CHƯƠNG III HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Bài 1 Trong các cặp số , cặp số nào là nghiệm của phương trình a) b) c) Bài 2 Tìm nghiệm tổng quát và vẽ đường thẳng biểu diễn t.
Trang 1CHƯƠNG III: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Bài 1 Trong các cặp số ( ) (2; 4 , 1;3 , 1; 1 , 2;3 , 2; 3− ) ( − ) ( ) ( − )
, cặp số nào là nghiệm của phương trình:
a) 2x y+ − =1 0
b) 2x y+ =8
c) 2x y− =1
Bài 2 Tìm nghiệm tổng quát và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của nó:
a) 2x y− =1
b) x−2y=3
c) 2x−3y=5
d) 4x+0y=12
e) 0x−3y=6
Bài 3 Tìm giá trị của m để điểm A(2; 1− )
thuộc đường thẳng (m−1) x+3my=2m+1
Bài 4 Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất hai ần?
A
2
3x + =1 0
B
1
5x 6 7 1
y
− = + ÷
C
3 0
2
x
y− + =
D
3
4 x y− =0
Bài 5 Cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình 3x y− =7
?
A ( )0;7
B
3 ,0 7
D (2; 1− )
Bài 6 Tìm m để phương trình m−2x−5y= −3
nhận cặp số ( )1;1
là nghiệm
Bài 7 Trong các cặp số ( ) ( ) (2; 4 , 1;3 , 1; 1 , 2;3 , 2; 3− ) ( ) ( − )
, cặp số nào là nghiệm của phương trình:
a) 2x y+ − =1 0
b) 2x y+ =8
c) 2x y− =1
Bài 8 Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sau:
a) 2x−3y=5
b) 4x+0y=12
c) 0x−3y=6
Trang 3HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẦN Bài 1 Kiểm tra mỗi cặp số sau có phải là nghiệm của hệ phương trình tương ứng hay không ?
a) ( )1; 2
và
3 2 7
x y
x y
− =
+ =
b) (−1; 2)
và
3 2 1
x y
x y
− =
Bài 2 Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau và giải thích vì sao:
a)
x y
x y
+ =
− =
b)
3 2 0
2 3 0
x y
x y
− =
c)
3 0 6
x y
x y
+ =
d)
4
x y
x y
− =
− =
e)
2 3
2 4 1
x y
x y
+ =
f)
1 1
2 2 2
x y
x y
+ =
+ =
Bài 3 Vẽ mỗi cặp đường thẳng sau trong cùng một mặt phẳng tọa độ rồi tìm tọa độ giao điểm
của hai đường thẳng đó
a) 2x y− =1
và − + =x y 1
b) 3x+2y=4
và − + = −2x y 5
Bài 4 Minh họa tập nghiệm của mỗi hệ phương trình sau:
a)
2 3 1
3
x y
x y
+ =
b)
2 3
2 0 4
x y
x y
+ =
Bài 5 Vẽ hai đường thẳng ( )d1 :x y+ =2
và ( )d2 :− + = −x y 4
Hỏi đường thẳng ( )d3 : 2x+3y=3
có đi qua giao điểm của ( )d1
và ( )d2
hay không?
Bài 6 Cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ phương trình
8 9 30
5 16
x y
x y
− + = −
?
A ( )2;3
B (5; 4− )
C (6; 2− )
D.(0; 3− )
Bài 7 Tính số nghiệm của hệ phương trình
1
2 2 1
x y
x y
− =
− =
Bài 8 Xác định a b, để hệ phương trình
3 0 7
ax y
x by
+ =
có một nghiệm là ( )3; 4
Bài 9 Kiểm tra mỗi cặp số sau có phải là một nghiệm của hệ phương trình tương ứng hay không?
