Vậy với m= − thì thõa mãn ñiều kiện bài toán.
Trang 1Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
BTVN BÀI CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ (TIẾT 1)
Bài 1: Tìm m ñể hàm số y=x3+mx+ ñạt cực tiểu tại x=1 2
Giải:
a) ðiều kiện cần:
ðể hàm số ñạt cực tiểu tại x=1 thì: 0
0
'( ) '(1) 0 ''( ) ''(1) 0
f x f
f x f
= >
3 0
3 6.1 0
m
m
+ =
>
b) ðiều kiện ñủ:
Khi m= − ta có: 3 y=x3−3x+ ⇒2 y'=3x2− =3 0⇔x2 = ⇔1 x= ± 1 Lập bảng biến thiên ta có: x=1 là ñiểm cực tiểu
Vậy với m= − thì thõa mãn ñiều kiện bài toán 3 Bài 2: Tìm m ñể hàm số 1 3 2
1 3
y= x −mx − +x m+ ñạt Cð, CT và khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất
Giải:
Ta có:y'=x2−2mx− =1 g x( ) Ta có:∆'g =m2+ ≥ > 1 1 0 Vậy hàm số luôn có Cð, CT
Gọi 2 ñiểm Cð, CT có tọa ñộ lần lượt là:A x y( 1; 1); (B x2;y2)
Ta chia y cho y’ thì ta ñược:
2
2
Vậy 2 ( )2 ( )2 ( )2 ( 2 )2
4
9
Theo Viet ta lại có: 1 2 ( )2 ( 2 )
1 2
1 2
2
1
b
a
c
x x a
+ = − =
= = −
Trang 2Vậy min 52
3
AB = Dấu “=” xảy ra khi m=0
Bài 3: Tìm m ñể hàm sốy=x3−3x2+ có Cð, CT nằm về 2 phía của ñường tròn có phương 2
trình:x2+y2−2mx−4my+5m− = 1 0 Giải:
Ta dễ dàng tìm ñược 2 ñiểm cực trị của hàm số y=x3−3x2+ là:2 (0; 2)và 2; 2( − )
ðể 2 cực trị nằm về 2 phía trong và ngoài của ñường tròn thì ta gọi:
2 2
(0; 2) 3 3
(2; 2) 9 7
7
9
f x y x y mx my m
m
= −
− = − + <
⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞
Vậy với ; 7 (1; )
9
∈ −∞ − ∪ +∞
thì thõa mãn ñiều kiện bài toán
Bài 4: Cho hàm số: ( ) 2 3 (cos 3sin ) 2 8 1 cos 2( ) 1
3
f x = x + a− a x − + a x+ a) CMR: Hàm số luôn có Cð, CT
b) Giả sử hàm số ñạt cực trị tại x1, x2 CMR: 2 2
x +x ≤
Giải:
a) Xét phương trình: ( )f′ x =2x2+2 cos( a−3sina x) −8 1 cos 2( + a)= 0
Ta có: ∆ =′ (cosa−3sina)2+16 1 cos 2( + a)=(cosa−3sina)2+32cos2a≥0∀ a Nếu ∆ = ⇔′ 0 cosa−3sina=cosa= ⇔0 sina=cosa⇒sin2a+cos2a= (vô lý) 0
Vậy ∆′ > 0 ∀a ⇒ f ′(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số có Cð, CT
b) Theo Viet ta có: 3sin cos ; 4 1 cos 2( )
x +x = a− a x x = − + a
2 3sin cos 8 1 cos2
1 2 1 2 1 2
2
9 8cos 6sin cos
= + − = +9 9 sin( 2a+cos2a)−(3sina+cosa)2=18−(3sina+cosa)2≤18
Trang 3Bài 5: Cho hàm số ( ) 1 3 ( 1) 2 3( 2) 1
f x = mx − m− x + m− x+ Tìm m ñể hàm số ñạt cực trị tại
x1, x2 thoả mãn x1+2x2 =1
Giải:
Hàm số có Cð, CT ⇔ f′( )x =mx2−2(m−1)x+3(m−2)= có 2 nghiệm phân biệt ⇔ 0
0 2
1 3 2 0
m
≠
′
∆ = − − − > ⇔
− < ≠ < + (*)
Với ñiều kiện (*) thì f′( )x =0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số f (x) ñạt cực trị tại
x1, x2 Theo ñịnh lý Viet ta có: x1 x2 2(m 1);x x1 2 3(m 2)
Ta có: x1 2x2 1 x2 1 2(m 1) 2 m;x1 2(m 1) 2 m 3m 4
2 m 3m 4 3(m 2) (2 m) (3m 4) 3m m( 2)
−
2 2 3
m m
=
⇔
=
Cả 2 giá trị này ñều thoả mãn ñiều kiện (*) Vậy x1+2x2=1 2 2
3
……….Hết………
Nguồn: Hocmai.vn