Chuyên đề tính đơn điệu của hàm số luyện thi THPT Quốc gia

Tailieumontoan com  Sưu tầm CHUYÊN ĐỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Tài liệu sưu tầm, ngày 15 tháng 11 năm 2020 Website tailieumontoan com KIẾN THỨC CẦN NHỚ Điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng K 1 Định lí 1 Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K Khi đó a) Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì ( )' 0,≥ ∀ ∈f x x K b) Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì ( )' 0,≤ ∀ ∈f x x K 2 Định lí 2 Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K Khi đó a) Nếu ( )' 0,> ∀ ∈f x x K thì hàm số f đồng biến trên K[.]

Tailieumontoan.com



Sưu tầm

CHUYÊN ĐỀ

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Tài liệu sưu tầm, ngày 15 tháng 11 năm 2020

KI ẾN THỨC CẦN NHỚ: Điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng K

1 Định lí 1

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K Khi đó:

a) Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f '( )x ≥ ∀ ∈0, x K

b) Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f '( )x ≤ ∀ ∈0, x K

2 Định lí 2

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K Khi đó:

a) Nếu f '( )x > ∀ ∈0, x K thì hàm s ố f đồng biến trên K

b) Nếu f '( )x < ∀ ∈0, x K thì hàm s ố f nghịch biến trên K

c) Nếu f '( )x = ∀ ∈0, x K thì hàm s ố f không đổi trên K

Chú ý: Khoảng K trong định lí trên ta có thể thay thế bởi đoạn hoặc một nửa khoảng Khi đó phải có thêm giả thiết “ Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó’ Chẳng hạn:

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [ ]a b và ; f '( )x > ∀ ∈0, x ( )a b thì hàm s; ố f đồng biến trên đoạn

[ ]a b ;

Ta thường biểu diễn qua bảng biến thiên như sau:

3 Định lí 3 (mở rộng của định lí 2)

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K Khi đó:

a) Nếu f '( )x ≥ ∀ ∈0, x K và f '( )x =0 chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f đồng biến trên K

b) Nếu f '( )x ≤ ∀ ∈0, x K và f '( )x =0 chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f đồng biến trên K

Quy t ắc xét tính đơn điệu của hàm số y= f x( ) trên t ập xác định Bước 1: Tìm tập xác định D

Bước 2: Tính đạo hàm y′= f x′( )

Bước 3: Tìm nghiệm của f x′( ) hoặc những giá trị x làm cho f x′( ) không xác định

Bước 4: Lập bảng biến thiên

Bước 5: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

D ẠNG TOÁN 10: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Website: tailieumontoan.com

BÀI T ẬP MẪU

(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020)Cho hàm số ( )f x có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây:

A (−∞ − ; 1) B (0;1) C ( 1; 0)− D (−∞; 0)

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Dựa vào bảng biến thiên xác định khoảng đồng biến nghịch biến của hàm

số

………

2 KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

 Định lý: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên K

a) Nếu f′( )x > với mọi x thuộc K thì hàm số 0 f x ( ) đồng biến trên K

b) Nếu f′( )x < với mọi x thuộc K thì hàm số 0 f x ngh( ) ịch biến trên K

………

3 HƯỚNG GIẢI:

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn C

Trong khoảng từ ( 1;0)− đạo hàm f′( )x < với mọi x R0 ∈ nên hàm số đã cho nghịch biến

Dạng 1:

Cho bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số f x , xét ( ) tính đơn điệu của hàm số f x ( )

Câu 10.1 Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số y= f x( ) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (−∞ − ; 1) B. (− +∞ 1; ) C. ( )0;1 D. (−1; 0)

L ời giải

Ch ọn D

Từ BBT ta có hàm số đồng biến trên (−1; 0)

Câu 10.2 Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞ − ; 1)

B Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞ − ∪ +∞ ; 1) (1; )

C Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 3)

D Hàm số đồng biến trên khoảng (1;+ ∞ )

L ời giải

Ch ọn D

Từ BBT ta có :

Hàm số đồng biến trên (−∞ − ⇒; 1) A sai.

Hàm số đồng biến trên (−∞ − và ; 1) (1;+∞ ⇒ ) B sai.

Hàm số nghịch biến trên (−1; 1)⇒ C sai

Hàm số đồng biến trên (1;+ ∞ ⇒) D đúng

Câu 10.3 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Website: tailieumontoan.com

A Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞ − ; 1)

B Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 2)

C Hàm số nghịch biến trên khoảng (−2; 1)

D Hàm số đồng biến trên khoảng (3;+ ∞ )

L ời giải

Ch ọn D

Từ BBT ta có :

Hàm số đồng biến trên (−∞ − ⇒; 1) A sai

Hàm số nghịch biến trên (−1; 2)⇒ B sai , C sai

Hàm số đồng biến trên hàm số đồng biến trên (2;+ ∞ nên hàm số đồng biến trên) 3;   D đúng

Câu 10.4 Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như hình dưới đây Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng   2;  và   ; 2 

B. Hàm số đã cho đồng biến trên     ; 1  1;2 

C Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  0;2

D. Hàm số đã cho đồng biến trên  2;2

A Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng ; 1

C Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 3; .

D Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  ;3

L ời giải Chọn C

Câu 10.6 Cho hàm số f x( ) có đồ thị như hình bên Hàm số f x( ) nghịch biến trong khoảng nào dưới

Nhìn vào đồ thị hàm số f x( ) ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng (2;+∞ )

Câu 10.8 Cho hàm số f x( ) có đồ thị như hình bên Hàm số f x( ) nghịch biến trong khoảng nào dưới

đây?

A. ( )2;3 B. (−∞; 2) C ( )1; 2 D. (3;+∞ )

L ời giải Chọn A

Nhìn vào đồ thị hàm số f x( ) ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng ( )2;3

Câu 10.9 Cho hàm số f x( ) có đồ thị như hình bên Hàm số f x( ) đồng biến trong khoảng nào dưới

đây?

A. ( )2;3 B. (−∞; 2) C ( )1; 2 D. (2;+∞ )

L ời giải

Ch ọn C

Nhìn vào đồ thị hàm số f x( ) ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng ( )1; 2

Câu 10.10 Cho hàm số f x( ) có đồ thị như hình bên Hàm số f x( ) đồng biến trong khoảng nào dưới

đây?

A. (− +∞ 1; ) B. (−∞ ;1) C (1;+∞ ) D. (−1;1)

Lời giải Chọn C

Website: tailieumontoan.com

Nhìn vào đồ thị hàm số f x( ) ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng (1;+∞ )

Dạng 2:

Cho b ảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số f '( )x , xét tính đơn điệu của hàm số f x ( )

Câu 10.11 Cho hàm số f x ( ) xác định trên , bảng biến thiên của hàm số y= f′( )x như sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số f x ( ) đồng biến trên 

B Hàm số f x ngh( ) ịch biến trên 

C Hàm số f x ngh( ) ịch biến trên khoảng ( )0;1

D Hàm số f x ( ) đồng biến trên khoảng (0;+∞ )

L ời giải

Ch ọn C

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Trong khoảng ( )0;1 đồ thị hàm số y= f′( )x nằm phía dưới

trục hoành nên hàm số f x ngh( ) ịch biến trên khoảng ( )0;1

Câu 10.12 Cho hàm số f x ( ) xác định trên , bảng biến thiên của hàm số y= f′( )x như sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số f x ( ) đồng biến trên 

B Hàm số f x ngh( ) ịch biến trên 

C Hàm số f x ngh( ) ịch biến trên khoảng ( )0;1

D Hàm số f x ngh( ) ịch biến trên khoảng (1;+∞ )

L ời giải

Ch ọn D

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Trong khoảng (1;+∞ đồ thị hàm số ) y= f '( )x nằm phía dưới

trục hoành nên hàm số f x ngh( ) ịch biến trên khoảng (1;+∞ )

Câu 10.13 Cho hàm số y= f x( ) liên tục và xác định trên  Biết f x ( ) có đạo hàm f '( )x và hàm số

( )

'

y= f x có bảng biến thiên như sau

Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hàm số f x ( ) đồng biến trên 

B Hàm số f x ngh( ) ịch biến trên 

C Hàm số f x ch( ) ỉ nghịch biến trên khoảng (−∞; 0)

D Hàm số f x ngh( ) ịch biến trên khoảng (0;+∞ )

y= f x có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số f x ( ) đồng biến trên (1;+∞ )

B Hàm số f x( ) đồng biến trên (−∞ − và ; 1) (3;+∞ )

C Hàm số f x( ) nghịch biến trên (−∞ − ; 1 )

D Hàm số f x( ) đồng biến trên (−∞ − ∪; 1) (3;+∞ )

Câu 10.15 Cho hàm số  f x ax4 bx3 cx2 dx e a 0 Biết rằng hàm số  f x có đạo hàm là  f x'

và hàm số y f x'  có bảng biến thiên như hình bên

Khi đó nhận xét nào sau đây là sai?

