D06 toán max min liên quan khối cầu muc do 3

Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nhận đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD làm đường tròn lớn.. Khi đó thể tích lớn nhất của tứ diện ABCD sẽ là: A.. Lời giải Chọn C Gọi G là trọng tâm tam g

Câu 18 [2H2-3.6-3] (THPT Kinh Môn - Hải Dương - 2018 - BTN) Cho tứ diện ABCD, biết tam giác

BCD là tam giác đều cạnh a Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nhận đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD làm đường tròn lớn Khi đó thể tích lớn nhất của tứ diện ABCD sẽ là:

A

3 3 12

a

3 2 12

a

3 12

a

3 4

a

Lời giải Chọn C

Gọi G là trọng tâm tam giác BCD, M là trung điểm CD và H là hình chiếu của A trên

BCD

Do mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nhận đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD làm đường tròn lớn nên G là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Do đó GBGCGDGA

Ta có 2

3

3

a

AG

Trong tam giác ACH có AHAG.Dấu bằng xảy ra khi HG

2

.sin

BCD

a

2

ABCD BCD

a

12

a



Vậy thể tích lớn nhất của tứ diện ABCD sẽ là

3 12

a

Câu 280 [2H2-3.6-3] [LƯƠNG TÂM-2017] Cho mặt cầu  S Có tâm I, bán kính R5 Một đường

thằng  cắt  S tại 2 điểm M , N phân biệt nhưng không đi qua I Đặt MN2m Với giá trị nào của m thì diện tích tam giác IMN lớn nhất?

2

2

2

2

m

Lời giải Chọn D

Gọi H là trung điểm MN , ta có : IH  25m2

Diện tích tam giác IMN :

2

1

2

25 (25 )

2

IMN

Suy ra 25

2

IMN

S  Dấu ‘=’ xảy ra khi 2 2 5

25

2

m  m  m

chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu trên Hỏi thể tích nhỏ nhất của chúng là bao nhiêu?

Lời giải Chọn A

Gọi cạnh đáy của hình chóp là a

Ta có SIJ ~ SMH

2

2 2 2

1

2

12 12

SI IJ

MH SH IH IJ SH HM

SM MH

a

a



2 4

a

a

a a

48

a a   S 8 3

giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng 9, tính thể tích V của khối chóp có thể tích lớn nhất

A V 144 B V 576 2 C V 576 D V 144 6

Lời giải Chọn C

O C

B

S

I

M S

I

Gọi I là tâm mặt cầu và S ABCD là hình chóp nội tiếp mặt cầu

Gọi x là độ dài cạnh SO

Gọi M là trung điểm của SD

2

SI SOSM SD SD 2

2 18

Suy ra OD2 18xx2

Thể tích khối chóp S ABCD bằng 1

3 ABCD

.2

3x OD

18

3x x x

18

3x x

Ta có 2 

18

x x 4 18 

2 2

x x

x



3 18

3

 

   

  Vậy thể tích của khối chóp cần tìm là V576

Câu 33: [2H2-3.6-3] (THPT-Chuyên Ngữ Hà Nội_Lần 1-2018-BTN) Cho mặt cầu  S có bán kính

 

5 cm

R Mặt phẳng  P cắt mặt cầu  S theo giao tuyến là đường tròn  C có chu vi bằng 8 cm   Bốn điểm A, B, C, D thay đổi sao cho A, B, C thuộc đường tròn  C , điểm D thuộc  S (D không thuộc đường tròn  C ) và tam giác ABC là tam giác đều Tính thể tích lớn nhất của tứ diện ABCD

32 3 cm B  3

60 3 cm C  3

20 3 cm D  3

96 3 cm

Lời giải

Chọn A

M H

C

B A

I

Gọi I là tâm của mặt cầu  S và H là hình chiếu của I trên  P Khi đó H là tâm của đường tròn  C và là trọng tâm của tam giác ABC

Đường tròn  C có chu vi bằng 8 cm   nên có bán kính r  4 IH 3

Và tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn  C nên có cạnh bằng 4 3 và có diện tích không đổi Do đó thể tích của tứ diện ABCD lớn nhất  khoảng cách từ D đến ABC là lớn nhất

 H, I , D thẳng hàng Khi đó DH8

max

.8 4 3 32 3