Lời nói đầu Phương pháp tính là bộ môn toán học có nhiệm vụ giải đến kết quả bằng số cho các bài toán, nó cung cấp các phương pháp giải cho những bài toán trong thực tế mà không có lời g
Cơ sở lý thuyết
Phương pháp Euler
Trong toán học, công thức Euler là một phương pháp số đơn giản được sử dụng phổ biến nhờ cú pháp gọn nhẹ, nhưng sai số tương đối lớn nên không thích hợp cho các bài toán yêu cầu độ chính xác cao Để đạt được độ chính xác tốt hơn, người ta thường áp dụng các phương pháp khác, trong đó nổi bật nhất là Runge–Kutta bậc 4 (RK4) Khi xét bài toán Cauchy với các giá trị đầu như sau, sự so sánh giữa Euler và RK4 cho thấy RK4 mang lại kết quả chính xác hơn và ổn định hơn trong giải các bài toán vi phân.
Với y = y(t) là hàm cần tìm và y(t) khả vi trên đoạn [a, b], y(a) = y0 là giá trị ban đầu cho trước tại t = a Để tìm nghiệm gần đúng của bài toán trên, ta chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ bằng nhau với h = (b − a)/n.
𝑛 khi đó ta định nghĩa:
Trong phương pháp tích hợp số này, y_{n+1} là giá trị gần đúng của y(t_{n+1}) và được xác định bằng y_n cộng với trung bình của hai số gia Mỗi số gia là một độ dốc ước tính của hàm f tại các thời điểm cách nhau một khoảng thời gian h, tức là hai độ dốc được lấy từ f ở t_n và ở t_n + h Việc kết hợp hai độ dốc này cho ta ước lượng y(t_{n+1}) chính xác hơn so với Euler đơn giản, và là nguyên lý cơ bản của phương pháp Euler cải tiến (Heun) trong giải tích số của các phương trình vi phân y'(t) = f(t, y).
k 1 là số gia dựa trên độ dốc tại điểm bắt đầu của khoảng thời gian, sử dụng y
k 2 là số gia dựa trên độ dốc tại điểm giữa của khoảng thời gian, sử dụng y+𝑘 1 ; b) Ý nghĩa hình học của phương pháp Euler:
Cho điểm (t0, y0) = (a, α) thuộc đồ thị y = y(t), ta vẽ đường tiếp tuyến tại (a, α) với hệ số góc y′(a) = f(a, α); đường tiếp tuyến này cắt t = t1 tại y1, được coi là giá trị gần đúng của y(t1) Tại điểm (t1, y1), ta tiếp tục kẻ đường tiếp tuyến có hệ số góc f(t1, y1) và đường này cắt t = t2 tại y2, là giá trị gần đúng của y(t2).
Phương pháp Runge-Kutta bậc 4
Trong giải tích số, phương pháp Runge-Kutta là một trong các kỹ thuật giải phương trình vi phân phổ biến nhờ tính ổn định và hiệu quả tính toán Có nhiều biến thể của Runge-Kutta, nhưng trong đề tài này chúng ta tập trung vào thành viên được biết đến rộng rãi nhất của nó là Runge-Kutta bậc 4 (RK4) RK4 nổi tiếng bởi độ chính xác cao mà vẫn duy trì chi phí tính toán ở mức hợp lý, khiến nó trở thành lựa chọn hàng đầu cho nhiều bài toán mô phỏng và phân tích động lực học.
Xét bài toán Cauchy với các giá trị đầu như sau:
Với y = y(t) là hàm cần tìm, khả vi trên đoạn [a; b], y0 là giá trị ban đầu cho trước tại t = a Để tìm nghiệm gần đúng cho bài toán trên, ta chia đoạn [a; b] thành n đoạn con bằng nhau với h = (b − a)/n, từ đó ước lượng giá trị của y tại các điểm trên [a; b] và có thể áp dụng các phương pháp số như Euler hoặc Runge–Kutta để thu được nghiệm gần đúng.
𝑛 khi đó ta định nghĩa:
Trong đó y_{n+1} là giá trị gần đúng của y(t_{n+1}), được xác định bằng y_n cộng với một trung bình có trọng số của bốn số gia, trong đó mỗi số gia là một độ dốc ước tính của hàm f tại các thời điểm cách nhau bởi khoảng thời gian h Đây là mô hình của phương pháp Runge–Kutta bốn cấp để giải bài toán vi phân, khi các độ dốc này được kết hợp bằng các trọng số nhằm cho ra giá trị y_{n+1} chính xác hơn.
k 1 là số gia dựa trên độ dốc tại điểm bắt đầu của khoảng thời gian, sử dụng y (phương pháp euler)
k 2 là số gia dựa trên độ dốc tại điểm giữa của khoảng thời gian, sử dụng y+ ℎ
k 2 là số gia dựa trên độ dốc tại điểm giữa, nhưng sử dụng y+ ℎ
k 4 là số gia dựa trên độ dốc tại điểm cuối của khoảng thời gian, sử dụng y+ℎ𝑘 3
Trong đánh giá tích phân, trọng số của các giá trị hàm f được phân bổ sao cho các giá trị tại các điểm giữa nhận trọng lượng lớn hơn các điểm ở biên Với bốn giá trị hàm, trọng lượng tại điểm giữa trở nên nổi bật Nếu f độc lập với y và các phương trình vi phân được quy đổi thành một tích phân đơn giản, công thức sẽ trở thành một nhánh của công thức Simpson.
