Lý thuyết nhóm và ứng dụng vào Vật lý học lượng tử part 1 pot

Cấu trúc đại số Với các khái niệm tập hợp oà ánh xạ, ta có thể xác định một số phép tính đại số hay luật hợp thành như phép cộng, phép nhân, có những tính chất nào đó hết hợp, giao hoán

NGUYỄN HOÀNG PHƯƠNG

LY THUYET NHOM VA UNG DUNG VAO VAT LY HOC LUONG TU

NHÀ XUẤT BẢN KHOA HỌC VÀ KỸ THUẬT

HANOI - 2002

3 Tính chất đối xúng của các cấu trúc uật chết như tinh thể, phân tử, các hạt cơ bản, dẫn đến những phương pháp phân loại các mức tức năng lượng, mức

“khối lượng”), hay một số đại lượng bhúc

Tính chất đối xứng của các đối tượng tự nhiên có thể "tính toán" bang mot

bộ môn toứn học trừu tượng gọi là lý thuyết nhóm Nói chung, lý thuyết nhóm đã cung cấp cho Uuật lý học một phương pháp gọn, chính xác, bổ sung cho các phương

pháp khác Trong một số bài toán đặc biệt, có thể nói rằng một số mặt của van dé chỉ có thể giải quyết bằng công cụ lý thuyết nhóm

Do đó, uới sự phát triển hiện nay của tật lý học, phương pháp lý thuyết

nhóm dần dần trở thành một phương pháp khá thông dụng, nói chung khéng thé

Cuốn sách này có mục đích giới thiệu uới bạn đọc những điểm cơ sở nhất của lý thuyết nhóm 0à lý thuyết biểu diễn nhóm, cần thiết cho các lĩnh cực ứng dụng quan trọng nhất trong uật lý học lượng tử

Trước khi đi uào phần chính tác giả xin phép nhắc lại sơ lược một số điềm

cơ sở uề toán học, có liên quan đến sự trình bày sau này

Ngoài ra, có thể định nghĩa khái niệm hợp uà giao của hai tập hợp Hợp của hai tập hợp uới bý hiệu \2 là tập hợp gồm những phần tử của ca hai tap hợp Giao của hai tập hợp uới ký hiệu là tập hợp chỉ gồm những phần tử chung của hơi tập hợp đó Có thể định nghĩa hop va giao cua nhiều tập hợp

Mặt khác, trong một tập hợp xác định, có thể xuất hiện những quan hệ nào

đó giữa các phần tử bhác nhau có các tính chất phản xạ, đối xứng uà bắc cau va

#ọi là quan hệ tương đương Cụ thể hơn, x là tương đương uúi x ( tính chất phán

xạ) Nếu x tương đương uói y thì y cũng tương đương uới x (tính chất đổi xứng)

Cuối cùng, nếu x tương đương uới y uà y tương đương UỚI z, thì x cling tương đương uới z (tính chất bắc cầu) Chang han, quan hệ bằng nhau giữa các số của tập hợp

số là một quan hệ tương đương Quan hệ dồng dạng (hai ma trận A va A’ goi la đồng dạng uới nhau nếu A' =SAS ` uới S là một ma trận nào đó) gi>a các ma trận cũng là một quan hệ tương đương Theo lệ thường, các phần tử có quan hệ tương đương uới nhau làm thành một lớp, chẳng hạn lò lớp các ma tran dong dang vii nhau Lớp các phần tử bằng nhau là loại đơn giản nhất, mỗi lớp chỉ gồm một phan

tử Như thế, uới một quan hệ tương đương xác định, tập hợp chia thành nhiều lớp không giao nhau

Tiếp theo là khái niệm ánh xạ: giữa các tập hợp bhác nhau hoặc giống nhau

có thể có những sự tương ứng nào đó, gọi là ánh xạ Khái niệm hàm la mot vi du Cho hai tập hợp ⁄2uà Yva mot anh xa f;

y=ƒ),x €⁄,y €

Phần tử y gọi ảnh của x Nếu tất cả y e đều là dnh, thì ánh xạ ƒ gọi là

ánh xq lên Trong trường hợp trái lạt, ánh xạ Ƒ gọi là ánh xạ uào Mọi ánh xạ lên 0à một đối một đều nhận một ánh xạ ngược, bý hiệu là Ƒ `

x= fo (y)

Cấu trúc đại số

Với các khái niệm tập hợp oà ánh xạ, ta có thể xác định một số phép tính đại số (hay luật hợp thành) như phép cộng, phép nhân, có những tính chất nào đó (hết hợp, giao hoán, phân bố 0.u ) Từ đó, có thể xây dựng được những cấu trúc đại số cơ bản như sau:

Cấu trúc nhóm, cấu trúc trường, cấu trúc thê, cấu trúc cành, cếu trúc

hhông gian tuyến tính, cấu trúc đại số bết hợp, cấu trúc đại số Lĩe 0.U

Trong số các cấu trúc trên, quen thuộc nhất là cấu trúc trường Chẳng hạn

là trường số thực R, hay trường số phúc C Một đặc điểm chủ yếu của trường số phúc là bín đại số: mọi phương trình đại số có hệ số phúc luôn luôn có nghiệm là

số phức Trái lại, trường số thực không có tính chất kín đại số đó Chẳng hạn

phương trình đại số có hệ số thực x” + 1 = 0, không có nghiệm là số thực

Với cấu trúc trường +, có xác định hai phép tính sau:

]- Phép cộng (ánh xạ từ 4 @ #4 lên ®) có các tính chất:

œ) Giao hoán: aq +b=b+d Uới mọi ad, b € 2

b) Kết hợp: œ + (b + c) = (q + b) + cuới mọi a, b,c c.Z

e) Mọi phân tử đều có phần tử nghịch đảo tương ứng - da

II - Phép nhân (ánh xạ từ @ lên %) có các tính chất sau:

a) Giao hoan: ab = ba vdi moia, b € 4

b) Két hop: a (bc) = (ab)e vdi moi a, b,c 6 #

e) Mọi phần tử a đều có phần tử nghịch đảo tương ứng a `, trừ phần tử

THỊ - Giữa hai phóp tính trên, có tính chất phân bố

vanh ma tran

Cấu trúc không gian tuyến tính được xác định bởi phép cộng giữa các phần tử của tập hợp uà phép nhân các phần tử uới những số phúc (trường hợp thông dụng nhất), thỏa mãn những tính chất quen thuộc nào đó Không gian ba chiều thông thường, bhông gian Minbouski của lý thuyết tương đối, bhông gian

ĐI + 1 chiều của các hàm cầu Y)'(-l sm < U, cde không gian hàm số bhúác nhau,

các bhông gian ma trận là những 0í dụ vé bhông gian tuyến tính Khái niệm về khong gian tuyến tính là cơ sở của môn đại số tuyến tính

Nếu trong cấu trúc không gian tuyến tính n chiều, ta định nghĩa thêm mội phép nhân kết hợp giữa các phần tử, thì không gian tuyến tính biến thành một đại

số hết hợp Ví dụ điển hình là đại số kết hợp các số phức, đại số hết hợp các ma

trận, các toán tử

Về cấu trúc nhóm uà đại số Lie, chúng ta sẽ trình bày trong phan sau Đại số tuyến tính

Đại số tuyến tính nghiên cứu các tính chất của đại số các toán tử tuyến

tính, tác dụng trong không gian tuyến tính nói chung, va trong khong gian Hilbert

nói riêng Không gian HiÌbert là những không gian tuyến tính 0 trong đó có xác

định một tích 0ô hướng, thỏa mãn các tính chất sau-:

(x,¥ + 2) = (x,y) + (x,2) VOL MOL x,y,z EM

(Ax, y) = Ä*(x,y) Uổi mọi x, yeu, AEC,

(x,y) = (y,x)*, uới mọi x, y e «M, dấu * trỏ liên hợp phức

(x,x) >0, uà chỉ bằng không khi x = 0

Một toán tử A gọi là tuyến tính nếu

A (Ax + wy) = AAx + pAy voi mot 2, EC, x, ye Các toán tử tuyến tính A thỏa mãn tính chất:

(Ax, y) = (%, Ấy) UỚI mọi x, y <<

goi la hecmitic

Một toán tử U goi la unita néu

(Ux, Uy) = (x,y) vdi mol x,y © mM

Néu

Ax=ax,x#0aeC thi a goi la tri riéng cua A, con x goi là uectơ riêng tương ứng (bài toán trị riêng) Bài toán trị riêng là tương dương uới bài tính chéo hóa toán tử A Các ma trận

unita uà heemitic đều có thể chéo hóa bằng ma trận unita

Các toán tứ hecmitic có các tính chất chủ yếu sau:

- Các trị riêng là thực

- Các uectơ riêng làm thành một hệ trực chuẩn,

~ Hai toán tử hecmitic giao hoán uới nhau có hàm riêng chung cò ngược lại

Đại số tuyến tính còn nghiên cứu bài tính đưa các dạng toàn phương tẻ

dạng chính tắc Ở đây định luật quán tính được tôn trọng

Một uấn đề tối quan trọng trong đại số tuyến tính là tấn đẻ cơ sở Cơ sở là

những phương tiện ta cần dùng để biểu dién cdc vectd cua không gian tuyến tính,

các toán tử tác dụng trong không gian đó Khi thay đổi cơ sở thì ma trận toán tử biến thành ma trận đồng dạng, tức là các ma trận biểu diễn một toán tử xác định

trong những cơ sở bhác nhau làm thành một lớp Nhưng do phương tiện có thể

chọn tùy ý, nảy ra uấn đề tìm các đại lượng bhông phụ thuộc ào cách chọn cơ sở, các đại lượng này gọi là bất biến Các trị riêng uà uết các toán tử là những bát biến

Về mặt lý uật ly, uới tích uô hướng đại số tuyến tính tiếp cận uà đi sâu cào uật lý học, 0ù những đại lượng cơ bản nhất cua vat lý như chiều dòi, xác suất đều

có thể mô tả bằng những tích uô hướng nào đó

Mặt bhác, do những tính chất nói trên, các toán tử hecmtfic đã trở thành những đại lượng uật lý cơ sở của uật lý học lượng tử: tính bất biến của các trị riêng

các toán tử biểu hiện tính độc lập giữa các tính chất chủ yếu của các hiện tượng vật

lý đốt uới các phương tiện của người nghiên cứu

Cuối cùng, các dạng toàn phương trong uật ly học là bùnh phương chiều dài,

bình phương bhoảng, động năng, thế năng (tại tị trí cân bằng bền)

Bài toán quy đồng thời một số dạng toàn phương uề dạng chóo có ứng dụng

trực tiếp trong bhi nghiên cứu dao động của một hệ nhiều hạt, như dao động của

các hạt nhân phân tử, tính thể

Trong lần tái bản này của cuốn sách, tác gia có thêm y biến sau:

Nếu theo tuyến toán học uề tính chất: Giao hoán, Kết hợp cúa các luật hợp

thành thì, khi Lý thuyết Nhóm nói chung phá ỡ được tính giao hoán mà còn giữ

được tính kết hợp của phép nhân, Lý thuyết Octonion (hay là số Cayley 8 chiều) lại phá uð nốt tính chất kết hợp của phép nhân

Và điều rất đáng ngạc nhiên là

* Một số thuyết Đông phương, như Bát Hướng, Bát Môn chúnh lại là Ly

thuyết Nhóm

* Kinh Dịch Đông phương một phần lớn lại chính là một Lý thuyết

Octomion uới tinh khéng két hop cua n6 va Bat Quai la mot Octonion co so Tam chiều, một sự gặp gở lạ lùng giữa Đông uà Tây

* Mặt khúc, theo cách nhìn riêng của tác giá thì ngay Kinh Dịch cũng có nhiều triển uọng mở được nhiều phương hướng mới trong Lý thuyết các Hạt cơ bản,

chăng hạn là trên Hình Vuông Mặt Trời, mỗi họt là một tích trực tiếp giữa Túứ Tượng va Bát Quái

Các điều nói trên đây đã được tác gia trình bày trong Hội thao Quốc tế vé

Việt Nam hoc tai Ha Noi, thang 7 ndm 1998

Hà Nội tháng 07 năm 2001 NGUYÊN HOANG PHƯƠNG

6

KÝ HIỆU

Nói chung, các tập bợp được ký hiệu bằng các chữ hoa như Ø, 2 (nhóm),

At, N (không gian), S9 (biều diễn) v.v trừ các trường hợp rất thông dụng như nhóm SU (n), 5O (n) v.v

Các vectơ được ký hiệu bằng các chữ in dam

ab, a.b, (a,b) = tich v6 hưởng các vectơ a và b

{a X b] = tich vecto cac vecto a va b

2 | Ø = phép biêu diễn hạ cẩm từ nhóm G xuéng nhom &

9} Ø = phép biéu diễn thượng cẩm từ nhóm Ø6 lên nhóm G

G œ Ø6 = tích trực tiếp các nhóm đ và %%

G @ Ø6 = tích nửa trực tiếp các nhóm Ó và Ø6

z4 ® ⁄2 = tông trực tiếp các dai sé Lie 4 va ⁄2

A ®⁄2 = tông nửa trực tiếp cac dai sd Lie 4 va ⁄2

Về cách đọc các chương xem hướng dẫn, cuối mỗi chương.

CHUONG 1

DAI CUONG VE NHOM

§1 CẤU TRÚC NHÓM

Định nghĩa nhóm

Cho một tập hợp g, trong đó có xác định một luật hợp thành nào đó, gọi

là phép nhân, cho phép lập từ môi cặp phần tử x, v€ Ø một đại lượng xác định nao đó, gọi là #íc{h và ký hiệu là xy

Nếu phép nhân cỏ các tính chất sau:

xxt=x!x =e, voi moi x € G, (1-3)

thì tập hợp Ø gọi là một nhóm (hay cấu trúc nhóm)

Nếu (1-4) đúng với mọi x và vy, thì nhóm đ gọi 1a not nhom giao hodn hay nhom Abel

Voi nhom giao hoán, phép nhân thường gọi là phép cóng Đơn vị ký hiệu

là 0, nghịch đảo của x ký hiệu là — x Nhỏm gọi là nhóm cộng

Nhóm tuần hoàn

Ký hiệu

XX X = XU;

n lần phần tử x" gọi là lầu thừa bậc n của x,

Một nhóm trong đó các phần tử đều là những lũy thừa khác nhau của cùng một phần tử gọi là nhóm tuần hoàn,

Mọt nhóm tuần hoàn tất nhiên là giao hoán

Nhóm hưu hạn, vô hạn và liên tục

với ơ là phép phản chiếu qua một mặt phẳng nào đó, (cũng ký hiệu là ơ), rõ ràng

cũng là một nhóm tuần hoàn, hữu hạn, cấp hai, Phép nhân ở đây cũng hiểu theo nghĩa thực hiện liên tiếp các phép biến đồi thuộc nhóm (phép biến đổi đơn vị và phép phản chiếu ơ), Ta có

Phép nhân là phép nhân thông thường các số phức

Nhom Z, = 7z) là nhóm tuần hoàn điền hình, cấp n

Nhóm Do

Tap hop

Do = he, a, b, cI,

với e là đơn vị và phép nhân xác định như sau

a2? = bẰ=c?=e, ab=ba=c, be=cb=a, ac=eca=sb, (2-3)

và giả sử là kết hợp, rõ ràng làm thành một nhóm, Các phần tử nghịch đảo

a'=a, bt=b, ct =c, Nhóm ©; là một nhóm hữu hạn, cấp bốn giao hoán

Nhóm Ds

Tập hợp

Ds = fe, a, b, C, d, fÌ,

với e là đơn vị phép nhân xác định như sau

a= b*?=c? -e, ab=ca=be=f* =d, ac= ba =ch= d?=f,ad=

và giả thiết là kết hợp, rõ ràng làm thành một nhóm Các phần tử nghịch đảo

tương ứng là

a=a, b!=b, c!=c, dđì=f, f!— d

Nhóm S; là một nhóm hữu hạn, cấp sau, không giao hoán

Nhóm G

Ta hãy xét phân tử CH¿, ở đó hạt nhân € nằm ở tâm của một tử điện

đều và bốn hạt nhân H nằm ở bốn đỉnh của tử điện Các phép quay làm cho

11

phản tử trùng với chính nó (cũng như làm cho tứ điện đều trùng với chính nỏ),

rõ ràng làm thành một nhóm, gọi là nhóm G Nhom @G gém các nhóm con sau:

Bốn nhóm con €3, gdm những phép quay Öạ, C3,

C3 = e quanh bốn trục đi qua một đỉnh và tâm điềm

của mặt đối diện

C

ĐÀO Ba nhóm con 2;, gồm những phần ttr C,, CZ = e,

c 4 \ quanh ba trục đi qua tâm điềm những cạnh đối diện

2 Pn | Nhom @ là một nhóm hữu hạn, cấp 12 (thuộc một

⁄ vs £ loại nhóm gọi là nhóm điểm, như sẽ thấy sau này),

uN Tập hợp tất cả các vectơ a của không gian ba chiêu

Hình 1-1 với phép cộng thông thường, làm thành một nhóm liên

tục, giao hoán, ký hiệu là RẺ

Hổ ràng tập hợp này làm thành một nhỏnh liên tục, giao hoán, kỷ hiệu là Tạ

Tương tự như thể, tập hợp tất cả các phép tịnh tiến trong các khêng gian

tuyển tỉnh n chiêu cñng làm thành những nhóm liên tục, giao hoán, ký hiệu là 1ì Nhóm S0(2)

Ta xét tập hợp tất cả các phép quay g(@) trong mặt phẳng Các phần tử được xác định bằng góc quay (0 < 27)

