Chuyên đề ôn thi THPT QG về tính xác suất

Việc đếm số phần tử của tập hợp không gian mẫu là quan trọng với các bài toán mà ta không thể tự liệt kê hết được tất cả các phần tử có trong tập không gian mẫu, chẳng hạn tập hợp gồm cá[r]

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG VỀ TÍNH XÁC SUẤT

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1 Định nghĩa về phép thử và không gian mẫu

Phép thử là một thí nghiệm hay một hành động mà kết quả của nó không đoán trước được nhưng có thể

xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó, và thường được kí hiệu bằng chữ

T

Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử, người ta

kí hiệu bởi chữ cái Hi lạp  (đọc là ô - mê - ga) Khi đó người ta nói phép thử T được mô tả bởi tập hợp



Như vậy ta có thể hiểu không gian mẫu là một tập hợp, kí hiệu  chỉ kí hiệu của tập hợp

Số phần tử của tập hợp  được gọi là số phần tử của không gian mẫu, kí hiệu là  hoặc n 

Việc đếm số phần tử của tập hợp không gian mẫu là quan trọng với các bài toán mà ta không thể tự liệt kê hết được tất cả các phần tử có trong tập không gian mẫu, chẳng hạn tập hợp gồm các số tự nhiên gồm 5

chữ số khác nhau, tập hợp số cách hoàn thành một đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu – mỗi câu gồm4

phương án trả lời, trong đó chỉ có 1 phương án đúng,…

2 Định nghĩa về biến cố

Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của Aphụ thuộc vào kết quả của phép thử T

Mỗi kết quả của phép thử T làm cho biến cố A xảy ra, được gọi là một kết quả thuận lợi cho A

Tập hợp tất cả các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu là A Khi đó người ta nói biến cố A đượcmô

tả bởi tập hợp A

Như vậy ta có nhận xét   A

Số phần tử của tập hợp A , được gọi là số phần tử của biến cố A , và được kí hiệu là A hay n A  

Biến cố đối

Cho A là một biến cố Khi đó biến cố “Không xảy ra A”, kí hiệu là A , được gọi là biến cố đối của A

Nếu A là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A thì tập hợp các kết quả thuận lợi cho A là  \ A Ta nói

A và A là hai biến cố đối nhau

Chú ý

Hai biến cố đối nhau là hai biến cố xung khắc nhưng hai biến cố xung khắc chưa chắc là hai biến cố đối nhau

3 Định nghĩa xác suất

Xét phép thử T và biến cố A liên quan đến phép thử T, xác suất xảy ra biến cố A là một số và được kí hiệu là P A và được xác định theo công thức     A





Từ định nghĩa ta có:

 

0P A 1

  1;   0

P   P  

Định lí Cho biến cố A Xác suất của biến cố đối A là ( ) 1 P A  P A( )

Ví dụ: Chọn ngẫu nhiên một số trong 15 số nguyên dương đầu tiên Xác suất để chọn được số chẵn bằng

A.7

8

B 8

15

C 7

15

D.1

2

Lời giải

Chọn C

Xác suất cần tính là: 7

15

P

II BÀI TẬP

Câu 1 Gieo hai con súc sắc, tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 7

A 1

6

B 7

36

C 2

9

D 5

36

Lời giải

Chọn A

Không gian mẫu có số phần tử là:  36

Gọi A: “tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 7”

           

1, 6 ; 2,5 ; 3, 4 ; 4,3 ; 5, 2 ; 6,1

Câu 2 Gieo một con xúc sắc cân đối đồng chất Xác suất để xuất hiện mặt có số chấm là một số

nguyên tố bằng

A 1

4

B 1

2

C 2

3

D 1

3

Lời giải

Chọn B

Không gian mẫu có số phần tử là:  6

Gọi A: “xuất hiện mặt có số chấm là một số nguyên tố”

2;3;5

Xác suất cần tính là:   3 1

6 2

P A  

Câu 3 Một hộp đựng 11 viên bi được đánh số từ 1 đến 11 Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi, rồi cộng các số

trên các bi lại với nhau Xác suất để kết quả thu được là một số lẻ bằng?

A.31

32

B.11

32

C.16

33

D.21

32

Lời giải

Chọn C

Không gian mẫu có sốp phần tử là: C114 330

Để tổng của bốn số là số lẻ thì trong bốn số phải có 1 số lẻ, ba số chẵn hoặc ba số lẻ, 1 số chẵn do đó ta

có: C C63 51C C16 53 160 cách lấy bốn số có tổng là số lẻ

Xác suất cần tính là: 160 16

330 33

P 

Câu 4 Cho 14 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 14 Chọn ngẫu nhiên 3tấm thẻ Xác suất để tích 3 số ghi

trên 3 tấm thẻ này chia hết cho 3bằng?