Do phương pháp Runge-Kutta là một phương pháp bậc 4, có nghĩa là sai số cắt cục bộ bậc O(h 5 ) trong khi tổng lỗi tích lũy là bậc O(h 4 ).
Phương pháp chia đôi
Xét phương trình f(x)=0 với hàm liên tục trên một khoảng đóng hoặc mở nào đó, và giả sử phương trình có nghiệm chính xác p trong khoảng cách li nghiệm [a,b] với f(a)·f(b) < 0 Đặt a0=a, b0=b, d0=b0−a0=b−a và x0 là điểm giữa của đoạn [a0,b0] Tính giá trị f(x0) Nếu f(x0)=0 thì x0 chính là nghiệm Ngược lại, ta xét dấu của f(x0): nếu f(x0)·f(a0) < 0 đặt a1=a0, b1=x0; nếu f(x0)·f(b0) < 0 đặt a1=x0, b1=b0 Như vậy ta thu được [a1,b1] = [a0,b0] và độ dài d1 = b1−a1 = d0.
2 Tiếp tục quá trình chia đôi như vậy đến n lần ta được các kết quả:
Như vậy, dãy {a_n}_{n=0}^∞ là dãy tăng và bị chặn trên, còn dãy {b_n}_{n=0}^∞ là dãy giảm và bị chặn dưới; do đó chúng cùng hội tụ Từ hệ phương trình (1) ta có:
Thông thường ta sử dụng công thức đánh giá sai số: |𝑝 − 𝑥 𝑛 | ≤ 𝑏−𝑎
Phương pháp Secant
Như đã học trong các chương của môn Phương pháp tính, phương pháp Newton cho giá trị xấp xỉ p của hàm f(x) rất hiệu quả nhờ dựa trên tiếp tuyến và đạo hàm của đồ thị Tuy nhiên với các bài toán có f(x) phức tạp đòi hỏi các công thức đạo hàm khó và tính toán liên tục, việc áp dụng phương pháp Newton có thể gây bất tiện Trong những trường hợp này, phương pháp Secant được giới thiệu như một phương án thay thế tối ưu để ước lượng nghiệm mà không cần phải tính đạo hàm tại mọi điểm.
Công thức phương pháp Newton:
Thông qua việc nối hai điểm trên không gian, ta suy ra một giá trị gần đúng cho đạo hàm Khi hai điểm x_k và x_{k+1} ở gần nhau, đạo hàm tại x_k có thể được ước lượng bằng tỷ số của sự thay đổi giá trị hàm và sự thay đổi của biến, cụ thể là (f(x_{k+1}) − f(x_k)) / (x_{k+1} − x_k) Cách tiếp cận này là cơ sở của phương pháp sai phân trong tính toán số và tối ưu hóa, cho phép ước lượng đạo hàm bằng các giá trị hàm tại hai điểm liền kề.
Vậy ta thu được công thức của phương pháp Secant:
Do được suy ra từ phương pháp Newton nên ta có công thức tính sai số: |𝑥 ∗ −
Phương pháp bình phương bé nhất
Phương pháp bình phương bé nhất được sử dụng rộng rãi để xây dựng công thức thực nghiệm Các dữ liệu {xi, yi} thu được từ đo đạc và thực nghiệm luôn chứa sai số, nên việc khẳng định yi = Pn(xi) với mọi điểm có thể không hợp lý Mục tiêu của phương pháp này là tìm các tham số của Pn sao cho tổng bình phương sai số giữa yi và Pn(xi) được tối thiểu, từ đó cho ta một ước lượng thực nghiệm tối ưu cho mô hình Nhờ đó ta có thể giảm ảnh hưởng của sai số đo lường và tăng độ tin cậy của công thức thực nghiệm.
