếu (axA +byA +czA +d ax)( B +byB +czB +d)0 thì hai điểm A, B nằm khác phía với mặt phẳng (P)
1 MA + MB nhỏ nhất
+) Trường hợp 1: Hai điểm A, B ở khác phía so với mặt phẳng (P)
Vì A, B ở khác phía so với mặt phẳng (P) nên MA + MB nhỏ nhất bằng AB khi và chỉ khi M=( )P AB
+) Trường hợp 2: Hai điểm A, B ở cùng phía so với mặt phẳng (P)
Gọi A’ đối xứng với A qua mặt phẳng (P) khi đó A’ và B ở khác phía (P) và MA MA’ nên MA MB MA' MB A'B+ = +
Vậy MA + MB nhỏ nhất bằng A’B khi M=A 'B( )P
Trang 22 |MA – MB| lớn nhất
+) Trường hợp 1: Hai điểm A, B ở cùng phía so với mặt phẳng (P)
Vì A, B ở cùng phía so với mặt phẳng (P) nên |MA – MB| lớn nhất bằng AB khi và chỉ khi M=( )P AB
+) Trường hợp 2: Hai điểm A, B ở khác phía so với mặt phẳng (P)
Gọi A’ đối xứng với A qua mặt phẳng (P), khi đó A’ và B ở cùng phía (P) và
MA = MA’ nên | MA−MB | | MA ' MB |= − A 'B
Vậy |MA – MB| lớn nhất bằng A’B khi M=A 'B(P)
Bài toán 2: Lập phương trình mặt phẳng (P) biết
1 (P) đi qua đường thẳng và khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất
2 (P) đi qua và tạo với mặt phẳng (Q) một góc nhỏ nhất
3 (P) đi qua và tạo với đường thẳng d một góc lớn nhất
Phương pháp:
Cách 1: Dùng phương pháp đại số
1 Giả sử đường thẳng x x1 y y1 z z1
:
Khi đó phương trình (P) có dạng: A x( −x1)+B y( −y1)+C z( −z1)=0
Trong đó Aa Bb Cc 0 A bB cC
a
+
Khi đó ( ( ) ) ( 0 1) ( 0 1) ( 0 1)
2 2 2
d A, P
=
Thay (1) vào (2) và đặt t B
C
= , ta đươc d A, P( ( ) )= f t( ) Trong đó ( ) mt22 nt p
f t
m't n 't p'
+ +
=
+ + , khảo sát hàm f t( ) ta tìm được max f(t) Từ đó suy ra được sự biểu diễn của A, B qua C rồi cho C giá trị bất kì ta tìm được A, B
Trang 32 và 3 làm tương tự
Cách 2: Dùng hình học
1 Gọi K, H lần lượt là hình chiếu của A lên và (P), khi đó ta có:
( )
d A, P =AHAK, mà AK không đổi Do đó d (A, (P)) lớn nhất H K Hay (P) là mặt phẳng đi qua K, nhận AK làm vectơ pháp tuyến
2 Nếu ( ) ( ( ) ( ) ) 0
Q P , Q 90
⊥ = nên ta xét và (Q) không vuông góc với nhau
+) Gọi (B) là một điểm nào đó thuộc , dựng đường thẳng qua B và vuông góc với (Q) Lấy điểm C cố định trên đường thẳng đó Hạ CH⊥( )P ,CK⊥d Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) là BCH Ta có sin BCH BH BK
Mà BK
BC không đổi, nên BCH nhỏ nhất khi H K
+) Mặt phẳng (P) cần tìm là mặt phẳng chứa và vuông góc với mặt phẳng
(BCK) Suy ra n( )P =u , u , n ( )Q
là VTPT của (P)
3 Gọi M là một điểm nào đó thuộc , dựng đường thẳng d’ qua M và song song với d Lấy điểm A cố định trên đường thẳng đó Hạ AH⊥( )P , AK⊥d Góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d’ là AMH Ta có cos AMH HM KM
Mà KM
AM không đổi, nên AMH lớn nhất khi H K
+) Mặt phẳng (P) cần tìm là mặt phẳng chứa và vuông góc với mặt phẳng
(d ', ) Suy ra n( ) P =u , u , u d '
là VTPT của (P)
III VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A (1; 0; 2), B (0; -1;
2) và mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 12 = 0 Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho
MA + MB nhỏ nhất?