Phép nhân xác định như sau: ø(ÿ) g(@) = g(p + ®) (2-5)

Đơn vị: e = g(0)

Phần tử nghịch đảo : g"!(p) = g(—g)

Rõ ràng tập hợp trên làm thành một nhóm liên tục, giao hoán, kỷ hiệu là

SO(2) Nhóm „ là nhóm con của nhóm SO(2)

Nhóm SO(3)

Tập hợp tất cả các phép quay trong không gian ba chiều quanh một điềm

cố định nào đó rỗ ràng cũng làm thành một nhóm — kỷ hiệu là SO(3) — với

-phép nhân quan niệm là sự thực hiện hai phép quay liên tiếp nhau Các phần

tử của nhóm ký hiệu là øy (@) với k là trục quay và @ là góc quay

Don vi: e = g, (0), voi mot k

Phần tử nghịch dao: gy! (g) = gy (— 9)

Nhom SO(3) 1a mot nhom lién tuc, khong giao hoán

R6 rang cac nhom G va SO(2) 1a nhitng nhom con cua nhom SO(3),

Như vậy, tập hợp tất cả các ma trận cấp n xác định trên Ö và có định thức khác không làm thành một nhóm liên tục, không giao hoàn với phép nhân ma trận thông thường

Nhóm này gọi là nhóm mút trận cấp n Nhóm ma trận là nhóm điền hình nhất

§3 BẰNG NHÓM

Bảng nhóm

Với các nhóm hữn bạn, một cách trình bày cụ thê phép nhân nhỏm là

dùng bảng nhóm ở đó phép nhân biều thị theo sơ đồ sau

Tất nhiên việc cho bằng nhóm của một nhóm là tương đương với định

Cho một tập hợp n vật 1, 2, ,n, Dễ thấy rằng tập hợp tất cả các hoán vin

vật đó, với phép nhân hiểu theo nghĩa thực hiện các hoán vị liên tiếp nhau, lâm thành một nhóm gọi là nhóm đối xứng, ký hiệu là S„ Các phần tử của nhóm có thé ký hiệu như sau

1 23 n

DỊ Po +++ Pn

với nghĩa là vật I biến thành vật p¡, vật 2 biển thành vật pạ, v.v

1 2 n Phân tử nghịch đảo: gl = IP Pass Pel

1 2 n Nhóm Š„ là một nhóm hữu hạn, không giao hoán Cấp của nhóm bằng n!

Chu trình

Cách ký hiệu trên có ưu điềm là cụ thề, nhưng không nêu được cấu trúc của các hoán vị, một điều rất cần thiết cho sự nghiên cứu các đặc tỉnh của nhóm đối xửng Cần đưa ra khái niệm ebu trình Đề được cụ thê, ta lấy vi dụ sau (n = 8)

ft 2 6 7

5 | 1 6 8 3j

Trước hết, ta lấy phần tử 1, phần tử này biến thành phần tử 2, phần tử 2 lại biến thành phần tử 4, phần tử 4 biến thành phần tử 5, phần tử ö lại biến thành phần tử xuất phát là phần tử 1, Ta nói đã đóng kín một củu /rinh, Chủ trình này ký hiệu là (1, 2, 4, 5) Tiếp theo, ta chọn trong hàng trên của hoán vị một phần tử không có mặt trong chu trình trên, chẳng hạn phần tử 3 Xuất phát

từ phần tử này, tiến hành như trên, ta sẽ được chu trình (3, 7, 8) Cuối cùng, chỉ

còn lại phần tử 6, làm thành một chu trình Như thế, ta có thể viết hoán vị trên đưới dạng tích

Cho hoán vị

¿4 ð

7 3 1

g = (1, 2, 4,5) (3, 7, 8)

(Các chu trình chỉ gồm một phần tử đề gọn thường ta không viết) Theo

cách tiến hành trên, ta thấy các chu trình khác nhau không cỏ phan tw chung Do

đó, thứ tự viết các chu trình không quan trọng

Ta cần lưu ý rằng trong mọi chu trình, ta có thể bắt đầu bằng bất kỳ phần

tử nào của chu trình, Chẳng han, ta có thê viết

(1, 2, 4,5) = (4, 5, 1, 2)

Sõ phần tử của chu trình gọi là chiều dài của chu trình l 8

Chuytn vj

Một chu trình có chiều đài bằng hai gọi là chuyén vi,

Mọi chu trình đều có thể viết dưới dạng tích nhiều chuyền vị, vì dé thay rằng

(SỊ, Sa Sp) == (S¡S;) (Sạ, 83) (Sy, So) (4-1)

Do các chuyên vị khác nhau trong (4-1) có phần tử chung (1a 5), cần tôn

trọng thứ tự các chuyển vị trong biểu thức phân tích trên, Chẳng han (1, 2) (1, 3) =

= (1, 3,2) + (1, 3)(1, 2) = (4, 2, 3)

Các kết quả vừa tìm được cho thấy rằng tất cả các hoán vị đều có thề phân thành tích nhiều chuyển vị,

15

Hoàn vị chăn, lẻ

Một hoán vị gọi là chẵn (lễ), nếu số chuyên vị của hoáu vị là chẵn (lẻ) Dễ

thấy rằng tập hợp tất cả các hoán vị chẵn làm thành một nhóm con của nhóm §„,

ký hiệu là A,, và gọi là nhóm (hay dấu Nhóm Á, có cap bang n!/2

Chẳng hạn, ta cô

As = fe, (1, 2,3), (1, 3, 2)

Nhóm thay đấu có ý nghĩa rất lớn trong ly thuyét biéu diễn một số nhóm

quan trọng và trong việc lập các hàm sóng phản xửng của hệ nhiều hạt đồng nhất,

So dd Young

Ta hãy phân số nguyên n thành tông có dang

n = nị + nạ + , nị > Hạ >» nạ > (1-2) với nị là những số nguyên không âm Sau đỏ ta lấy nô và xếp như sau