Biết 𝑦 = 𝑓(𝑥 𝑘 , 𝑎 1 , … , 𝑎 𝑚 ), xác định 𝑎 1 , 𝑎 2 … , 𝑎 𝑚 sao cho độ lệch giữa yk và
𝑓(𝑥 𝑘 , 𝑎 1 , … , 𝑎 𝑚 ) là nhỏ nhất, tức là
Dạng của hàm cần xác định 𝑓(𝑥) phụ thuộc vào nhiều yếu tố Tuy nhiên, các dạng đơn giản nhất thường gặp trong thực tế là: 𝑓(𝑥) = 𝐴 + 𝐵𝑥, 𝑓(𝑥) = 𝐴 + 𝐵𝑥 +
𝐶𝑥 2 , 𝑓(𝑥) = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐵𝑠𝑖𝑛𝑥, 𝑓(𝑥) = 𝐴𝑒 𝐵𝑥 , 𝑓(𝑥) = 𝐴𝑥 𝐵 , Nghĩa là để xác định fpxq ta cần xác định các hệ số A, B, C, từ điều kiện (1) Để minh họa cho phương pháp, ta xét trường hợp thường gặp sau đây với 𝑓(𝑥) = 𝐴𝑝(𝑥) + 𝐵𝑞(𝑥) Khi đó phương trình (1) có dạng:
Bài toán quy về việc tìm cực tiểu của hàm hai biến 𝑔(𝐴, 𝐵) Toạ độ điểm dừng của hàm được xác định từ hệ phương trình
Theo giả thiết của bài toán và bất đẳng thức Cauchy, định thức của ma trận hệ số luôn khác không, nên hệ phương trình (2) luôn có nghiệm duy nhất Điều này xác nhận tính xác định và ổn định của lời giải, đồng thời cho phép xác định chính xác các ẩn số cần tìm trong bài toán.
B Đó là các hệ số cần tìm.
Đa thức nội suy
Xét hàm 𝑦 = 𝑓(𝑥) cho dưới dạng bảng số x i x 0 x 1 x 2 … x n y i y 0 y 1 y 2 … y n
(6.1) a.Đa thức nội suy Lagrange
Xét bảng số (6.1) của hàm 𝑓(𝑥) với 𝑛 ≥ 1 Chúng ta sẽ tìm đa thức nội suy
Đa thức nội suy Lagrange L_n(x) là đa thức có bậc không vượt quá n, được dùng để khớp với giá trị của hàm f(x) tại n+1 điểm x0, x1, , xn trên đoạn [x0, xn] Trước tiên ta xây dựng các đa thức phụ p_n(k)(x) với k = 0,1,…,n sao cho bậc bằng n và thỏa điều kiện p_n(k)(x_j) = 0 với j ≠ k, còn p_n(k)(x_k) = 1 Các đa thức phụ này có công thức p_n(k)(x) = ∏_{j=0, j≠k}^{n} (x − x_j)/(x_k − x_j) Khi đó L_n(x) được cho bởi L_n(x) = ∑_{k=0}^{n} f(x_k) p_n(k)(x) Đoạn mô tả này cho thấy cách xây dựng và ứng dụng đa thức nội suy Lagrange dựa trên các điểm cho trước nhằm nội suy giá trị của f tại mọi x trong miền, đảm bảo L_n(x_i) = f(x_i) cho i = 0,…,n và là công cụ quan trọng để đánh giá, dự báo giá trị của f ở các x khác.
Do các đa thức 𝑝 𝑛 (𝑘) (𝑥) có n nghiệm x0, , xk-1, xk+1, , xn và có bậc nhỏ hơn hay bằng n nên ta có thể viết chúng dưới dạng:
𝑝 𝑛 (𝑘) (𝑥) = 𝐶 𝑘 (𝑥 − 𝑥 0 ) … (𝑥 − 𝑥 𝑘−1 )(𝑥 − 𝑥 𝑘+1 ) … (𝑥 − 𝑥 𝑛 ) với Ck là hằng số Từ điều kiện𝑝 𝑛 (𝑘) (𝑥 𝑘 ) = 1, ta thu được:
Ta gọi đa thức sau đây là đa thức nội suy Lagrange:
Dễ dàng kiểm tra rằng đa thức xây dựng theo công thức (6.2) thoả tất cả các yêu cầu đề ra là 𝑑𝑒𝑔𝐿 𝑛 (𝑥) ≤ 𝑛 và 𝐿 𝑛 (𝑥 𝑘 ) = 𝑦 𝑘 , ∀𝑘 = 0, 𝑛̅̅̅̅̅
Ta xét một cách viết khác của đa thức Lagrange Đặt
𝜔(𝑥) = (𝑥 − 𝑥 0 )(𝑥 − 𝑥 1 ) … (𝑥 − 𝑥 𝑛 ) Khi ấy các đa thức phụ𝑝 𝑛 (𝑘) (𝑥) có dạng
Chúng ta có thể sử dụng công thức (6.3) để xây dựng đa thức Lagrange Muốn thế ta lập bảng như sau x x0 x1 … xn x0 x - x0 x0 - x1 … x0 - xn D0 x1 x1 - x0 x - x1 … x1 - xn D1
Chúng ta xem bảng số như một ma trận vuông cấp n+1, với các hàng và cột được đánh số từ x0 đến xn; ở vị trí trên đường chéo chính tương ứng với xi, ta điền biểu thức x − xi, còn ở các vị trí (hàng xi, cột xj) ta điền xi − xj; tích các phần tử nằm trên cùng một hàng tạo thành các mẫu số trong công thức (6.3), được ký hiệu là D_k = ω′(x_k); tích các phần tử nằm trên đường chéo chính là ω(x) = ∏_{j=0}^n (x − x_j); do đó đa thức Lagrange được viết dưới dạng p(x) = ∑_{k=0}^n f(x_k) ω(x) / ((x − x_k) ω′(x_k)).