Trang 4A M (2; 2; 9)
B M 6; 18 25;
11 11 11
−
C M 7 7 31; ;
6 6 4
D.M 2; 11 18;
5 5 5
− −
Hướng dẫn giải
Thay tọa độ A (1; 0; 2), B (0; -1; 2) vào phương trình mặt phẳng (P), ta được P(A).P(B) > 0 hai điểm A, B cùng phía với đối với mặt phẳng (P)
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (P) Ta có
MA MB MA' MB A'B+ = +
Nên min(MA + MB) = A’B khi và chỉ khi M là giao điểm của A’B với (P)
Phương trình
AA ' : y 2t
= +
=
= −
(AA’ đi qua A (1; 0; 2) và có véctơ chỉ phương
n = 1;2; 1− )
Trang 5Gọi H là giao điểm của AA’ trêN (P), suy ra tọa độ của H là H (0; -2; 4), suy ra A’
(-1; -4; 6), nên phương trình
=
= −
Vì M là giao điểm của A’B với (P) nên ta tính được tọa độ M 2; 11 18;
5 5 5
− −
Chọn D
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm E (8; 1; 1).Viết phương
trình mặt phẳng ( ) qua E và cắt nửa trục dương Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho OG nhỏ nhất với G là trọng tâm tam giác ABC
A x + y + 2z – 11 = 0
B 8x + y + z – 66 = 0
C 2x + y + z – 18 = 0
D x + 2y + 2z – 12 = 0
Hướng dẫn giải
Gọi A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c) với a, b, c > 0
Theo đề bài ta có:8 1 1 1
a + + =b c Cần tìm giá trị nhỏ nhất của a2 +b2 +c2
Ta có ( 2 2 2) ( ) ( )2
a +b +c 4 1 1+ + a.2+b.1 c.1+
6 a b c 2a b c
Mặt khác
2
a b c 4 1 1 a.2 b.1 c.1
8 1 1 2a b c
a b c
4 1 1 36
+ + + +
+ + =
Trang 6Suy ra a2 +b2 +c2 63 Dấu '' ''= xảy ra khi
2
a
b c a 2b 2c
4 = = = = Vậy a2 +b2 +c2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 216 khi a = 12, b = c = 6
Vậy phương trình mặt phẳng là : x y z 1
12+ + =6 6 hay x + 2y + 2z – 12 = 0
Chọn D
Ví dụ 3 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (1; 2; 1) Mặt phẳng
(P) thay đổi đi qua M lần lượt cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C khác O Tính giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện OABC
A 54
B 6
C 9
D 18
Hướng dẫn giải
Gọi A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c) với a, b, c > 0
Phương trình mặt phẳng ( )P : x y z 1
a + + =b c Vì: ( ) 1 2 1
Thể tích khối tứ diện OABC là: VOABC 1abc
6
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 1 2 1 3 1 2 1
a + + b c a b c
abc abc
Suy ra: abc 54 1abc 9
6
Trang 7Vậy: VOABC 9
Chọn C
III BÀI TẬP ÁP DỤNG
Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho điểm M 1; 3;0
2 2
và mặt cầu
S : x +y +z =8 Đường thẳng d thay đổi, đi qua điểm M, cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A, B phân biệt Tính diện tích lớn nhất S của tam giác OAB
A S= 7
B S = 4
C.S=2 7
D.S=2 2
Câu 2: Phương trình của mặt phẳng nào sau đây đi qua điểm M (1; 2; 3) và cắt ba
tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất?
A 6x + 3y + 2z + 18 = 0
B 6x + 3y + 3z – 21 = 0
C 6x + 3y + 3z + 21 = 0
D 6x + 3y + 2z – 18 = 0
Câu 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 3x + y – z +
5 = 0 và hai điểm A (1; 0; 2), B (2; -1; 4) Tìm tập hợp các điểm M (x; y; z) nằm trên mặt phẳng (P) sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất
A x 7y 4z 7 0
C x 7y 4z 7 0
Trang 8D 3x 7y 4z 5 0.
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M (2; 2; 1), A (1; 2;
-3) và đường thẳng d :x 1 y 5 z
+ = − =
− Tìm vectơ chỉ phương u của đường thẳng
đi qua M, vuông góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A một khoảng bé nhất
A u=(2;1;6)
B u=(1;0;2)
C u=(3;4; 4− )
D u=(2;2; 1− )
Câu 5 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A (2; 4 ; 1), B (1; 4;
-1), C (2; 4; 3), D (2; 2; -1) Biết M (x; y; z), đểMA2 +MB2 +MC2+MD2 đạt giá trị nhỏ nhất thì x + y + z bằng
A. 7
B. 8
C. 9
D. 6
Câu 6 : Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có điểm A
(1 ; 1 ; 1), B (2 ; 0 ; 2), C (-1 ; -1 ; 0), D (0 ; 3 ; 4) Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm B’, C’, D’ thỏa mãn : AB AC AD 4
AB'+ AC'+AD '= Viết phương trình mặt phẳng (B’C’D’) biết tứ diện AB’C’D’ có thể tích nhỏ nhất ?
A 16x + 40y – 44z + 39 = 0
B 16x + 40y + 44z – 39 = 0
C 16x – 40y – 44z + 39 = 0
D 16x – 40y – 44z – 39 = 0
Trang 9Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gọi d đi qua điểm A (1; -1; 2), song
song với (P): 2x – y – z + 3 = 0, đồng thời tạo với đường thẳng :x 1 y 1 z
− một góc lớn nhất Phương trình đường thẳng d là
A x 1 y 1 z 2
B x 1 y 1 z 2
C.x 1 y 1 z 2
D x 1 y 1 z 2
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gọi d đi qua A (-1; 0; -1), cắt
1
x 1 y 2 z 2
:
− , sao cho góc giữa d và 2
x 3 y 2 z 3 :
nhất Phương trình đường thẳng d là
A.x 1 y z 1
= =
−
B x 1 y z 1
−
C x 1 y z 1
D x 1 y z 1
+ = = +
Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (0; -2; -1), B (-2; -4;
3), C (1; 3; -1) và mặt phẳng (P): x + y – 2z – 3 = 0 Biết điểm M a ;b;c( ) ( ) P
thỏa mãn T= MA+MB 2MC+ đạt giá trị nhỏ nhất Tính S = a + b + c
A S = -2
B S = 0
Trang 10C S = 1
D S 1
2
= −
Câu 10: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (2; 1; -2), B (-1; 0; 3), (P) là mặt
phẳng đi qua A sao cho khoảng cách từ B đến (P) lớn nhất Khi đó khoảng cách từ gốc tọa độ đến (P) bằng
A 17
35
B 3
C 1
D 7
35
ĐÁP ÁN
Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Đáp
án
A D C B A A A A B A