Bài tập Tính đơn điệu; cực trị của hàm số; GTLN GTNN của hàm số; tiệm cận40013

TÍNH ĐƠN ĐIỆU; CỰC TRỊ CỦAA... Tìm hình nón ngoại tiếp hình cầu sao cho diện tích xung quanh nhỏ nhất... HD: Gọi chiều cao hình nón là h ; Tính bán kính đáy và đường sinh hình nón theo h

I TÍNH ĐƠN ĐIỆU; CỰC TRỊ CỦA

A TÍNH ĐƠN ĐIỆU; CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Bài 1: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a/ y = - x2 +4x +1 b/ y = x1 3 – 3 x2 + 8x -2

3

c/ y = - x4 +4x2 d/ 2 1

2

x y x







Bài 2: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a/ y = 4x+1+ 1 b/ y = x+

1

x

2

1 x

c/ y = x 2 d/ y =x2.e-x

1 x

Bài 3:Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số :

a/ 3 e/

3 2

1

x y

x







b/ 1 3 2 f/

3 8 2 3

2 3

yx  x 

c/ 2 2 g/

(4 )

1

y

x

 





d/ 3 h/

(2 )( 1)

1

x

  



Bài 4: Tuỳ theo m hãy tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

y = f(x) = x3 – 3mx2 + 4mx

ĐS: 0 4: Khoảng đồng biến là R

3

m

 

. m< 0 hoặc m>4/3: Khoảng đồng biến là (-∞;x1); (x2;+∞) và khoảng nghịch biến (x1; x2 ) với 1,2 3 9 2 12

3

Bài 5: Cho hàm số y = f(x) = x3 - 3(2m+1)x2 + (12m+5)x + m+1

a/Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên tập xác định

b/Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên (-∞;0)

ĐS :a/ 1 1 b/

6 m 6

  

6

1



m

Bài 6: Với những giá trị nào của m thì các hàm số sau đây luôn đồng biến trên miền

xác định

a/ y= f(x) = x3 – 3(2m+1)x2 +(2m+5)x + 2

b/ y= f(x) = x3 + (m-1)x2 + (m2 – 4 )x + 9

ĐS: a/  1 m 1 b/m1 3 3 ; m1 3 3

Bài 7: Cho hàm số y f x( ) mx 4



 



a/Tìm m để hàm số nghịch biến trên tập xác định

b) Tìm m để hàm số đồng biến trên (2; +∞)

ĐS:a/ -2<m<2 b/ m≥2

Bài 8: Tùy theo m, khảo sát sự biến thiên của hàm số y=mx3-3x2+1

ĐS: m=0: hs đồng biến trên (- ;0) và nghịch biến trên (0;+ ). 

.m>0: hs đồng biến trên (- ;0), (2; )và nghịch biến trên

m

m<0: hs đồng biến trên (2;0) và nghịch biến trên

m

2 ( ; ), (0; )

m

 

Bài 9:Chứng minh rằng hàm số f(x) = tanx + 2sinx – 3x đồng biến trên nửa khoảng 0;

2



 



 

Bài 10: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a cosx >1 - ,

2

2

x

(0; )

x

  

b 1 tanx 4 , với 0<x<

 

4



2



2

x

  

 



ĐS : m<-2

( ) ( 1) 2 ( 4) 2

3

x

y f x  m  x  m x m

ĐS : -3 ≤ m ≤ 1

Bài 13: Tìm cực trị của các hàm số sau:

c/y= 2 3 d/y = x3 – x2 +x -1

2

x x



 

e/y = x4 +3x2 -2 f/y = -x3 +3x2 – 3x +2

Bài 14: Tìm cực trị của hàm số :

a/ f(x)x32x27x3 b/ c/

3

2 1 2 ) (









x x x

Bài 15: Tìm cực trị của hàm số :

a/yx 14x2 b/yxcos2x1 c/yx e 2x

d/yx2lnx e/yx2ln(2x1)

Bài 16: Tìm cực trị của các hàm số sau:

a/f(x) = x 3 x b/f(x) = 2 2 3

1

x

 



c/f(x)=sin2x - 3.cosx, x 0;

.Bài 17: Biện luận theo m số cực trị của hàm số y = f(x) = x4 + m x2 -2

Bài 18: Định m để hàm số sau có cực đại, cực tiểu :

a/ b/

1 2 2









x

m mx x

y

1

2 2 2 2









x

m x m x y

ĐS: a/ b/

3

1





Bài 19: Định m để hàm số sau có cực trị: yx32x2mx1

ĐS :