Sai số phép nội suy
Giả sử 𝑦 = 𝑓(𝑥) có đạo hàm đến cấp n + 1 liên tục trên [a;b], Pn(x) là đa thức nội suy của 𝑓(𝑥), tức là 𝑃 𝑛 (𝑥 𝑘 )𝑓(𝑥 𝑘 )(𝑘 = 0, 𝑛̅̅̅̅̅), 𝑀 = max
(𝑛 + 1)!|𝑤(𝑥 ∗ )| (6.7) b.Đa thức nội suy Newton
Xét bảng số (6.1) của hàm số 𝑓(𝑥) trên [a;b]=[x0;xn] Trên đoạn [xk;xk+p] ta xét đại lượng
X_{k+1} − x_k được gọi là tỉ sai phân cấp một của hàm trên đoạn [x_k, x_{k+1}] Theo quy nạp, ta có thể định nghĩa tỉ sai phân cấp p của hàm trên đoạn [x_k, x_{k+p}] như một sự mở rộng của cấp một, được xây dựng dựa trên các tỉ sai phân trên các đoạn con và dùng để mô tả biến thiên của hàm khi thăm dò trên một lưới gồm các điểm từ x_k đến x_{k+p} Việc xác định tỉ sai phân cấp p cho phép thực hiện xấp xỉ và nội suy hiệu quả trên các đoạn liên tiếp và phục vụ cho các ứng dụng số học trên mạng lưới.
Chú ý rằng tỉ sai phân là hàm số đối xứng của các đối số, nghĩa là
f[x_k, x_{k+1}] = f[x_{k+1}, x_k] cho thấy tính đối xứng của tỉ sai phân (finite difference) tại hai điểm đối xứng Hơn nữa, tỉ sai phân cấp n của một đa thức bậc n luôn là một hằng số, và tỉ sai phân cấp lớn hơn n của một đa thức cấp n bằng không Thông thường, để tính tỉ sai phân của một hàm số, người ta lập bảng gọi là bảng tỉ sai phân, nhằm sắp xếp và tính toán các cấp sai phân khác nhau phục vụ cho nội suy và phân tích xấp xỉ.
Bây giờ ta sẽ xây dựng đa thức 𝑁 𝑛 (𝑥) bậc không cao hơn n thoả𝑁 𝑛 (𝑥) 𝑦 𝑘 : 𝑓[𝑥, 𝑥 0 ] = 𝑓(𝑥)−𝑦 0
𝑥−𝑥 0 Do đó: 𝑓(𝑥) = 𝑦 0 + (𝑥 − 𝑥 0 ), 𝑓[𝑥, 𝑥 0 ] Lại dùng định nghĩa của tỉ sai phân cấp hai của hàm 𝑓(𝑥):
𝑓(𝑥) = 𝑦 0 + 𝑓[𝑥, 𝑥 0 ](𝑥 − 𝑥 0 ) + 𝑓[𝑥, 𝑥 0 𝑥 1 ](𝑥 − 𝑥 0 )(𝑥 − 𝑥 1 ) Tiếp tục quá trình trên đến bước thứ n ta thu được
Công thức (6.8) được gọi là công thức Newton tiến, xuất phát từ điểm nút x0 của hàm số f(x) và Rn(x) là sai số của đa thức nội suy Newton Bằng cách làm tương tự, ta có thể xây dựng công thức Newton lùi xuất phát từ điểm nút xn của hàm số f(x) như sau.
Do tính duy nhất của đa thức nội suy, ta có với cùng một bảng số thì
Vì vậy ta có thể sử dụng công thức (6.7) để đánh giá sai số của các công thức nội suy Newton
Tương tự như trường hợp của công thức nội suy Lagrange, chúng ta xét trường hợp các điểm nút cách đều với bước h Muốn thế ta đưa vào khái niệm sau: đại lượng x_i = x_0 + i h (i = 0,1, ,n) là các điểm nút được sắp xếp thành một chuỗi cách đều nhau với khoảng cách h Với các điểm nút này, nội suy Lagrange p_n(x) được xây dựng từ các giá trị f(x_i) và nhằm khôi phục hàm gốc trên miền chứa Đồng thời, sai số nội suy có dạng f(x) - p_n(x) = f^{(n+1)}(ξ)/(n+1)! ∏_{i=0}^n (x - x_i) với ξ thuộc một phần của [x_0, x_n], điều này cho biết độ chính xác và giới hạn của nghiệm nội suy khi dùng lưới các nút cách đều.
