báo cáo bài tập lớn môn giải tích đề tài Ứng dụng đạo hàm, vi phân để giải một số bài toán trong giải tích

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN VẬT LÝ 1 ĐỀ TÀI 4 “Ứng dụng đạo hàm, vi phân để giải một số bài toán trong giải tích” GVHD: Ths... Tóm tắt đề tài: - Giải tích hàm số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH

(2021-2022)

Đề tài 4:

“Ứng dụng đạo hàm, vi phân để giải một số

bài toán trong giải tích”

GVHD: Ths Đậu Thế Phiệt

Lớp: L24 Nhóm số: 12

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN VẬT LÝ 1

ĐỀ TÀI 4

“Ứng dụng đạo hàm, vi phân để giải một số bài toán trong giải tích”

GVHD: Ths Đậu Thế Phiệt

Lớp: L24 Nhóm số: 12 Danh sách thành viên:

TP HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2021

MỤC LỤC

DANH MỤC HÌNH ẢNH iii

DANH MỤC BẢNG BIỂU iv

TÓM TẮT 1

CHƯƠNG 1 MỞ ĐẦU 2

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 4

CHƯƠNG 3 MATLAB 9

CHƯƠNG 4 KẾT QUẢ VÀ KẾT LUẬN 13

4.1 Kết quả 13

4.2 Kết luận 13

TÀI LIỆU THAM KHẢO 14

PHỤ LỤC (nếu có) 15

DANH MỤC HÌNH ẢNH

Ví dụ

Hình 1.1………1 Hình 1.2……… ……….2

DANH MỤC BẢNG BIỂU

Ví dụ:

Bảng 1.1……… ………1 Bảng 1.2……… ……… ………….2

TÓM TẮT

I Tóm tắt đề tài:

- Giải tích hàm số là một biến số là môn học quan trọng đối với sinh viên cá ngành

khoa học tự nhiên và kỹ thuật, trong suốt chương trình thầy cô đã xây dựng các đề mục

để sinh viên dễ dàng tiếp thu kiến thức, trong đó có chương đạo hàm và vi phân của hàm

số một biến số một chương khá quen thuộc mà chúng ta đã được tìm hiểu từ cấp ba Các

bài toán trong bài báo cái này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về khái niệm của đạo hàm và vi

phân của hàm số một biến số đồng thời ứng dụng công cụ Matlab để trình bày kết quả

một cách nhanh chóng giúp nâng cao khả năng lập trình Matlab cũng như đưa đến một

cách nhìn khách quan về bài toán

- Trong cơ học phương trình chuyển động là các phương trình mô tả hành vi của

một hệ vận động về chuyển động của nó như một hàm số theo thời gian Phương trình

quỹ đạo của một chất điểm chuyển động là phương trình mô tả những điểm mà chất

điểm đi qua, còn gọi là quỹ đạo hay quỹ tích Phương trình quỹ đạo chỉ nói đến mối liên

hệ giữa các thành phần của tọa độ mà không nói đến yếu tố thời gian trong chuyển động

đó Phương trình quỹ đạo có thể tìm được từ phương trình chuyển động, sau khi đã tích

phân theo thời gian để loại bỏ tham số thời gian

- Trong chuyển động tròn đều, vận tốc tuy có độ lớn không đổi, nhưng hướng luôn

thay đổi, nên chuyển động này có gia tốc Gia tốc trong chuyển động tròn đều luôn

hướng vào tâm của quỹ đạo nên gọi là gia tốc hướng tâm

II Hướng giải quyết và ý nghĩa bài toán:

- Hướng giải quyết đề tài: Sử dụng kiến thức của chương đạo hàm vi phân, tìm

hiểu thêm về công thức hình thang, công thức euler Qua đó giải quyết các bài toán

