(SKKN mới NHẤT) SKKN các bài toán cực trị liên quan đến đồ thị của hàm số f(x)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁTRƯỜNG THPT THỌ XUÂN 5 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Người thực hiện: Lê Ngọc Hùng Chức vụ: Tổ trưởng chuyê

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT THỌ XUÂN 5

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ

CỦA HÀM SỐ

Người thực hiện: Lê Ngọc Hùng Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Đơn vị công tác: Trường THPT Thọ Xuân 5 SKKN thuộc lĩnh vực: Toán học

1 Mở đầu Trang 11.1 Lý do chọn đề tài Trang 11.2 Mục đích nghiên cứu Trang 11.3 Đối tượng nghiên cứu Trang 11.4 Phương pháp nghiên cứu Trang 11.5 Những điểm mới trong sáng kiến kinh nghiệm Trang 1

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm Trang 22.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh

1 Mở đầu 1.1 Lý do chọn đề tài.

Trong môn giải tích đạo hàm là một công cụ mạnh để giải quyết nhiều bai toán.Giữa hàm số và đạo hàm của có nhiều mối liên hệ chặt chẽ.Điển hình là sự đồng biến nghịch biến, cực trị Đạo hàm của một hàm số ngoàiviệc biểu diễn dưới dạng các công thức thì nó còn được biểu diễn dưới dạng đồthị Việc đưa vào đồ thị của để tìm ra tính chất của hàm số cho tanhững bài toán hay

Trong các đề thi hiện nay xuất hiện nhiều bài toán có giả thiết là cho đồ thị củahàm số và yêu cầu chỉ ra các tính chất về sự biến thiên cũng như cực trị vàmột số tính chất khác của hàm số Chính vì vậy tôi chọn đề tài “Các bài toán cực trị liên quan đến đồ thị của hàm số ”

1.2 Mục đích nghiên cứu.

- Giúp học sinh học tốt hơn bài toán liên quan đến đồ thị của đạo hàm

- Tài liệu tham khảo cho học sinh lớp 12 và đồng nghiệp

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

- Học sinh trường THPT Thọ Xuân 5

- Các dạng bài tập liên quan đến đồ thị của đạo hàm

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

- Tìm hiểu những khó khăn khi học sinh khi làm các dạng bài tập liên quan đến

đồ thị của đạo hàm

- Trao đổi với đồng nghiệp

- Tìm tài liệu, phần mềm để vẽ hình ảnh trực quan

- Áp dụng giảng dạy các lớp 12A1, 12A4 trường THPT Thọ Xuân 5

1.5 Những điểm mới trong sáng kiến kinh nghiệm.

Đồ thị hàm số là một trong những kiến thức cơ bản ở chương trình toán giải tíchlớp 12 Việc dạy và học vấn đề này học sinh giúp học sinh hiểu rõ hơn các tínhchất hàm số, trực quan hơn trong các bài toán liên quan đến đồ thị Để học sinh

minh họa, sau đó là bài toán thực tế trong các đề thi thử của các trường trong

năm học 2017-2018

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Chủ đề đồ thị hàm số là một trong những kiến thức cơ bản ở chương trìnhtoán

giải tích lớp 12 Việc dạy và học vấn đề này học sinh giúp học sinh hiểu rõ hơn

các tính chất hàm số, trực quan hơn trong các bài toán liên quan đến đồ thị Nhìn

chung khi học vấn đề này, đại đa số học sinh(kể cả học sinh khá giỏi)thường

gặp những khó khăn, sai lầm sau:

- Các bài toán đều liên quan đến cho đồ thị cùa hàm số từ đồ thị học sinh

tìm ra các tính chất của hàm số hoặc các điểm cực trị, so sánh các giá trị

hàm số, hay tìm số nghiệm phương trình

- Hình vẽ minh họa ở các sách giáo khoa cũng như sách bài tập còn ít “ chưa đủ”

đểgiúp học sinh rèn luyện tư duy từ trực quan đến trừu tượng

- Học sinh chưa thực sự hứng thú và có cảm giác khó hiểu

- Kiến thức đồ thị như: Các phép tịnh tiến, đối xứng học sinh còn chưa thành

thạo

2.3 Giải pháp để giải quyết vấn đề.

Dạng 1: Tìm điểm cực trị của hàm số:

Bài1:Hàm số liên tục trên khoảng , biết đồ thị của hàm số

trên như hình vẽ bên Tìm số cực trị của hàm số trên

A B

C D

Giải:

Đối với dạng này ta chỉ cần tìm xem đồ thị cắt trục

tại mấy điểm mà thôi, không kể các điểm mà đồ thị

tiếp xúc với trục Ta chọn đáp án B

Nhận xét:

a) Xét một thực dương Ta có thể đổi yêu cầu lại là: Tìm ố cực trị của hàm

số hoặc trên thì đáp án vẫn không thay đổi

bằng nhau nhưng mỗi hàm số đạt cực trị tại các giá trị khác nhau

b) Giả thiết ở thí dụ 1 và các thí dụ sau có thể thay đổi theo hướng như sau:

Hàm số liên tục trên khoảng và có đồ thị như hình vẽ Biết

là một nguyên hàm của hàm số Tìm số cực trị của hàm

số trên

x y

1

Bài 2:Hàm số liên tục trên khoảng , biết đồ thị của hàm số

trên như hình vẽ Tìm số cực trị của hàm số trên

?

Giải:

Ta có có đồ thị là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số

theo phương trục hoành sang trái 1 đơn vị Khi đó đồ thị hàm số

vẫn cắt trục hoành tại 1 điểm Ta chọn đáp án B

Bài 3:Cho hàm số có đồ thị của nó trên khoảng như hình vẽ Khi

đó trên , hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

A 1.B 4.C 3.D 2.

Giải:

Đồ thị hàm số là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số theo phương trục hoành nên đồ thị hàm số vẫn cắt trục hoành 1 điểm.Tachọn đáp án A

Bài 4:Cho hàm số xác định trên và có đồ thị của hàm số

như hình vẽ Hàm số có bao nhiêu

Khi đó đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm, ta

chọn đáp án A

Cách 2:Số cực trị của hàm bằng số nghiệm bội lẻ của phương trình

Dựa vào đồ thị của hàm ta thấy phương trình trên có một nghiệm đơn

Bài 5:Cho hàm số liên tục trên Hàm số có đồ thị như

phương xuống dưới đơn

vị.Ta có và dựa vào đồ thị của hàm số , ta suy rađồ thị của

Bài 6:Cho hàm số Biết có đạo hàm và hàm số

có đồ thị như hình vẽ Đặt Kết luận nào sau đây đúng?

A Hàm số có hai điểm cực trị

B Hàm số đồng biến trên khoảng

C Hàm số nghịch biến trên khoảng

D Hàm số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu

Giải:

x

y

2 5

1

x 3

x 2

x 1

Ta thấy trên khoảng đồ thị hàm số nằm bên dưới trục

hoành nên hàm số nghịch biến trên khoảng , ta chọn đáp án C

Bài7:Cho hàm số Biết có đạo hàm

Ta chọn đáp án B.

Cách 2 : đồ thị hàm số là phép tịnh tiến đồ thị hàm số

theo phương trục hoành sang phải 1 đơn vị

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ

và giá trị hàm số đổi dấu từ dương sang âm khi quađiểm

Ta chọn đáp án B

Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hoặc so sánh các giá trị của hàm số dựa vào đồ thị hàm số .

Bài 1:Cho hàm số có đạo hàm là Đồ thị của

hàm số được cho như hình vẽ bên Biết rằng

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trịlớn nhất của trên đoạn

Bài 2: Cho hàm số có đạo hàm là Đồ thị của

hàm số được cho như hình vẽ bên Biết rằng

Tìm giá trị nhỏ nhất

và giá trị lớn nhất của trên đoạn

Bài 3:Cho hàm số có đồ thị hàm số như hình bên Biết

Phương trình có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?

Do nên

Bài 5: Cho hàm số xác định và liên tục

trên , có đồ thị của hàm số như hình

vẽ sau Đặt Mệnh đề nào sau đây

đúng ?

Dạng 3: Tìm khoảng đơn điệu hàm s ố từ đồ thị hàm số

Bài 1:Cho hàm số Hàm số có đồ thị như hình bên Hàm số

đồng biến trên khoảng

Ta có bảng biến thiên :

Xét

Bảng xét dấu :

Chọn đáp án D

Bài 3:Cho hàm số Đồ thị của hàm số như hình bên Đặt

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

S 1

S 2

Như vậy ta có: Ta chọn đáp án A

Dạng 4: Một số bài toán tìm cực trị liên quan đồ thị hàm số

Bài 1:Cho hàm số Hàm số có bảng biến thiên như hình dưới

Vì với mọi (dựa vào BBT) và với

Để có đúng 5 điểm cực trị thì mỗi phương trình đều có hai nghiệm phân biệt khác

Do đó mỗi đường thẳng và phải cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ khác 3 Nhận xét: đường thẳng luôn nằm trên đường thẳng

Ta có: Vậy có giá trị nguyên dương

Vì là nghiệm kép nên không là điểm cực trị của hàm số

Vậy hàm số có điểm cực trị trên khoảng

Hơn nữa nếu các phương trình ; ; đều có 2 nghiệm phân biệt thì các nghiệm đó luôn đôi một khác nhau và khác

Hàm số có nhiều điểm cực trị nhất khi và chỉ khi có nhiều nghiệm nhất

Kết hợp điều kiện , Suy ra .Khi đó, hàm số có đúng 7 điểm cực trị.

Chọn C

Bài 5:Cho hàm số xác định và có đạo hàm trên Biết rằng đồ thị hàm

số

như hình vẽ dưới đây

Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

Tại thì không tồn tại

Dễ thấy đạo hàm đổi dấu khi đi qua các điểm , , , , Vậy hàm số đã cho có 5 điểm cực trị

Chọn D

Bài 6:Cho hàm số là hàm đa thức có và đồ thị hàm số

như hình vẽ bên dưới

Số cực trị của hàm số là

Giải:Vì là hàm đa thức nên và (Dấu được xácđịnh dựa

vào BBT) Từ đồ thị hàm số và , ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số có cực trị

A 2 B 3 C 6 D 5 Giải: Nhận xét: Số cực trị của hàm số bằng số cực trị của hàm số

Suy ra có đúng hai nghiệm phân biệt và

Suy ra có đúng 5 điểm cực trị

Chọn D

Dạng 5: Một số dạng toán khác liên quan đến đồ thị hàm số

Bài 1:Cho hàm số có đồ thị được cho như hình vẽ Hàm số

nghịch biến trên khoảng

Giải:

Đặt , trở thành

Từ đồ thị hàm số và đồ thị hàm số Trên hệ trục

Xét Trên hệ tọa độ ta thấy

trên khoảng .Chọn A.

Bài 2:Cho hàm số

có đồ thị (C) Biết rằng đồ thị (C) đi qua gốc toạ độ và đồ thị

hàm số cho bởi hình vẽ bên Tính ?

Đồ thị hàm số đi qua 2 điểm ta tìm được:

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với

bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.

Qua quá trình giảng dạy trong thời gian vừa qua tôi nhận thấy rằng , tài liệu

“Các bài toán cực trị liên quan đến đồ thị của hàm số ” đã giúp tôi thu

được nhiều kết quả khả quan Học sinh khắc phục được những “sai lầm” và khó

khăn khi gặp bài toán liên quan đến đồ thị của hàm số Thuận lợi cho việc

tăng cường tính trực quan, cũng đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin và dạy

học Từ đó các em học sinh rất thích thú và học tốt vấn đề này Trong quá trình

giảng dạy, tôi tiến hành thử nghiệm với hai lớp: 12A1, 12A4 trong đó sử dụng

các dạng bài tập này để hướng dẫn đối với lớp 12A1 Kết quả kiểm tra thử như

Sau một thời gian áp dụng đề tài này trong giảng dạy tôi thấy số lượng giỏi,

khá, trung bình đã có tăng lên mặc dù chưa nhiều, số lượng yếu, kém vẫn còn

Nhưng đối với tôi, điều quan trọng hơn cả là đã giúp các em thấy bớt khó khăn

x

y

1 5

1

trong việc học tập bộ môn toán, tạo niềm vui và hưng phấn mỗi khi bước vàotiết học

3 Kết luận, kiến nghị.

3.1 Kết luận

Trên đây tôi đã trình bày sáng kiến kinh nghiệm của mình trong việc tìmcác tính chất hoặc so sánh hay tìm số nghiệm phương trình từ đồ thị của hàm số

Với các dạng toán phân các loại khác nhau để học sinh dễ hiểu bài và các

bài tập cập nhật trong các đề thi thử THPT QG của các trường trong cả nước

3.2 Kiến nghị

Trên đây là sáng kiến tôi đã thực hiện đối với học sinh lớp 12 trườngTHPT Thọ Xuân 5 trong năm học vừa qua Rất mong vấn đề này được xem xét,

mở rộng hơn nữa để áp dụng cho nhiều đối tượng học sinh, giúp các em có thêm

tự tin và hứng thú khi học môn Toán./

Tôi xin cam đoan SKKN này của Tôi không sao chép của người khác, của

chính mình những năm trước

Người viết

Lê Ngọc Hùng