Δy_k = y_{k+1} − y_k được gọi là sai phân hữu hạn cấp 1 của hàm tại điểm x_k Tương tự, sai phân hữu hạn cấp p của hàm tại điểm x_k được định nghĩa bằng Δ^p y_k = Δ(Δ^{p−1} y_k) với p ≥ 2, và Δ^1 y_k = Δ y_k Ta có thể dễ dàng chứng minh bằng quy nạp công thức liên hệ giữa các cấp sai phân hữu hạn, cụ thể Δ^p y_k = ∑_{i=0}^p (−1)^{p−i} C(p,i) y_{k+i} Công thức này cho thấy mối liên hệ giữa khái niệm sai phân hữu hạn và các cấp sai phân, đồng thời cho phép tính nhanh các cấp sai phân cao hơn từ các giá trị tại các điểm k, k+1, , k+p.
𝑝! ℎ 𝑝 Khi đó các công thức (6.8) và (6.9) sẽ có dạng
Spline bậc ba
Định nghĩa 4.1 cho một hàm f(x) xác định trên đoạn [a, b] và một phân hoạch a = x0 < x1 < < xn = b Đặt y_k = f(x_k) với k = 0, 1, , n Một spline bậc ba nội suy của f(x) trên đoạn [a, b] là một hàm g(x) thỏa các điều kiện sau: g(x) được nối từ các đa thức bậc ba trên từng khoảng [x_k, x_{k+1}] sao cho g(x_k) = y_k (điều kiện nội suy tại các nút); g và đạo hàm cấp một, cấp hai của nó liên tục tại các nút x_k; và đáp ứng các điều kiện biên tại đầu và cuối của đoạn.
(a) 𝑔(𝑥) có đạo hàm đến cấp hai liên tục trên đoạn[a, b]
(b) Trên mỗi đoạn [𝑥 𝑘 , 𝑥 𝑘+1 ]𝑘 = 0,1, … , 𝑛 − 1, 𝑔(𝑥) = 𝑔 𝑘 (𝑥) là một đa thức bậc ba
Dựa trên định nghĩa này, ta đi tìm công thức xác định spline bậc ba Xét đoạn[𝑥 𝑘 , 𝑥 𝑘+1 ]𝑣ớ𝑖 𝑘 = 0,1, … , 𝑛 − 1 Đặt ℎ 𝑘 = 𝑥 𝑘+1 − 𝑥 𝑘 Vì 𝑔 𝑘 (𝑥) là đa thức bậc ba, nên ta viết nó dưới dạng:
Từ điều kiện (c), ta thấy ngay: 𝑎 𝑘 = 𝑔(𝑥 𝑘 ) = 𝑔 𝑘 (𝑥 𝑘 ) = 𝑦 𝑘 và
Phương trình thứ hai được suy ra từ phương trình thứ nhất bằng cách giảm chỉ số xuống một đơn vị Xét tại các điểm x_k với k = 1, 2, , n − 1, do tính khả vi của hàm ở cấp hai tại x_k ta có g'_{k-1}(x_k) = g'_k(x_k) và g''_{k-1}(x_k) = g''_k(x_k) Từ điều kiện này, ta đã thu được một mối liên hệ giữa các giá trị đạo hàm tại các chỉ số liên tiếp và từ đó rút ra các hệ quả cần thiết.
Từ điều kiện 𝑔′ 𝑘−1 (𝑥 𝑘 ) = 𝑔′ 𝑘 (𝑥 𝑘 ) ta có
Thay các đại lượng đã biết trong (6.13) và (6.14) vào biểu thức trên ta được hệ phương trình dùng để xác định các hệ số ck:
Hệ phương trình (6.15) được dùng để xác định các hệ số c_k với k = 0, 1, , n Từ các công thức (6.14) và (6.13) cùng với ak = y_k, ta có thể xác định toàn bộ hệ số của đa thức g_k(x) Nói chung hệ phương trình (6.15) có vô số nghiệm; nhằm đảm bảo tính duy nhất, ta cần bổ sung thêm một số điều kiện, và thông thường các điều kiện đó là các điều kiện biên.