3

4



m

Bài 20: Xác định m để hàm số sau có cực đại tại x = –2 :

3

1



















 



 x m x m x m y

ĐS : m = 3

Bài 21: Tìm m để hàm số y = f(x) = (x-m)3 – 3x đạt cực tiểu tại x = 0

ĐS: m= - 1

Bài 22: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 3mx2 +(m2 – 1 )x + 2 Xác định m để hàm số đạt cực đại tại x = 2

ĐS: m =11

Bài 23: Tìm m để hàm số y = f(x) = 2 ( 1) 1 đạt cực đại tại x = 2

1

  

 

ĐS: m = -2

Bài 24: Cho hàm số y = f(x) = x1 3 +mx2 +(2m+3)x + 2

3

a/Xác đinh m để hàm số có cực trị

b/Xác định m để hàm số đạt cực trị tại x = 2

Bài 25: Cho hàm số y = ( ) Chứng minh rằng nếu hàm số đạt cực trị tại x0 và

( )

u x

v x

v’(x0 )≠ 0 thì 0 ' 0

'

( ) ( ) ( ) ( )

v x v x

2

x

  



tiểu tại x2 thì y1y2 4 x1x2

Bài 26: Cho hàm số y = f(x) = 2 3 Xác định m để hàm số có cực đại, cực

4

x

  



tiểu thỏa y CDy CT 4

ĐS: m = 3

2( 1) 4

2

x

   



Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị (Cm) cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vuộng tại O

ĐS: m= 4 2 6 )

Bài 28: Cho hàm số y = f(x) = - x3 + 3x2 + 3(m2 – 1)x – 3m2 – 1 có đồ thị là (Cm) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị (Cm)cách đều gốc tọa độ O

ĐS: m= 1 )

2



Bài 29: Cho hàm số y = f(x) = 2 2 Tìm các giá trị của m để hàm số có cực

1

x m

  

 

đại, cực tiểu và hai giá trị cực trị cùng dấu

Bài 30: Tìm các hệ số a, b, c của hàm số f(x)ax3bx2cxd , biết rằng hàm số f(x) đạt cực đại tại x = –1, f(–1) = 3 và đạt cực tiểu tại x = 1, f(1) = –1 ĐS: a = 1, b = 0, c = -3, d = 1

Bài 31: Cho hàm số y2x332a1x26a(a1)x1 Chứng minh rằng hàm số luôn luôn có cực trị tại x1, x2 và x1 – x2 không phụ thuộc a

Bài 32: Cho hàm số yx3m2x2(1m)x3m1 Xác định m để hàm số có cực trị tại x1, x2 thỏa điều kiện x1 x2 2

ĐS : m = 1, m = -8

Bài 33: Xác định m để hàm số sau có 3 cực trị : 4 2 2  21









 



mx m m x y

ĐS : 0  m2

2

1 3 3

1 ) (x  x  m x m

f

thỏa xcđ = 2xct

ĐS:m = –1, m = –7

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số : , x > 0

2

1

y

x

 



ĐS: min y = 3 khi x = 1 ; Không tồn tại max y.

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số : 2 2 24 5

1

y

x

 





ĐS: min y = 1 ; max y = 6

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = 1 + x – x2

ĐS: max y = khi x = ; Không tồn tại min y.5

4

1 2

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = sinx + cosx

ĐS: max y = 2 ; min y = - 2

Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số : y sinx cosx

ĐS: min y = 1 ; max y = 48

Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = sin20x + cos20x

2

k

512 4 2

k

 

2



0, 2



 

 

 

Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = cosx + cos2x 1

2

ĐS: max y = ; min y = 3

2

3 4



Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = lg2x + 21

lg x2

ĐS: min y = 1

2

Bài 9: Tìm GTLN của hàm số y= 4x3 – 3x4

ĐS: max y =y(1)=1

Bài 10: Tìm GTNN của hàm số 2 2 với x>0

x

 

ĐS:

(0;min) y y(1) 3

  

Bài 11: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y x 2 4x

Sử dụng kết quả đã tìm được để giải pt : y x 2 4x = x2 - 6x + 11

x D y y

   min (2) 2

x D y y

Bài 12: Tìm GTLN, GTNN của hàm số ysin 2xx trên ;

2 2

 

 

 

 

2 2

x D y y  

    min ( )

2 2

x D y y  

   