A.30

91

B.61

91

C.31

91

D.12

17

Lời giải

Chọn B

Không gian mẫu có sốp phần tử là: C143 364

Để tích của ba số ghi trên 3 tấm thẻ chia hết cho 3thì trong ba số phải có ít nhất 1 số chia hết cho 3 do

C C C C C  cách lấy ra ba số để tích ba số ghi trên 3 tấm thẻ chia hết cho 3

Xác suất cần tính là: 244 61

P 

Câu 5 Chọn ngẫu nhiên 3 số khác nhau từ 35 số nguyên dương đầu tiên Xác suất để chọn được 3 số lập

thành cấp số cộng có công sai là số lẻ bằng

A 9

385

B 8

385

C 17

385

112019

Lời giải

Chọn A

35

n  C

Gọi a b c, , là 3 số theo thứ tự lập thành cấp số cộng có công sai d (1   a b c 35)

Nhận thấy ứng với mỗi trường hợp d lẻ, một cách chọn b sẽ có duy nhất một cách chọn cặp ,a c

TH1: d17 b 18, có 1 cách chọn b

TH2: d1516 b 20, có 5 cách chọn b

………

TH8: d   3 4 b 32, có 29 cách chọn b

TH9: d   1 2 b 34, có 33 cách chọn b

2

  3

35

153 9 385

P A

C

Câu 6 Chọn ngẫu nhiên hai số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau Tính xác suất để chọn được ít nhất một

số chẵn ( kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn)

A 0,652

B 0,256

C 0,756

D 0,922

Lời giải

Chọn C

Số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là 9.A93 4536

Gọi  là không gian mẫu,  C45362

Gọi A là biến cố “ chọn được ít nhất một số chẵn”

A là biến cố “ chọn được cả hai số lẻ”

Số các số tự nhiên lẻ có 4 chữ số khác nhau là 5.8.A82 2240

Suy ra A C22402

Xác suất để chọn được ít nhất một số chẵn là

2240 2 4536

1 1 A 1 C 0, 756

C

Câu 7 Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau Chọn ngẫu nhiên một số thuộc

S Tính xác suất để chọn được số chia hết cho 45

A 53

2268

B 53

2520

C 53

252

D 5

324

Lời giải

Chọn A

Số phần tử của không gian mẫu   A108 A97

Gọi A là biến cố chọn được số chia hết cho 45

Gọi B0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9

Số chia hết cho 45 khi và chỉ khi số đó chia hết cho 9 và chia hết cho 5 Do 0 1 2 9    45 9 nên ta

có các bộ số mà tổng chia hết cho 9 là: B\ 0,9 ;  B\ 1,8 ;  B\ 2, 7 ;  B\ 3, 6 ;  B\ 4,5 

TH1: Số có 8 chữ số lấy từ tập B\ 0,9 có dạng a a a a a a a a và chia hết cho 5 nên 1 2 3 4 5 6 7 8 a8 5, suy ra có 7! số

TH2: Số có 8 chữ số lấy từ tập B\ 4,5 có dạng a a a a a a a a và chia hết cho 5 nên 1 2 3 4 5 6 7 8 a8 0, suy ra có 7! số

TH3 :Số có 8 chữ số lấy từ tập B\ 1,8 có dạng a a a a a a a a và chia hết cho 5 nên có 2 trường hợp : 1 2 3 4 5 6 7 8

* a8 0 có 7! Số

* a8 5 có 6.6! số

Suy ra trong trường hợp này có 7! 6.6! số Tương tự các trường hợp B\ 2, 7 ,  B\ 3, 6 mỗi trường hợp

có 7! 6.6! số

Số kết quả thuận lợp cho biến cố A là  A 2.7! 3 7! 6.6!   38160

2268

A

p A



Câu 8 Cho tập A0;1; 2;3; 4;5;6 Gọi X là tập các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập từ A

Chọn một số từ X , tính xác suất sao cho số được chọn có đúng 3 chữ số chẵn

A 4

7

B 17

35

C.281

540

D 2

3

Chọn C

Có 6.A64 2160 số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau lập từ A , n X 2160

Chọn một số từ X , số phần tử của không gian mẫu là n  2160

Gọi Blà biến cố “chọn được số có đúng 3 chữ số chẵn”

Xét: abcde là số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau trong đó có đúng 3 chữ số chẵn

