Toán học Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan23294

CHUYÊN 1

1 Ch đ 1: Bài toán v ti p tuy n

1.1 D ng 1: Ti p tuy n c a đ th hàm s t i m t đi m M( ,x y0 0)( ) :C y f x( )

* Tính y'  f x'( ) ; tính k  f x'( )0 (h s góc c a ti p tuy n)

* Ti p tuy n c a đ th hàm s y f x( ) t i đi m M x y 0; 0có ph ng trình

'

yy  f x xx v i y0 f x( 0)

Ví d 1: Cho hàm s 3

yx  x (C) Vi t ph ng trình ti p tuy n c a đ th (C):

a) T i đi m A (-1; 7)

b) T i đi m có hoành đ x = 2

c) T i đi m có tung đ y =5

Gi i:

a) Ph ng trình ti p tuy n c a (C) t i đi m M0( ;x y có d0 0) ng: yy0  f x'( )(0 xx0)

Ta có y'3x2  3  y'( 1)  0

Do đó ph ng trình ti p tuy n c a (C) t i đi m A(-1; 7) là: y  hay y = 7 7 0

b) T x   2 y 7

y’(2) = 9 Do đó ph ng trình ti p tuy n c a (C) t i đi m có hoành đ x = 2 là:

y  x   y x  y x

0

3

x

x







 

 +) Ph ng trình ti p tuy n t i c a (C) t i đi m (0; 5)

Ta có y’(0) = -3

Do đó ph ng trình ti p tuy n là: y  5 3(x hay y = -3x +5 0)

+) Ph ng trình ti p tuy n t i c a (C) t i đi m ( 3;5)

2

Do đó ph ng trình ti p tuy n là: y 5 6(x 3) hay y6x6 3 5

+) T ng t ph ng trình ti p tuy n c a (C) t i ( 3;5) là: y6x6 3 5

Ví d 2: Cho đ th (C) c a hàm s 3 2

yx  x  x

a) Vi t ph ng trình ti p tuy n v i (C) t i giao đi m c a (C) v i tr c hoành

b) Vi t ph ng trình ti p tuy n v i (C) t i giao đi m c a (C) v i tr c tung

c) Vi t ph ng trình ti p tuy n v i (C) t i đi m x0 th a mãn y”(x0) = 0

Ñ e à cö ôn g t oa ù n T H P T 2 0 1 6

Gi i:

Ta có y'3x24x G2 i M x y là ti 0; 0 p đi m thì ti p tuy n có ph ng trình:

yy  y x xx  y y x xx y

a) Khi M ( )C Ox thì y0 = 0 và x0 là nghi m ph ng trình:

x32x22x    ; y’(2) = 6, thay các giá tr đã bi t vào (1) ta đ c ph ng trình 4 0 x 2

ti p tuy n: y6(x 2)

b) Khi M ( )C Oy thì x0 = 0 y0  y(0)  và 4 y x'( )0  y'(0) , thay các giá tr 2 đã

bi t vào (1) ta đ c ph ng trình ti p tuy n: y2x 4

c) Khi x0 là nghi m ph ng trình y”= 0 Ta có: y” = 6x – 4

y x  y  

 

 

Thay các giá tr đã bi t vào (1) ta đ c ph ng trình ti p tuy n: 2 100

y x

Ví d 3: Cho hàm s 3

y x  x (C)

a) Vi t ph ng trình ti p tuy n d v i (C) tai đi m có hoành đ x=2

b)Ti p tuy n d c t l i đ th (C) t i đi m N, tìm t a đ c a đi m N

Gi i

a) Ti p tuy n d t i đi m M c a đ th (C) có hoành đ x0  2 y0 3

Ta có y x'( )3x2 3 y x'( )0  y'(2) 9

Ph ng trình ti p tuy n d t i đi m M c a đ th (C) là

y y x xx y  y x   y x

V y ph ng trình ti p tuy n d t i đi m M c a đ th (C) là y9x 15

b) Gi s ti p tuy n d c t (C) t i N

4

x

x







V y N 4; 51 là đi m c n tìm

Ví d 4: Cho hàm s 3

y x  x C và đi m A x y( ,0 0) (C), ti p tuy n c a đ th (C) t i

đi m A c t (C) t i đi m B khác đi m A tìm hoành đ đi m B theo x 0

L i gi i:

Vì đi m A x y( ,0 0) (C) 3

y  x   y x  x 

Ti p tuy n c a đ th hàm có d ng:

Ph ng trình hoành đ giao đi m c a (d) và (C):

