Bài toán cục trị liên quan đến tham số , chuyên đề luyện thi môn toán có phương pháp và lời giải

2. Ôn tập ra sao? Trong kỳ thi THPT quốc gia 2018, nội dung kiến thức trải rộng từ lớp 11 đến lớp 12, trong đó kiến thức lớp 12 là chủ yếu. Thi trắc nghiệm nên nội dung đề thi sẽ trải rộng khắp các kiến thức trong chương trình đã học. Vì vậy cần ôn luyện nắm chắc kiến thức sách giáo khoa tất cả các chương, bài từ lý thuyết tới bài tập. Đặc biệt, với thi trắc nghiệm, lượng kiến thức rộng, học sinh không nên học tủ; không được bỏ bất kỳ phần nào trong sách giáo khoa và bài tập thuộc chương trình lớp 11 và 12, kể cả phần đọc thêm. Tất cả có 15 chủ đề để ôn tập, cụ thể: Lớp 11 có khoảng 15 câu gồm các chủ đề: Lượng giác; Tổ hợp Xác suất; Dãy số Cấp số; Giới hạn Liên tục; Đạo hàm Tiếp tuyến; Phép biến hình; Đường thẳng Mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian; Quan hệ vuông góc.

BÀI TOÁN THAM SỐ m LIÊN QUAN CỰC TRỊ

DẠNG 1 TÌM THAM SỐ m ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ TẠI x0

Bài toán 1: Cho hàm số yf x m ,  Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại điểm x x 0

Phương pháp giải

+ Tìm tập xác định + Tính y'f x m' , 

+ Để hàm số đạt cực trị tại x x 0 thì:

 

0 0

'( , ) 0

f x m

m

f x m

















Bài toán 2: Cho hàm số yf x m ,  Tìm tham số mđể hàm số đạt cực đại tại điểm x x 0

Phương pháp giải

+ Tìm tập xác định + Tính 'y f x m y'( , ); ''f x m''( , )

+ Để hàm số đạt cực đại tại x x 0 thì:  

 

0 0

f x m

m

f x m













Bài toán 3: Cho hàm số yf x m ,  Tìm tham số mđể hàm số đạt cực tiểu tại điểm x x 0

Phương pháp giải

+ Tìm tập xác định + Tính 'y f x m y'( , ); ''f x m''( , )

+ Để hàm số đạt cực tiểu tại x x 0 thì:  

 

0 0

f x m

m

f x m













Câu 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x 3 mx2(2m 3)x 3 đạt cực đại tại

1

x 

Lời giải Chọn B.

+ Để hàm số đạt cực đại x 1thì

2

3

m



Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 3 2  

3

2

Lời giải Chọn A.

2

y x  mx m 

" 2 2

y  x m

Hàm số đạt cực đại tại x 2khi :  

 

" 2 0

y



Câu 3. Hàm số y a sin 2x b cos3x 2x (0x2 ) đạt cực trị tại ;

2

x x Khi đó, giá trị của biểu thức P a 3b 3ab là:

Lời giải Chọn C.

+ Ta có: ' 2 cos 2y  a x 3 sin 3b x 2

2

x x nên ta có hệ phương trình:

1

a

b















Do đó, giá trị của biểu thức P a 3b 3ab1

DẠNG 2 BIỆN LUẬN SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

1 Biện luận số cực của hàm số y ax 3bx2 cx d a  0  *

Ta có: y' 3 ax22bx c  y' 0  3ax22bx c 0 1 

+ Hàm số  * có 2 cực trị   1 có hai nghiệm phân biệt

  1

0 0

a 





+ Hàm số  * không có cực trị   1 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm

  1

0 0

a 





Trang 2

2 Biện luận số cực của hàm trùng phương: y ax 4bx2c a 0

2

0

x







 Hàm số  * có 3 cực trị   1 có hai nghiệm phân biệt khác 0  

  1

0



 

 Khi đó: Hàm số có 2 cực tiểu, 1 cực đại khi a 0

Hàm số có 2 cực đại, 1 cực tiểu khi a 0

 Hàm số có 1 cực trị khi và chỉ khi  1 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm hoặc có 1 nghiệm x 0