Trang 4a) ( )1; 2
với
3 2 7
x y
x y
− =
+ =
b) (−1; 2)
với
3 2 1
x y
x y
− =
Bài 10 Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau và giải thích vì sao.
a)
x y
x y
+ =
− =
b)
3 0 6
x y
x y
+ =
c)
4
x y
x y
− =
− =
d)
2 3
2 4 1
x y
x y
+ =
e)
1 1
2 2 2
x y
x y
+ =
+ =
Bài 11 Xác định giá trị của tham số m để hai phương trình sau tương đương: ( ): 5 10
x
I
x y
=
− =
và
3
mx y II
x my
+ =
+ =
Trang 5GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ Bài 1 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế
a)
2 3 1
1
x y
x y
− =
2
2 1
x y
x y
+ =
− + =
6 5 4
x y
x y
+ = −
Bài 2 Tìm a và b để:
a) Đường thẳng y ax b= +
đi qua hai điểm A 5;3(− )
và
3
B ; 1 2
−
b) Đường thẳng ax−8y b=
đi qua điểm M(9; 6− )
và đi qua giao điểm của hai đường thẳng ( )d1 : 2x+5y=17
và ( )d2 : 2x−5y=7
Bài 3 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế
a)
3 2 1
x y
x y
+ = −
+ =
b)
2 3 5 2
2 2 3
x y x y
Bài 4 Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
5 0
5 3 1 5
Bài 5 Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
1,7 2 3,8 2,1 5 0, 4
x y
x y
Trang 6
Bài 6 Giải các hệ phương trình sau:
a)
1 1
1
3 1
5
x y
x y
− =
+ =
(Gợi ý: đặt
1 1
a x b y
=
=
)
b)
2
1
(Gợi ý: đặt
1 2 1 1
a x
b y
−
−
)
Bài 7 Cho hệ phương trình:
( )
ax b y
bx ay
+ = −
(với a b, ∈R
) Tìm giá trị của a và b để hệ
có nghiệm là (x y; ) (= −1; 5)
Bài 8 Cho hệ phương trình:
( ) ( )
2 5 25
(với a b, ∈R
) Tìm giá trị của a và b để hệ
có nghiệm là (x y; ) (= 3; 1− )
Bài 9 Cho hệ phương trình:
8 9
x ay b
+ = +
(với a b, ∈R
) Tìm giá trị của a và b để hệ có nghiệm là ( ) (x y; = 3; 1− )
Bài 10 Tìm giá trị của a và b để đường thẳng ( ) (d1 : 3a−1)x+2by=56
và đường thẳng ( )d2 : 0,5ax+(3b+2) y=3
cắt nhau tại điểm M(2; 5− )
.a
Trang 7GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ
Bài 1 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số
a)
x y
x y
− =
+ = −
b)
2 5 8
2 3 0
x y
x y
− =
;
c)
x y
x y
+ = −
− = −
0,3 0,5 3 1,5 2 1,5
x y
Bài 2 Tìm m để ba đường thẳng sau đồng quy
( )d1 : 4x y− =6;( )d2 :mx+(2m−1)y=2;( )d3 : 2x+3y= −4
Bài 3 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số
a)
2 3 1
x y
5 3 2 2
6 2 2
Bài 4 Giải các hệ phương trình sau:
a)
+ + − =
Bài 5 Ta biết rằng:
Một đa thức bằng đa thúc 0 khi và chỉ khi tất cả các hệ số của nó bằng 0 Hãy tìm các giá trị của
m
và n để đa thức sau (với biến số x) bằng đa thức 0
( ) (3 5 1) (4 10)
P x = m− n+ x+ m n− −
Bài 6 Xác định a và b để đồ thị hàm số
y ax b= +
đi qua điểm A(− −4; 2)
và B( )2;1
Bài 7 Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(−3; 2)
và B 1; 2( )
Bài 8 Đặt ẩn phụ theo hướng dẫn rồi giải hệ bằng phương pháp cộng đại số:
Trang 81 1
2
1
Hướng dẫn: Đặt:
1 2 1 1
u x
v y
−
−
Bài 9 Tìm giá trị của m để nghiệm của hệ phương trình
3 3
x y
x y
− =
− + =
cũng là nghiệm của phương trình 2mx+(m−1) y=3
Bài 10 Tìm giá trị của m để đường thẳng d: 2mx+(m−1)y=2
đi qua giao điểm của hai đường thẳng ( )d1 : 3x+2y=4
và ( )d2 : 2x+3y=1
LUYỆN TẬP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1 (Đề thi vào 10 Hà Nội năm học 2020- 2021) Giải hệ phương trình:
3
1 1
1
x y x y
Bài 2 (Đề thi tuyển sinh vào 10 tỉnh Nam Định năm học 2020 - 2021)