7.1 Spline bậc ba tự nhiên Điều kiện để xác định một spline bậc ba tự nhiên là: 𝑔 ′′ (𝑎) = 𝑔 ′′ (𝑏) = 0 Từ đây ta thu được c0 = cn = 0 Điều kiện này bổ sung hai phương trình vào hệ
(6.15) dùng để xác định n + 1 hệ số c0, c1, , cn-1, cn Thuật toán xác định spline bậc ba tự nhiên như sau: giải hệ AC = B với A là ma trận hệ số cấp n + 1,
B là vectơ tự do và C = (c0, c1, , cn-1, cn) T
Sau khi tìm được tất cả các giá trị của c0, c1, , cn-1, cn, các hệ số khác của
7.1 Spline bậc ba ràng buộc Điều kiện để xác định spline bậc ba ràng buộc là: 𝑔 ′ (𝑎) = 𝛼, 𝑔 ′ (𝑏) = 𝛽
Từ đây ta có thêm hai phương trình được bổ sung vào hệ (6.15), từ đó ta thu được hệ phương trình đại số tuyến tính AC = B gồm n+1 phương trình ứng với n+1 ẩn là c0, c1, , cn-1, cn Ma trận A và vecto B có dạng:
Sau khi tìm được các hệ số ck, các hệ số ak, bk và dk được xác định theo công thức (6.16), tương tự như trường hợp của spline bậc ba tự nhiên, quá trình này đảm bảo tính nhất quán và mượt mà cho đường cong nội suy.
Giải quyết vấn đề
Một vận động viên nhảy Bungee nhảy từ một ngọn núi với vận tốc v thẳng đứng hướng xuống được mô tả bằng phương trình:
𝑚 𝑣 2 (Nhìn hình ảnh) Trong đó m là khối lượng của vận động viên và 𝐶 𝑑 là hệ số cản của không khí
Hướng của lực cản không khí
Trong bài toán này, ban đầu vận động viên ở trạng thái nghỉ và ta tìm phương trình mô tả vận tốc v theo thời gian Với g = 9,8 m/s^2, m = 68,1 kg và hệ số cản không khí c_d = 0,25 kg/m, cùng điều kiện ban đầu v(0) = 0, ta tính vận tốc sau 10 giây đầu bằng hai phương pháp số là Euler cải tiến và Runge–Kutta với bước h = 1 s, sau đó so sánh với giá trị chính xác được xác định ở câu a) Dựa trên kết quả ở câu a), ta dùng hai phương pháp chia đôi (bisection) và Secant để ước lượng hệ số cản của không khí đối với vận động viên sau 10 s rơi, với sai số dưới 5%, và với các tham số cho biết khối lượng 95 kg và vận tốc v = 46 m/s.
Giải a) Tìm phương trình vận tốc của vận động viên:
Nhân hai vế của phương trình với 𝑚
Vậy phương trình vận tốc cần tìm là:
𝑚 𝑡) b) Với g = 9,8 (m/𝑠 2 ), m = 68,1 (kg), 𝑐 𝑑 = 0,25 (kg/m), ban đầu vận động viên ở trạng thái nghỉ
*Tìm vận tốc với công thức Euler cải tiến:
Thay vào phương trình đề cho ta có hàm số:
68,1 𝑦 2 y(0) = 0 (ban đầu vận động viên đứng yên), 0 ≤ t ≤ 10 , h = 1
Cách 1: Sử dụng máy tính cầm tay:
Đầu tiên nhập lần lượt giá trị ban đầu y(0) = 0 và F(0) = 0 tại thời điểm t = 0 Chạy chương trình mô phỏng để tính toán các giá trị của y cho đến khi F bằng 10, tức là tại thời điểm t = 10 giây của 10 giây đầu tiên Khi đạt F = 10, ta dừng lại và thu được kết quả y(t) tại các thời điểm khác nhau trong khoảng 0 ≤ t ≤ 10, cho thấy sự biến đổi của y theo thời gian và các giá trị y được ghi nhận tại từng bước tính.
Vậy qua thao tác máy tính cầm tay chúng ta thu được kết quả vận tốc của vận động viên Bungee sau 10s đầu tiên là 49,2271 m/s.
Cách 2: Sử dụng phần mềm Maple:
Trong phương pháp Euler, từ công thức ta thấy rằng k1y, k2y và y được tính theo vòng lặp gồm 10 lần lặp Do đó, ta sử dụng câu lệnh lặp for với cú pháp thích hợp để thực hiện các phép tính này một cách tuần tự cho từng lần lặp, đảm bảo tính đúng của giải pháp số và tối ưu hóa hiệu suất tính toán.
