Bài toán 27 cực trị liên quan mặt cầu

Khi điểm S thay đổi trên mặt cầu, thể tích của khối chóp S OAB.. Tọa độ điểm M nằm trên mặt cầu S sao cho khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng P đạt giá trị nhỏ lớn nhất là A.. Trắc ngh

TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022 Điện thoại: 0946798489

Câu 1 (Đề minh hoạ) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu     2  2 2

C x  y  z  và hai điểm A2;1;0 , B 0;2;0 Khi điểm S thay đổi trên mặt cầu, thể tích của khối chóp S OAB có giá trị

lớn nhất bằng bao nhiêu?

1 Phát triểu câu tương tự Câu 2 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng 2x2y z  9 0 và mặt cầu

( ) : (S x3)  (y 2)  (z 1) 100 Tọa độ điểm M nằm trên mặt cầu ( )S sao cho khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( )P đạt giá trị nhỏ lớn nhất là

A 11 14 13; ;

3 3 3

C 29 26; ; 7

11 14; ; 13

Câu 3 Cho a b c d e f, , , , , là các số thực thỏa mãn      





giá trị nhỏ nhất của biểu thức   2  2 2

F a d  b e  c f lần lượt là M m, Khi đó,

M m bằng

Câu 4 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x2y2z 4 0 và mặt cầu

( ) :S x y  z 2x2y2z 1 0 Giá trị của điểm M trên  S sao cho d M P đạt  ,   GTNN là

A 5 7 7; ;

3 3 3

; ;

 . C 1; 2;1  D 1;1;3  Câu 5 Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(1;2;0), (3; 2; 1), ( 1; 4; 4)B  C   Tập hợp tất cả

các điểm M sao cho MA2MB2MC2 52 là

A mặt cầu tâm I( 1;0; 1)  , bán kính r  2 B mặt cầu tâm I( 1;0; 1)  , bán kính r 2

C mặt cầu tâm I(1;0;1), bán kính r 2 D mặt cầu tâm I(1;0;1), bán kính r  2

Câu 6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 3

  và mặt cầu  S tâm

I có phương trình     2  2 2

S x  y  z  Đường thẳng d cắt  S tại hai điểm

,

A B Tính diện tích tam giác IAB

A 8 11

8 11

16 11

11

6

Câu 7 Trong không gian Oxyz cho mặt cầu     2  2 2

S x  y  z  và mặt phẳng

 P : 2x2y z   Gọi 3 0 M a b c ; ;  là điểm trên mặt cầu  S sao cho khoảng cách từ M đến

 P là lớn nhất Khi đó

A a b c  8 B a b c  5 C a b c  6 D a b c  7

Bài toán 27 Cực trị liên quan mặt cầu

• Phần A Trắc nghiệm khách quan

• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/

Câu 8 Trong không gian cho mặt cầu x2y2z29 và điểm M x y z thuộc  0; ;0 0

1

2 3

 



  



  



Ba điểm A , B , C phân biệt cùng thuộc mặt cầu sao cho MA , MB , MC là tiếp

tuyến của mặt cầu Biết rằng mặt phẳng ABC đi qua  D1;1; 2 Tổng 2 2 2

T  x  y  bằngz

Câu 9 Cho , ,a b c sao cho hàm số y2x3ax2bx c đạt cực trị tại x1 đồng thời có y 0 2

và y 1  3 Hỏi trong không gian Oxyz , điểm M a b c ; ;  nằm trong mặt cầu nào sau đây?

A   2  2 2

5 60

x y  z 

C   2  2 2

x  y  z 

Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P x: 2y2z 3 0 và mặt cầu  S

tâm I5; 3;5 , bán kính R2 5 Từ một điểm A thuộc mặt phẳng  P kẻ một đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu  S tại B Tính OA biết AB 4

A OA 6 B OA5 C OA3 D OA 11

2 Lời giải tham khảo Câu 1 (Đề minh hoạ) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu     2  2 2

C x  y  z  và hai điểm A2;1;0 , B 0;2;0 Khi điểm S thay đổi trên mặt cầu, thể tích của khối chóp S OAB có giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?

Lời giải

Chọn C

Mặt cầu có tâm I1;3;2 , R1

Ta có OA2;1;0 , OB0; 2;0OA OB, 0;0; 4

Phương trình mặt phẳng ABO : 4 z0  0 z 0

1

2

OAB

S  OA OB 

 

V  d S OAB S  d S OAB Do đó VS OAB. maxd S OAB ,  max Ta

có d S OAB ,  maxd I OAB ;     R 2 1 3 Vậy VS OAB. max 2

Câu 2 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng 2x2y z  9 0 và mặt cầu

( ) : (S x3)  (y 2)  (z 1) 100 Tọa độ điểm M nằm trên mặt cầu ( )S sao cho khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( )P đạt giá trị nhỏ lớn nhất là

A 11 14 13; ;

3 3 3

C 29 26; ; 7

11 14; ; 13

Lời giải

Chọn C

Mặt cầu ( )S có tâm I(3; 2;1) và bán kính R10

, Oxyz

Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( )P : d I P( ;( )) 6 R nên ( )P cắt ( )S

Khoảng cách từ M thuộc ( )S đến ( )P lớn nhất  M( )d đi qua I và vuông góc với ( )P

Phương trình

3 2 ( ) : 2 2

1

 



   



  



Ta có: M( )d M(3 2 ; 2 2 ;1 ) t   t t

Mà: M( )S

1

2

; ;





 Thử lại ta thấy: d M P( 1,( ))d M( 2,( ))P nên 29 26; ; 7

  thỏa yêu cầu bài toán

Câu 3 Cho a b c d e f, , , , , là các số thực thỏa mãn      





trị nhỏ nhất của biểu thức   2  2 2

F  a d  b e  c f lần lượt là M m, Khi đó, M m

bằng

Lời giải

Chọn A

Gọi A d e f , ,  thì A thuộc mặt cầu     2  2 2

S x  y  z  có tâm I11; 2;3, bán kính R1 , 1 B a b c , ,  thì B thuộc mặt cầu     2 2 2

S x  y z  có tâm I23;2;0, bán kính R2  Ta có 3 I I1 2  5 R1R2 S1 và  S2 không cắt nhau và ở ngoài nhau

Dễ thấy F AB, AB max khi A A B B 1,  1  Giá trị lớn nhất bằng I I1 2R1R2  9

AB min khi A A B B 2,  2 Giá trị nhỏ nhất bằng I I1 2R1R2 1

Vậy M m 8

Câu 4 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x2y2z 4 0 và mặt cầu

( ) :S x y  z 2x2y2z 1 0 Giá trị của điểm M trên  S sao cho d M P đạt  ,   GTNN là

A 5 7 7; ;

3 3 3

; ;

 . C. 1; 2;1  D 1;1;3 

Lời giải

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/

Chọn B

Ta có: d M P( ,( )) 3   R 2 ( ) ( )P  S  

Đường thẳng d đi qua I và vuông góc với  P có pt:

1

1 2 ,

1 2

 





  





Tọa độ giao điểm của d và  S là 5 7 7; ;

3 3 3

1; 1; 1

B    

Ta có: d A P( ,( )) 5 d B P( ,( )) 1. d A P( ,( ))d M P( ,( ))d B P( ,( ))

Vậy: d M P( ,( ))min  1 M B

Câu 5 Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(1;2;0), (3; 2; 1), ( 1; 4; 4)B  C   Tập hợp tất cả

các điểm M sao cho MA2MB2MC252 là

A mặt cầu tâm I( 1;0; 1)  , bán kính r  2 B mặt cầu tâm I( 1;0; 1)  , bán kính r 2

C mặt cầu tâm I(1;0;1), bán kính r 2 D mặt cầu tâm I(1;0;1), bán kính r  2

Lời giải

Chọn C

Gọi M x y z( ; ; )

Khi đóMA2MB2MC2

3x 3y 3z 6x 6z 52

Theo đề: MA2MB2MC2 52 3x23y23z26x6z52 52

(x 1) y (z 1) 2

Vậy:M thuộc mặt cầu có tâm mặt cầu tâm I(1;0;1), bán kính r 2

Câu 6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 3

  và mặt cầu  S tâm I

có phương trình     2  2 2

S x  y  z  Đường thẳng d cắt  S tại hai điểm A B, Tính diện tích tam giác IAB

A 8 11

8 11

16 11

11

6

Lời giải

Chọn B

Đường thẳng d đi qua điểm C1; 0; 3 và có vectơ chỉ phương  u  1; 2; 1 

Mặt cầu  S có tâm I1; 2; 1 , bán kính  R3 2

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d

Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022

Khi đó: IH IC u,

u



 