A Trên  2;1 thì hàm số  f x luôn tăng B Hàm f x  giảm trên đoạn  1;1

C Hàm f x  đồng biến trên khoảng 1; D Hàmf x  nghịch biến trên khoảng

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.Hàm số đồng biến trên khoảng (− +∞ 2; )

B.Hàm số nghịch biến trên khoảng (− − 2; 1)

C.Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1;1)

D.Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞ − ; 2)

Lời giải

Ch ọn A

Dựa vào đồ thị hàm số ( )f x′ có bảng biến thiên sau:

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (− +∞ 2; )

Câu 10.17 Cho hàm số f x ( ) có đạo hàm f '( )x xác định, liên tục trên  và f '( )x có đồ thị như hình

vẽ

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.Hàm số đồng biến trên khoảng (1;+∞ )

B.Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞ − ; 1)

C.Hàm số đồng biến trên khoảng (−1;1)

D.Hàm số đồng biến trên khoảng (2;+∞ )

Lời giải

Ch ọn D

Dựa vào đồ thị hàm số ( )f x′ ta thấy

-Trên (−∞; 2) : f x′( )≤ nên hàm số nghịch biến trên 0 (−∞; 2)

- Trên (2;+∞ : ( ) 0) f x′ > nên hàm số đồng biến trên (2;+∞ )

Câu 10.18 Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị '( )

f x như hình vẽ bên dưới Hàm số có bao nhiêu khoảng nghịch biến?

Website: tailieumontoan.com

A. 3 B.1 C. 4 D. 2

Lời giải

Ch ọn D

Dựa vào đồ thị hàm số ( )f x′ ta thấy

-Trên (−∞; a) : f x′( )< nên hàm số nghịch biến trên 0 (−∞; a)

- Trên ( )a b : ; f x′( )> nên hàm số đồng biến trên 0 ( )a b ;

-Trên ( )b c : ; f x′( )< nên hàm số nghịch biến trên 0 ( )b c ;

-Trên (c;+∞ : ( ) 0) f x′ ≥ nên hàm số đồng biến trên (c;+∞ )

Suy ra hàm số có hai khoảng nghịch biến

Câu 10.19 Cho hàm số f x ( ) có đạo hàm f '( )x xác định, liên tục trên  và f '( )x có đồ thị như hình

Câu 10.20 Hàm số f x ( ) có đạo hàm f ' x trên( )  Hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số f ' x trên ( )

 Chọn đáp án đúng

A.Hàm số đồng biến trên khoảng (− +∞ 2; )

B.Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞ − ; 1)

C.Hàm số đồng biến trên khoảng (− +∞1; )

D.Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 2)

Lời giải

Ch ọn C

Dựa vào đồ thị hàm số ( )f x′ ta có bảng biến thiên sau:

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (− +∞1; )

D ạng 3:

Cho b ảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số f x , xét ( ) tính đơn điệu của hàm số

y= −f x y= f x y= f x

Câu 10.21 Cho hàm số y= f x( ) có bảng xét dấu f '( )x như hình vẽ

Hàm số g x( )= −f x( ) đồng biến trên khoảng nào sau đây ?

Câu 10.22. Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số g x( )= −f x( ) nghịch biến trên khoảng nào?

Câu 10.23. Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số g x( )= −f x( ) đồng biến trên khoảng nào?

Mệnh đề nào sau đây đúng.

- ∞

+ ∞ + ∞

- ∞

2 0

0

1 + 3

1 - 3

0 2

+ 0

2

-

-+ ∞

x y' y

-+ ∞

x y' y

- ∞ 1

1

Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau về hàm số y= f x( ) ?

A. Hàm số y= f x( ) nghịch biến trên khoảng (−1;0)

B. Hàm số y= f x( ) đồng biến trên các khoảng ( )0;1

C. Hàm số y= f x( ) nghịch biến trên khoảng (−∞ −; 1)

D. Hàm số y= f x( ) có 5 điểm cực trị

L ời giải

Ch ọn C

Suy ra bảng biến thiên của hàm số y= f x( ) là:

Từ bảng biến thiên của hàm số , suy raphát biểu C là sai

Câu 10.29 Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề sai?

i) Hàm số y= f x( ) đồng biến trên các khoảng (−∞ −; 2) và ( )0;1

ii) Hàm số y= f x( ) nghịch biến trên khoảng (3;+∞)

iii) Hàm số y= f x( ) đồng biến trên khoảng (−∞; 0)

iv) Hàm số y= f x( ) nghịch biến trên khoảng ( )0;1

- 4

0

1 - -

+ ∞

x y' y

+ ∞

+ ∞ + ∞

+ ∞

x y' y

+ ∞

0

0

Website: tailieumontoan.com

Từ bảng biến thiên của hàm số y= f x( ) , ta suy ra:

- Hàm số y= f x( ) đồng biến trên các khoảng (−∞ −; 1) và ( )0;1 suy ra khẳng định i) đúng

- Hàm số y= f x( ) nghịch biến trên các khoảng (−1; 0) và (1;+∞) suy ra khẳng định ii) đúng

- Khẳng định iii) và khẳng định iv) sai

Vậy có 2 khẳng định sai trong 4 khẳng định trên Vậy chọn đáp án B

Câu 10.30 Cho hàm số y = f x ( ) có bảng biến thiên sau:

Số các khoảng nghịch biến của hàm số y = f x ( ) là?

