Xác suất thống kê có lẻ là một môn gây ám ảnh đối với nhiều sinh viên và học sinh, tuy nhiên nếu thật sự tìm hiểu về nó thì chúng ta có thể dễ dàng giải quyết chúng thông qua những suy luận logic, đây là bài giải chi tiết các dạng bài có trong môn xác suất thống kê ở đại học và cả cấp 3 cũng có thể sử dụng để dễ dàng hơn trong việc làm bài tập. Xác suất thống kê có lẻ là một môn gây ám ảnh đối với nhiều sinh viên và học sinh, tuy nhiên nếu thật sự tìm hiểu về nó thì chúng ta có thể dễ dàng giải quyết chúng thông qua những suy luận logic, đây là bài giải chi tiết các dạng bài có trong môn xác suất thống kê ở đại học và cả cấp 3 cũng có thể sử dụng để dễ dàng hơn trong việc làm bài tập. Xác suất thống kê có lẻ là một môn gây ám ảnh đối với nhiều sinh viên và học sinh, tuy nhiên nếu thật sự tìm hiểu về nó thì chúng ta có thể dễ dàng giải quyết chúng thông qua những suy luận logic, đây là bài giải chi tiết các dạng bài có trong môn xác suất thống kê ở đại học và cả cấp 3 cũng có thể sử dụng để dễ dàng hơn trong việc làm bài tập. Xác suất thống kê có lẻ là một môn gây ám ảnh đối với nhiều sinh viên và học sinh, tuy nhiên nếu thật sự tìm hiểu về nó thì chúng ta có thể dễ dàng giải quyết chúng thông qua những suy luận logic, đây là bài giải chi tiết các dạng bài có trong môn xác suất thống kê ở đại học và cả cấp 3 cũng có thể sử dụng để dễ dàng hơn trong việc làm bài tập.
Trang 1EXERCISES CHAPTER:
PROBABILITY Formulas
Ngày 15 tháng 3 năm 2022
Lời giải:
Gọi A là biến cố lấy được 3 sản phẩm toàn loại A
Số kết cục đồng khả năng là A3
100
Số kết cục thuận lợi cho A là A3
20
Xác suất P (A) = A
3 20
A3 100
= 19 2695
Lời giải:
Số kết cục đồng khả năng là Ω = C4
50
a) 2 nam 2 nữ
Số kết cục thuận lợi là C2
30.C2 20
Xác suất P (A) = C
2
30.C2 20
C4 50
= 0, 3589 b) Có ít nhất 1 nam
Xác xuất để không chọn được sinh viên nam nào là P (A) = C
4 20
C4 50
= 0, 021 Suy ra, xác suất để có ít nhất 1 nam là P (−A) = 1 − P (A) = 0, 978 c) Nhiều nhất 2 nam
TH1:2 nam 2 nữ ⇒ P (A1) = C
2
30.C3 20
C4 = 0, 1485
Trang 2TH2:1 nam 3 nữ ⇒ P (A2) = C30.C20
C4 50
= 0, 3589 TH3:4 nữ ⇒ P (A3) =C
4 20
C4 50
= 0, 021 Vậy xác suất để chọn được nhiều nhất hai nam là
P (A) = 0, 1485 + 0, 3589 + 0, 021 = 0, 5283
d) Không có sinh viên nam nào
Xác suất chọn được là P (A) = C
4 20
C4 50
= 0, 021
Lời giải:
Xác suất để người đó không có được vé nào trúng thưởng là
P (A) = C
r
N −M
Cr
N
Suy ra, Xác suất để người đó có ít nhất một vé trúng thưởng là
P (A) = 1 − P (A) = 1 −C
r
N −M
Cr N
Lời giải:
a) Ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ
TH1: 2 nam 3 nữ ⇒ P (A1) = C
2.C3
C5 15
= 240 1001 TH2: 3 nam 2 nữ ⇒ P (A2) = C
3.C2
C5 15
= 60 143 TH3: 4 nam 1 nữ ⇒ P (A3) = C
4
9.C61
C5 15
= 36 143 Suy ra xác suất để có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ là
P (A) = 20
1001+
60
143+
36
143 =
912 1001 b) Nga và Bình không đồng thời có mặt
Gọi A là biến cố có mặt cả Nga và Bình
B là biến cố không có mặt cả Nga và Bình
Số kết cục đồng khả năng là C155
Số kết cục thuận lợi cho A là C133
Suy ra xác suất để Nga và Bình cùng có mặt là P (A) = C
3 13
C5 15
= 2 21
Trang 3Vậy xác suất để Nga và Bình không đồng thời có mặt là P (B) = 1 − P (A) =19
21
Lời giải:
Số kết cục đồng khả năng là C5
27
a) 4 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm kém chất lượng
Gọi A là biến cố lấy được 4 tốt 3 kém
Số kết cục thuận lợi cho A là C4
15.C3 10
Xác suất của A là P (A) = C
4
15.C3 10
C7 25
=1638 4807 b) Ít nhất 5 sản phẩm tốt
Gọi B là biến cố ít nhất 5 sản phẩm tốt
TH1: 5 tốt 2 kém
P (B1) = C
5
15.C102
C7
25
= 2457 8740 TH2: 6 tốt 1 kém
P (B2) = C
6
15.C1
10
C7
25
= 91 874 TH3: 7 tốt
P (B3) = C
7
15
C7
25
= 117
8740 Vậy xác suất để có ít nhất 5 sản phẩm tốt là
P (B) = 2457
8740+
91
874 +
117
8740 =
871 2185
Lời giải:
Số kết cục đồng khả năng là C102
a) 2 phế phẩm
Gọi A là biến cố lấy ra được 2 phế phẩm
Số kết cục thuận lợi là C2⇒ P (A) = C
2
C102 =
1 15 b) 1 phế phẩm
Gọi B là biến cố lấy ra 1 phế phẩm
Trang 4Số kết cục thuận lợi là C1.C1⇒ P (B) = C .C
C2 10
= 7 15 c) Lấy ra phế phẩm
P (A + B) = P (A) + P (B) = 1
15+
7
15 =
8 15
Lời giải:
a) Có 1 nữ
Số kết cục đồng khả năng là A320
Gọi A là biến cố chọn ban cán sự có 1 nữ
Số kết cục thuận lợi là C1.C122 3! ⇒ P (A) = C
1.C2
12.3!
A3 20
=44 95 b) Có ít nhất 2 nữ
Gọi B là biến cố chọn ban cán sự có ít nhất 2 nữ
Số biến cố thuận lợi là 3!(c28.c112+ c38) = 392.3! ⇒ P (B) = 392.3!
A3 20
= 98 285
Lời giải:
Gọi A là biến cố mà điểm B cách A không quá R
Ta có ∆ đều MOA
Điểm B ta có thể chọn tùy ý trên vòng tròn, suy ra các kết cục đồng khả năng
Trang 5là 2π
Các kết cục thuận lợi với A chỉ xảy ra khi điểm B nằm trên cung MN ⇒ α =π
3 ⇒
Độ dài cung MN là 2π
3 Vậy xác suất để điểm B cách A không quá R là P (A) =
2π 3 2π =
1 3
Lời giải:
Gọi x và y(p) lần lượt là thời điểm mà người A và người B đến điểm hẹn tính
từ 1h
Ta có x ≥ 60, y ≤ 120 ⇒ tập hợp các kết cục đồng khả năng là hình vuông cạnh 60
Gọi C là biến cố để A và B gặp nhau
Theo đề bài thì điều kiện để C xảy ra là
|x − y| ≤ 30 ⇒
(
x − y ≤ 30
x − y ≥ −30 ⇒
(
y ≥ x − 30
y ≤ x + 30
Ta vẽ hai đường thẳng trên như hình vẽ
Vậy diện tích phần hình phẳng được giới hạn bởi 2 đường thẳng đó là
S = 602− 21
230
2= 2700 Vậy xác suất để hai người gặp nhau là P (C) = S
602 = 0, 75
Trang 6Lời giải:
Gọi A là biến cố ngày mưa to P (A) = 60
365 Gọi B là biến cố ngày gió lớnP (B) = 40
365 P(AB) là xác suất ngày vừa mưa to vừa gió lớn là P (AB) = 20
365 P(A+B) là xác suất thời tiết thất thường
Xác suất để một ngày có thời tiết thất thường là
P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB) = 60
365 +
40
365 − 20
365 =
16 73
Lời giải:
Công ty có 30 nữ trong đó 20 nữ gần cơ quan
Công ty có 70 nam trong đó 40 nam gần cơ quan
Gọi A là biến cố nhân viên đó là nam, P (A) = 0, 7
Gọi B là biến cố nhân viên đó gần cơ quan, P (B) = 0, 6
P(AB) là xác suất mà nhân viên đó vừa là nam vừa gần cơ quan,P (AB) = 0, 4 Vậy xác suất để người đó được đi trực là
P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB) = 0, 7 + 0, 6 − 0, 4 = 0.9
Lời giải:
a)Xác suất để thú trúng đạn
Gọi A là biến cố con thú bị trúng đạn của người thứ nhất
Gọi B là biến cố con thú bị trúng đạn của người thứ hai
Suy ra xác suất để thú bị trúng đạn là
P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB) = 0, 7 + 0, 7 − 0, 7.0, 7 = 0, 91
b) Xác suất để thú không trúng đạn
Xác suất để thú không trúng đạn là 1 − P (A + B) = 1 − 0, 91 = 0, 09
Trang 7Lời giải:
Gọi A là biến cố có hai khẩu súng bắn trúng
Gọi A1 là biến cố khẩu súng 1 bắn trúng
Gọi A2 là biến cố khẩu súng 2 bắn trúng
Gọi A3 là biến cố khẩu súng 3 bắn trúng
a)Xác suất có hai khẩu súng bắng trúng
Gọi A12 là biến cố khẩu súng 1 và 2 bắn trúng
Gọi A23 là biến cố khẩu súng 2 và 3 bắn trúng
Gọi A31 là biến cố khẩu súng 3 và 1 bắn trúng
A = A12+ A23+ A31
Xác suất của từng trường hợp là
P (A12) = P (A1).P (A2).P (A3) = 0, 7.0, 8.0, 5 = 0, 28
P (A23) = P (A2).P (A3).P (A1) = 0, 8.0, 5.0, 3 = 0, 12
P (A31) = P (A3).P (A1).P (A2) = 0, 7.0, 5.0, 2 = 0, 07
⇒ xác suất để hai khẩu súng bắng trúng là
P (A) = 0, 28 + 0, 12 + 0, 07 = 0, 47
b)Có ít nhất một lần bắn trúng
Gọi B là biến cố có ít nhất một lần bắn trúng
Gọi B là biến cố không bắn trúng lần nào
Ta có P (B) = P (A1).P (A2).P (A3) = 0, 3.0, 2.0.5 = 0, 03
⇒ P (B) = 1 − 0, 03 = 0, 97
c) Có khẩu 1 bắn trúng và có 2 khẩu trúng mục tiêu
Gọi C là biến cố khẩu 1 bắn trúng và có hai khẩu bắn trúng mục tiêu
P (C) = P (A12) + P (A31) = 0, 28 + 0, 07 = 0, 35
Trang 8Lời giải:
Gọi A là biến cố tín hiệu phát ra là A
Gọi B là biến cố tín hiệu phát ra là B
Gọi C là biến cố thu được tín hiệu A
Gọi D là biến cố thu được tín hiệu B
P (A) = 0, 8, P (B) = 0, 2, P (D/A) =1
6, P (C/B) =
1 8
Áp dụng công thức tính xác suất đầy đủ ta có xác xuất thu được tín hiệu B là
P (D) = P (A).P (D/A) + P (B).P (D/B) = 0, 8.1
6 + 0, 2.
7
8 =
37 120 b) Tìm xác suất để phát được tín hiệu như lúc thu được
Giả sử lúc thu tín hiểu B , xác suất để thu được đúng tín hiệu lúc phát là
P (B/D) = P (B).P (D/B)
P (D) =
0, 2.7 8 37 120
= 21 37
Lời giải:
Gọi A là biến cố sinh viên đạt môn thứ nhất
Gọi B là biến cố sinh viên đạt môn thứ hai
a) Sinh viên đạt cả hai môn
P (AB) = P (A).P (B/A) = 0, 9.0, 7 = 0, 63
b) Sinh viên đạt môn thứ hai
P (B) = P (A).P (B/A) + P (A).P (B/A) = 0, 1.0, 4 + 0, 9.0, 7 = 0, 67
c) Sinh viên đó đạt ít nhất một môn
Gọi C là biến cố sinh viên đó đạt ít nhất một môn
P (C) = 1 − P (C) = 1 − P (A).P (B/A) = 1 − 0, 1.0, 6 = 0, 94
Trang 9Lời giải:
a)Có 2 sinh viên đậu
Gọi A B C lần lượt lầ biến cố sinh viên A B C đậu và D là biến cố 2 sinh viên đậu
P (D) = P (ABC) + P (ABC) + P (ABC)
= P (A).P (B).P (C) + P (A).P (B).P (C) + P (A).P (B).P (C)
= 0, 8.0.7.0, 1 + 0, 8.0.3.0, 9 + 0, 2.0, 7.0, 9 = 0, 398
b)Nếu có 2 sinh viên đậu, tính xác suất để sinh viên A thi rớt
Gọi A là biến cố để sinh viên A thi rớt
Gọi E là biến cố 2 sinh viên đậu và sinh viên A rớt
P (E) = P (A).P (B).P (C) = 0, 2.0, 7.0, 9 = 0, 126
Lời giải:
Gọi A là biến cố xạ thủ thuộc nhóm 1 P (A) = 5
18 Gọi B là biến cố xạ thu thuộc nhóm 2 P (B) = 7
18 Gọi C là biến cố xạ thủ thuộc nhóm 3 P (C) =2
9 Gọi D là biến cố xạ thủ thuộc nhóm 4 P (D) = 1
9 Gọi E là biến cố xạ thủ được chọn bắn trượt
P (E) = P (A).P (E/A) + P (B).P (E/B) + P (C).P (E/C) + P (D).P (E/D)
= 5
18.0, 2 +
7
18.0, 3 +
2
9.0, 4 +
1
9.0, 5 =
19 60
Áp dụng công thức Bayes để xác định xem người đó thuộc nhóm nào là khả năng cao nhất
Nhóm 1
P (A/E) =P (A).P (E/A)
P (E) =
5
18.0, 2 19 60
=10 57 Nhóm 2
Trang 10P (B/E) =P (B).P (E/B)
P (E) =
7 19 Nhóm 3
P (C/E) =P (C).P (E/C)
P (E) =
16 57 Nhóm 4
P (D/E) = P (D).P (E/D)
P (E) =
10 57 Vậy người xạ thủ đó khả năng cao thuộc nhóm 2
Lời giải:
a) Xác suất lấy được chính phẩm
Gọi A B C lần lượt là biến cố mà sản phẩm được rút từ hộp 1 2 3
P (A) = 1
3, P (B) =
1
3, P (C) =
1 3 Gọi D là biến cố rút được chính phẩm
P (D) = P (A).P (D/A) + P (B).P (D/B) + P (C).P (D/C)
=1
3.
10
15+
1
3.
15
20+
1
3.
20
25 =
133 180 b)Xác suất để sản phẩm đó được rút ra từ hộp 1
P (A/D) =P (D/A).P (A)
P (D) =
10
15.
1 3 133 180
= 40 133
Lời giải:
Tính xác suất để chi tiết chuẩn do máy 1 sản xuất ra
Gọi A là biến cố chi tiết đó do máy 1 sản xuất ra P (A) = 0, 6 Gọi B là biến cố chi tiết đó do máy 2 sản xuất ra P (B) = 0, 4 Gọi C là biến cố lấy được chi tiết đạt yêu cầu
P (C) = P (A).P (C/A) + P (B).P (C/B) = 0, 6.0, 9 + 0, 4.0, 4 = 0, 7
⇒ xác xuất để chi tiết đó do máy 1 sản xuất ra là
P (A/C) =P (C/A).P (A)
P (C) =
0, 9.0, 6
0, 7 =
27 35
Trang 11Lời giải:
Gọi A là biến cố linh kiện thuộc loại 1: P (A) = 0, 35
Gọi B là biến cố linh kiện thuộc loại 2: P (B) = 0, 25
Gọi C là biến cố linh kiện thuộc loại 3: P (C) = 0, 4
Gọi D là biến cố linh kiện bị hỏng
P (D) = P (A).P (D/A) + P (B).P (D/B) + P (C).P (D/C)
= 0, 35.0, 15 + 0, 25.0, 25 + 0, 4.0, 05 = 0, 135
Xác suất để từng loại bị hỏng là
Loại 1
P (A/D) =P (D/A).P (A)
P (D) =
0, 15.0, 35
0, 135 =
7 18 Loại 2
P (B/D) = P (D/B).P (B)
P (D) =
0, 25.0, 25
0, 135 =
25 54 Loại 3
P (C/D) =P (D/C).P (C)
P (D) =
0, 05.0, 4
0, 135 =
4 27
Lời giải:
GọiA1, A2, A3 lần lượt là biến cố máy bay trúng 1,2,3 phát đạn,P (A1) =
0, 3, P (A2) = 0, 6, P (A3) = 1
Gọi B1, B2, B3 lần lượt là biến cố phát đạn thứ 1,2,3 bắn trúng máy bay,
P (B1) = 0, 5, P (B2) = 0, 6, P (B3) = 0, 8
Trang 12Gọi C là biến cố máy bay rơi
Áp dụng công thức đầy đủ ta có:
P (C) = P (A1).P (C/A1) + P (A2).P (C/A2) + P (A3).P (C/A3)(1)
Khi máy bay trúng một phát đạn
P (A1) = P (B1).P (B2B3) + P (B2).P (B1B3) + P (B3).P (B1B2)
= 0, 5.0, 4.0, 2 + 0, 6.0, 5.0.2 + 0, 8.0, 5.0, 4 =13
50 Khi máy bay trúng 2 phát đạn
P (A2) = P (B1).P (B2).P (B3) + P (B2).P (B3).P (B1) + P (B1).P (B3).P (B2)
= 0, 5.0, 6.0, 2 + 0, 6.0, 8.0, 5 + 0, 5.0, 8.0, 4 = 23
50 Khi máy bay trúng 3 phát đạn
P (A3) = P (B1).P (B2).P (B3) = 0, 5.0, 6.0, 8 = 6
25 Suy ra, (1) = 0, 3.13
50+ 0, 6.
23
50+ 1.
6
25 =
297 500 Vậy xác suất để máy bay bị bắn rơi là 297
500 b)
P (A1/C) = P (C/A1)
P (C) =
0, 3.13 50 297 500
=13 99
Lời giải:
a) Xác suất để người này là tội phạm
Gọi A là xác suất để người này là tội phạm
P (A) = 7
10 = 0, 7
b) Xác suất để máy báo người này là tội phạm
Gọi T là biến cố máy báo người này là tội phạm
P (T ) = P (A).P (T /A) + P (A).P (T /A) = 0, 7.0, 85 + 0, 3.0, 1 = 0, 625 c)Người này thật sự có tội
P (A/T ) =P (A).P (T /A)
P (T ) =
0, 7.0, 85
0, 625 = 0, 952
Trang 13d) Máy báo đúng
Để máy báo đúng P (AT + AT ) = 0, 7.0, 85 + 0, 3.0, 9 = 0, 865