Đồng thời sử dụng kiến thức về lập trình matlab để biểu diễn hình học phương trình

chuyển động, phương trình tiếp tuyến,…

- Ý nghĩa bài toán: Bài toán giúp chúng ta hiểu hơn về vi phân, đạo hàm, biết thêm

một số công thức mới trong giải tích, năng cao khả năng vận dụng kiến thức để giải các

bài toán thực tế Bên cạnh đó giúp chúng ta có một cái nhìn trực quan thông qua giải

toán và biểu diễn các phương trình toán học bằng công cụ hỗ trợ Matlab

CHƯƠNG 1 MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

- Giải tích là một trong những môn học có tính ứng dụng vào đời sống thực tiễn cao Vì thế, những bài toán thực tế đang được đưa vào chương trình dạy học ngày càng nhiều để tăng tính thực tiễn cho học sinh sinh viên Quá trình giải bài tập yêu cầu vận dụng lý thuyết vào việc giải các nhiệm vụ học tập cụ thể, qua đó rèn luyện được khả năng vận dụng tri thức, rèn luyện được tính kiên trì, tính chủ động và sáng tạo của người học

- Các kĩ năng tính toán, sử dụng phần mềm ngày càng được ứng dụng nhiều hơn vào trong quá trình giải bài tập, đặc biệt là phần mềm lập trình MATLAB Đây là một công cụ thông dụng và hiệu quả cho sinh viên Do đó chúng tôi đã lựa chọn đề tài “Ứng dụng đạo hàm vi phân để giải một số bài toán trong giải tích” và giải quyết bài toán được

đề ra bằng MATLAB để nghiên cứu và trình bày đưới đây

- Ví dụ thực tiễn một số bài toán như khi một chiếc xe máy đang chuyển động kim chỉ trên đồng hồ công-tơ-mét của xe máy sẽ di chuyển và chỉ số vận tốc xe máy đạt được chiếc kim tốc độ đó tượng trưng cho đạo hàm quãng đường xe đi được theo thời gian tại từng thời điểm Khi xe dừng lại, kim tốc độ chỉ 0, tức là quãng đường không tăng và không giảm, có nghĩa là xe đứng yên

2 Mục tiêu để tài:

- Áp dụng những kiến thức giải tích về đạo hàm và vi phân đã được học vào việc giải quyết các bài tập đã được đề ra ban đầu

- Hướng đến việc tiếp xúc, sử dụng các thuật toán, chương trình matlab để có thể

dễ dàng trong việc giải toán trình bày bài toán một cách trực quan dễ tiếp cận:

+ Đối tượng: Các khái niệm về đạo hàm, vi phân, các phương pháp giải tích; Cách sử dụng matlab cơ bản để hiểu hơn về các thuật toán , cách vẽ đồ thị , quỹ đạo

+ Phạm vi: Bài báo cáo trình bày sơ lược các kiến thức trong phần “Đạo hàm,

vi phân của một hàm số theo biến số”, tập trung chủ yếu về các khái niệm, công thức,

các loại phương trình cơ bản, kiến thức giải tích có sự tương quan đến việc xử bài toán và nâng cao kĩ năng trong lập trình Matlab

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT

I Khái niệm đạo hàm của một biến:

- Trong giải tích toán học, đạo hàm của một hàm số là một đại lượng mô tả sự biến thiên của hàm tại một điểm nào đó Đạo hàm là một khái niệm cơ bản trong giải tích Tức là giới hạn nếu có của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại 𝑥0, khi

số gia của đối số tiến dần tới 0, được gọi là đạo hàm của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) tại điểm 𝑥0 Đạo hàm của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) được ký hiệu là 𝑦′(𝑥0) hoặc 𝑓′(𝑥0):

𝑓′(𝑥0) = lim

𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)

𝑥 − 𝑥0

hoặc

𝑦′(𝑥0) = lim

∆𝑥→𝑜

∆𝑦

∆𝑥

+ Số gia của đối số là 𝛥𝑥 = 𝑥 − 𝑥0

+ Số gia của hàm số là 𝛥𝑦 = 𝑦 − 𝑦0

 Nói 1 cách dễ hiểu đạo hàm bằng delta y chia delta x với delta x là rất nhỏ

- Giá trị đạo hàm tại 1 điểm 𝑥0 thể hiện:

+ Chiều biến thiên của hàm số (đang tăng hay đang giảm, xem đạo hàm tại đây dương + hay âm -)

+ Độ lớn của biến thiên này (ví dụ: đạo hàm bằng 1 => delta y tăng bằng delta x)

- Trong quá trình tính đạo hàm còn xuất hiện khái niệm đạo hàm một bên chỉ giá trị của x chỉ tiến đến bên trái hoặc bên phải giá trị của 𝑥0

+ Đạo hàm bên trái của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) tại 𝑥0 là khi ∆𝑥 → 0− (tức 𝑥 → 𝑥0

và nhỏ hơn 𝑥0)

𝑓′(𝑥0−) = lim

𝑥→𝑥0+

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥 0 ) 𝑥−𝑥 0

+ Đạo hàm bên phải của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) tại 𝑥0 là khi khi ∆𝑥 → 0+

(tức 𝑥 → 𝑥0 và lớn hơn 𝑥0)

𝑓′(𝑥0+) = lim

𝑥→𝑥0−

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥 0 ) 𝑥−𝑥 0

- Hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có đạo hàm tại 𝑥0 <=> 𝑓′(𝑥0) = 𝑓−′(𝑥0) = 𝑓+′(𝑥0)

- Đạo hàm còn gồm có nhiều cấp như đạo hàm cấp một, đạo hàm cấp hai,…

II Khái niệm vi phân hàm một biến:

- Phép toán để tính đạo hàm được gọi là vi phân hay nói cách khác vi phân là quá trình tính đạo hàm dùng để khảo sát tốc độ thay đổi của hàm số khi biến số thay đổi

- Vi phân cấp một của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) tại điểm 𝑥0

𝑑𝑓(𝑥0) = 𝑓′(𝑥0)𝑑𝑥

- Ngoài ra cũng giống như đạo hàm vi phân cũng gồm nhiều cấp như vi phân cấp một, vi phân cấp hai,…

III Công thức hình thang:

- Công thức hình thang hay còn được gọi là công thức gần đúng tích phân là công thức dùng để tính tích phân của các hàm không thể biểu diễn nguyên hàm như các hàm

sơ cấp thông thường

- Công thức: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑏 ≈ ℎ

2[𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏) + 2 ∑𝑛−1𝑓(𝑥𝑖)

Trong đó: ℎ = 𝑏−𝑎

𝑛 với n là số đoạn được chia trên đoạn [𝑎, 𝑏]

𝑥0 = 𝑎, 𝑥𝑛 = 𝑏, 𝑥𝑖 = 𝑥0+ 𝑖ℎ, 𝑖 = 1, 𝑛̅̅̅̅̅

Vấn đề sai số: ∈<𝑀(𝑏−𝑎)

12 × ℎ2 trong đó 𝑀 = max

[𝑎,𝑏]|𝑓′′(𝑥)|

IV Công thức Euler:

- Trong toán học có nhiều công thức quan trọng ảnh hưởng đến nhiều bài toán trong đó có một công thức được mệnh danh là công thức toán học đẹp nhất bao hàm nhiều ý tưởng toán học cực kỳ sâu sắc và cũng bao hàm cả triết lý vũ trụ

- Cụ thế Công thức Euler là một công thức toán học trong ngành giải tích phức, được xây dựng bởi nhà toán học người Thụy Sĩ Leonhard Euler Công thức chỉ ra mối liên hệ giữa hàm số lượng giác và hàm số mũ phức

Công thức Euler: 𝑒𝑖𝑥 = cos 𝑥 + 𝑖 sin 𝑥

Trong đó:

+ Số e là cơ số logarit tự nhiên

+ i là đơn vị của số phức

+ Cos, sin là các hàm số lượng giác cosin và sin

- Trục tọa độ biểu diễn công thức euler:

V Bài toán:

1 Tìm hiểu đề bài:

a) Bài toán 1:

Đề bài: Cho đường cong tham số

{ 𝑥(𝑡) = −2𝑡2+ 1 𝑦(𝑡) = 𝑡3− 4𝑡 − 2

Viết phương trình đường tiếp tuyến với đường cong tại điểm tự cắt

Sử dụng Matlab hoặc Python, minh họa đường cong và tiếp tuyến tại điểm tự cắt đó b) Bài toán 2:

Đề bài: Một xe di chuyển trên cung đường có dạng đường cong

y = xex Tại từng thời điểm, vệt sáng trung tâm của đè xe xem như một đường tiếp

tuyến của cung đường, tiếp điểm là vị trí giữa đầu xe Bên đường có một bức tượng ở

tọa độ (0.35, 0.37) (km) Giả sử xe chạy với vận tốc không đổi 60 km/h Mất bao lâu

để xe di chuyển từ điểm

A có hoành độ x = −0.6 (km) đến điểm B mà tại đó vệt sáng trung tâm

chiếu thẳng vào bức tượng

- Tìm hiểu công thức hình thang để tính gần đúng tích phân của hàm số

- Tính quãng đường AB trên bằng phương pháp hình thang

c) Bài toán 3:

Đề bài: a) Tìm hiểu về công thức Euler để xấp xỉ nghiệm của phương trình

vi phân bậc nhất với điều kiện đầu

b) Viết một chương trình sử dụng phương pháp Euler, tìm giá trị

𝑦(1) với 𝑦(𝑥) là nghiệm của phương trình vi phân điều kiện đầu

𝑑𝑥

𝑑𝑦+ 3𝑥

2𝑦 = 6𝑥2, 𝑦(0) = 3

với (i) h=1 (ii) h=0.1 (iii) h = 0.01 (iv) h =0.001

(c) Chứng minh rằng y = 2 + e−x3

là nghiệm chính xác của phương

trình trên Tìm sai số của phương pháp Euler khi tính y(1) với từng

2 Hướng giải bài toán:

a) Bài toán 1:

- Đạo hàm cấp 1 phương trình tham số theo quy tắc đạo hàm tham số

- Sử dụng công cụ Matlab biểu diễn phương trình tham số và phương trình đường tiếp tuyến tại điểm tự cắt

b) Bài toán 2:

- Đạo hàm cấp 1 phương trình chuyển động của xe thu được phương trình tiếp tuyến cũng chính là phương trình của vệt sáng trung tâm

- Dựa vào tọa độ của bức tượng tìm được tạo độ của xe tại thời điểm vệt sáng trung tâm chiếu thẳng vào bức tượng

- Dựa vào công thức hình thang giải được bài toán

c) Bài toán 3:

-

CHƯƠNG 3 MATLAB

Trong đề tài này chúng em chủ yếu chỉ sử dụng cộng cụ Symbolic Math Toolbox

có trong MATLAB Đây là một công cụ mạnh của MATLAB hỗ trợ trong việc tính toán các biểu thức toán học như đạo hàm, tích phâm, vi phân,…

I Các câu lệnh Matlab được sử dụng:

Trước khi đi sâu vào các dòng lệnh,

ta cần phải biết đối tượng đặc trưng (symbolic) là gì ? Sự khác biệt giữa đối tượng th ông thường (biến số) với đối tượng đặc trưng và chức năng của chúng là gì ?

- Symbolic thay thế các trị số/giá trị bằng một ký tự (gọi là đối tượng đặc trưng -

sym) Để biến đổi một số, một biến hay một đối tượng nào đó thành kiểu Symbolic

ta có thể sử dụng một trong các cách sau:

>> x = sym(‘1/3’)

>> a = sym(‘a’)

>> z = sym(A)

>>syms ( ‘b’, ‘c’, ‘d’ )

>>syms b c d

Lưu ý: Trong ví dụ số 4, syms (‘b’, ‘c’, ‘d’) tương đương b = sym (‘b’) ; c

= sym (‘c’) ; d

= sym (‘d’) Và ví dụ số 4, số 5 là tương đương nhau, như các bạn đã thấy thì ví dụ 5 s

ẽ dễ thực hiện hơn

- Symbolic giúp tính toán những biểu thức toán học phức tạp bằng cách sử dụng

đạo hàm, tích phân, khai triển Taylor, giải phương trình vi phân,…bằng cách sử dụng

những biểu thức có chứa các đối tượng toán học (sym) thay cho các số, hàm, toán tử, b

iến

- Sau đây là một số hàm cơ bản dùng cho đề tài :

Bảng những hàm được sử dụng trong đề tài

grid on Mở lưới khi vẽ đồ thị

1 Hàm diff

- Là đạo hàm cấp k theo một biến Cú pháp:

>> diff( f, x, k );

Trong đó :

f - hàm theo biến x (nếu hàm chỉ có 1 biến thì bỏ qua tham số x)

x - ấn số

k - cấp đạo hàm

Ví dụ : Tìm đạo hàm cấp 1 của hàm số f =

x3+2x+5x3+2x+5

>> syms x;

>> f = x^3 + 2*x + 5;

>> diff (f)

ans =

3*x^2 + 2

2 Hàm fplot – Vẽ đồ thị 2D

- Dùng để vẽ đồ thị Cú pháp:

>> syms x

>> y = x^2 +5;

3 Hàm subs

- Dùng để đổi biến số kiểu sym thành kiểu trị số Cú pháp:

>> y = x^2 + 5;

ans= 9

4 Hàm grid on

- Dùng để mở lưới trong cửa sổ figure khi vẽ đồ thị Cú pháp:

>> grid on

5 Hàm disp

- Dùng để xuất dữ liệu ra màn hình Command Window từ file.m Cú pháp:

disp (‘ Du lieu , sentence,…’);

II Thuật toán và code:

CHƯƠNG 4 KẾT QUẢ VÀ KẾT LUẬN

I Kết quả

- SV trình bày minh hoạ kết quả đạt được ở một vài trường hợp và nhận xét, diễn giải kết quả đạt được?

- Ví dụ như: Hình 4.1 chỉ ra điều gì,………

Hình 4.2 chỉ ra điều gì, tại sao như vậy, nhận xét, bình luận về kết quả thu được

Hình 4.1 Kết quả chạy được từ cửa sổ command window

Hình 4.2 Kết quả quỹ đạo chuyển động của chất điểm

II Kết luận

Kết luận về nội dung đã thực hiện trong đề tài này?

Ví dụ: Đề tài này đã hỗ trợ xác định quỹ đạo chuyển động ném xiên trong trọng trường

có lực cản môi trường Với phương pháp sử dụng phần mềm Matlab có thể giúp thuận tiện và dễ dàng hơn trong việc giải các bài toán tương tự mà không thể giải được bằng tay

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]

[2]

[3]

[4]

Ví dụ:

[1] Lỗ đen vũ trụ Truy cập 25/12/2012/http:// Wikipedia.com

[2] Hồ Phan Minh Đức & cộng sự (2010), Nghiên cứu tình hình vận dụng chế độ kế

toán của các doanh nghiệp trên địa bàn tỉnh Thừa Thiên Huế, Tạp chí Khoa học Đại học

Huế, Tập 62, Số 28, tr 45 – 55

[3] …

PHỤ LỤC

Đoạn code chúng em sử dụng trong ứng dụng MATLAB:

syms x y t; % tạo biến kiểu symbolic

x = 3*t^2 - (4/3)*t^3; % biến x kiểu symbolic

y = 8*t; % biến y kiểu symbolic

v = diff(y) / diff(x); % hàm diff nghĩa là đạo hàm

a = diff(v); % đạo hàm vận tốc (v)

r = (v^2)/a; % bán kính cong

fplot(x,y,[0 5]); % vẽ quỹ đạo từ t=0->t=5

grid on; % tạo lưới trong đồ thị

disp('Ban kinh cong quy dao tai t=1(s) la: '); % xuất dòng chữ ra màn hình disp(subs(r,1)); % xuất kết quả ra màn hình