*Tìm vận tốc với công thức Runge-Kutta bậc 4:
Thay vào phương trình đề cho ta có hàm số:
68,1 𝑦 2 y(0) = 0 (ban đầu vận động viên đứng yên), 0 ≤ t ≤ 10 , h = 1
Qua công thức của phương pháp Euler, các giá trị k1*y, k2*y và y được tính theo vòng lặp và thực hiện qua 10 vòng lặp liên tiếp Vì vậy, trong phần mềm Maple ta sử dụng câu lệnh lặp for để duyệt các bước tính toán một cách có hệ thống, với cú pháp điển hình như sau: for i from 1 to 10 do od;
24 Vậy qua thao tác máy tính cầm tay chúng ta thu được kết quả vận tốc của vận động viên Bungee sau 10s đầu tiên là 49,3910 m/s.
*Sử dụng công thức chính xác ở câu a) ta được:
*So sánh kết quả xấp xỉ với kết quả chính xác:
- Công thức Euler và công thức chính xác: ∆= |49,2271 − 49,3919| = 0,1648
- Công thức Runge-Kutta và công thức chính xác:
∆= |49,3910 − 49,3919| = 0,0009 c) Với g = 9,8 (m/𝑠 2 ), m = 95 (kg), v = 46 (m/s) sau 10s đầu tiên, ban đầu vận động viên ở trạng thái nghỉ
Công thức chính xác tìm được ở câu a)
Để tìm hệ số cản của không khí c_d đối với vận động viên Bungee, ta đặt c_d = x và thay số liệu thực tế vào mô hình động lực Quá trình này cho phép suy ra rằng hệ số cản không khí đối với vận động viên Bungee chính là nghiệm của một phương trình được thiết lập từ sự cân bằng giữa lực trọng lực và lực cản của không khí Nói ngắn gọn, nghiệm của phương trình đó chính là hệ số cản không khí mà chúng ta đang tìm.
Ta thấy f(0,4) > 0; f(0,5) < 0 => f(0,4).f(0,5) < 0 nên ta chọn khoảng ly nghiệm của phương trình (2) là [0,4; 0,5] với x * là nghiệm đúng
*Tìm hệ số cản của không khí bằng phương pháp chia đôi:
Cách 1: Áp dụng công thức chia đôi trên máy tính bỏ túi
Ta được bảng giá trị của phương pháp chia đôi như sau:
Ta thấy sau 2 lần lặp sai số tương đối của phương pháp chia đôi là 3% nhỏ hơn
5% suy ra nghiệm gần đúng của phương trình là 0,4125
Vậy hệ số cản không khí 𝑐 𝑑 đối với vận động viên Bungee: 𝑐 𝑑 = 0,4125 ± 3%
Cách 2: Áp dụng công thức chia đôi trên chương trình Maple:
*Tìm hệ số cản của không khí bằng phương pháp Secant:
- Công thức phương pháp Secant:
- Theo điều kiện Fourier ta đoán 𝑥 0 : f(0,4) > 0, f(0,5) < 0 f’(x)=− √931
Sử dụng máy tính bỏ túi chúng ta tính được: f ’’(0,4) > 0, f ’’(0,5) > 0
Ta thấy f ’’(0,4).f(0,4) > 0 nên ta chọn 𝑥 0 = 0,4
- Theo công thức Newton ta đoán 𝑥 1 :
= 0,4105 Tìm m trong công thức sai số: f’(0,4) ≈ -58,0966 < f’(0,5)≈-42,1468 Nên ta chọn m = -42,1468
Cách 1: Áp dụng công thức Secant trên máy tính bỏ túi:
Ta được bảng giá trị như sau: k x ∆𝑥 = |𝑓(𝑥)|
Ta thấy sau 1 lần lặp sai số tương đối của phương pháp Secant là 0,0095% nhỏ hơn 5% suy ra nghiệm gần đúng của phương trình là 0,4124
Vậy hệ số cản không khí 𝑐 𝑑 đối với vận động viên Bungee:
Chat Enzim la chat xuc tac giup tang toc do phan ung hoa hoc dien ra trong te bao song, cho phep cac qua trinh sinh hoc hoat dong hieu qua bang cach chuyen doi chat nen thanh san pham Qua trinh nay thuong duoc mo ta bang nguyen ly xuc tac cua enzym va duoc the hien qua cong thuc Michaelis-Menten, mo ta moi quan he giua nong do chat nen va van toc phan ung de xac dinh van toc toi da va he so lien ket Hieu biet ve enzyme khong chi giai thich co che xuc tac sinh hoc ma con duoc ung dung rong rai trong y hoc, cong nghiep va nghien cuu sinh hoc, giup toi uu hoa cac phan ung hoa hoc trong te bao va ngoai te bao.
𝑘 𝑠 2 + 𝑆 2 Trong đó v là tốc độ phản ứng ban đầu
Vm là tốc độ phản ứng ban đầu cao nhất
S là nồng độ chất tan ks là hằng số bão hòa a) Mối quan hệ giữa S và v được thể hiện trong bảng:
Để ước lượng vm và ks, ta áp dụng phương pháp bình phương cực tiểu bằng cách chuyển đổi mô hình cho trước sang một mô hình tuyến tính Với mô hình v = aS^2 + bS + c, ta tiếp tục sử dụng phương pháp bình phương cực tiểu để ước lượng các tham số a, b và c Cuối cùng, ta so sánh hai mô hình (tuyến tính và parabol) để xác định xem mô hình nào cho kết quả gần đúng nhất dựa trên dữ liệu quan sát.