 

a b

g



Khi đó: Hàm số chỉ có cực tiểu khi a 0 (nghĩa là có cực tiểu mà không có cực đại)

Hàm số chỉ có cực đại khi a 0 (nghĩa là có cực đại mà không có cực tiểu)

Chú ý: Hàm bậc 4 trùng phương:

 Luôn có ít nhất 1 cực trị

 Nếu có 3 cực trị thì 3 cực trị này luôn tạo thành 1 tam giác cân tại đỉnh thuộc trục oy

VẤN ĐỀ 1 HÀM SỐ y ax 3bx2 cx d a  0

Câu 4. Biết giá trị tham số m   ;a 3 b  c d 3; (với a b c d  , , , ) thì hàm số

yx  m x  mx có cực đại và cực tiểu Giá trị biểu thức

P

a b c d



5

2

5

18

Lời giải Chọn D.

* Hàm số đã cho liên tục và xác định trên D 

* Hàm số có cực đại và cực tiểu (2 cực trị)  y' 3 x22m 3x2m0 có 2 nghiệm phân biệt

2 2



P

a b c d

Câu 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m   2020; 2019 để hàm số

A 2039 B 2021 C 2020 D 2018

Lời giải Chọn C.

2

y  x  x m 

3

y

Có 2020 giá trị nguyên của tham số m

Thầy cô muốn có file Word 38 chuyên đề ôn thi 12 từ có bản đến vận dụng cao thì liên hệ facebook:

https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/ Hoặc số zalo: 0978 333 093

Ngoài ra còn các tài liệu khác : 40 đề ôn thi chuẩn đề thi minh họa 2023 của BGD , 50 câu phát

Câu 6. Biết giá trị tham số m   ;a  b; (với a b  , ) thì hàm số

1

6 3

P

a b



6

6

2

2

Lời giải ChọnB.

3

m

m

 





P

a b



Câu 7. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y 1x3 mx2(2m1)x 3

Lời giải Chọn A.

Ta có :  y x2 2mx2m1

Hàm số có cực trị  y  có 2 nghiệm phân biệt 0    m2 2m  1 0 m 1

Câu 8. Cho hàm số y2x3 3mx26(m1)x 2(m1) với m ¹ 2 Phương trình đường thẳng đi qua

2 điểm cực trị của hàm số trên là:

A y  m24m 4x m 2 m2 B ym 4x m 22

6

m

m

y x

Lời giải

Trang 4

Chọn A.

m

y=f x =æççç x- ö÷÷÷÷f x + - m + m- x m+ - m+

+ Do đó phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị: y  m24m 4x m 2 m2

Câu 9. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số: y| | (2x 3 m1)x23 | | 5m x 

có 3 điểm cực trị

A. ;1

4

 

4

Lời giải Chọn C.

Xét f x( )x3  (2m1)x2 3mx 5 và f x(| |) | | x 3 (2m1)x23 | | 5m x 

Ta có 3 2 a 1 a1là số điểm cực trị dương của hàm số yf x( )

Vậy yêu cầu tương đương với: f x( ) có đúng một điểm cực trị dương

2

(Vì x1  0 m0 lúc đó 2 2 0

3

x   còn x  thì a.c < 0 suy ra m < 0 )1 0

VẤN ĐỀ 2 HÀM TRÙNG PHƯƠNG y ax 4bx2c a 0

Câu 10. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số   4 2 3

1

2

không có cực đại

Lời giải Chọn B.

Ta xét hai trường hợp sau đây:

2

y x   hàm số chỉ có cực tiểu (x 0) mà không có cực đại

 m 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán

TH2: m  1 0  m 1 Khi đó hàm số đã cho là hàm số trùng phương ta có :

 

m

m



Hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại  'y có đúng một nghiệm và đổi dấu từ âm sang dương

khi x đi qua nghiệm này 

 

 

0

m m m









  1 m0

Kết hợp những giá trị m tìm được, ta có  1 m0

Thầy cô muốn có file Word 38 chuyên đề ôn thi 12 từ có bản đến vận dụng cao thì liên hệ facebook:

https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/ Hoặc số zalo: 0978 333 093

Ngoài ra còn các tài liệu khác : 40 đề ôn thi chuẩn đề thi minh họa 2023 của BGD , 50 câu phát

Câu 11. Hàm số y x 42(m 2)x2m2 2m3 có đúng 1 điểm cực trị thì giá trị của m là:

Lời giải Chọn A.

+ Hàm trùng phương có 1 điểm cực trị khi ab 0 m 2 0  m2

Câu 12. Với giá trị tham số m   ;a  b c;  (với a b c  , , ) thì hàm số

y mx  m  m x  m có ba điểm cực trị Giá trị biểu thức làP a 2b2c2:

2

Lời giải Chọn A.

y  mx  m  m x

Hàm số có 3 cực trị

2

0

m

m







2 2 2 10

Câu 13. Với giá trị tham số ma b;  (với a b  , ) thì hàm số ym1x4 3mx25 có cực đại mà

không có cực tiểu Giá trị biểu thức là P a b

a b





 :

2

2

Lời giải Chọn A.

Phương pháp tự luận

  3

y  m x  mx (*)

Trang 6

TH1 : Nếu m 1 , (*) trở thành : 'y 6x0 hay x= 0 , ''y   6 0

Vậy m 1 hàm số đạt cực đại tại x 0

TH2 : Nếu m 1 : (*)

  2

0 3

x

m x

m













Hàm số có cực đại mà ko có cực tiểu

 

1 0

3

0

m

m m

m

 







 Kết hợp 2 trường hợp : m 0;1

DẠNG 2 TÌM THAM SỐ m ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC CỦA

BÀI TOÁN (liên quan hệ thức Vi -et)

VẤN ĐỀ 1 HÀM SỐ BẬC 3: y ax 3bx2cx d a  0

Cách viết phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị của hàm bậc ba:

y ax bx cx d a 

Cách 1: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là: .

18

y y y a

 

Cách 2: Chia y cho y' ta được: y Q x y ( ) 'Ax B

 Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị : yAx B

Câu 14. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 2 3 2  2  2

y x  mx  m  x có hai điểm cực trị có hoành độ x , 1 x sao cho 2 x x1 22x1x2 1

3

3

2

m 

Lời giải Chọn C.

Phương pháp tự luận

Ta có :y' 2 x2 2mx 2 3 m2 1 2x2 mx 3m21,

  2 3 2 1

g x x  mx m  là tam thức bậc hai có  13m2 4 Do đó hàm số có hai điểm cực trị khi và

chỉ khi 'y có hai nghiệm phân biệt  g x có hai nghiệm phân biệt  

  0 

2 13 13

2 13 13

m m











 





(1)

1

x , x là các nghiệm của 2 g x nên theo định lý Vi-ét, ta có   1 2 2







Do đó x x1 22x1x21  3m22m  1 1  3m22m 0 

0 2 3

m m









Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy chỉ 2

3

m  thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Phương pháp trắc nghiệm

Làm như câu trên : chọn từng đáp án , Loại A, B C đúng thì dừng không thử đáp án D

Thầy cô muốn có file Word 38 chuyên đề ôn thi 12 từ có bản đến vận dụng cao thì liên hệ facebook:

https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/ Hoặc số zalo: 0978 333 093

Ngoài ra còn các tài liệu khác : 40 đề ôn thi chuẩn đề thi minh họa 2023 của BGD , 50 câu phát

Câu 15. Với các giá trị thực của tham số m a hoặc m b (với a b a b ; ,  ) thì đồ thị hàm số

y x  m x  m  m x m  có hai điểm cực trị và hoành độ x , 1 x thoả mãn2

 1 2

1 2

a b P

a b







13

13

13

13

P 

Lời giải Chọn C.

* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên¡

* Để hàm số có hai cực trị thì y' 3 x24m1xm2 4m10 1  có hai nghiệm phân biệt

 

'

2

y





* Khi có cực trị, hoành độ cực trị y x x là nghiệm của phương trình 1, 2  1

x x



Trang 8

* Theo định lý Viét:  

 

2

m

* Thay 4 vào 3 , ta được:  

  2

2

0

5

3

m

m











* Kết hợp  2 ta được : m 1 và m 5thỏa yêu cầu bài toán

2 2

2 13

a b

P

a b





Câu 16. Tìm tất các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 3 ( 3) 2 4 3 3

3

y x  m x  m x m  m đạt cực trị tại x x thỏa mãn 1, 2  1 x1x2

1

m m

 



Lời giải Chọn D.

y x  m x m

Yêu cầu của bài toán  y0 có hai nghiệm phân biệt x x thỏa mãn: 1, 2  1 x1x2

   

   

2

3 1

m m

  









Câu 17. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số   y x3 3mx2(m 1)x2có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương

Lời giải Chọn D.

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi PT y  có hai nghiệm phân biệt0

Điều này tương đương  ' 9m2  3(m 1)0 3m2 m 1 0 (đúng với mọi m ).

Hai điểm cực trị có hoành độ dương







0

1 1

3

m S

m m

P

Vậy các giá trị cần tìm của m là m 1

Câu 18. Với các giá trị thực của tham số ma b;  (với ,a b  ) thì đồ thị hàm số

Tính giá trị biểu thức P 2a b. 2

a b





5

5

2

4

P 

Lời giải Chọn B.

* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên¡

2

2

m a

m





 















Cách giải 1.

Gọi x x1, 2 x1x2là hai nghiệm củay'g x 0

2 2

5

a b P

a b



Cách giải 2.

Hàm số có cực đại và cực tiểu (2 cực trị)  y'g x 0có 2 nghiệm phân x x1, 2 x1x2 biệt

x  x  a g   m  m   m

2 2

5

a b

P

a b



Câu 19. Với các giá trị thực của tham số m a

b

 (với a

b là phân số tối giản) thì đồ thị hàm số

y x  mx có 2 điểm cực trị ,A B sao cho tam giác OAB vuông tại O (với O là gốc tọa độ ) Tính giá trị biểu thức P a 2ab b 2

2

P  D P 7

Lời giải Chọn D.

Ta có y'3x23m

Trang 10

  2

y   x  m

Đồ thị hàm số (1) có 2 điểm cực trị  PT  * có 2 nghiệm phân biệt m0 ** 

Khi đó 2 điểm cực trị A m;1 2 m m , B m;1 2 m m

2

         

( thỏa mãn)

2

m 

Câu 20. Tìm các giá trị của tham số mđể đồ thị hàm số y2x33m 3x211 3 mcó hai điểm cực trị Đồng thời hai điểm cực trị đó và điểm C0; 1  thẳng hàng

Lời giải Chọn A.

Phương pháp tự luận

2

y  x  m x

3

x







Hàm số có 2 cực trị  m3

Khi đó đồ thị hàm số đã cho có 2 điểm cực trị A0;11 3 m; B3 m m; 3 9m224m16

AB  m  m

Phương trình đt AB : 3 m x y2  11 3 m0

, ,

A B C thẳng hàng  CAB

Hay :  1 11 3 m 0 m4

Phương pháp trắc nghiệm

Thay từng đáp án là OK.

Câu 21. Với các giá trị thực của tham số m a hoặc m b (với ,a b  ) thì đồ thị hàm số

 

y x  m x  mx có hai điểm cực trị ,A B sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường

thẳng: y x 2 Tính giá trị biểu thức P a b2 2

a b





2

2

2

4

P 

Lời giải Chọn C.

Ta có : y6x2 6m1x6m

y

x m







Điều kiện để hàm số có 2 điểm cực trị là : m 1

Ta có : A1;3m 1 B m m ; 33m2

Hệ số góc đt AB là : k m12

2

m m







2 2

1 2

a b

P

a b





Câu 22. Tính theo m khoảng cách giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu ( nếu có) của đồ thị hàm số:

1

1 3

y x  mx  x m 

2

Lời giải Chọn C.