Lời giải

Ch ọn C

Từ bảng biến thiên của hàm số y = f x ( ), ta suy ra bảng biến thiên của hàm số y= f x( ) là:

(trong đó x , x0 1 là nghiệm của phương trình f x ( ) = 0)

Từ bảng biến thiên của hàm số y= f x( ) , suy ra hàm số y= f x( ) nghịch biến trên các khoảng (−∞ x; 0), (−1; 0) và (1; x1) hay hàm số y= f x( ) nghịch biến trên 3 khoảng Vậy

Câu 10.31 Cho hàm sốy= f x( ) và y=g x( )có đồ thị như hình vẽ bên dưới Hàm số y= f x( ) ( )+g x

nghịch biến trên khoảng nào?

+ 0

x 1

+ ∞ 0

x y' y

+ ∞

0

A (−∞; 0) B (−1;1) C ( )0;1 D (0;+∞)

L ời giải

Ch ọn C

Ta có

Hàm sốy= f x( ) nghịch biến trên đoạn ( )0;1

Hàm số y=g x( ) nghịch biến trên đoạn ( )0;1

( ) ( )

y f x g x

⇒ = + nghịch biến trên ( )0;1

Câu 10.32 Cho hàm sốy= f x( ) và y=g x( )có đồ thị như hình vẽ bên dưới Hàm số y= f x( ) ( )+g x

đồng biến trên khoảng nào?

A (−∞; 2) B (−1; 0) C ( )0;1 D (1;+∞)

L ời giải

Ch ọn C

Ta có

Hàm sốy= f x( ) đồng biến trên đoạn ( )0;1

Hàm số y=g x( ) đồng biến trên đoạn ( )0;1

Website: tailieumontoan.com

A (−∞; 2) B (−1; 0) C ( )0;1 D (1;+∞)

L ời giải Chọn C

Ta có

Hàm sốy= f x( ) đồng biến và f x( )≥ trên đoạn 0 ( )0;1

Hàm số y=g x( ) đồng biến và g x( )≥ trên đoạn 0 ( )0;1

( ) ( )

y f x g x

⇒ = đồng biến trên ( )0;1

Câu 10.34. Cho hai hàm số f x( ) và g x( ) có đồ thị như hình vẽ sau

Hàm số y= f x( ) ( )+g x nghịch biến trên khoảng nào sau đây:

L ời giải Chọn D

Vì f x( ) và g x( ) đều nghịch biến trên ( )0;1 nên y= f x( ) ( )+g x cũng nghịch biến trên ( )0;1

Câu 10.35. Cho hai hàm số f x( ) và g x( ) có đồ thị như hình vẽ sau

Hàm số y= 2f x( ) ( )+g x đồng biến trên khoảng nào sau đây:

L ời giải Chọn B

Vì f x( ) và g x( ) đều đồng biến trên (− 1;0)nên y= 2f x( ) ( )+g x cũng đồng biến trên (− 1;0 )

Câu 10.36. Cho hai hàm số f x( ) và g x( ) có đồ thị như hình vẽ sau

Hàm số y= 4f x( )+ 3g x( ) nghịch biến trên khoảng nào sau đây ?

Câu 10.37 Cho hai hàm số f x và ( ) g x( ) Đồ thị của hai hàm số y= f′( )x và y=g x'( ) được cho

như hình bên dưới

h x > do đó hàm số ( )h x đồng biến Ta chọn phương án này

Câu 10.38. Cho hai hàm số f x và ( ) g x( ) Đồ thị của hai hàm số y= f′( )x và y=g x'( ) được cho

như hình bên dưới

Khi đó hàm số h x( )=2f x( )−3g x( )−4x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (−1;1) B ( )0; 2 C.( )1; 4 D. (2;+∞ )

L ời giải Chọn B

Trên khoảng: ( )1; 4 ta có x> , 0 f '( )x > và 0 f x( )> nên 0 g'( )x > suy ra hàm 0 g x ( ) đồng

biến trên khoảng này

Trên khoảng: (− − ta có 2; 1) x< , 0 f '( )x > và 0 f x( )< nên 0 x f '( )x < , suy ra : 0( )

g' x < 0

Website: tailieumontoan.com

Do đó hàm g x ngh( ) ịch biến trên khoảng này Chọn phương án B