Chuyên đề ôn thi THPT QG: Tìm mô đun của số phức

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạ[r]

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG: TÌM MÔ ĐUN CỦA SỐ PHỨC

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

 Số phức bất kì z a b; được biểu diễn duy nhất dạng z a bi, a b;  , trong đó 2

1

 Biểu diễn a bi gọi là dạng đại số của số phức z a b; Do đó:  2 

a bi a b i

 

Re

a z : phần thực của z, bIm z : phần ảo của z Đơn vị ảo là i

 Số phức bất kì z a b; được biểu diễn duy nhất dạng z a bi, a b;  , trong đó 2

1

i  

 Lũy thừa đơn vị ảo i :

0

1

i  , i1i, i2  1, i3 i i2  i…, bằng quy nạp ta được:

Lưu ý : 4

1

n

i  , i4n1i, i4n2  1, i4n3  i,  n *Do đó: i n  1;1;i i; ,  n

 Số phức liên hợp:

 Cho z a bi, số phức z  a bi gọi là số phức liên hợp của z

z  z z

 Số phức liên hợp: Số phức z a bi có số phức liên hợp là z  a bi

 Mô đun số phức: z  a2b2

 Biểu diễn hình học của số phức: Điểm biểu diễn số phức z a bi trên mặt phẳng tọa độ là M a b  ;

 Gọi M z M , 1 z ,M2 z hi đó: M1 đối ứng v i M qua Ox; M2 đối ứng v i M qua O

 Gọi u v, lần lượt là biểu diễn của hai số phức z z1, 2 hi đó: uv là biểu diễn của z1z2

 Cho: A l điểm biểu diễn của z v B l điểm biểu diễn của 1 z 2

hi đó: AB l biểu diễn của z2z1 v AB z1z2

Ví dụ: Cho số phức z 3 4i Môđun của số phức  1 i z bằng

A 50

B 10

C 10

D 5 2

Lời giải

Chọn B

   1i z 1 i 3 4 i  1 7i

1 7i 1 7 50

    

II BÀI TẬP

Mức độ 1

Câu 1 Cho hai số phức z 2 i và w 3 2i Tính modul của số phức z.w

A 65

B 65

C 5

D 63

Lời giải

Chọn B

 2 2

Câu 2 Cho hai số phức z5i Tính modul của số phức  1i z

A 2

B 5

C 5 2

D 4

Lời giải

Chọn C

 1i z   1 i 5i  5 5i

1i 5i   5 5i  5 5 5 2

Mức độ 2

Câu 1 Cho hai điểm M2; 1  và N 3;1 lần lượt l điểm biểu diễn số phức z và 1 z Tìm phần thực 2 a

của số phức wz z1 2

A a7

B a 1

C a 7

D a2

Lời giải

Chọn A

1 2

z  i, z2  3 i

  

1 2 2 3 7

wz z  i   i i

Phần thực của w là a7

Câu 2 Cho số phức z 3 4i Số phức w z z i là

A w 2 4i

B w10 4 i

C w  1 7i

D w 7 7i

Lời giải:

Chọn D

3 4 3 4 7 7

w   i i i  i

Câu 3 Cho hai số phức z1 3 2i, z2   x 1 yi v i z x yi x y ,   Tìm cặp

z    i x y i để   2 2   2 2

A    x y;  5; 4

B    x y;  4;5

C   x y;  5; 4 

D   x y;  4;5

Lời giải

Chọn A

1

2z 2 3 2 i  6 4i

2 1

Câu 4 Biết số phức z thỏa mãn 1 1 z 3 4i có phần thực được viết dư i dạng a

b, v i a,b là những

số nguyên dương, a

b là phân thức tối giản Tính T  a b

A T 9

B T 1

C T 3

D T  9

Lời giải

Chọn A

1 1 3 4

i

i





Suy ra phần thực của số phức z là 7 7, 2 9

2

a

b         Vậy đáp án l A

Mức độ 3

Câu 1 Cho hai số phức z , 1 z thay đổi, luôn thỏa mãn 2 z1 1 2i 1 và z2  5 i 2 Tìm giá trị nhỏ

nhất Pmin của biểu thức P z1z2

A Pmin 2

B Pmin 1

C Pmin 5

D Pmin 3

Lời giải:

Chọn A

Gọi A, B lần lượt l điểm biểu diễn các số phức z , 1 z hi đó 2 P z1z2  AB

Ta có A thuộc đường tròn  C có tâm 1 I1 1;2 , bán kính R1 1 và B thuộc đường tròn  C2 có tâm

2 5; 1

I  , bán kính R2 2

 2 2

1 2 4 3 5 1 2 3

I I     R R  nên hai đường tròn  C và 1  C2 ở ngoài nhau

Vậy Pmin I I1 2  R1 R2    5 1 2 2

Câu 2 Cho số phức z thỏa mãn z 1 3 Tìm giá trị l n nhất của T      z 4 i z 2 i

A 2 26

B 2 46

C 2 13

D 2 23

Lời giải

Chọn C

Giả sử z x yi có điểm biểu diễn là M x y  ;