Giải hệ phương trình:
2
2
1
5 2
5
x
y x
y
Bài 3 (Đề thi tuyển sinh vào 10 tỉnh Hà Nam năm học 2020 - 2021)
Giải hệ phương trình:
3 3 5 2
x y
+ = −
Trang 9Bài 4 (Đề thi tuyển sinh vào 10 Chuyễn tỉnh Tây Ninh năm học 2014-2015)
Tìm nghiệm nguyên a để hệ phương trình
2 3 2
2 3 1
+ = +
có nghiệm (x;y) sao cho
x T y
=
là số nguyên
Bài 5 (Đề thi tuyển sinh vào 10 tình Thải Bình năm học 2020-2021)
Cho hệ phương trình:
2 4 5
+ =
( m là tham số) a) Giải hệ phương trình khi m=3
b) Tỉm m để hệ phương trình có nghiệm ( x y; ) thỏa mẫn
2 1
1
x− = −y
Bài 6 (Đề thi tuyển sinh vào 10 Chuyền Toán tỉnh Tây Ninh năm học 2020 - 2021)
Giải hệ phương trình:
3 4
2 3 1
x y
x y
− = −
Bài 7 (Đề thi tuyền sinh vào 10 tỉnh Hà Nội năm học 2018 - 2019)
Giải hệ phương trình
2 2 3
x y
− + =
+ + =
Bài 8 (Đề thi tuyển sinh vào 10 tỉnh Hà Nội năm học 2017 - 2018)
Giải hệ phương trình
2 1 5
Bài 9 (Đề thi tuyển sinh vào 10 Chuyến Toán tỉnh Tây Ninh năm học 2018 - 2019)
Giải hệ phương trình:
)
2 2
( ) 3(
0
x x y
− + =
Bài 10 (Đề thi tuyển sinh vào 10 Chuyên Toán tỉnh Đắk Lắk năm học 2018 - 2019)
Giải hệ phương trình:
Trang 11BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH LIÊN QUAN ĐẾN THAM SỐ
Bài 1 Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình
my m
− =
− = +
Bài 2 Cho hệ phương trình
2
2 1
x ay
ax y
− =
Tìm các giá trị của a để hệ phương trình đã cho có nghiệm thỏa mãn điều kiện
0, 0
x> y<
Bài 3 Tìm các giá trị của m để hệ phương trình:
5
mx y
x my
− =
có nghiệm thỏa mãn điều kiện
0, 0
x> y<
Bài 4 Cho hệ phương trình
2 1
mx y m
x my m
+ =
+ = +
Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phương trình
có nghiệm duy nhất x y, là các số nguyên
Bài 5 Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên
my m
+ = −
Bài 6 Cho hệ phương trình:
4 5
x ay b
bx y
− =
Tìm a b, để hệ có nghiệm x=1;y=2
Bài 7 Xác định a, b để hệ
3 0
y
bx y
− = −
+ + =
có nghiệm (−2;1)
Bài 8 Cho hệ phương trình
1 6
mx y
x my m
− =
+ = +
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn 3x y− =1
Trang 12
Bài 9 Cho hệ phương trình
2
3 5 2 12
x y m
+ = +
+ = +
Xác định giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn
2
x y− =
Bài 10 Cho hệ phương trình
y x m
x y m
− = +
− = −
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất sao cho biểu thức
2 2
P x= +y
đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 11 Cho hệ phương trình:
x y m
− = +
Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y)
mà
2 2
S=x +y
đạt giá trị nhỏ nhất
Trang 13GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1 Bài 1 Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2
và nếu viết thêm chữ số bằng chữ số hàng chục vào bên phải thì được một số lớn hơn số ban đầu
là 682
Bài 2 Cho hai số tự nhiên, biết rằng: tổng của hai số đó bằng 59 và hai lần số lớn bé hơn ba lần
số nhỏ là 7 Tìm hai số đó
Bài 3 Tổng các chữ số của một số có hai chữ số là 9 Nếu thêm vào số đó 63 đơn vị thì số thu
được cũng viết bằng hai chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại Hãy tìm số đó
Bài 4 Tìm hai số tự nhiên, biết rằng hiệu của chúng bằng 1013 và nếu lấy số lớn chia cho số bé
thì được thương là 2 và dư 13
