Dạng ❺: Bài toán lập phương trình mặt phẳng, đường thẳng có yếu tố cực trị Phương pháp đại số: Gọi véc tơ pháp tuyến hoặc véc tơ chỉ phương của mặt phẳng hoặc đường thẳng cần lập là a;b;
Trang 1Dạng ➊: Tìm điểm M thuộc (P) sao cho u aMA bMB cMC
có u
đạt min
Phương pháp giải:
Tìm điểm I thõa mãn hệ thức aIB bIB cIC 0
tọa độ điểm I là:
1
1
1
ax bx cx x
a b c
ay by cy y
a b c
az bz cz z
a b c
Phân tích u aMA bMB cMC a b c MI aIA bIB cIC a b c MI
Khi đó u a b c MI umin
M là hình chiếu vuông góc của I lên (P)
Viết phương trình đường thẳng IM đi qua I và vuông góc với (P) u IM n P
Khi đó M P IM
Dạng ❷: Tìm điểm M thuộc (P) sao cho T aMA2bMB2cMC2 đạt max hoặc min
Phương pháp giải:
Tìm điểm I thỏa mãn hệ thức aIA bIB cIC 0
Phân tích T aMA 2 bMB2cMC2
=a MI IA 2b MI IB 2c MI IC 2
a b c MI 2 2MI aIA bIB cIC aIA2 bIB2 cIC2
(a b c MI) aIA bIB cIC
Nếu a b c thì T đặt min; 0 a b c thì T đặt max.0
Khi đó T ;max Tmin MImin M là hình chiếu vuông góc của I lên (P)
Dạng ❸: Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA MB min
hoặc MA MB max
Phương pháp giải:
Kiểm tra vị trí tương đối của các điểm A và B so với mặt phẳng (P)
Nếu A và B cùng phía (P) thì bài toán MA MB min
phải lấy đối xứng A qua (P) khi đó
MA MB MA MBA B dấu bằng xảy ra A M B, , thẳng hàng hay M A B ( )P
Chuyên đề
CẦN NẮM
Trang 2Bài toán tìm MA MB max
, ta có MA MB AB M là giao điểm trực tiếp của đường thẳng
AB và (P)
Dạng ❺: Bài toán lập phương trình mặt phẳng, đường thẳng có yếu tố cực trị
Phương pháp đại số:
Gọi véc tơ pháp tuyến hoặc véc tơ chỉ phương của mặt phẳng (hoặc đường thẳng) cần lập là
(a;b;c),(a b c ) 0
Thiết lập một phương trình quy ẩn (a theo b,c hoặc ngược lại) từ một dữ kiện về mặt phẳng chứa
đường, song song hoặc vuông góc Giả sử phương trình thu gọn ẩn là af b c( ; )
Thiết lập phương trình khoảng cách mà đề bài yêu cầu, thayaf b c( ; ) vào ta được một phương trình hai ẩn b;c
Xét hàm khoảng cách d g b c ;
+ Nếu c thì 0 b 0 d d lưu lại giá trị khoảng cách 1 d này 1
+ Nếu c 0 d g b g t t ; b
Khảo sát hàm g t
ta thu được kết quả
Chú ý:
Công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng d A P ;( ) Ax0 2By0 2Cz0 2 D
Công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
d A
u
; với M thuộc
Công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng
1 2
;
;
d
u u
Phương pháp hình học:
Bài toán: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến (P)
lớn nhất, với M là điểm không thuộc d.
Phương pháp giải:
Đường thẳng d xác định đi qua điểm A và có véc tơ chỉ phương là u d
Trang 3
Kẻ MH ( );P MK d MH d M P ;
và điểm K cố định
Ta có d M P ; MH MK
Suy ra dmax MK Khi đó
( )
;
Gọi là mặt phẳng chứa M và d ta có:
(P) d
(P) d d
u
u u ; MA
u ; MA
n
n
n n
Khi đó (P) đi qua A và có véc tơ pháp tuyến là: n(P)u u ; MAd d
Nếu A và B khác phía (P) thì bài toánMA MB max
phải lấy đối xứng A qua (P) bài toán tìm
MA MB min
M là giao điểm trực tiếp của đường thẳng AB và (P)
Dạng ❺: Bài toán tìm điểm M thuộc đường thẳng có yếu tố cực trị
Phương pháp giải:
Tham số hóa điểm M theo phương trình đường thẳng.
Biến đổi giả thiết về dạng yf t
và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm sốyf t
Chú ý:
Tam thức bậc hai: y ax 2bx c a 0
có đỉnh
b I
a a
Bất đẳng thức véc tơ: Cho 2 véc tơ ua b; và vc d; ta có: u v u v
Khi đó a2b2 c2d2 a c 2b d 2
a b
c d
Câu 1 Cho các điểm A (4 ;1;−1) ;B (2 ;3;−2) C (6 ;3 ;−12) và ¿ Tìm điểm M thuộc (P) sao
cho |2MA +3 MB− MC| min Độ dài đoạn thẳng OM là
.
Ⓐ OM =√5 Ⓑ OM = √3 Ⓒ OM =3 Ⓓ OM =9
Lời giải
LUYỆN
Trang 4Câu 2 Trong không gian tọa độ Oxyzcho tam giác ABC có
A (−1 ;2;3 ); B (3; 0;−1) C (1; 4 ;7 ) và ¿ Gọi M (a ;b ;c )là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho M A2
+M B2 +M C2nhỏ nhất Giá trị biểu thức T =a2
+b2 +c2là
.
Ⓐ T =10 Ⓑ T =17 Ⓒ T =21 Ⓓ T =26
Lời giải
Câu 3 Cho các điểm A (0 ;4 ;−2) ; B (1 ;2 ;−1)và¿ Biết điểm M thuộc (P) sao cho biểu thức M A2−2 M B2đạt giá trị lớn nhất Tính OM Ⓐ OM =√6 Ⓑ OM =√3 Ⓒ OM =√2 Ⓓ OM =2 Lời giải
Câu 4 Trong không gianOxyz, cho hai điểm A (1 ;2;1) ;B (2 ;−1;3) Điểm M trên mặt phẳng (O xyz) sao cho M A2 −2 M B2 lớn nhất Khi đó T =x M+y M có giá trị là Ⓐ T =1 Ⓑ T =0 Ⓒ T =−1 Ⓓ T =2 Lời giải
Câu 5 : Trong không gian hệ tọa độOxyzcho điểm A (3 ;1;0 ); B (−9 ;4 ;9)và mặt phẳng (P) có phương trình (P):2 x− y + z+1=0 Gọi I (a;b;c) là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho |IA−IB| đạt giá trị lớn nhất Khi đó tổng a +b +c bằng Ⓐ a+b+c=22 Ⓑ a+b+c=−4 Ⓒ a+b+c=−13 Ⓓ a+b+c=13 Lời giải
Câu 6 Trong không gian hệ tọa độOxyzcho mặt phẳng (P) có phương trình (P): x− y+ 2 z +2=0và 2 điểm A (0 ;1;−2) ;B (2 ;0 ;−3) Gọi M (a;b;c) là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA +MB nhỏ nhất Tính giá trị của T= a+b+ Ⓒ Ⓐ T =−5 Ⓑ T =−1 5 Ⓒ T =−1 Ⓓ T =1 5 Lời giải
Trang 5
Câu 7 Trong không gian hệ tọa độ Oxyzcho ba điểm M (−1;2 ;4 ); A (0 ;2 ;1);B(1;0 ;2) Mặt phẳng ( P)chứa đường thẳng AB đồng thời cách điểm M một khoảng lớn nhất cắt các trục tọa dộ tại các điểm N , P , Q Thể tích Vcủa khối chóp O NPQ là: Ⓐ V =9 2 Ⓑ V =3 2. Ⓒ V =9 Ⓓ V =27 . Lời giải
Câu 8 Trong không gian hệ tọa độOxyzcho các điểm A (1 ;4 ;2) và đường thẳng d : x−1 −1 = y +2 1 = z 2 Mặt phẳng ( P)chứa đường thẳng d đồng thời cách điểm M một khoảng lớn nhất Khi đó khoảng cách từ Ođến ( P) bằng: Ⓐ d=√210 10 . Ⓑ d= √210 30 . Ⓒ d= √21 5 . Ⓓ d= √21 10 . Lời giải
Câu 9 Trong không gian hệ tọa độOxyzcho hai điểm A (1 ;1 ;−1); B (0 ;2 ;1 )và mặt phẳng (P) có phương trình (P):2 x− y−z =0 Gọi d là đường thẳng đi qua A nằm trong mặt phẳng (P), và cách điểm B một khoảng lớn nhất Đường thẳng d cắt mặt phẳng (Oxy) tại điểm Ⓐ Q (0 ;4 ;0 ) Ⓑ Q (1;−2 ;0) Ⓒ Q (0 ;−2 ;0 ) Ⓓ Q (1; 4 ;0) Lời giải
Câu 10. Trong không gian hệ tọa độOxyzcho đường thẳng d : x
1=
y−1
z+2
−1 và hai điểm A (1 ;1 ;−2); B (−1;0 ;2) Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A, vuông góc với đường thẳng d sao cho khoảng cách từ B đến Δ là nhỏ nhất.
.
Ⓐ x−12 =y −1
z +2
z +2
−8 .
Trang 6Ⓒ x−12 =y −1
z +2
z +2
8 .
Lời giải
Câu 11. Trong không gian hệ tọa độOxyzcho hai điểm A (1 ;2;−1); B (3;−1 ;−5 ) và đường thẳng Δ: x +1 2 = y 3= z+ 1 −1 Gọi d là đường thẳng đi qua A và cắt đường thẳng sao cho khoảng cách từ B đến Δ là lớn nhất, đường thẳng d đi qua các điểm nào trong các điểm sau: Ⓐ E (2 ;4 ;−2) Ⓑ F (2 ;3 ;0) Ⓒ G (2; 4 ;0) Ⓓ N (2; 0;0 ) . Lời giải
Câu 12. Trong không gian hệ tọa độOxyz, gọi d là đường thẳng đi qua A (0 ;2 ;1 ), song song với mặt phẳng (P):2 x+ y+ z+1=0 sao cho khoảng cách giữa d và Δ: x−1 1 = y 2= z 1 lớn nhất Đường thẳng d đi qua điểm nào trong các điểm sau: Ⓐ M (1 ;9 ;10) Ⓑ N (1;−9 ;−8) Ⓒ P (1;−9 ;−10) Ⓓ Q (1;9 ;−8 ) . Lời giải
Câu 13. Trong không gian hệ tọa độOxyzcho ba điểm A (−1 ;1;6 ); B (−3 ;−2 ;−4 ) ;C (1;2 ;−1) D (2 ;−2 ;0) Gọi M¿¿làm điểm thuộc đường thẳng CD sao cho tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất Tính S¿a +¿b +¿c¿ ¿ Ⓐ S¿−1 Ⓑ S¿1 Ⓒ S¿−2 Ⓓ S¿2 Lời giải
Câu 14. Trong không gian hệ tọa độOxyz, cho hai đường thẳngΔ1:x 2= y−1 −1 = z 1 và Δ2:x−1 1 = y 2= z +2 1 Một mặt phẳng (P) vuông góc với Δ1, cắt trục Oz tại A và cắt Δ2 tại Ⓑ Tìm độ dài nhỏ nhất của đoạn A Ⓑ.
Trang 7Ⓐ 2√30
Lời giải
Câu 15. Trong không gian hệ tọa độOxyz cho mặt cầu (S1) có tâm I (2 ;1;1 ) bán kính bằng 4 và mặt cầu (S2)có tâmJ (2 ;1 ;5) bán kính bằng 2 ( P)là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu (S1),(S2) Đặt M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm O đến ( P) Giá trị M + m bằng Ⓐ 8 Ⓑ 8 √3 Ⓒ 9 Ⓓ √15 Lời giải
Câu 16. Trong không gian hệ tọa độ Oxyzcho mặt phẳng ¿ và hai điểm A (1 ;1 ;1) ;B (−3 ;−3 ;−3 ) Mặt cầu ( S) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với ( P) tại điểm Ⓒ Biết rằng C luôn thuộc đường tròn cố định Tính bán kính đường. tròn đó Ⓐ R=4 Ⓑ R=6 Ⓒ R= 2√33 3 . Ⓓ R= 2√11 3 . Lời giải
Câu 17. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (0 ;1;1 ), B (3 ;0 ;−1) ,C (0 ;21;−19)và mặt cầu ( S) :¿ ¿ M(a ;b ;c ()) là điểm thuộc mặt cầu ( S)sao cho biểu thức T =3 M A2+2 M B2 +M C2 đạt giá trị nhỏ nhất Tính tổng a + b + Ⓒ Ⓐ a+b+c=0 Ⓑ a+b+c=12 Ⓒ a+b+c=12 5 . Ⓓ a+b+c=14 5 . Lời giải
A (a ;0 ;0) , B (0 ;b ; 0) ,C(0 ;0 ;c ())với a ≥ 4, b ≥ 5,c ≥ 6 và mặt cầu ( S) có bán kính bằng
Trang 82 ngoại tiếp tứ diện OAB Ⓒ Khi tổng OA+OB +OC đạt giá trị nhỏ nhất thì mặt cầu ( S) tiếp xúc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây?
.
Ⓐ √2 x +2 y +2 z +3−2√2=0 Ⓑ .√2 x +2 y−√2 z+6 +3√2=0
.
Ⓒ. √2 x +2 y−2 z+ 3+2√2=0 Ⓓ .2 x+√2 y +2 z+7−2√2=0
Lời giải
Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1 ;0 ;0), B(3 ;2 ;4), C (0 ;5 ;4) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho |MA + MB+2 MC| nhỏ nhất Ⓐ M (1 ;3; 0) Ⓑ M (1 ;−3 ;0) Ⓒ M (3 ;1; 0) Ⓓ M (2 ;6 ;0) Lời giải
Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A (3 ;2;1), B (−2;3 ;6 ) Điểm M(x M ; y M ; z M) thay đổi thuộc mặt phẳng (Oxy ) Tìm giá trị của biểu thức T =x M+y M+z M khi |MA +3 MB| nhỏ nhất Ⓐ −72 Ⓑ 72 Ⓒ 2 Ⓓ −2
Lời giải
Câu 21. Trong không gian cho ba điểm A (1 ;1 ;1), B (−1;2 ;1), C (3 ;6 ;−5) Điểm M thuộc mặt phẳng Oxysao cho M A2 +M B2+M C2đạt giá trị nhỏ nhất là Ⓐ M (1 ;2 ;0) Ⓑ M (0; 0;−1) Ⓒ M (1 ;3 ;−1) Ⓓ M (1 ;3 ;0) Lời giải
Trang 9
Câu 22. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A (2 ;−3 ;2), B (3;5 ; 4) Tìm toạ độ điểm Mtrên trục Ozso cho M A2 +M B2đạt giá trị nhỏ nhất Ⓐ M (0; 0; 49) Ⓑ M (0; 0;67 ) Ⓒ M (0; 0;3 ) Ⓓ M (0; 0; 0) Lời giải
Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyzcho các mặt cầu (S1), (S2), (S3)có bán kính r =1và lần lượt có tâm là các điểm A (0 ;3 ;−1 ), B (−2;1 ;−1), C ( 4 ;−1;−1) Gọi ( S)là mặt cầu tiếp xúc với cả ba mặt cầu trên Mặt cầu 6có bán kính nhỏ nhất là Ⓐ R=2√2−1 Ⓑ R=√10 Ⓒ R=2√2 Ⓓ R=√10−1 Lời giải
Câu 24. Trong không gian Oxyzcho A (1 ;−1 ;2), f ( x )=0 ⇔[¿x=0 ¿x=1 ¿x=3, C (0 ;1 ;−2) Gọi M (a ;b ;c )là điểm thuộc mặt phẳng (Oxy )sao cho biểu thức S= MA MB+2 MB MC+3 MC MAđạt giá trị nhỏ nhất Khi đó T =12 a+12 b+ccó giá trị là Ⓐ T =3 Ⓑ T =−3 Ⓒ T =1 Ⓓ T =−1 Lời giải
Câu 25. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (0 ;0 ;−1), B (−1;1 ;0), C (1 ;0 ;1) Tìm
điểm M sao cho 3 M A2
+2 M B2−M C2 đạt giá trị nhỏ nhất?
.
Ⓐ M(34;
1
2;−1) Ⓑ M(−34 ;
1
2;2)
.
Ⓒ M(−34 ;
3
2;−1) Ⓓ M(−34 ;
1
2;−1)
Trang 10Lời giải
Câu 26. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A (2 ;−3 ;7 ), B (0 ;4 ;1), C (3 ;0 ;5) và D (3 ;3;3 ) Gọi M là điểm nằm trên mặt phẳng (Oyz ) sao cho biểu thức |MA + MB+ MC + MD| đạt giá trị nhỏ nhất Khi đó tọa độ của M là: Ⓐ M (0;1 ;−4 ) Ⓑ M (2;1 ;0) Ⓒ M (0;1 ;−2) Ⓓ M (0;1 ;4 ) Lời giải
Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (2 ;−3 ;7 ), B (0 ;4 ;−3)và C ( 4 ;2 ;5 ) Biết điểm M(x0; y0; z0)nằm trên mp (Oxy)sao cho |MA + MB+ MC|có giá trị nhỏ nhất Khi đó tổng P=x0+y0+z0bằng Ⓐ P=0 Ⓑ P=6 Ⓒ P=3 Ⓓ P=−3 Lời giải
Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A (2 ;1;3), B (1 ;−1;2 ), C (3 ;−6 ;1) Điểm M (x ; y ; z) thuộc mặt phẳng (Oyz ) sao cho M A2 +M B2 +M C2 đạt giá trị nhỏ nhất Tính giá trị của biểu thức P=x + y +z Ⓐ P=0 Ⓑ P=2 Ⓒ P=6 Ⓓ P=−2 Lời giải
Trang 11
Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (1 ;1 ;2), B (−1;0 ; 4), C (0 ;−1 ;3) và điểm M thuộc mặt cầu ( S) : x2+y2+( z−1)2=1 Khi biểu thức M A2 +M B2 +M C2 đạt giá trị nhỏ nhất thì độ đài đoạn AM bằng Ⓐ √2 Ⓑ √6 Ⓒ 6 Ⓓ 2
Lời giải
Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A (2 ;−3 ;7 ), B (0 ;4 ;−3), C ( 4 ;2 ;3) Biết M(x0; y0; z0)∈ (Oxy) sao cho |MA + MB+ MC| nhỏ nhất Khi đó tổng P=x0+y0+z0 bằng Ⓐ P=−3 Ⓑ P=6 Ⓒ P=3 Ⓓ P=0 Lời giải
Câu 31. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S) : x2+y2+( z−3 )2=8và hai điểm A (4 ;4 ;3 ), B (1 ;1 ;1) Gọi (C )là tập hợp các điểm M ∈ (S )để |MA−2 MB|đạt giá trị nhỏ nhất Biết rằng (C )là một đường tròn bán kính R Tính R Ⓐ √7 Ⓑ √6 Ⓒ 2 √2 Ⓓ √3 Lời giải
Trang 12
Câu 32. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (−1 ;2;2), B (3;−1 ;−2), C (−4 ;0 ;3) Tìm tọa độ điểm I trên mặt phẳng (Oxz ) sao cho biểu thức |IA−2 IB+5 IC| đạt giá trị nhỏ nhất Ⓐ I(−374 ;0 ; 19 4 ) Ⓑ I(−274 ;0 ; 21 4 ) Ⓒ I(374 ;0 ;− 23 4 ) Ⓓ I(254 ;0 ;− 19 4 ) Lời giải
Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (−2 ;2;−2); B (3;−3 ;3) Điểm Mtrong không gian thỏa mãn MA MB=2 3 Khi đó độ dài OMlớn nhất bằng Ⓐ 6√3 Ⓑ 12 √3 Ⓒ 5√3 2 Ⓓ 5 √3 Lời giải
Câu 34. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S) có phương
trình là x2
+y2 +z2
−2 x−2 y−6 z +7=0 Cho ba điểm A, M, B nằm trên mặt cầu ( S)
sao cho ^AMB=90° Diện tích tam giác AMB có giá trị lớn nhất bằng?
.
Ⓐ 4 Ⓑ 2
.
Ⓒ 4 π Ⓓ Không tồn tại .
Trang 13Lời giải