Ta có z 1 3   2 2

Suy ra tập hợp các điểm M l đường tròn có tâm I1;0 và bán kính R 3

Gọi A4;1, B2; 1  hi đó ta thấy I l trung điểm của đoạn AB

Xét tam giác MAB có có

2

Do đó T       z 4 i z 2 i MA MB

2

2

AB

2

AB

   

   T 2 13

Vậy giá trị l n nhất của T bằng 2 13 khi  





 

Câu 3 Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau z 1 34, z 1 mi   z m 2i

và sao cho z1z2 là l n nhất hi đó giá trị z1z2 bằng

A 2

B 10

C 2

D 130

Lời giải

Chọn C

Gọi M,N lần lượt l điểm biểu diễn của số phức z z1, 2

Gọi z x iy x y, ,  

Ta có z 1 34M N, thuộc đường tròn  C có tâm I 1; 0 , bán kính R 34

Mà z 1 mi   z m 2i    x yi 1 mi    x yi m 2i

  2 2   2 2

2 m 1 x 2 m 2 y 3 0

Suy ra M,N thuộc đường thẳng d: 2m1x2m2y 3 0

Do đó M,N l giao điểm của đường thẳng d v đường tròn  C

Ta có z1z2 MN nên z1z2 l n nhất khi và chỉ khi MN l n nhất

MN

 đường kính của  C hi đó z1z2 2OI 2

Mức độ 4

Câu 1 Cho hai số phức z z thỏa mãn 1, 2 z1  2 i 2 2 và z2  5 i z2 7 i Tìm giá trị nhỏ nhất

của z1iz2

A 11 2

B 3 2

2

C 2 2

D 7 2

2

Lời giải

Chọn B

Giả sử số phức z1  a bi 2

( ,a b ;i  1)

  2 2

1 2 2 2 2 1 8

z   i  a  b 

Gọi điểm M1 biểu diễn số phức z Suy ra 1 M1 thuộc đường tròn tâm I 2;1 , bán kính R2 2

Giả sử số phức z2  x yi 2

( ,x y ;i  1)

  2  2  2 2

z   i z   i x  y  x  y

Điểm M2 x y biểu diễn số phức ; z Suy ra 2 M2 thuộc đường thẳng 1:x  y 6 0

Điểm M3y x;  biểu diễn số phức iz2 Ta thấy M3 là ảnh của điểm M2 qua phép quay tâm O, góc

quay 900 Suy ra M3 thuộc đường thẳng 2:x  y 6 0

hi đó: z1iz2 M M1 3 Do đó z1iz2 nhỏ nhất M M1 3 nhỏ nhất Suy ra:

2 2

Câu 2 Gọi z a bi a b,   là số phức thỏa mãn điều kiện z 1 2i   z 2 3i  10 và có mô

đun nhỏ nhất Tính S 7a b ?

A 7

B 0

C 5

D 12

Lời giải

Chọn A

Gọi M a b l điểm biểu diễn số phức  ; z a bi

 1; 2

A l điểm biểu diễn số phức 1 2i 

 2;3

B  l điểm biểu diễn số phức  2 3i, AB 10

1 2 2 3 10

z  i   z i  trở thành MA MB AB

, ,

M A B

 thẳng hàng và M ở giữa A và B

Gọi H l điểm chiếu của O lên $AB$, phương trình  AB :x3y 7 0, OH: 3x y 0

Tọa độ điểm 7 21;

10 10

 , Có

;

10 10

AH   

;

BH   

  và BH  9AH

Nên H thuộc đoạn AB

7 21

;

10 10

   

Lúc đó 7 49 21 7

S a b   

Câu 3 Cho số phức z thỏa mãn z   z z z 4 Gọi M,m lần lượt là giá trị l n nhất và giá trị nhỏ

nhất của P  z 2 2 i Đặt AMm Mệnh đề n o sau đây là đúng?

A A 34;6

B A6; 42

C A2 7; 33

D A 4;3 3

Lời giải

Chọn A

Đặt z x iy  và gọi M x y là điểm biểu diễn của z ;  x iy

ta có: z     z z z 4 x y 2

Gọi A 2; 2 và PMA

* Theo hình vẽ, minPd A ,, v i   ?? y 2

và min 2 2 2 2

2

2 2

maxP AE 2 4 2 5, v i E0; 2 

Vậy M m 22 5 5,88

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học v các trường chuyên

danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH v THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An v các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn

Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên d nh cho các em HS THCS l p 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao th nh tích học tập ở trường v đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối l p 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh

Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ l p 1 đến l p 12 tất cả

các môn học v i nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ l p 1 đến l p 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi - Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí