Chuyên đề tiệm cận của đồ thị hàm số luyện thi THPT Quốc gia

Tailieumontoan com  Sưu tầm CHUYÊN ĐỀ TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Tài liệu sưu tầm, ngày 15 tháng 11 năm 2020 Website tailieumontoan com I KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 Đường tiệm cận đứng  Định nghĩa • Đường thẳng 0x x= được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ( )y f x= nếu ít nhất một trong các điều kiện sau đây được thỏa mãn 0 lim ( ) x x f x +→ = +∞ ; 0 lim ( ) x x f x +→ = −∞ ; 0 lim ( ) x x f x −→ = +∞ ; 0 lim ( ) x x f x −→ = −∞ 2 Đường tiệm cận ngang  Định nghĩa • Đường thẳng 0y y= đư[.]

I KI ẾN THỨC CẦN NHỚ:

1 Đường tiệm cận đứng

 Định nghĩa:

• Đường thẳng x= được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số x0 y= f x( )nếu ít nhất một trong

các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

• Đường thẳng y= y0 được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y= f x( )nếu ít nhất một

trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim ( ) 0

- Đồ thị hàm số y= f x( ) chỉ có thể có tiệm cận ngang khi TXĐ của nó là một khoảng vô hạn hay một

nửa khoảng vô hạn (nghĩa là biến x có thể dần tới +∞ hoặc −∞)

- Đồ thị hàm số y= f x( ) chỉ có thể có tiệm cận đứng khi TXĐ của hàm số có một trong các dạng sau ( ; ), [ ; ), ( ; ], ( ;a b a b a b a + ∞ −∞), ( ; )a hoặc là hợp của các tập hợp này và TXĐ không có một trong các

+ Nếu Q(x) = 0 có nghiệm là xo, và xo không là nghiệm của P(x) = 0 thì đồ thị có tiệm cận đứng là x= x0

+ Nếu bậc (P(x)) ≤ bậc (Q(x)) thì đồ thị có tiệm cận ngang

 Lý thuyết về đường tiệm cận

 Nhận dạng bảng biến thiên, nhận dạng hàm số

 Tìm đường tiệm cận (biết BBT, đồ thị)

 Tìm đường tiệm cận (biết y)

 Đếm số đường tiệm cận (biết y).

 Biện luận số đường tiệm cận

 Đường tiệm cận thỏa mãn điều kiện nào đó

 Tổng hợp đường tiệm cận với diện tích, góc, khoảng cách

−

=

Phân tích hướng dẫn giải

2 HƯỚNG GIẢI:

B1: Tính giới hạn của hàm số tại +∞ và −∞

B2: Kết quả giới hạn là 1, suy ra tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y=1

T ừ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

11

x

x x x x

11

x

x x

Câu 2 Đường thẳng x= là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nào dưới đây?1

1

x y x

+

=

23

x y x

x y

1

x y x

+

=

−1

1lim

1

x

x x

1

x

x x

−

=+1

→

=+ ⇒ = không phải là đường TCĐ của đồ thị hàm số x 1

2

x y

Câu 3 Cho hàm số y= f x( ) có lim ( ) 2

x f x

x f x

→−∞ = − Phát biểu nào sau đây đúng?

A Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là y=2 và y= −2

B Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là x= và 2 x= − 2

C Đồ thị hàm số có duy nhất một đường tiệm cận ngang

D Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là x= và 2 x= − 2

L ời giải

Ch ọn A

Câu 4 Cho hàm số f x ( ) xác định, liên tục trên \ 0{ }và có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

→ = −∞ nên x= là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 0

Câu 5 Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên dưới đây Hỏi đồ thị hàm số y= f x( ) có bao nhiêu

→ − = −∞ suy ra đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng x= − 2

Vậy đồ thị hàm số y= f x( ) có 3 đường tiệm cận

Câu 6 Biết đồ thị hàm số y= f x( )có đồ thị như hình vẽ dưới Chọn phát biểu đúng

+

=

21

x y x

−

=

2 2

2

x y

=+ lần lượt là

x

x x

Vậy đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang

Câu 10 Cho hàm số y= f x( ) có lim ( ) 3

D Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận ngang là đường thẳng y=3

+

=+ Tìm m để đồ thị hàm số có tọa độ giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm

cận ngang nằm trên đường thẳng d y: = − +x m 1

Câu 2 Cho hàm số y= f x( )có bảng biến thiên như hình vẽ Đồ thị của hàm số đã cho có số tiệm cận

đứng là n , số tiệm cận ngang là d Giá trị của T =2019n−2020d là

Lời giải Chọn B

−

=

− là

A 0 B 3 C 1 D 2

Lời giải Chọn C

Tập xác định:D= 1; +∞ ( )

Ta có:

2

414

Vậy tổng số các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là 1

Câu 4 Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như sau:

Số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

Lời giải Chọn A

Vậy số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là 1

Câu 5. Biết hàm số y= f x( )có đồ thị như hình vẽ dưới đây Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số

( )

y= f x là

Lời giải Chọn A

Vì đồ thị hàm y= f x( ) là

Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số y= f x( ) có 1 đường tiệm cận đứng và 1 đường tiệm cận

ngang

Câu 6 Tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số

2

11

x y

x x

x x

−

Mặt khác do tập xác định của hàm số là D= −( 1;1) nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang

Vậy đồ thị hàm số đã cho một đường tiệm cận

Câu 7 Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số 2

4

1 x y

x

x x

Vậy đồ thị hàm số 2

4

1 x y

−

=

− − + có đồ thị là ( )C Tìm t ất cả các giá trị thực của tham số m để

2 2

0

00

m m m

m m

+

=

− có các đường tiệm cận là x=3,y=2

Do vậy hai đường tiệm cận tạo với hai trục tọa độ hình chữ nhật diện tích bằng 6

Câu 10 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 1

2

mx y

− nên phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là ( )d :y= − m

( )d đi qua điểm A( )2; 1 nên − = Vậy m 1 m= − 1

=+ có đồ thị ( )C và điểm A∈( )C Tiếp tuyến với ( )C t ại A tạo với hai

đường tiệm cận một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất là bao nhiêu?

Lời giải:

Ch ọn B

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là x= − 1

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y=1

Suy ra I(-1;1) là giao điểm của hai đường tiệm cận

Phương trình tiếp tuyến với ( )C tại A∈( )C là: y−y A = f′( )(x A x−x A)

34

11

A A A A

x

x x

−

+

Giả sử M và N lần lượt là hai giao điểm của tiếp tuyến với ( )C t ại A với đường tiệm cận đứng

1

A

A A

Xét f x( )= có 2 nghiệm 0 x1< − và 1 x2 = là nghi1 ệm bội (do đồ thị tiếp xúc với trục hoành

tại x= Trường hợp này có 2 tiệm cận đứng 1

Xét f x( )= có 2 nghiệm 4 x3> và 1 x4 = − là nghi1 ệm bội (do đồ thị tiếp xúc với đường thẳng 4

y= tại x= − Trường hợp này có 2 tiệm cận đứng 1

+ − Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A.Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là đường thẳng y=2

B Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là đường thẳng y=0

C Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là đường thẳng y= −2

D Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là hai đường thẳng y= −2 và y=2

2 2

Vậy, đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là y= −2 và y=2

Câu 5 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên \ 1

Câu 6 Số các giá trị nguyên của tham số m∈ −[ 2020; 2020] sao cho đồ thị của hàm số y 1 x

Suy ra đường thẳng x m= là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số khi x→m+ và x→m−

Vậym≤ và 1 m∈ −[ 2020; 2020] nên có tất cả 2022 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài

Câu 7 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số 3 21

3

x y

m m

m m

>



 ≤ −

 thỏa mãn yêu cầu đề bài

Câu 8 Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số 2 1

1

x y x

+

=

− nên

0 0 0

;1

Do đó, lim

→±∞ không tồn tại nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang

- Với 0< < thì m 1 lim lim 1 12

2

11

Suy ra đường thẳng y=0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi x → −∞

- Với m> thì 1 lim lim 1 12

+

=

− có đồ thị ( )C Gọi M là một điểm bất kì trên ( )C Tiếp tuyến của ( )C

tại M cắt các đường tiệm cận của ( )C tại A và B Gọi I là giao điểm của các đường tiệm

cận của ( )C Tính diện tích của tam giác IAB

3

11

x

x x

+

⇒

m

Có ( ) 1

2

x x m y

21

m x

y

x x

lim

21

x

m x

x x

21

21

m x

y

x x

lim

21

x

m x

x x

21

m m

−

=+ có đồ thị là ( )C Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận Lấy điểm M x y( 0, 0), (x0 ≤0) là một điểm trên ( )C sao cho tiếp tuyến với ( )C tại Mcắt hai đường tiệm cận lần lượt tại A B, thỏa mãn 2 2

y

x

′ =+ PTTT tại điểm M x y( 0, 0) là

0 0

3:

11

x

x x

x x

0242

x x x x

Câu 4 Cho hàm số có bảng biến thiên dưới đây:

Biết tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y= 2f x( )1 9

+ là số nghiệm của phương trình f x( )= với m∈ Khi đó m thuộc khoảng nào sau đây? m

+ không có tiệm cận đứng

⇒ tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y= 2f x( )1 9

+ là 1

⇒ phương trình f x( )= với m∈ có m 1nghiệm duy nhất

⇒ đường thẳng ∆: y=m cắt đồ thị hàm số y= f x( ) tại duy nhất 1 điểm

khoảng (−6; 6) của tham số để đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận là nhiều nhất ?

Lời giải Chọn B

Do đó có tổng số đường tiệm cận là nhiều nhất khi có 3 đường tiệm cận đứng nên

( )

2

33

m m

m

m m

m m

− Gọi d là tiếp tuyến bất kì của ( )C d c, ắt hai đường tiệm cận của

đồ thị ( )C lần lượt tạiA B, .Khi đó khoảng cách giữa Avà B ngắn nhất là

y x

;2

22

x x

o

x x

Câu 7 Giả sử đường thẳng ( ) :d x=m cắt đồ thị hàm số 1

2

x y x

m

I m m

mx

+

=+ có đúng 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm

cận ngang, đồng thời hai tiệm cận này tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có diện tích

20

x

x m

m

m

m m

y m m

Khoảng cách từ tiệm cận ngang đến trục Ox là 2

x − x+ m = ⇔ x − x+ m= có hai nghiệm phân biệt thuộc[ ]0; 4

−

=

− có đồ thị là ( )C , M là điểm thuộc ( )C sao cho tiếp tuyến của ( )C tại

M tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất

(3;3)

M M





( 1; 1)(3;3)

M M

M M



( 1; 1)( 3; 3)

M M

+ Đường tiệm cận đứng ∆1:x= và ti2 ệm cận ngang ∆2:y= Suy ra giao hai ti2 ệm cận là (2; 2)

0 0

;2

IA x