Bài 5 Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng tổng các chữ số của nó bằng 6 và nếu đổi chỗ hai
chữ số của nó ta được một số nhỏ hơn số ban đầu là 18 đơn vị
Bài 6 Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 108 km và ngược dòng 63 km Một lần
khác, ca nô đó cũng chạy trong 7 giờ , xuôi dòng 81 km, ngược dòng 84 km Tính vận tốc thực của ca nô và vận tốc của dòng nước
Bài 7 Một ô tô và một xe đạp chuyển động đi từ hai đầu một quãng đường dài Sau 3 giờ thì hai
xe gặp nhau Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một địa điểm cùng thời điểm thì sau 1 giờ hai xe cách nhau 28 km Tính vận tốc xe đạp và ô tô
Bài 8 Hai địa điểm A và B cách nhau 85 km Cùng lúc, một canô đi xuôi dòng từ A đến B và một
canô đi ngược dòng từ B đến A, sau 1 giờ 40 phút thì gặp nhau Tính vận tốc thật của mỗi canô,
biết rằng vận tốc canô đi xuôi dòng lớn hơn vận tốc canô đi ngược dòng là 9 km/h và vận tốc dòng nước là 3 km/h (vận tốc thật của các canô không đổi).
Bài 9 Đoạn đường AB dài 180 km Cùng một lúc xe máy đi từ A và ô tô đi từ B xe máy gặp ô tô
tại C cách A 80 km Nếu xe máy khởi hành sau 54 phút thì chúng gặp nhau tại D cách A là 60 km Tính vận tốc của ô tô và xe máy ?
Bài 10 Một ôtô đi từ tỉnh A đến tỉnh B với một vận tốc xác định Nếu vận tốc tăng thêm 20km/h
thì thời gian sẽ giảm đi 1h, nếu vận tốc giảm bớt 10km/h thì thời gian đi tăng thêm 1h Tính vận tốc và thời gian đi của ôtô đó
Trang 14GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2
Bài 1 Hai lớp A và B có tổng số 80 học sinh Trong đợt quyên góp sách ủng hộ các bạn học sinh
vùng thiên tai, bình quân mỗi học sinh lớp A ủng hộ 2 quyển; mỗi học sinh lớp B ủng hộ 3 quyển
Vì vậy cả hai lớp ủng hộ được 198 quyển Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh ?
Bài 2 Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể cạn (không có nước) thì sau giờ đầy bể Nếu lúc
đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau giờ nữa mới bể nước Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu mới đầy bể?
Bài 3 Trong chương trình tết trồng cây, hai lớp A và B trồng được tất cả 210 cây Tính số học
sinh mỗi lớp biết mỗi bạn lớp A trồng 3 cây, mỗi học sinh lớp B trồng 2 cây và tổng số học sinh
là 80 học sinh
Bài 4 Hai trường A và B có 420 học sinh thi đỗ vào lớp 10, đạt tỉ lệ 84 % Riêng trường A tỉ lệ
đỗ là 80 % Riêng trường B tỉ lệ đỗ là 90 % Tính số học sinh dự thi của mỗi trường
Bài 5 Hai vòi nước cùng chảy vào một bể sau 4 giờ 48 phút thì đầy bể Nếu vòi I chảy trong 4
giờ, vòi II chảy trong 3 giờ thì cả hai vòi chảy được bể Tính thời gian để mỗi vòi chảy riêng một mình đầy bể
Bài 6 Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng cụ Thực tế, xí nghiệp I vượt
mức kế hoạch 10%, xí nghiệp II vượt mức kế hoạch 15%, do đó cả hai xí nghiệp đã làm được 404 dụng cụ Tính số dụng cụ mỗi xí nghiệp phải làm theo kế hoạch
Bài 7 Hai kho hàng chứa tất cả 450 tấn hàng Nếu chuyển 50 tấn từ kho I sang kho II thì số hàng
kho II bằng số hàng kho I Tính số hàng trong mỗi kho
Bài 8 Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong Nếu người thứ nhất làm 3
giờ, người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc trong bao lâu?