TH1: Xét bộ có 5 số trong đó có 3 chữ số chẵn có mặt số 0 và 2 số lẻ Có tất cả 2 2

3 3

C C bộ

Ứng với mỗi bộ có $4.4!$ số

Suy ra có: C C32 32.4.4! 864 số

TH2: Xét bộ có 5 số trong đó có 3 chữ số chẵn không có số 0 và 2 chữ số lẻ Có tất cả 2

3

C bộ

Ứng với mỗi bộ trên có $5!$ số

Suy ra có: C32.5! 360 số

- Vậy số phần tử của biến cố B là n B 1224

Xác suất       281

540

n B

P A

n



Câu 9 Từ các chữ số {0,1; 2;3; 4;5, 6} viết ngẫu nhiên một số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau có dạng

1 2 3 4 5 6

a a a a a a Tính xác suất để viết được các số thỏa mãn điều kiện a1a2 a3a4 a5a6

A 5

158

B 4

135

C 4

85

D 3

20

Lời giải

họn B

Để viết một số có 6 chữ số khác nhau bất kì ta có n  6.6.5.4.3.24320số

Gọi A là biến cố số thỏa mãn điều kiện a1a2 a3a4 a5a6

TH1: a1a2a3a4a5a65, ta có 0 5 1 4     2 3 5

- Nếu a a1; 2   0;5 có 1 cách chọna a 1; 2

Có 2 cách chọn a a , hai số này có thể đổi vị trí cho nhau nên có 4 cách chọn 3; 4

Tương tự a a có 2 cách chọn 5; 6

Suy ra có 1.4.28số thỏa mãn

- Nếu a a1; 2(0;5)có 2 cách chọn a a , 2 số này có thể đổi vị trí cho nhau nên có 4 cách chọn 1; 2

Có 2 cách chọn a a , hai số này có thể đổi vị trí cho nhau nên có 4 cách chọn 3; 4

Tương tự a a có 2 cách chọn 5; 6

Suy ra có 4.4.232số thỏa mãn

Vậy TH1 có: 8 32 40 số thỏa mãn

TH2: a1a2a3a4a5a66ta có 0 6 1 5     2 4 6

Tương tự như TH1 có 40 số thỏa mãn

TH3: a1a2a3a4a5a67, ta có 1 6 2 5     3 4 7

Có 3 cách chọn a a , hai số này có thể đổi chỗ cho nhau nên có 6 cách chọn 1; 2

Tương tự có 4 cách chọn a a và 2 cách chọn 3; 4 a a 5; 6

Vậy TH3 có 6.4.248 số thỏa mãn

 

n A  40 40 48 128   số có 6 chữ số khác nhau thỏa mãn a1a2 a3a4 a5a6

4320 135

P A  

Câu 10 Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có năm chữ số Tính xác suất để số được chọn có dạng abcde

trong đó 1     a b c d e 9

A 143

10000

B 138

1420

C 11

200

D 3

7

Lời giải

Chọn A

Cách 1

Biến cố A:”Số được chọn có dạng abcde trong đó 1     a b c d e 9.”

Ta có

1                a b c d e 9 1 a b 1 c 2 d 3 e 4 13

Như vậy chọn a b; 1;c2;d3;e4 có C (cách) 135

 Chọn a b c d e có ; ; ; ;  C135 (cách) n A( )C135

Vậy

5 13 4

( )

C

n A

P A

n

Cách 2

Lập số tự nhiên có 5 chữ số có 4

( ) 9.10

n

  

Biến cố A:”Số được chọn có dạng abcde trong đó 1     a b c d e 9.”

TH1: Số có 5 chữ số giống nhau (Số được lập từ 1 chữ số, ví dụ 11111) có C số 19

TH2: Số được lập từ bộ 2 chữ số (Ví dụ bộ {1; 2} có 11112, 11122, 11222, 12222)  có 4.C92 số

TH3: Số được lập từ bộ 3 chữ số (Ví dụ bộ {1; 2; 3} có 11123; 11223; 11233; 12223; 12233; 12333) 

có 6.C93 số

TH4: Số được lập từ bộ 4 chữ số (Ví dụ bộ {1; 2; 3; 4} có 11234; 12234; 12334; 12344)  có 4

9

4.C số TH5: Số có 5 chữ số khác nhau (VD: 12568) Bộ 5 số chỉ được 1 số thỏa mãn có C95 số

( ) 4 6 4 1287

n A

P A

n

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,

giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn

Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng ao, Toán huyên dành cho các em HS

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh

Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi - Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí