Chuyên đề GTLN-GTNN của hàm số luyện thi THPTQG

Website tailieumontoan com CHUYÊN ĐỀ GTLN GTNN CỦA HÀM SỐ LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂm 2019 (Sản phẩm của tập thể thầy cô Tổ 12 STRONG TEAM) Câu 1 Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn Khi đó là A B C D Câu 2 Gọi , lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn Khi đó nằm trong khoảng nào? A B C D Câu 3 Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn Khi đó bằng A B C D Câu 4 Giá trị nhỏ nhất hàm số trên là phâ[.]

CHUYÊN ĐỀ GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐLUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2019 (Sản phẩm của tập thể thầy cô Tổ 12-STRONG TEAM)

Câu 1. Gọi M m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số , 2sin 3

sin 1

x y

x

+

=

+ trên đoạn0;

Câu 2. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y= − +x3 3x2−3 trên đoạn

[ ]1;3 Khi đó M m+ nằm trong khoảng nào?

A (2019; 2024 ) B (2024; 2028 ) C (2028; 2032 ) D (2015; 2019 )

Câu 10. Tính tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số cos 2cos3

3

y= x− x trên đoạn[ ]0;π

y= − +x mx − m + +m x Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao

cho giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [−1;1] bằng 6− Tính tổng các phần tử của S

Câu 13. Cho hình chóp S ABC Mặt phẳng ( )P song song với đáy cắt các cạnh SA , SB , SC lần lượt

tại D , E , F Gọi D , 1 E , 1 F tương ứng là hình chiếu vuông góc của D , E , F lên mặt phẳng1

(ABC (tham khảo hình vẽ bên) V là thể tích khối chóp ) S ABC Giá trị lớn nhất của thể tích

khối đa diện DEFD E F bằng:1 1 1

x m y

Câu 18. Cho hàm số f x( ) 8cos= 4x a+ cos2x b+ , trong đó a , b là các tham số thực Gọi M là giá trị

lớn nhất của hàm số Tính tổng a b+ khi M nhận giá trị nhỏ nhất.

52;

f x = x +ax b+ , với a , b là tham số Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số

trên [−1;3] Khi M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính a+2b

(III): Hàm số không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

(IV): Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 0

A ymin = +4 2 B ymin = −4 2 C ymin = 2 D ymin =1.

Câu 28. Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB=4( )km Trên bờ biển có một

cái kho ở vị trí C cách B một khoảng BC=7( )km Người canh hải đăng phải chèo thuyền từ

vị trí A đến vị trí M trên bờ biển với vận tốc 6(km h rồi đi xe đạp từ M đến C với vận tốc/ )

Câu 29. Một màn hình chữ nhật cao 1,4 m được đặt ở độ cao 1,8 m so với tầm mắt (tính từ đầu mép

dưới của màn hình) Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao cho góc nhìn lớn nhất Hãy

xác định vị trí đó ( ·BOC gọi là góc nhìn)

A 2,1 m B 2, 2 m

C 2, 4 m D 2,6 m

Câu 30. Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 2020 ( )m Người chủ muốn mở rộng khuôn viên2

thành khu sinh thái mới có dạng hình tròn ngoại tiếp mảnh vườn cũ Diện tích nhỏ nhất củaphần đất được mở rộng thêm gần nhất với kết quả nào sau đây (tham khảo hình vẽ dưới)

A 3173( )m 2 B 12692( )m 2 C 1153( )m 2 D 10672( )m 2

Câu 31. Ông A dự định sử dụng hết 6,5m kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật2

không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể) Bể cá códung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)? (Trích đề thi chínhthức THPT năm 2018)

Câu 32. Một doanh nghiệp kinh doanh xe máy mỗi tháng bình quân bán được 1000 chiếc xe cùng loại

với giá 35 triệu đồng mỗi chiếc Để gia tăng lợi nhuận nên doanh nghiệp quyết định thay đổigiá bán Theo thông kê của doanh nghiệp, nếu giảm giá 1 triệu đồng/chiếc thì doanh số sẽ tăng

thêm 50 chiếc so với bình quân và ngược lại nếu tăng giá bán 1 triệu đồng/chiếc thì doanh sốgiảm tương ứng 50 chiếc so với bình quân, giá gốc mỗi chiếc xe là 30 triệu đồng, mỗi chiếc xebán ra được hưởng chiếc khấu 8%(trên giá gốc) từ công ty Hỏi doanh nghiệp phải bán với giábao nhiêu để được lợi nhuận cao nhất.

A 41 triệu B 41,1 triệu C 41,2 triệu D 41,3 triệu

Câu 33. Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị y= f x'( )như hình vẽ:

Câu 34. Cho hai số thực dương x , y thay đổi thỏa mãn đẳng thức: (xy−1 2) 2xy− 1=(x2 +y)2x2 +y Tìm

giá trị nhỏ nhất ymin của y

A ymin = 3. B ymin = 3. C ymin = 1. D ymin = 2.

Câu 35. Cho các số thực ,x y thỏa mãn x≥0,y≥0,x y+ =1. Gọi M m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ,

Câu 39. Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn 1≤ ≤ ≤ ≤x y z 2 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

Câu 41. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình: ( )2

2 2sin 2+ x m− 1 cos+ x =0 có nghiệm

Câu 42. Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ sau

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình

Câu 43. Cho hàm số ( )f x liên tục trên (0;+∞), thỏa mãn 3x.f x( )−x f x2 '( ) =2f2( )x f x, ( ) 0≠ với

Câu 44. Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên ¡ và hàm số y= f x′( ) có đồ thị như hình vẽ sau

Bất phương trình 3f x m( )+ +4f x m( )+ ≤5f x( )+ +2 5m đúng với mọi x∈ −( 1; 2) khi và chỉ khi

D= ∈x ¡ x − x + ≤ Gọi M m lần lượt là GTLN, GTNN của , f x trên tập D ( )

Tính giá trị của biểu thức S=21m+6M +2019

Câu 48 Giá trị nhỏ nhất của hàm số y=4( 2 1+ ) (x+ 2 1− )x thuộc khoảng nào sau đây

A ( )2; 4 B ( )3;5 C ( )4;5 D ( )5;6

Câu 49. Trong một kho có nhiều miếng tôn hình chữ nhật khác nhau đủ loại kích thước có cùng chu vi

là 240 cm Một bác thợ hàn dự định làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ một mảnh tôntrong số đó Hỏi bác thợ hàn cần chọn miếng tôn có chiều rộng và chiều dài bằng bao nhiêu để

A 40 cm; 80 cm B 50 cm; 70 cm C 60 cm; 60 cm D 30 cm; 90 cm.

Câu 50. Cho hai số thực x , y thỏa mãn x≥0, y≥1; x y+ =3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

biểu thức P x= +3 2y2+3x2+4xy−5x lần lượt bằng

A. 20 và 15 B. 20 và 18 C. 18 và 15 D. 15 và 13

Câu 51: Cho hàm số y= f x liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ dưới đây Tìm giá trị lớn nhất( )

của hàm số y= f(2sinx trên ) (0;π) là:

HẾT

BẢNG ĐÁP ÁN

11.B 12.A 13.C 14.D 15.B 16.D 17.B 18.A 19.B 20.D21.B 22.A 23.C 24.A 25.D 26.A 27.D 28 29.C 30.C31.D 32.D 33.A 34.D 35.A 36.A 37.B 38.D 39.D 40.D41.C 42.C 43.C 44.D 45.D 46.A 47.C 48.B 49.A 50.A51.C

Câu 1. Gọi M m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số , 2sin 3

sin 1

x y

x

+

=

+ trên đoạn0;

Đặt t=sinx Với 0;

2

∈   thì 0 sin≤ x≤1 hay 0≤ ≤t 1.Khi đó ( ) 2 3

Câu 2. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y= − +x3 3x2−3 trên đoạn

[ ]1;3 Khi đó M m+ nằm trong khoảng nào?

Ta có BBT của hàm số f x( ) = − +x3 3x2−3 trên đoạn [ ]1;3

Gọi x x là hai nghiệm trên đoạn 1, 2 [ ]1;3 (giả sử x1<x2) của phương trình 3 2

3 3 0

Khi đó ta có BBT của hàm số g x( ) = − +x3 3x2 −3 trên đoạn [ ]1;3

Từ BBT ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số y= − +x3 3x2−3 trên đoạn [ ]1;3 bằng 3 và giá trịnhỏ nhất của hàm số y= − +x3 3x2−3 trên đoạn [ ]1;3 bằng 0

A 53 B 55 C 57 D 59

Lời giải Chọn B

0 TM2(TM)2

x x x

4 tại

22

Điều kiện xác định của hàm số là 3 0 3

Câu 6. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

4 8 2 3 2 6 2019

y= x − x + x+ + x+ =2(2x2+3x+ −2) 8 2x2+3x+ +2 2015

Đặt t= 2x2+3x+2 Hàm số đã cho trở thành y= f t( ) 2= t2− +8t 2015

 = −

⇔ 

= +

 ⇒ = +m 5 10.+ Vậy giá trị cần tìm là m= −1 2 hoặc m= +5 10 Vậy S có số phần tử là 2.

Câu 8. Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sin cos 1

3

.Vậy M + 3m=1

Câu 9. Giá trị lớn nhất của hàm số f x( ) (= 2x+4) 4−x2 +x2(4−x2)+4x+2007 thuộc khoảng nào

dưới đây?

A (2019; 2024 ) B (2024; 2028 ) C (2028; 2032 ) D (2015; 2019 )

Lời giải Chọn B

x

′ = −

− ; t′ =0 ⇔ 4 x− 2 =x 2 2

04

Do đó, giá trị lớn nhất của f x bằng ( ) (2015 8 2+ ) ∈(2024; 2028) đạt tại x= 2

Câu 10. Tính tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số cos 2cos3

3

y= x− x trên đoạn[ ]0;π

Xét hàm số ( ) 2 3

cos cos

3

y= f x = x− x trên đoạn [ ]0;π Đặt t=cosx Ta có t∈ −[ 1;1] và hàm số đã cho trở thành ( ) 2 3

3

≥ + = (Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương x và 1

0

x x

x x

( ) 2

114

Câu 12. Cho hàm số y= − +x3 mx2−(m2+ +m 1)x Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao

cho giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [−1;1] bằng 6− Tính tổng các phần tử của S

Lời giải Chọn A

Do đó 2 2 6 2

2

m m

Câu 13. Cho hình chóp S ABC Mặt phẳng ( )P song song với đáy cắt các cạnh SA , SB , SC lần lượt

tại D , E , F Gọi D , 1 E , 1 F tương ứng là hình chiếu vuông góc của D , E , F lên mặt phẳng1

(ABC (tham khảo hình vẽ bên) V là thể tích khối chóp ) S ABC Giá trị lớn nhất của thể tích

khối đa diện DEFD E F bằng:1 1 1

Mặt phẳng ( )P song song với đáy cắt các cạnh SA , SB , SC lần lượt tại D , E , F

⇒DE , DF , EF song song với mặt phẳng (ABC )

⇒ Hai tam giác DEF và ABC đồng dạng theo tỉ số DE SD

∆

∆

= .

Do D , 1 E , 1 F tương ứng là hình chiếu vuông góc của D , E , F lên mặt phẳng 1 (ABC nên )

khối đa diện DEFD E F là một hình lăng trụ đứng có chiều cao 1 1 1 DD và đáy là DEF1 ∆

Gọi h là chiều cao của hình chóp S ABC thì DD1

h

AD AS

= = −1 x ⇒DD1= −(1 x h) Thể tích khối đa diện DEFD E F là:1 1 1

Ta có BBT:

Dựa vào BBT thì hàm số đạt giá trị lớn nhất trên( )0;1 tại 2

minmin

Do đó f t nghịch biến trên 2;2 2( )   ⇒ min f t( ) = f ( )2 2 =2 2 16− .

Yêu cầu bài toán ⇔2 2 16− ≤ ≤m 2 2.

Vậy có 16 giá trị m thỏa mãn

Câu 15. Cho hàm số

2sinsin 2

x m y

Ta thấy m= −6 thỏa mãn yêu cầu bài toán là [min0;ln 4] f x( ) =6.

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 17. Cho m=loga 3 ab với a>1, b>1 và P=log2a b+16logb a Để P đạt giá trị nhỏ nhất thì giá

Lời giải Chọn B

Với a>1, b>1, ta có: 1(1 log )

3log 0

Câu 18. Cho hàm số f x( ) 8cos= 4x a+ cos2x b+ , trong đó a , b là các tham số thực Gọi M là giá trị

lớn nhất của hàm số Tính tổng a b+ khi M nhận giá trị nhỏ nhất.

A a b+ = −7 B a b+ = −9 C a b+ =0 D a b+ = −8

Lời giải Chọn A

Xét f x( ) 8cos= 4 x a+ cos2 x b+

Đặt t=cos2 x⇒ ∈t [ ]0;1 ⇒ f t( )= 8t2+ +at b và M =max ( )f t

Khi đó:

( ) ( )

0

1 812

a b

52;

5 0;2

3 0; 2

2 0; 2

x x x

Do đó max[ ]0;2 y=max[ ]0;2 f x( ) =max{ m m, +26} ≤20 26 20

é- + =ê

Û ê =ê

6455

m m m m

é =ê

ê ê

=-Û ê =ê

ê ë

=-

Thử lại ta thấy với m=- hoặc 4 m= thỏa mãn yêu cầu bài toán.5

Câu 22. Giá trị lớn nhất của hàm số f x( ) = x3+3x2−72x+90+m trên đoạn [−5;5] là 2018 Trong

các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng?

A 1600< <m 1700 B m=400 C m<1618 D 1500< <m 1600

Lời giải Chọn A

Câu 23. Xét hàm số f x( ) = x2+ax b+ , với a , b là tham số Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số

trên [−1;3] Khi M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính a+2b

Lời giải Chọn C

Ta có { }

max ,max ,

a b

21

Ta tìm được: max[ ]0;2 f x( ) =1,

[ ]0;2 ( )

min f x = 2 3 3− khi đó: M =max{ m+1 ;m+2 3 3− }Như vậy: M ≥ m+1; M ≥ −3 2 3−m ⇒2M ≥ m+ + −1 3 2 3−m ≥ −4 2 3

Dấu “=” xảy ra ⇔ = −m 1 3 ⇒Mmin = −2 3.

Câu 25. Cho hàm số y= f x( )=e x2 +3 x4 −1 Xét các mệnh đề:

(I): Hàm số có tập xác định là D= −[ 1;1]

(II): Hàm số có tập xác định là D=¡

(III): Hàm số không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

(IV): Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 0

Số mệnh đề đúng là:

Lời giải Chọn D

Do x2 +4x+16 2 3≥ Dựa vào bảng biến thiên ta có f ′( x2+4x +16) 0<

Ta có f ′( x2+4x +16) 2 0− < với mọi x ∈¡ nên ( ) 0g x′ = ⇔ = −x 2

Ta có bảng biến thiên

Vậy tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của ( )g x trên [−4;0] bằng 2.

Câu 27. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 1 sin+ x+ 1 cos+ x là

A ymin = +4 2 B ymin = −4 2 C ymin = 2 D ymin =1

Lời giải Chọn D

Bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên ta được giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1

Câu 28. Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB=4( )km Trên bờ biển có một

cái kho ở vị trí C cách B một khoảng BC=7( )km Người canh hải đăng phải chèo thuyền từ

vị trí A đến vị trí M trên bờ biển với vận tốc 6(km h rồi đi xe đạp từ M đến C với vận tốc/ )

Câu 29. Một màn hình chữ nhật cao 1,4 m được đặt ở độ cao 1,8 m so với tầm mắt (tính từ đầu mép

dưới của màn hình) Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao cho góc nhìn lớn nhất Hãy

Với bài toán này ta cần xác định OA sao cho góc ·BOC lớn nhất Điều này xảy ra khi và chỉ

khi tan BOC lớn nhất Đặt · OA x (m) với = x>0, ta có:

2

tan tantan tan

1, 4

1, 4

3, 2.1,8 5,761

++

x x

x x

Xét hàm số ( ) 21, 4

5,76

=+

Câu 30. Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 2020 ( )m Người chủ muốn mở rộng khuôn viên2

thành khu sinh thái mới có dạng hình tròn ngoại tiếp mảnh vườn cũ Diện tích nhỏ nhất củaphần đất được mở rộng thêm gần nhất với kết quả nào sau đây (tham khảo hình vẽ dưới)

Giả sử mảnh vườn hình chữ nhật ban đầu có một kích thước là x ( )m (x>0)

⇒ Kích thước còn lại là: 2020

x ( )m

Khu sinh thái mới (có dạng hình tròn ngoại tiếp mảnh vườn cũ) có đường kính bằng độ dàiđường chéo của mảnh vườn ban đầu Suy ra khu sinh thái có bán kính là:

Ta có bảng biến thiên của hàm số f x :( )

Vậy diện tích nhỏ nhất của phần đất được mở rộng thêm là 1010(π − ≈2) 1153( )m 2

Câu 31. Ông A dự định sử dụng hết 6,5m kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật2

không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể) Bể cá códung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)? (Trích đề thi chínhthức THPT năm 2018)

A 2, 26 m 3 B 1,61m 3 C 1,33m 3 D 1,50 m 3

Lời giải Chọn D

Gọi các kích thước của hình hộp chữ nhật là: x m( ); 2x m h m ; ,( ) ( ); x h>0

Ta có hình vẽ tương ứng:

Ta có tổng diện tích phần lắp kính là: S =2 x x+2 .x h+2.2 x h=6,5 6,5 2 2

6

x h

396

Ta nhận được kết quả tương tự

Câu 32. Một doanh nghiệp kinh doanh xe máy mỗi tháng bình quân bán được 1000 chiếc xe cùng loại

với giá 35 triệu đồng mỗi chiếc Để gia tăng lợi nhuận nên doanh nghiệp quyết định thay đổigiá bán Theo thông kê của doanh nghiệp, nếu giảm giá 1 triệu đồng/chiếc thì doanh số sẽ tăngthêm 50 chiếc so với bình quân và ngược lại nếu tăng giá bán 1 triệu đồng/chiếc thì doanh sốgiảm tương ứng 50 chiếc so với bình quân, giá gốc mỗi chiếc xe là 30 triệu đồng, mỗi chiếc xebán ra được hưởng chiếc khấu 8%(trên giá gốc) từ công ty Hỏi doanh nghiệp phải bán với giábao nhiêu để được lợi nhuận cao nhất

A 41 triệu B 41,1 triệu C 41,2 triệu D 41,3 triệu.

Lời giải Chọn D

Gọi x là số tiền thay đổi so với giá bán ban đầu (− ≤ ≤5 x 20) ( đơn vị tính : triệu đồng)

Nếu x>0 :tăng giá ;x<0 giảm giá

Số xe bán được : 1000 50x−

Giá tiền mỗi xe : 35 x+

Lợi nhuận mỗi xe : 35+ − +x 30 0,08.30 7, 4 x= +

Lợi nhuận : T =(7, 4+x) (1000 50− x)

Ta có : T =(7, 4+x) (1000 50− x) ( )2

370 50x 1000 50x

9384,550.4

Dấu bằng xảy ra khi : 370 50x 1000 50x+ = − ⇔ =x 6,3

Vậy lợi nhuận đạt lớn nhất là 9,3845 tỷ khi tăng giá bán 6,3 triệu đồng mỗi chiếc

Câu 33. Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị y= f x'( )như hình vẽ:

Câu 34. Cho hai số thực dương x , y thay đổi thỏa mãn đẳng thức: (xy−1 2) 2xy−1=(x2 +y)2x2+y Tìm

giá trị nhỏ nhất ymin của y

A ymin = 3. B ymin = 3. C ymin = 1. D ymin = 2.

Lời giải Chọn D

Câu 35. Cho các số thực ,x y thỏa mãn x≥0,y≥0,x y+ =1 Gọi M m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ,

y x y

Dấu bằng xảy ra khi ( )2 1

14

3( )21( )2

12

3.

Lời giải Chọn B

Ta có mặt cầu: ( ): (1;1;110)

2

I S R

Lời giải Chọn D

Ta có 1≤ ≤x 2 nên (x−1) (x− ≤2) 0 ⇔x2 ≤3x−2 ⇔ x2+3(y z+ + ≤1) (3 x y z+ + +) 1 (1)

Ta có 1≤ ≤y 2 nên (y−1) ( y− ≤2) 0 ⇔ y2+3(z x+ + ≤1) (3 x y z+ + +) 1 (2)

Kết hợp (1) (2) và (3) Vậy giá trị nhỏ nhất của H =1621 khi x=1; y z= =2.

Câu 40. Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên ¡ có đồ thị y= f x′( ) như hình vẽ Đặt

( ) 2 ( ) (2 1) 2 ( ) ( 1)

Vẽ đường thẳng y x= −1 cùng với đồ thị hàm số y= f x′( ) trên cùng một hệ trục tọa độ