 , với IC0; 2; 2  

; 2x y 3z 4 0

Vậy 62 22 22 66

3

1 4 1

  Suy ra 18 22 4 6

IAB

S  IH AB    

Câu 7 Trong không gian Oxyz cho mặt cầu     2  2 2

S x  y  z  và mặt phẳng

 P : 2x2y z   Gọi 3 0 M a b c là điểm trên mặt cầu  ; ;   S sao cho khoảng cách từ M đến

 P là lớn nhất Khi đó

A a b c  8 B a b c  5 C a b c  6 D a b c  7

Lời giải

Chọn D

Mặt cầu     2  2 2

S x  y  z  có tâm I1; 2;3 và bán kính R3

Gọi d là đường thẳng đi qua I1; 2;3 và vuông góc  P

Suy ra phương trình tham số của đường thẳng d là

1 2

2 2 3

 



  



  



Gọi A B, lần lượt là giao của d và  S , khi đó tọa độ A B, ứng với t là nghiệm của phương trình

1

t

t





 Với 1 3;0; 4  ;( ) 13

3

Với 1  1; 4; 2  ;( ) 5

3

t  B  d B P  Với mọi điểm M a b c trên  ; ;   S ta luôn có d B P ;( )d M P ;( )d A P ;( ) 

Vậy khoảng cách từ M đến  P là lớn nhất bằng 13

3 khi M3;0; 4

Do đó a b c  7

d

P)

M'

M

H I

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/

Câu 8 Trong không gian cho mặt cầu x2y2z2 9 và điểm M x y z thuộc  0; ;0 0

1

2 3

 



  



  



Ba điểm A , B , C phân biệt cùng thuộc mặt cầu sao cho MA , MB , MC là tiếp tuyến của mặt cầu Biết rằng mặt phẳng ABC đi qua  D1;1; 2 Tổng 2 2 2

T x y  bằngz

Lời giải

Chọn B

Mặt cầu  S có tâm O0;0;0 và bán kính R Gọi M1t0;1 2 ;2 3 t0  t0 d

Gỉa sử T x y z ; ;    S là một tiếp điểm của tiếp tuyến MT với mặt cầu  S Khi đó

OT MT OM

                 

1 t x0 1 2t0 2 3t z0 9 0

Suy ra phương trình mặt phẳng ABC có dạng  1t x0  1 2t y0  2 3t z0   9 0

Do D1;1; 2  ABC nên 1  t0 1 2t02 2 3  t 9 0   t0 1M0; 1;5 

Vậy 2  2 2

T     

Câu 9 Cho , ,a b c sao cho hàm số y2x3ax2bx c đạt cực trị tại x1 đồng thời có y 0 2 và

 1 3

y   Hỏi trong không gian Oxyz , điểm M a b c ; ;  nằm trong mặt cầu nào sau đây?

A   2  2 2

5 60

x y  z 

C   2  2 2

x  y  z 

Lời giải

Chọn C

TXĐ: D  , y 6x22a x b , y 12x2a

Theo đề ra ta có:

 

 

1 0

1 0 2

3 2

y y c

a b c

 





 









    



6 2

3 2

b a

c

a b c



  



  



    



1 8 2

a b c







  

 



Vậy M1; 8;2 

Thay tọa độ M vào các phương trình mặt cầu, ta có:

  2  2 2

1 2   8 3  2 5 90M nằm ngoài mặt cầu này

  2  2 2

1 1   8 1  2 1 25M nằm ngoài mặt cầu này

    2 2 2

1  8  2 5 60 M nằm ngoài mặt cầu này

  2  2 2

1 1   8 2  2 3 49M nằm trong mặt cầu này

Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P x: 2y2z 3 0 và mặt cầu  S

tâm I5; 3;5 , bán kính R2 5 Từ một điểm A thuộc mặt phẳng  P kẻ một đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu  S tại B Tính OA biết AB 4

Lời giải ,

Oxyz

Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022

Khoảng cách từ điểm I đến mp(P) là:  ;( ) 5 2.( 3) 2.5 32 2 2 6

1 ( 2) 2

AB tiếp xúc với ( )S tại B nên tam giác AIB vuông tại B, do đó ta có:

IA IB AB  R AB    d I P Alà hình chiếu của I lên (P) Đường thẳng IA đi qua I5; 3;5  có VTCP u n  ( )P 1; 2;2 

có phương trình

5

3 2

5 2

 



   



  



Có A IA ( )P     5 t 2( 3 2 ) 2(5 2 ) 3 0t   t      t 2 A(3;1;1) OA 11

Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong

Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/

Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương

 https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber

Tải nhiều tài liệu hơn tại: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/