Bài 9 Hai người thợ cùng sơn cửa cho một ngôi nhà thì 2 ngày xong việc Nếu người thứ nhất
làm trong 4 ngày rồi nghỉ người thứ hai làm tiếp trong 1 ngày nữa thì xong việc Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xong công việc?
Bài 10 Hai người dự định làm một công việc trong 12 giờ thì xong Họ làm với nhau được 8 giờ
thì người thứ nhất nghỉ, còn người thứ hai vẫn tiếp tục làm Do cố gắng tăng năng suất gấp đôi, nên người thứ hai đã làm xong công việc còn lại trong 3giờ 20 phút Hỏi nếu mỗi người thợ làm một mình với năng suất dự định ban đầu thì mất bao lâu mới xong công việc nói trên?
Trang 15ÔN TẬP CHƯƠNG III Bai 1 Giải các hệ phương trình sau:
a)
10 9 1
15 21 36
x y
b)
3
2 3 16
x y
x y
− =
+ =
c)
5
2 3 3
x y
x y
+ = −
− =
Bài 2 Giải các hệ phương trình sau:
a)
1 8
18
5 4
2
x y
x y
− =
+ =
b)
10 1
1
25 3
2
Bài 3 Hai công nhân cùng làm một công việc thì 6 ngày xong Nhưng nếu người thứ nhất làm 4
ngày rồi nghỉ, người thứ hai làm tiếp 6 ngày thì mới hoàn thành được
4 5 công việc Hỏi nếu làm một mình mỗi người làm xong công việc đó trong bao lâu?
Bài 4 Tìm hai số dương biết rằng bốn lần số thứ hai cộng với năm lần số thứ nhất bằng 18040 và
ba lần số thứ nhất hơn hai lần số thứ hai là 2002.
Bài 5 Một xe lửa cần vận chuyển một lượng hàng Người lái xe tính rằng nếu xếp mỗi toa 15 tấn
hàng thì còn thừa lại 5 tấn, còn nếu xếp mỗi toa 16 tấn thì có thể chở thêm 3 tấn nữa Hỏi xe lửa
có mấy toa và phải chở bao nhiêu tấn hàng
Bài 6 Hai lớp 9 A và 9 B có tổng số 82 học sinh Trong dịp tết trồng cây, mỗi học sinh lớp
9 A
trồng được 3 cây, mỗi học sinh lớp 9 B trồng được 4 cây nên cả hai lớp trồng được tổng số
288 cây Tính số học sinh mỗi lớp
Bài 7 Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu tăng chiều dài thêm 2 m, chiều rộng thêm 3 m thì diện tích tăng thêm
2
100 m
Nếu giảm cả chiều dài và chiều rộng đi 2 m thì diện tích giảm đi 2
68 m
Tính diện tích thửa ruộng đó
Bài 8 Một thửa vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 72 m Nếu tăng chiều rộng lên gấp đôi và chiều dài lên gấp ba thì chu vi của thửa vườn mới là 194 m Hãy tìm diện tích của thửa vườn đã cho lúc ban đầu
Trang 16Bài 9 Tháng Giêng hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy; tháng hai do cải tiến kỹ thuật tổ I vượt
mức 15% và tổ II vượt mức 10% so với tháng giêng, vì vậy hai tổ đã sản xuất được 1010 chi tiết máy Hỏi tháng giêng mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?
Bài 10 Hai người thợ cùng làm công việc trong 16 giờ thì xong Nếu người thứ nhất làm 3 giờ,
người thứ hai làm 6 giờ thì họ làm được
1 4 công việc Hỏi mỗi người làm một mình thì trong bao lâu làm xong công việc?