Ta xét một số tính chất cơ bản thường gặp của hàm số : Tính chất 1: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.. Do tam giác ABC đã cân tại A nên chỉ có thể vuông cân tại đỉnh A.. T
Trang 1Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng
2
0
2
x
x
a
=
′
= −
DẠNG 1 BIỆN LUẬN VỀ SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Hàm số có một cực trị khi y′ chỉ đổi dấu một lần, tức là 0
2
a
Hàm số có một cực trị khi y′ chỉ đổi dấu ba lần, tức là y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt 0
2
⇔ − b >
a
Ví dụ 1: Cho hàm số = 4− 2+ −
Tìm m để
a) hàm số có 1 cực trị
b) hàm số có 3 cực trị
Hướng dẫn giải :
2
0
′
=
x
a) Hàm số có một cực trị khi m ≤ 0
b) Hàm số có ba cực trị khi m > 0
Ví dụ 2: Cho hàm số =( + ) 4− 2+ −
Biện luận theo m số cực trị của hàm số đã cho
Hướng dẫn giải :
2
0
=
x
TH1 : m= −1⇒y′=6 ;x y= ⇔ =0 x 0
Trong trường hợp này hàm số có một cực trị, và đó là điểm cực tiểu
1, 1
1
+
m
m
+ Hàm số có một cực trị khi 3 0 1 0
+
m
m m
+ Hàm số có ba cực trị khi 3 0 0
1 1
>
> ⇔
< −
m m
m m
Kết luận :
Hàm số có một cực trị khi 1− ≤ ≤m 0
Hàm số có ba cực trị khi 0
1
>
< −
m m
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Biện luận theo m số cực trị của các hàm số sau :
a) y= −2x4−(2m+1)x2+ +m 3
b) y= −(1 m x) 4−(3m+1)x2+2m+5
c) y=(3m2−2)x4−mx2 +m3−1
DẠNG 2 TÍNH CHẤT CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
TH1: Hàm số có ba điểm cực trị A, B, C
+ Tìm điều kiện tồn tại ba điểm cực trị : 0 ( )*
2
− b >
a
02 CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG
Trang 2+ Với điều kiện (*) ta có 2
3
0
0
2
2
b
a b
a
Do hàm chẵn với x nên các điểm B, C có y B = y C
Nhận xét : A ∈ Oy, B ; C đối xứng nhau qua Oy nên tam giác ABC luôn là tam giác cân tại A
Ta xét một số tính chất cơ bản thường gặp của hàm số :
Tính chất 1: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân
Do tam giác ABC đã cân tại A nên chỉ có thể vuông cân tại đỉnh A
Khi đo ta có điều kiện AB AC =0, 1( )
2
⇔ = ⇔ + B − A =
b
a Giá trị m tìm được kết hợp với điều kiện tồn tại ở (*) cho ta kết
quả cuối cùng của bài toán
Ngoài ra ta cũng có thể dùng điều kiện Pitago cho tam giác cân
ABC : AB2+AC2 =BC2⇔2AB2 =BC 2
Tính chất 2: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác đều
, 2
2
2
Giá trị m tìm được kết hợp với điều kiện tồn tại ở (*) cho ta kết
quả cuối cùng của bài toán
Tính chất 3: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có một góc bằng 120 0
Tam giác ABC cân tại A nên BAC=1200 Gọi H là trung điểm của BC⇒H(0;y B)
cosHAB= AH ⇔cos 60 = AH ⇔AB=2AH ⇔AB =4AH , 3
2
b
2
−
b
a Giá trị m tìm được kết hợp với điều kiện tồn tại ở (*) cho ta kết quả cuối cùng của bài toán
Tính chất 4: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích S = S o cho trước
2
2
b
2
−
b
a Giá trị m tìm được kết hợp với điều kiện tồn tại ở (*) cho ta kết quả cuối cùng của bài toán
Tính chất 5: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp R cho trước
Sử dụng công thức diện tích tam giác
2
1
2
Giải phương trình trên ta được giá trị của m, đối chiếu với (*) cho ta kết luận cuối cùng
Trang 3Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng
Tính chất 6: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có trọng tâm G(0; α) cho trước
Ta có điều kiện trong trường hợp này là α 2 3α
3
Ví dụ 1: (ĐH khối B - 2011)
Cho hàm số y=x4−2(m+1)x2+m , với m là tham số
Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC, với O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị
thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại
Hướng dẫn giải :
1
=
= +
x
Hàm số có ba điểm cực trị khi phương trình y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ + > ⇔ > −m 1 0 m 1, *( )
Với m > −1 thì
2
2
0
0; , + −1; − −1 , − + −1; − −1
2 2 2
= −
m
m
Kết hợp với điều kiện (*) ta được m= ±2 2 2 là các giá trị cần tìm
Ví dụ 2: (Dự bị khối B - 2003)
Cho hàm số = 4− 2 2+
y x m x , với m là tham số
Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân
Hướng dẫn giải :
=
x
Hàm số có ba điểm cực trị khi phương trình y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔m2> ⇔ ≠0 m 0, *( )
4
1
Ta nhận thấy tam giác ∆ABC luôn cân tại A Để ∆ABC vuông cân thì phải vuông cân tại A
1
=
= ±
Kết hợp với điều kiện (*) ta được m= ±1 là các giá trị cần tìm
Ví dụ 3: Cho hàm số = 4+ 2− −
y x mx m , với m là tham số
Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác
a) có diện tích bằng 4 2
b) đều
c) có một góc bằng 120 0
Hướng dẫn giải :
2
0
= −
x
Hàm số có ba điểm cực trị khi phương trình y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt, tức là m < 0, (*)
Với m < 0 thì
2
1
Ta nhận thấy A thuộc Oy, B ; C đối xứng qua Oy nên tam giác ABC cân tại A
Trang 4a) Gọi H là trung điểm của ( 2 )
2
1 ⇔ −4 m m =128⇔m = −32⇒m= −2
Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy m = −2 là giá trị cần tìm
, 2
3
0
3
=
= −
m
m
Đối chiếu với điều kiện (*) ta được m= −33 là giá trị cần tìm
c) Tam giác ABC cân tại A nên để có một góc bằng 1200 thì BAC=1200
2
3
0
3
=
m
m
Đối chiếu với điều kiện (*) ta được
3
1 3
= −
m là giá trị cần tìm
Ví dụ 4: Cho hàm số = 4− 2+ −
y x mx m , với m là tham số
Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có bán kính
đườ ng tròn ngoại tiếp bằng 2
Hướng dẫn giải :
2
0
=
x
Hàm số có ba điểm cực trị khi phương trình y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt, tức là m > 0, (*)
2
1
Ta nhận thấy A thuộc Oy, B ; C đối xứng qua Oy nên tam giác ABC cân tại A
, 1
2
=
2
1
2
=
=
m
Đối chiếu với điều kiện (*) ta được 1; 5 1
2
−
m m là các giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán
Ví dụ 5: (Khối A - 2012)
Cho hàm số y=x4−2(m+1)x2+m2 ( )1 , với m là tham số
Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông
Hướng dẫn giải :
2
0
1
=
= +
x
Trang 5Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng
Hàm số có ba điểm cực trị khi phương trình y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ + > ⇔ > −m 1 0 m 1, *( )
2
2
0
Ta nhận thấy tam giác ∆ABC luôn cân tại A Để ∆ABC vuông cân thì phải vuông cân tại A
Ta có AB=( m+ − +1; (m 1) ;2) AC= −( m+ − +1; (m 1)2)
Kết hợp với điều kiện (*) ta được m = 0 là các giá trị cần tìm
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: Cho hàm số y=x4−4mx2+2m+1, với m là tham số
Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác
a) có diện tích bằng 3 2
b) có trọng tâm là 0;2
3
G
c) có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1
Bài 2: Tìm m để hàm số y=x4−2m x2 2+1 có ba điểm cực trị A, B, C sao cho
a) tam giác ABC đều
b) OA= 2BC trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc Oy, B ; C là hai điểm cực trị còn lại ,
Bài 3: Tìm m để hàm số 4 ( ) 2 2
y x m x m m có ba điểm cực trị và là ba đỉnh của một tam giác vuông cân
Đ/s : m = 1
Bài 4: Tìm m để hàm số 4 2 2
2
y x mx m m có ba điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một
tam giác có một góc bằng 1200
Đ /s : = −
3
1
3
m
Với những giá trị nào của m thì đồ thị (C m) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có
diện tích bằng 4
Đ /s : m=5 16
Bài 6: Cho hàm số y=x4−2m x2 2+1 (1)
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C và diện tích của tam giác ABC bằng 32
Bài 7: Cho hàm số 4 2
y x mx m có đồ thị (C m)
Với những giá trị nào của m thì đồ thị (C m) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có
bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1
Đ /s : = ; = 5−1
1
2