2

0 0

0 0 0

2

x x

x x

x



V y đi m B có hoành đ x B  2x0hoctoancapba.com

Ví d 5: Cho hàm s 1 3 2

3

y x  x  x (C) Vi t ph ng trình ti p tuy n d c a đ th (C) t i

đi m có hoành đ x th a mãn 0 y x''( )0  và ch0 ng minh d là ti p tuy n c a (C) có h s góc

nh nh t

Gi i

Ta có y'  x24x 3 y'' 2x 4

2

3

Khi đó ti p tuy n t i M có h s góc k0  ' '

0

y x  y  

V y ti p tuy n d c a đ th (C) t i đi m 2;2

3

yy  f x xx

3

3

y   x

Ti p tuy n d có h s góc k0  -1

M t khác ti p tuy n c a đ thi (C) t i đi m b y k trên (C) có h s góc

 2

0

k  y x  x  x  x     k

D u “=” x y ra   nên tx 1 a đ ti p đi m trùng v i 2;2

3

V y ti p tuy n d c a (C) t i đi m 2;2

3

  có h s góc nh nh t

Ví d 6: Vi t ph ng trình ti p tuy n v i đ th (C): 2

1

x y x





 t i các giao đi m c a (C) v i

đ ng th ng (d): y3x 2

Gi i

+ Ph ng trình hoành đ giao đi m c a (d) và (C):

2

1

x

x



2

V y có hai giao đi m là: M1(0; -2) và M2(2; 4)

'

y

x







Ñ e à cö ôn g t oa ù n T H P T 2 0 1 6

+ T i ti p đi m M1(0; -2) thì y’(0) = -3 nên ti p tuy n có ph ng trình: y   3x 2

+ T i ti p đi m M2(2; 4) thì y’(2) = -3 nên ti p tuy n có ph ng trình: y  3x 10

Tóm l i có hai ti p tuy n th a mãn yêu c u bài toán là: y   và 3x 2 y  3x 10

Ví d 7: Cho hàm s 1 3 2 1

m

y x  x  (Cm).G i M là đi m thu c đ th (Cm) có hoành đ b ng

-1 Tìm m đ ti p tuy n v i (Cm) t i M song song v i đ ng th ng d: 5x-y=0

Gi i

Ta có y'  x2mx

ng th ng d: 5x-y=0 có h s góc b ng 5, nên đ ti p tuy n t i M song song v i đ ng th ng d

tr c h t ta c n có '

y        m m

Khi m ta có hàm s4 1 3 2 1

2

y x  x  ta có x0   thì 1 y0   2

Ph ng trình ti p tuy n có d ng '

y y x xx y  y x   y x

Rõ ràng ti p tuy n song song v i đ ng th ng d

V y m là giá tr c4 n tìm

Ví d 8: Cho hàm s 3 2

3

y x  x  (1) m

Tìm m đ ti p tuy n c a đ th (1) t i đi m có hoành đ b ng 1 c t các tr c Ox, Oy l n l t t i các đi m A và B sao cho di n tích tam giác OAB b ng 3

2

Gi i

V i x0  1 y0    M(1 ; m – 2) m 2

- Ti p tuy n t i M là d: 2

y x  x xx   m

 d: y = -3x + m + 2

- d c t tr c Oy t i B: y B   m 2 B(0 ;m 2)

OAB

m

V y m = 1 và m = - 5

1.2 D ng 2: Vi t ti p tuy n c a đ thi hàm s y f x( ) (C) khi bi t tr c h s góc c a nó

+ G i M x y là ti( ,0 0) p đi m, gi i ph ng trình '

( )

f x    , k x x y0  f x( 0)

+ n đây tr v d ng 1,ta d dàng l p đ c ti p tuy n c a đ th : yk x( x0) y0

 Các d ng bi u di n h s góc k:hoctoancapba.com

*) Cho tr c ti p: 5; 1; 3; 3

7

k  k  k   k  

*) Ti p tuy n t o v i chi u d ng c a tr c Ox m t góc , v i 0 0 0 2

15 ;30 ; 45 ; ;

 

đó h s góc k = tan

*) Ti p tuy n song song v i đ ng th ng (d): y = ax + b Khi đó h s góc k = a

a



*) Ti p tuy n t o v i đ ng th ng (d): y = ax + b m t góc  Khi đó, tan

1

k a

Ví d 9: Cho hàm s 3 2

3

y x  x (C) Vi t ph ng trình ti p tuy n c a đ th (C) bi t h s góc

c a ti p tuy n k = -3

Gi i:

Ta có: y'3x26x

G i M x y là ti( ;0 0) p đi m  Ti p tuy n t i M có h s góc ' 2

k  f x  x  x

3x 6x   3 x 2x   1 0 x  1

Vì x0  1 y0   2 M(1; 2)

Ph ng trình ti p tuy n c n tìm là y 3(x      1) 2 y 3x 1

Ví d 10: Vi t ph ng trình ti p tuy n c a đ th hàm s 3 2

yx  x  (C) Bi t ti p tuy n đó

song song v i đ ng th ng y = 9x + 6

Gi i:

Ta có: y'3x26x

G i M x y là ti( ;0 0) p đi m  Ti p tuy n t i M có h s góc ' 2

k  f x  x  x

Theo gi thi t, ti p tuy n đó song song v i đ ng th ng y = 9x + +6  ti p tuy n có h s góc k

0





Ph ng trình ti p tuy n c a (C) t i M(-1;-3) là: y9(x   1) 3 y 9x (lo i) 6

Ph ng trình ti p tuy n c a (C) t i M(3;1) là: y9(x   3) 1 y 9x26

Ví d 11: Cho hàm s 3

yx  x (C) Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C) bi t ti p tuy n

đó vuông góc v i đ ng th ng 1

9

y  x

Gi i:

Ta có y'3x2 Do ti3 p tuy n c a (C) bi t ti p tuy n đó vuông góc v i đ ng th ng

1

9

y  x

nên h s góc c a ti p tuy n k = 9

Ñ e à cö ôn g t oa ù n T H P T 2 0 1 6

y  k x    x     x

+) V i x = 2   Pttt ty 4 i đi m có hoành đ x = 2 là:

y x   y x

+) V i x    Pttt t2 y 0 i đi m có hoành đ x = - 2 là:

y x   y x

V y có hai ti p tuy n c (C) vuông góc v i đ ng th ng 1

9

y  x

là:

y =9x - 14 và y = 9x + 18

Ví d 12: L p ph ng trình ti p tuy n v i đ th (C) c a hàm s : 1 4 2

2 4

y x  x , bi t ti p

tuy n vuông góc v i đ ng th ng (d): x5y2010 0

Gi i:

(d) có ph ng trình: 1 402

5

y  x nên (d) có h s góc là -1

5

G i  là ti p tuy n c n tìm có h s góc k thì 1 1 5 ( ( ))

Ta có: y' x34x nên hoành đ ti p đi m là nghi m ph ng trình: 3

x  x

4

V y ti p đi m M có t a đ là 1;9

4

Ti p tuy n có ph ng trình: 9 5( 1) 5 11

y  x  y x

V y ti p tuy n c n tìm có ph ng trình: 5 11

4

y x

Ví d 13: Cho hàm s 2

x y x





 (C) Vi t ph ng trình ti p tuy n v i (C) bi t r ng ti p tuy n

c t tr c hoành t i A, tr c tung t i B sao cho tam giác OAB vuông cân t i O, đây O là góc t a

đ

Gi i

Ta có: '

2

1

y

x







Vì ti p tuy n t o v i hai tr c t a đ m t tam giác vuông cân nên h s góc c a ti p tuy n là:

1

k  

Khi đó g i M x y là ti 0; 0 p đi m c a ti p tuy n v i đ th (C) ta có '

0

y x  

0 2

0 0

2 1

1

1

x x x

 







V i x0   thì 1 y0  lúc đó ti p tuy n có d ng y1   (tr ng h p này lo i vì ti p tuy n đi x

qua góc t a đ , nên không t o thành tam giác OAB)

V i x0   thì 2 y0  lúc đó ti p tuy n có d ng 4 y   x 2

V y ti p tuy n c n tìm là y   x 2

Ví d 14: Cho hàm s y = 2 1

1

x x



 có đ th (C)

L p ph ng trình ti p tuy n c a đ th (C) sao cho ti p tuy n này c t các tr c Ox, Oy l n l t t i

các đi m A và B th a mãn OA = 4OB

Gi i

Gi s ti p tuy n d c a (C) t i M x y( ;0 0)( )C c t Ox t i A, Oy t i B sao cho OA4OB

Do OAB vuông t i O nên tan 1

4

OB A OA

   H s góc c a d b ng 1

4 ho c 1

4



y x

3

2 5

2







Khi đó có 2 ti p tuy n th a mãn là:



1.3 D ng 3: Ti p tuy n đi qua đi m

Cho đ th (C): y = f(x) Vi t ph ng trình ti p tuy n v i (C) bi t ti p tuy n đi qua đi m

( ; )

A  

Cách gi i

+ Ti p tuy n có ph ng trình d ng: y f x( )0  f x'( )(0 xx0), (v i x0 là hoành đ ti p

đi m)

+ Ti p tuy n qua ( ; )A   nên   f x( 0)  f x'( 0)( x0) (*)

+ Gi i ph ng trình (*) đ tìm x0 r i suy ra ph ng trình ti p tuy n

Ví d 15: Cho đ th (C): 3

y x  x , vi t ph ng trình ti p tuy n v i (C) bi t ti p

tuy n đi qua đi m A(-2; -1)

Gi i:

Ta có: y'3x2 3

x x  x  là ti p đi m H s góc c a ti p tuy n là 2

y x  x 

Ph ng trình ti p tuy n v i (C) t i M là  :  3  2

y x  x   x  xx

Ñ e à cö ôn g t oa ù n T H P T 2 0 1 6

 qua A(-2;-1) nên ta có:  3  2

2





V y có hai ti p tuy n c n tìm có ph ng trình là: : y  1 ; :y9x17

1.4 D ng 4 M t s bài toán ti p tuy n nâng cao

Ví d 16: Tìm hai đi m A, B thu c đ th (C) c a hàm s : 3

yx  x sao cho ti p

tuy n c a (C) t i A và B song song v i nhau và đ dài đo n AB = 4 2

Gi i:

A a a  a B b b  b a b là hai đi m phân bi t trên (C)

Ta có: y'3x2 nên các ti3 p tuy n v i (C) t i A và B có h s góc l n l t là:

y a'( )3a23 àv y b'( )3b2 3

Ti p tuy n t i A và B song song v i nhau khi:

y a  y b  a   b   ab ab    a b v a   b a b

2

AB  AB   a b  a  a  b  b  

(a b) (a b ) 3(a b) 32 (a b) (a b a)( ab b ) 3(a b) 32

2

4b 4b b 3 32b b b 3   8 0 b 6b 10b   8 0

   



- V i a 2 àv b  ( 2;0) , (2;4)2 A  B

- V i a2 àv b   (2;4) , ( 2;0)2 A B 

Tóm l i c p đi m A, B c n tìm có t a đ là: ( 2; 0) à (2; 4) v

Ví d 17: Tìm hai đi m A, B thu c đ th (C) c a hàm s : 2 1

1

x y x





 sao cho ti p tuy n

c a (C) t i A và B song song v i nhau và đ dài đo n AB = 2 10

Gi i:

1

y

x

 



V i đi u ki n: ab a,  1,b  1

Ta có: 3 2

'

y

x



 nên h s góc c a các ti p tuy n v i (C) t i A và B là:

Ti p tuy n t i A và B song song khi: '( ) '( ) 3 2 3 2

2

2

2

2

b

   



    





    

    



C p đi m A và B c n tìm có t a đ là: ( 2;5) à (0; 1) ; (2;1) à ( 4;3) v  v 

Ví d 18: Cho hàm s : y = x3

+ 3x2 + mx + 1 có đ (Cm); (m là tham s ) Xác đ nh m đ (Cm) c t

đ ng th ng y = 1 t i 3 đi m phân bi t C(0, 1), D, E sao cho các ti p tuy n c a (Cm) t i D và E

vuông góc v i nhau

Gi i

Ph ng trình hoành đ giao đi m c a (Cm) và đ ng th ng y = 1 là:

x3 + 3x2 + mx + 1 = 1  x(x2 + 3x + m) = 0  2 0

x





   



* (Cm) c t đ ng th ng y = 1 t i C(0, 1), D, E phân bi t:

 Ph ng trình (2) có 2 nghi m xD, xE 0

0

4

9

m m

m m







   

Lúc đó ti p tuy n t i D, E có h s góc l n l t là:

kD = y’(xD) = 3x D2 6x D   m (x D 2 );m

kE = y’(xE) = 3x E2 6x E   m (x E2 ).m

Các ti p tuy n t i D, E vuông góc khi và ch khi: kDkE = –1

Ñ e à cö ôn g t oa ù n T H P T 2 0 1 6

 (3xD + 2m)(3xE + 2m) = 9xDxE+6m(xD + xE) + 4m2 = –1

 9m + 6m  (–3) + 4m2

= –1; (vì xD + xE = –3; xDxE= m theo đ nh lý Vi-t)

Ví d 19: L p ph ng trình ti p tuy n v i đ th (C) c a hàm s : 2 2

1

x y x





 , bi t r ng

kho ng cách t đi m I(-1; 2) đ n ti p tuy n là l n nh t

Gi i:

G i  là ti p tuy n c a đ th (C) t i ti p đi m M 2 2  

1

a

a



2

a



d I

Ta có: 4 ( a1)4 22(a1)22 2.2(a1)2  4 ( a1)4  2.2(a1)2 2a1

a

d I

a



 V y d I ; l n nh t khi d I ; = 4 

a

  C hai giá tr đ u th a mãn a 1 + V i a = 1 thay vào (*) ta đ c ph ng trình ti p tuy n là: 4x4y      4 0 x y 1 0

+ V i a = -3 thay vào (*) ta đ c ph ng trình ti p tuy n là: 4x4y28     0 x y 7 0 Tóm l i: Có hai ti p tuy n c n tìm có ph ng trình là: x  y 1 0 ;x   y 7 0

Ví d 20: Cho (C) là đ th hàm s 1

x y x





 Vi t ph ng trình ti p tuy n v i (C), bi t

ti p tuy n đó c t tr c hoành, tr c tung t ng ng t i các đi m A, B th a mãn  OAB

vuông cân t i g c t a đ O

Gi i:

G i M x y là ti 0; 0 p đi m Ti p tuy n v i (C) t i M ph i th a mãn song song v i các

đ ng th ng y = x ho c y = -x

'

y

x

 

0

1

y x

x



V y ti p tuy n v i (C) t i M song song v i đ ng th ng d: y = -x

Do đó, 2

0 2

0

1

1 2

x   không là nghi m ph ng trình)

  V y có hai ti p đi m là: M1(0;1) ,M2( 1; 0)

+ T i đi m M1(0; 1) ta có ph ng trình ti p tuy n là: y = - x + 1: th a mãn song song v i d

+ T i đi m M2(-1; ) ta có ph ng trình ti p tuy n là: y = - x - 1: th a mãn song song v i d

V y có hai ti p tuy n c n tìm có ph ng trình là: y  x 1; y   x 1

Ví d 21: Cho hàm s 3

1

x y x







a) Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s

b) Cho đi m M o( ;x y thu o o) c đ th (C) Ti p tuy n c a (C) t i M0 c t các ti m c n c a (C)

t i các đi m A và B Ch ng minh Molà trung đi m c a đo n th ng AB

Gi i

a) T làm

b) M o( ;x y o o)  (C)  0

0

4 1

1

y

x

 



Ph ng trình ti p tuy n (d) t i M0: 0 2 0

0

4

x

 Giao đi m c a (d) v i các ti m c n là: A(2x01;1), B(1; 2y0 1)

0là trung đi m AB

Ví d 22: Cho hàm s : 2

1

x y x





 (C)

a) Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s

b) Ch ng minh r ng m i ti p tuy n c a đ th (C) đ u l p v i hai đ ng ti m c n m t

tam giác có di n tích không đ i

Gi i

a) T làm

b) Gi s M ; 2

1

a a a



   (C)

1

a

a





2

Các giao đi m c a (d) v i các ti m c n là: 1; 5

1

a A a



 , B(2a1;1)

6 0;

1

IA

a

     6

1

IA a



 ; IB (2a 2; 0)



   IB2a 1

Ñ e à cö ôn g t oa ù n T H P T 2 0 1 6

Di n tích IAB : SIAB= 1

2IA IB= 6 (đvdt)  PCM

Ví d 23: Cho hàm s 2 3

2

x y x







1) Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s

2) Cho M là đi m b t kì trên (C) Ti p tuy n c a (C) t i M c t các đ ng ti m c n c a (C) t i

A và B G i I là giao đi m c a các đ ng ti m c n Tìm t a đ đi m M sao cho đ ng tròn ngo i

ti p tam giác IAB có di n tích nh nh t

Gi i

0

2

x

x

0

1 '( )

2

y x

x







Ph ng trình ti p tuy n () v i (C) t i M:

0 0

2

0 0

1

2 2

x

x x









T a đ giao đi m A, B c a () v i hai ti m c n là: 0  

0 0

2

x

x



0

M x



0

M x

y x





 suy ra M là trung đi m c a AB

M t khác I(2; 2) và IAB vuông t i I nên đ ng tròn ngo i ti p tam giác IAB có di n tích

S =

2

x

0 0

1 1

3

x x

x x







Do đó đi m M c n tìm là M(1; 1) ho c M(3; 3)

Ví d 24: Cho hàm s 2 1

1

x y x





 Tìm t a đ đi m M sao cho kho ng cách t đi m ( 1; 2)I  t i

ti p tuy n c a (C) t i M là l n nh t

Gi i

0

3

1

x

0 2

2

3(xx ) ( x 1) (y 2) 3(x   1) 0