Từ số liệu S,v ta lập được bảng được bảng số liệu x,y
Phương pháp bình phương cực tiểu với mô hình parabola sẽ cho nghiệm xấp xỉ tốt hơn so với phương pháp tuyến tính, vì khi vẽ trên GeoGebra ta thấy các điểm (S, v) gần hơn với đường parabol so với đường thẳng Điều này cho thấy mối quan hệ giữa S và v có tính phi tuyến nên mô hình parabol phù hợp hơn để mô tả và ước lượng, từ đó nâng cao độ chính xác của nghiệm Do đó, nên ưu tiên sử dụng phương pháp bình phương cực tiểu với mô hình parabola khi dữ liệu cho thấy sự phụ thuộc phi tuyến giữa các biến.
Trong sinh học, các mô hình thú săn–con mồi được dùng để quan sát sự tương tác giữa các loài Một trong những mô hình nổi tiếng nhất là mô hình Lotka–Volterra, đề xuất để mô tả mối quan hệ giữa quần thể thú săn và con mồi thông qua hệ phương trình động lực học Mô hình cho thấy sự phụ thuộc lẫn nhau giữa hai loài có thể dẫn đến chu kỳ dao động: khi nguồn thức ăn cho con mồi dư thừa, số lượng con mồi tăng lên và qua đó thúc đẩy sự gia tăng của thú săn; khi thú săn trở nên phổ biến, áp lực săn mồi làm giảm số lượng con mồi, và sau đó quần thể thú săn cũng giảm theo, tạo thành vòng lặp động lực Nhờ nó, các nhà sinh học có cái nhìn sâu về ổn định, dao động và ảnh hưởng của yếu tố môi trường lên hệ sinh thái, đồng thời là nền tảng cho nhiều nghiên cứu về động lực học quần thể và sự tương tác giữa các loài.
Trong mô hình predator–prey Lotka-Volterra, x là số con mồi và y là số thú săn; các tham số a = 1.2 (tỉ lệ sinh trưởng của con mồi), b = 0.6 (tác động của sự tương tác thú săn–con mồi lên tỉ lệ tử của con mồi), c = 0.8 (tỉ lệ tử của thú săn) và d = 0.3 (tỉ lệ sinh của thú săn từ con mồi) Thời gian được đo bằng tháng, và điều kiện ban đầu là x(0) = 2, y(0) = 1 Ta tìm nghiệm sau 10 tháng bằng công thức Euler cải tiến (Heun) với bước h = 0.625 Kết quả sau 10 tháng cho x(10) và y(10) được ước lượng nhờ phương pháp numeri, đồng thời số liệu này được dùng để xây dựng đa thức nội suy cho x(t) và y(t) và phát họa đồ thị x(t), y(t) nhằm minh họa diễn biến của hai loài theo thời gian và ảnh hưởng của tương tác săn–mồi lên sự tăng giảm của chúng.
Giải a) Từ giữ liệu đầu ba ta có phương trình vi phân:
Ta ghi lại phương trình
Ta có công thức Euler cải tiến
Vậy ta có các giá trị x, y sau khi tính toán là t 0 0,625 1,25 1,875 2,5 3,125 3,75 4,375 5 x(t) 2 2,955 4,317 5,637 5,2 2,686 1,428 1,023 0,993 y(t) 1 0,944 1,106 1,698 3.065 3,986 3,25 2,427 1,768 b) Xây dựng spline bậc ba tự nhiên: 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 2 + 𝑑𝑥 3
Bước 1 ta tìm hệ số C=(𝑐 0, 𝑐 1 , 𝑐 2 , … 𝑐 𝑛 ) 𝑇 bằng cách xây dựng ma trận AC=B Với ma trận A là
Và B là ma trận: Áp dụng vào bài ta có
Ma trận A của x, mà ma trận A của y là như nhau, vì cùng h = 0,625
Từ ma các ma trận trên ta giải hệ số C là của x là: k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Ta tìm các giá trị a,b,d bởi công thức:
⩝ 𝑘 = 0,1,2, … 𝑛 − 1 Vậy ta tìm ra được các giá trị a,b,d của x, y là
Bây giờ ta đã có đủ hệ số a,b,c,d
Spline của x cần tìm có dạng :
Spline của y cần tìm có dạng:
42 Đồ thị nội suy spline bậc 3 số lượng con mồi theo thời gian Đồ thị nội suy spline bậc 3 số lượng động vật theo thời gian