Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
Bài 1: Tìm m ñể ( ) f x =2x3+3(m−1)x2 +6m(1 2− m x) có Cð, CT nằm trên ñường thẳng
Giải:
Ta có: ( )f′ x =6[x2+(m−1)x+m(1 2− m)]=0
⇔ ( )g x =x2+(m−1)x+m(1 2− m)=0
Hàm số có Cð, CT ⇔g x( )=0 có 2 nghiệm phân biệt (3 1)2 0 1
3
⇔ ∆ = − > ⇔ ≠ Thực hiện phép chia f (x) cho g(x) ta có:
f x( )=(2x+m−1) ( ) (g x − 3m−1)2x+m m( −1 1 2) ( − m)
3
m ≠ thì phương trình ( )g x =0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số
y = f (x) ñạt cực trị tại x1, x2 Ta có: g x( )1 =g x( )2 =0 nên suy ra
y1= f x( )1 = −(m−3)2x1+m m( −1 1 2) ( − m);y2= −(m−3)2x2+m m( −1 1 2) ( − m)
⇒ ðường thẳng ñi qua Cð, CT là (∆): y= −(3m−1)2 x+m m( −1 1 2) ( − m)
ðể cực ñại, cực tiểu nằm trên ñường thẳng (d): y = −4x thì (∆) ≡ (d)
1 1 2 0
1 1 2 0
m
m
− − = −
Bài 2: Tìm m ñể ( ) f x =x3+mx2 +7x+3 có ñường thẳng ñi qua Cð, CT vuông góc với
Giải:
Hàm số có Cð, CT ⇔ f′( )x =3x2 +2mx+7 0= có 2 nghiệm phân biệt
⇔ ∆ =′ m2−21 0> ⇔ m > 21 Thực hiện phép chia f (x) cho f ′(x) ta có:
f x = x+m f′ x + −m x+ − Với m > 21 thì phương trình f′( )x =0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số y = f (x)
ñạt cực trị tại x1, x2 Ta có: f′( )x1 = f′( )x2 =0 suy ra
y = f x = −m x + − y = f x = −m x + −
y= −m x+ −
9 −m = − ⇔m = 2 > ⇔m= ± 2
Trang 2Bài 3: Tìm m ñể hàm số ( ) f x =x3 −3x2 +m x2 +m có cực ñại, cực tiểu ñối xứng nhau qua
y= x− Giải:
Hàm số có Cð, CT ⇔ f′( )x =3x2−6x+m2 =0 có 2 nghiệm phân biệt
⇔ ∆ = −′ 9 3m2 >0⇔ m < 3 Thực hiện phép chia f (x) cho f ′(x) ta có:
f x = x− f′ x + m − x+ +m
Với m < 3 thì phương trình f′( )x =0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số y = f (x)
ñạt cực trị tại x1, x2 Ta có: f′( )x1 = f′( )x2 =0 nên
y =f x = m − x + +m y = f x = m − x + +m
y= m − x+ +m Các ñiểm cực trị A x y( 1, 1),B x( 2,y2) ñối xứng nhau qua ( ): 1 5
y x
⇔ (d) ⊥ (∆) tại trung ñiểm I của AB (*) Ta có 1 2 1
2
I
x x
x = + = suy ra
(*) ⇔
2
2 2
0
0 5
m
=
+ =
Bài 4: Tìm m ñể hàm số 3 3 2
( )
2
m
f x =x − x +m có các Cð và CT nằm về hai phía của ñường thẳng y = x
Giải:
Hàm số có Cð và CT ⇔ f x′( ) 3= x2−3mx=0 có 2 nghiệm phân biệt⇔m≠0
Khi ñó f’(x) có 2 nghiệm phân biệt x1=0;x2 =m
3
2
m
Hai ñiểm A, B nằm về hai phía của ñường thẳng y = x hay x – y = 0 khi và chỉ khi:
m m m
− − + < ⇔ − < , luôn ñúng với m ≠0
Trang 3Bài 5: Chứng minh rằng: Hàm số y=x4−6x2+4x+6 luôn có 3 cực trị, ñồng thời gốc tọa ñộ
O là trọng tâm của tam giác tạo bởi 3 ñỉnh là 3 cực trị
Giải:
Ta có: y' 4= x3−12x+ =4 0⇔g x( )=x3−3x+ =1 0(*)
ðể hàm số có 3 cực trị thì (*) phải có 3 nghiệm phân biệt
Vậy ñồ thị của g(x) luôn cắt Ox tại 3 ñiểm phân biệt nên hàm f(x) có 3 cực trị
Áp dụng hệ thức Viet vào PT (*) ta có:
1 2 2 3 3 1
1 2 3
0
3 1
O
b
a
c
a d
x x x
a
= − = −
3
O
Thật vậy chia f(x) cho g(x) ta có: ( ) ( ) (3 2 4 6)
( ) 0
g x
=
2
2
2
2
……….Hết………
Nguồn: Hocmai.vn