2 cos

x y

x



3 3

x D y y 

   min (0) 0

x D y y

2

y x x

ĐS:max (1) 2 ,

x D y y

   min ( 2 ) 2

x D y y

    

2

2 cos | cos | 1

| cos | 1

y

x

 





ĐS: max (0) 2 ,

x D y y

   min ( ) 1

2

x D y y 

Bài 16: Tìm GTLN, GTNN của hàm số sin64 cos64 1

sin cos 1

y

 



 

ĐS: max (0) 1 ,

x D y y

   min ( ) 5

4 6

x D y y 

Bài 17: Tìm hai số biết hiệu của chúng bằng 13 và tích của chúng là bé nhất

13 13 ,

2 2

Bài 18: Tìm các cạnh của tam giác vuông có diện tích lớn nhất nếu tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số a (a>0)

ĐS: Độ dài các cạnh là: , 3 2,

3 3 3

Bài 19: Tìm các kích thước của hình chữ nhật có diện tích lớn nhất nội tiếp trong đường tròn có bán kính R cho trước

ĐS: max S = 2R2 khi x = R 2

Bài 20: Cho hình cầu bán kính R Tìm hình nón ngoại tiếp hình cầu sao cho diện tích xung quanh nhỏ nhất

ĐS: Chiều cao hình nón h = R(2 + 2)

HD: Gọi chiều cao hình nón là h ; Tính bán kính đáy và đường sinh hình nón theo h.

Bài 21: Trên parabol y = x2 lấy 2 điểm A(-1;1) ; B(3;9) và 1 điểm M thuộc cung AB Xác định tọa độ M sao cho tam giác ABM có diện tích lớn nhất

ĐS : M(1;1)

Bài 1: Tìm phương trình các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị các hàm số:

6 5 2

2









x x

x y

2 2 2









x

x x y

3 2 2

4 3 2











x x

x x y

4 2

2 3 3 2







x

x x y

e/y  x2 4x 3 g/yx x2  2x

ĐS: a/ x = 3 ; y = 0 b/ Không có.

c/ x = 3/2 ; y = 1 d/ x = 3, x = -3 ; y = 2x - 3

e/ y = x - 2 ; y = - x + 2 g/y = 1 ; y = 2x+1

Bài 2: Tìm tiệm cận: 5

2

x y

x





ĐS: Tiệm cận đứng: x = 2 , tiệm cận ngang: y = -5

Bài 3: Tìm tiệm cận: 2

1

x y x





ĐS: Tiệm cận đứng: x = -1 , tiệm cận ngang: y = x -1

5 2 2

y

 



  

ĐS: Tiệm cận đứng: x = -1, x = , tiệm cận ngang: y = 3

5

1 5



Bài 5: Cho (C) : y f x   x2 , Xác định m để hàm số có tiệm cận

x m

 



ĐS: m  0

Bài 6: Cho (Cm):   2 2 3 , Với giá trị nào của m (Cm)không có tiệm

f x x x m

y

x m

 

 



cận đứng

ĐS: m = 0 ; m = 1

2

1

x y x





ĐS: Tiệm cận đứng: x = , tiệm cận xiên: y = 1 x

Bài 8: Tìm tiệm cận: 2

4 6 1

2

y x

1

y

x

 





ĐS: Tiệm cận đứng: x = , tiệm cận xiên: y = 1 x 1

Bài 10: Xác định tất cả các giá trị của m để đồ thị các hàm số sau không có tiệm cận a/ b/

1

2 1







mx

x y

m x

x y





 2 1

ĐS : a/ m = 0 ; m = 2; b/ m=- 1 m = 1

Bài 11: Xác định tất cả các giá trị của m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số sau

2 1 2

2









mx

mx x m y

m x

x m mx y













 





2 2

3

5

2 

 x

y

1

1 2 2











x

m x m mx

y

diện tích bằng 4

ĐS:a/m = 4 b/ c/

2

3



Bài 12: Xác định a để hàm số: y f x   x2 x a có tiệm cận xiên đi qua điểm

  

 



A(2 , 0)

ĐS: a = 1

Bài 13: Cho hàm số : f x   2 Xác định a,b,c để hàm số có cực trị

2

y

x

 

 



bằng 1 khi x = 1 và có tiệm cận xiên vuông góc với đường thẳng

(d): x + 2y + 1 = 0

ĐS: a = 2 , b = -3 , c = 0

f x

1

y

x

 

 



Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị tạo với các trục tọa độ 1 tam giác có diện tích bằng 8 đvdt

ĐS : m=3 ; m=-5