Cách 1:

y x  mx

2

1 0



     , suy ra hàm số có 2 cực trị m.Gọi x x là hai nghiệm của pt 1, 2 y 0

2

a b P

a b



2

x i m A

x m

x

  

Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

A x    x  B x    x 

2

Cách 2: Sử dụng công thức

3

4e 16e AB

a



2 3 9

b ac e

a





Trang 12

   

a

Câu 23. Với các giá trị thực của tham số m a 10

b

d

 (với , , ,a b c d  ) thì đồ thị hàm

thẳng có phương trình : y3x d  Tính giá trị biểu thức P a b2 2

c d





104

104

104

104

P 

Lời giải Chọn A.

2

y  x  mx

Hàm số có 2 cực trị m  21

Bấm máy tính:

6973 1999958

x i m A

x m

  

2

y   x  

2

2

m

3 10 2

m

2 2

a b

P

c d







Câu 24. Tìm các giá trị của tham sốm để đồ thị hàm số: y x 3 3x2 mx2 có điểm cực đại và điểm cực tiểu cách đều đường thẳng có phương trình: y x 1 d

0 9 2

m m









2

m 

Lời giải Chọn A.

2

y  x  x m

Hàm số có 2 cực trị m  3 , gọi x x là hai nghiệm của phương trình 1, 2 y  , ta có: 0 x1x2 2

y  x  

Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là: 1 1 2 2

A x   x    B x   x   

Gọi I là trung điểm của AB I1;m

Yêu cầu bài toán

0

1 1

m

I d

m m







 Kết hợp với điều kiện thì m 0

Câu 25. Với các giá trị thực của tham số ma hoặc m b (với ,a b 

  ) thì đồ thị hàm số

3 3 2 3 3

y x  mx  m có hai điểm cực trị A,B và tam giác OAB có diện tích bằng 48 Giá trị biểu thức

3 2 3

P a  b là:

Lời giải Chọn D.

2

y  x  mx x x m

' 0

y   0

2

x





Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi :2m 0  m 0 (1) Khi đó, các điểm cực trị của đồ thị hàm số là A0;3m , 3 B m m2 ; 3

Ta có: OA 0;3m3

 OA3m3 (2)

Ta thấy A Oy  OA Oy  d B OA , d B Oy ,  2m (3)

2

OAB

S  OA d B OA  m

3m 48  m 2 (thỏa mãn (1) )

3 2 3 24

Câu 26. Với các giá trị thực của tham số ma 2 b hoặc m c 2 d (với , , ,a b c d 

  ) thì đồ thị hàm số y x 3 3mx23(m21)x m 3m có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ

O Giá trị biểu thức

3 3

3 3

a b P

c d





13

4

P 

Lời giải Chọn C.

Trang 14

Hàm số (1) có cực trị thì PT y 0 có 2 nghiệm phân biệt

Khi đó, điểm cực đại A m(  1;2 2 ) m và điểm cực tiểu B m(   1; 2 2 )m

3 2 2

m

m

 



3 3

a b

P

c d





Câu 27. Với các giá trị thực của tham số m a b 3

c

2

e

m d  (với , , , ,a b c d e 

  và b

c

phân số tối giản ) thì của đồ thị hàm số: y x 3 3mx2 đi qua 2 điểm cực trị, đồng thời đường thẳng qua 2 điểm cực trị cắt đường tròn tâm I1;1 bán kính bằng 1 tại 2 điểm , A B mà diện tích tam giác IAB

lớn nhất Giá trị biểu thức

a b c d e P

a b c d e

   

4

3

5

3

P 

Lời giải Chọn B.

2

y  x  m

y

 

  



Khi đó tọa độ 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là: M m; 2 m m2

 ; 2 2

N  m m m  MN   2 m m m; 4 

Phương trình đt MN : 2 mx y  2 0

( Học sinh có thể dùng cách lấy y chia cho y)

IAB

S  IA IB AIB AIB

2

d I MN

2

m m





3 1 2

m

4

a b c d e

P

a b c d e

   

Câu 28. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để điểm M m m tạo với hai điểm cực đại, cực tiểu(2 ; )3

của đồ thị hàm số y2x3 3(2m1)x26 (m m1)x1 ( )C một tam giác có diện tích nhỏ nhất