1

Các sơ đồ thụ được tương ứng với những biều thức phân tích khác nhau

(4-2), gọi là sơ đồ Young của nhóm đối xứng S„

Sơ đồ Young ký hiệu là {n,, nạ, .}

Chẳng hạn, với n = 3,†a có các sơ đồ Young sau

| {3{ = 13, 0, 0} {2, 1] == {2, 1, 0} {1} = ", 1, 1Ì

Bang Young

Điền các số 1, 2, 3, , n vào các ô của các sơ đồ Young, ta thu được những

bảng gọi là bảng Young của nhóm S„

Một bằng Young trong đỏ các số tăng dần khi chuyền từ trái sang phải

và trên xuống dưởi, gọi là chuẩn,

Chẳng hạn, ta có các bảng Young chuẩn sau :

Toán tử Young (đới xứng hóa từ Young)

Các hoán vị trong mỗi hàng của bảng Young gọi là hoán vị ngàng, ký

hiệu là p Các hoán vị trong mỗi cột gọi là hoán uị dọc, ký hiệu là q

Ta lập tông tất cả các hoán vị ngang theo mỗi hàng rồi lấy tích của các

tong ấy, kết quả thu được ~ ký hiệu là P— có đạng

Sơ đò Young liên hợp

Hai sơ đồ Young gọi là liên hợp với nhau nếu các hàng của sơ đồ này bằng các,cột của sơ đồ kia Đối với các bảng Young cũng thế

Hai bang Young ở trên là liên hợp với nhau

Một sơ đồ Young trùng với liên hợp của nó gọi là ¿ự liên hợp Chẳng hạn,

sơ đồ Young 12?‡ là tự liên hợp

Trong (5-1), cho y = e(e la đơn vị của nhóm ở), dễ thấy rằng

f(e) = e’(e’ la đơn vị của nhom G’) (5-2)

Tương tự như thế, cho y = x", ta dugce ttr (5-1)

f (x}) = £1 (x) voi mọi x € G (5-3)

Nếu ánh xạ f 14 anh xa lén va mot déi mot: x +f (x) thi phép dong cau

gọi là phép đẳng cấu và ta kỷ biện @ ~ Ứ

Khái niệm đẳng cấu cho phép đồng nhất những nhóm có cẩu trúc như

nhau, mặc dù các phần tử của các nhóm đó có thê có bản chất khác nhau (hoản

vị, phép quay, số, ma trận ) Các định lý đại số cho các nhóm đẳng cấu với nhau

đều như nhau

Rõ ràng các nhóm hữu hạn với bảng nhỏm giống nhau là đẳng cấu

Cac nhom AutG, IntG

Một phép đẳng cấu từ G lén chính nó goi 1A mot phép tu dang cấu

Ta hãy chứng minh rằng tập hợp tất cả các tự đẳng cấu của một nhóm

cũng lập thành một nhỏm Nhóm này gọi là nhóm tự đẳng cắu của Ø và ký hiệu

Tiếp theo, vì À; là một tự đẳng cấu nên, theo (5-1), ta có

Aj (xy) = (Àj) (À¡y), x, y Cứ

Từ đó, với mọi phép tự đẳng cấu À; và Á,, ta được,

(AjA)) (xy) = À¡[(Am) (Ajy)] = À¡@ yj) = (Am) (Awj) = (À¡Âj) X (À¡Â)) y

Như thế A;A; cũng là một phép tự đẳng cấu, phép nhân như thế là kin

Đơn vị là phép tự đẳng cấu không làm thay đôi mọi phần tử của đ, còn phần tử nghịch đảo của A; là phép tự đẳng cấu Á;! xác định bởi đẳng thức

Ay! x’; = Xx,

Như thế, tập hợp tất cả các phép tự đẳng cấu làm thành một nhóm,

Trong hàng ngũ các tự đẳng cấu, các tự đẳng cấu xác định bởi công thức

Xoxr =axat, rEg trong do a là một phần tử xác định của G, goi 1a cac ur đẳng cấu trong Các tự đẳng cấu trong lập thành một nhóm, ký hiệu là Intớ Các tự đẳng cấu khác các

tự đẳng cấu trong gọi là w đẳng cấu ngoài

Chẳng hạn, với nhóm 9; có bằng nhóm (3-2)

elabe ajechb bicea

c ibae

thì nhóm gém 6 hoán vị khác nhau sau đây giữa các phần tử a, b, e chính là nhóm

tự đẳng cấu cla Do:

Sự nhúng nhóm

Khi một nhóm đ đẳng cấu với một nhóm con nào đỏ của một nhóm khác

Ø thì ta nói rằng nhóm G co thê đặt náo (hay nhúng ảo) nhóm Ớ Một nhóm Ớ

có thẻ đặt vào một nhóm 7? khác bằng nhiều cách khác nhau Chẳng hạn, nhóm

đối xứng S„-¡ là dẫng cấu với nhiều nhóm con khác nhau của nhóm Ñ,, các nhóm con này thu được bằng cách lần lượt dé nguyên phần tử thử ï, (i = 1, , n) trong các hoan vi Nhu thé la nhom S,_, có thê đặt trong nhỏm Š„ bằng nhiều cách

khác nhau

Một trong những vấn đề lớn đặt ra là xét cấu trúc của tất cả các nhóm hữu hạn Nhóm đối xứng §„ đóng vai trò quan trọng trong vấn đề này, như sé thấy ở định lý sau

G = fay, đa, tees a,|

Ta hay lấy một phan tt thy y g EG va xét t&t ca cac tich

b; = ga; € G; (i = 1, sees n)

Cac b} G@ =1, , n) déu la khac nhau vì, nếu bị = by, jak, thi hoa ra

aj = a, voi j +: k, la một điều trái với giả thiết Thành thử, tập hợp {[bị, bạ, bạ]

chính là nhóm G va chi khác tập hop fa, a9, a,} 6 thứ tự các phần tử, Như

thế, ửng với mỗi phần tử g€ đ ta có một hoán vị xác định có dạng

po ax (A Azer ty

Ð b, 1 bo 20M b

Các hoán vị P, và P; tương ứng với hai phần tử khác nhau g vàh € đ là khác nhau, vì nếu P, = P\ạ thì, từ các đẳng thức ga; = ha, ( = J, n) hoa ra ta được g = h Tiếp theo, giả sử

Ảnh f(Ø) của ý là một nhóm con cấp n của nhom S, Dinh lý Cayley được chứng minh

Từ định lý Cayley ta rút ra được kết luận rất quan trọng sau Vì nhóm S,

là một nhóm hữu hạn, nên nó chỉ có một số giới nội nhóm con Do đó, số nhóm

hữu hạn cùng cấp không đẳng cấu với nhau là giới nội

$6, TẬP HỢP SINH

Định nghĩa

Goi & la mot tap hop con cua nhĩm hữu hạn G Thé thi tập hợp tất cả

các tích mà các nhân tử là các phần tử của & goi 1a (dp hợp sinh bởi % và ký

hiệu là < 4>» Trong <<#X >, các tích khác nhau cho một kết quả như nhau

đều xem như ruột phần tử duy nhất Các phần tử của # gọi là phần tử sữnh Nếu <⁄ > = Ĩ, thì % gọi là đập hop sinh cha nhĩm G

Hạng của nhĩm

Số phần tử độc lập của 4 khi < >> = Ø gọi là hạng của nhĩm G (mot

phần tử nào đỏ gọi là độc lập với một số phầu tử khác, nếu phần tử này khơng thê biêu diễn được theo các phần tử đĩ) Chẳng hạn các nhĩm tuần hồn @,

đều co hang 1, vi moi phần tử của #Z„ đều là lũy thừa của một phần tử nào đĩ (chang tan phan tit C,) của %7„

Nhĩm S2; cĩ hạng 2, vì tập hợp sinh cĩ thể chọn là a và d (a với d độc lập

với nhau) Ta cĩ

b=ad,c=ad?, f=d?, e=a.,

Nhĩm cộng các số nguyên cĩ hạng bằng 1, phần tử sinh là e = 1, các phần

tử khác nhau của nhĩm cĩ dạng ne,

Nĩi chung, nếu đ là một nhỏm Abel cĩ k phần tử sinh e;, , e, thi moi

phần tử x của G d&u co dang

X= mje) + + nye,, (My ny là số nguyên)

§7 CAC LOP KE VA BINH LY LAGRANGE

Cho Ø6 là một nhĩm con nào đĩ của nhĩm Ở và a € Ớ Thế thì tập hợp aØ6

gọi là lớp kề đrái của nhĩm Ø theo nhĩm con ỚØ6, xác định bởi phần tử a

Tất nhiên, vì c€Ø%%, nên a<€ a%6

Mặt khác, nếu b € aØ6, tức là b = ah, h, € M, thì

bØ6 = ah¡Ø6 = a

do h¡@6 = Ø6 Như thế, mọi phần tử tùy ý của lớp kề trái đều cĩ thể đại diện

cho cả lớp kề đĩ, và bai lớp kề trái hoặc hồn tồn trùng nhau hoặc khơng cĩ

phần tử chung

Thành thử, nhĩm đ được phân thành một tập hợp nhiều lớp kề trái khơng giao nhau theo nhĩm con Ø6 Ta nĩi cĩ sự phán (ích Lagrange trái của nhĩm G theo nhĩm con Ø#, Một trong các lớp kề trái chính là Ø khi a € Ø6

Sự phán tích Lagrange phải cũng định nghĩa tương tự như thế Ví dụ

S3 = #6 + (1, 3) Ø% + (2,3) %,

% = je, (1, 2)], (1, 3)96 = {Q 3), (1, 2, 3)], @, 3)Ø6 = [02 3), (1,3, 2)|

Ss = Ø6 + Ø( 3) + Ø6Q, 3)

với

với

4G, 3) = {Q, 3), (, 3, 2)}, F6(2, 3) = {(2, 3), (1, 2, 3)|

Chi số của một nhóm con

Số lớp kề phải hay trải trong biều thức phân tích Lagrange cua G theo nhóm con goila chỉ số của nhóm đó trong nhóm đ, và ký hiệu là h

Chẳng hạn, nhóm con Ø# nói trên có chỉ số bằng ba Nhóm con fe, d, f} của nhóm S2; có chỉ số bằng hai, vi

Định nghĩa Nếu b = xax , a, b, x€ đ thì b gọi là liên hợp oới a do x

Tính phản xa: a lién hop voi a (cho x = e)

Tính đối xứng: a liên hợp với b, khi b liên hợp với a, via = yby? với

Tính bắc cầu: nếu e liên hợp với b và b liên hợp với a thì e liên hợp

voi a, Qua vay, tt b = xax', c = zbz', ta suy ra ngay e = (Zx)a(Zx)'`

Lớp các phần tử liên hợp

Quan hệ giữa hai phần tử liên hợp với nhau thỏa mãn ba tỉnh chất của

quan hệ tương đương Theo thường lệ, quan hệ tương đương này dẫn đến sự phân

nhóm thành từng lớp không giao nhau, mỗi lớp gồm những phần tử liên bợp với nhau và gọi là lớp các phần tử liên hợp

Nói tóm lại, lớp các phần tử liên hợp chứa a, ký hiệu là [a], gồm tất cả các phần tử có dạng xax-! khi x chạy khắp nhóm, Mọi lớp đều được xác định bởi dai biéu a của nó Ta lưu ý rằng a có thể là bất kỳ phần tử nào của lớp

Theo định nghĩa ta có [e] = e, ,

Với các nhóm giao hoán, theo định nghĩa ta có [a] = a, tức là số lớp bằng cấp của nhóm

Các lớp của nhóm ®S;

Nhóm S9; lâ một nhóm giao hoán Như thế, nhóm này có bốn lớp là e, a,

b và c

Các lớp của nhóm S2);

Nhóm S2; phân thành ba lớp

[e] = e, [a]= {a, b, c{ và [d] = ld, fI

do b = faf!, ¢c = bab}, f = ada}

Các lớp của nhom ©

Tương tự như thế, có thể chứng tỏ rằng các phần tử cha nhom @ (xem I,

§2) phân thành bốn lớp sau:

Phần tử đơn vị e làm thành một lóp,

Bốn phép quay Ô; quanh bốn trục Ố; làm thành một lớp,

Bốn phép quay Cô quanh bốn trục C¿ làm thành một lớp,

Ba phép quay Ô; quanh ba trục Ô; làm thành một lớp

Ta thấy rằng hàng trên và bàng dưới của hoán vị liên hợp xax'' của a là

các kết quả của hodn vi x tac dung lén hang trên uà hàng dưới của a

Vị dụ, nếu

¬.- saa!

Khi viết hoán vị a đưới dạng tích nhiều chu trình, thì phản tử liên hợp

` sẽ là kết quả fhu được bằng cách tác dụng hoán vi # cho mỗi chu trình xax"

Chẳng hạn, với nhóm S, ta có ba lớp sau

{el =e, [cl, 2)] = {d, 2), (2, 3), d, 3)], [q, 2, 3)] ={@, 2, 3,), (1, 3, 2).]

Vấn đề quan trọng đặt ra cho nhóm đối xứng S„ là tìm số lop cha no Ta hãy phân tích một hoán vị nào đó thuộc nhóm Š, thành chu trình Giả sử có vụ

chu trình có chiều đài bằng 1, v; chu trình có chiều đài bằng 2, , v„ chu trình có chiều dài bằng n [Chú ý rằng v„ chỉ co thé bang 1 khiv) =v = = vy =U,

là {A| Như thế, tương ứng với mỗi cấu trúc chu trình (v) là một phản hoạch xác

định {A} của số n Ngược lại, ứng với mỗi phân hoạch {A} cha n là một cấu trúc

chu trình xác định (v), trong đó

y= Ay — Aas

V2 = Ag — Agron

v, n = A, n Như thế, ta thấy rằng số lớp s của nhóm S, bằng số phản hoạch khác nhau của

Số ngưuên n Ví dụ với n = 1, 2, 3, 4ta có các phân hoạch sau

n=1:|A| = [H, s= 1,

n=2:|Al = {2|, [Ú], s= 2,

n= 3: {Al = {3}, |2 1], {1°}, s= 3,

n= 4: {A} = {4}, [3, 1}, {27}, [2, 17}, ||, s = 5.

Tập hợp những phần tử g € đ giao hoán với một phần tử nào đó a€ @

A, = {gl ga= ag, g € GI, goi la chudn héa ut cia phan tu a do

Dễ chứng minh rằng c<, là một nhóm con của Ớ Cấp của YY, bing G/h

với G là cấp của nhóm đ và h là chỉ số của c⁄ƒ, (theo định lý Lagrange)

Với các nhóm giao hoán <ƒ, = ý, h = 1,[a] = a

§ 10 NHÓM CON BẤT BIỂN

Định nghĩa

Mỗi nhóm con Ø# của một nhóm ý gọi là bấ¿ biến, nếu

Đẳng thức trên có thê viết dưới dạng sau

a%6 = Fa,

tức là các lớp kề trái và phải theo một nhóm con bất biến là như nhan,

Theo định nghĩa, ta thấy ngay rằng nhóm con bất biến khi đã chứa phần

tử nào đó, sẽ chứa mọi phần tử liên hợp với phần tử đó hay nói cách khác, nếu

đã chứa một phần tử của lớp [a] thì phải chứa cả toàn thể lớp [a]

Nhóm con bất biến tầm thường: e và bản thân đ

Tất cả các nhóm con của nhóm giao hoán đều bất biến

Tính bất biến của nhóm con không phải là một tính bắc cầu: nhóm con bất biến Ø của một nhóm con bất biến Ø6 của đ không nhất thiết là một nhóm

con bất biển của đ,

25

Nhóm đơn nhóm nửa đơn

Một nhóm gọi là đơn nếu nó chỉ chứa các nhóm con bất biến tầm thường, Tất nhiên các nhóm hữu hạn có cấp bằng một số nguyên /ð đều là đơn

(vi không chứa một nhóm con nào cả) Các nhóm ¿, Ó;, Ở;¿ đều đơn

Một nhóm gọi là nửa đơn nếu nó không có nhóm con bất biến giao hoán nào, kề cả chính nó

Nhóm con có chỉ số hai

Với nhóm con Ø6 của Ø có chỉ số hai, ta có biều thức phân tich Lagrange

Œ = 2U +a# — 9% +a tức là

aH == Goa:

Các nhóm con có chỉ số hai đều là nhóm con bất biến,

Chẳng hạn do la nhom con fe, d, f] cla D3, hay nhóm con A, cla § Tam một nhóm

Tập hợp tất cả các phần tử của một nhóm đ giao hoán với mọi phần tử của nhỏm gọi là ¿ảm của Œ Tâm ký hiệu là Ó:

C = {c| cx = xe cho moi x € GI,

Dễ thấy rằng (ám là một nhóm con bất biến của nhóm

Chẳng hạn, nếu c¡ và c; € thì, theo định nghĩa, ta có

(C¡C;)X = GI(C¿X) = (G¡X)G; = XG) G2),

điều này chứng tổ rằng cạc; € € Mặt khác, do ađ = đa với mọi phần tử a € tất cả các tập hợp kề phải và trái tương ứng với nhau đều như nhau, một điều chứng tỏ rằng đ là một nhóm cơn bất biến của đ

Tâm là chuần hóa tử của toàn bộ nhóm,

Chẳng hạn tâm của nhỏm quaternion Q là z¿ = fe, —e}

Nhan đồng cấu

Cho một phép ảnh xạ đồng cấu f từ một nhóm Ø lên một nhóm G’ Tập hợp tất cả các phần tử của đ được ánh xạ qua đơn vie’ cha G’, ky hiéu la

kernf = {x | f(x) = e’} hay f(kernf) = e’,

gọi là nhân đồng cấu của f

Dựa vào định nghĩa có thể thấy rằng kernf là một nhóm con bất biến của nhóm

Chẳng hạn kernf của S; i Z, 1a Az, kernf cua R F so) là (2kz, k nguyên)

Các nhóm con, nhóm con bất biến của một nhóm cho sẵn quyết định cấu trúc của nhóm đỏ Từ đó, ta thấy vị trí cơ bản của khái niệm nhóm con trong vấn đề nghiên cửu cấu trúc của các nhóm

§11, NHÓM THƯƠNG

Định nghĩa

Cho một nhỏm ở và giả sử Ø6 là một nhóm con bất biến của đ có chỉ số h

Ta hãy xét biều thức phân tích Lagrange;

G = Goa, + Goa, + + Gay, (a — e)

Ta hãy chứng mình rằng tập hợp mà các phần tử là các lớp khác nhau của phân

tích trên làm thành một nhỏm

Quả vậy, tập hợp này gồm h phần tử khác nhau (các lớp kề khác nhau

không có phần tử chung và hoàn toàn vét cạn các phần tử khác nhau của nhóm) Phép nhân trong tập hợp này là một phép nhân kín vì, theo định nghĩa của nhóm con bất biến, ta có:

(26a;) (F6a;) = (PEA) (aja) = Pry

voi ay == aja; (phan tử ay có thể không trùng với một trong các phần ttr aj, aạ, ,

a, 0 trong biểu thức phân tích trên), Nhưng vì ay buộc phải nằm trong một các

lop ké nao do, nén Ga, phai trùng với một trong các lớp kề nói trên, tức là phép

nhân có tính chất kín,

Thử nữa, phép nhán có tính chất kết hợp vì

(26a; [(6a)) (26a)] và [(6a;) (Fea) | (26a) đều bằng Gajajaj

Tiếp theo, phần tử đơn vị là Ø6 (2 Ø6 = Ø6) vì vời mọi a,, ta co

Ø6 (Ø6a,) = (26aj) 9% = Foa;

Cuối cùng phần tử nghịch đảo của Ø6a,là Ø6a¡' Nhóm thu được gọi là

nhóm thương của Ở theo Ø6 và kỷ hiệu là đ/Ø6

G = a,kernf + a,kernf + + a,kernf, a; € G

voi h la chi sé cla nhom con kernf (a; = e)

là một phép đồng cấu Những vì nhân đồng cấu ở đây chỉ gồm có phần tử duy nhất kernf (đơn vị của nhỏm thương nói trên), nên phép đồng cấu trên chỉnh là

một phép đẳng cấu Thành thử ta có

Dinh ly

Trong phép déng ciu f tr Gln G’, thi

đ/kernl = G’

Định ly này đưa phép đồng cấu về phép đẳng cấu

Nói riêng, phép đồng cấu f với kernf = (tâm của G) gọi là phép chữa

nhóm G cho tam @ cua no,

Chẳng hạn với nhóm Q có € = Z, = fe, — e}, taco

Q/E = Qld, ~ De

Nhom pha

Giả sử ⁄⁄4 là một nhóm con của tâm € cla một nhóm G Vị 2 là một

nhóm con bất biến của nhóm ý, nên ta có thê lập nhóm thương

Nếu e là một giao hoán tử thì ©! = b'†a'ba cũng là một giao hoán tử của

bvà a và mọi phần tử liên hợp voi c:

xox'! = (xax')"! (xbx'Ð)*! (xax') (xbx'”), x € đ

cũng là những giao hoán tử (của xax”' và xbx') Đơn vị e luôn luôn là một giao hoán tử (của a và a) Nhỏm con bé nhất của 2 chứa tất cả các giao hoán tử của

9 (tức là nhóm con sinh bởi tất cả các giao hoán tử) gọi là nhóm dẫn xuất của đ,

Một nhóm G gọi là (ích trực (iếp của bai nhóm con Ớy và Ớ; khác nhau của

no neu

1 Các phần tử của các nhóm con khác nhau giao hoán với nhau,

2 Mỗi phần tử của ớ đều có thể phân tích một cách duy nhất đưới dang

$= 0tữ¿ VỚI gì €Ốu 0; € a

Tích trực tiếp ký hiệu là

G=G,@ Ge Các nhóm con G va G2 goi 1a các nhân tử trực tiép cla nhom G va chi co phan

tử chung là đơn vị e của nhóm Có thể mở rong định nghĩa này cho trường hợp nhiều nhân tử,

Các nhóm con Ó, là những nhóm con bat bién chu G Qua vậy, với mọi

ới = Íe, C?,C#|, đ; = fe, C3}

Định nghĩa 2

Cho hai nhóm đ¡ và đ; tùy ý Tập hợp tất cả các cặp (gì, ga) với phép nhân

(21 82) (02) = (810i 828'2) 0u gì € đi ai 8) € p làm thành một nhóm, với đơn vị

e = (©¡, ©;), (c¡ là đơn vị của ý), c; là đơn vị của Ở,)

và phần tử nghịch đảo

(gu 82)” = (8; 8;)- Nhóm này gọi là đính trực tiếp của hai nhóm đi và đ; và cũng ký hiệu như

trên, Các nhóm G, va Ø› biến thành các nhóm con bất biến của G Tất nhiên định

nghĩa này bao trùm định nghĩa trên Cấp của tích trực tiếp bằng tích cấp các nhân tử

gấp của Dy la 4= 2 x 2

29

Từ (13-1) ta thấy rằng tích trực tiếp hai ma trận cỏ tính chất

(A @ B) (A’ @ B’) = AA’ & BB’ (13-2) Tinh chit nay chứng tỏ rằng tập hợp tất cả các tích trực tiép A @ B làm

g9i la nhom (rire giao ba chiều, ky hiệu là O@)

Nhóm này là một nhóm vỏ hạn, không giao hoán

và xác định phép nhân trên tập hợp đó như sau