Chuyên đề ôn thi THPT QG toán 12 – SỔ TAY CÔNG THỨC TÍNH NHANH TOÁN

Chuyên đề ôn thi THPT QG Toán 12 – Chương Sổ tay công thức toán HÀM SỐ SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Định nghĩa Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng Giả sử hàm số ( )=y f x xác định trên K ta có + Hàm số ( )=y f x được.

SỔ TAY CÔNG THỨC TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA

PHẦN 1 HÀM SỐ

SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

1 Định nghĩa

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng Giả sử hàm số y = f x( ) xác định trên K ta có:

+ Hàm số y = f x( )được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu:

( ) ( )

x x1, 2 K x, 1 x2  f x1  f x2

+ Hàm số y = f x( ) được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu:

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K

Khi đó đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải

+ Nếu f x( ) 0, x ( )a b;  hàm số f x( ) đồng biến trên khoảng ( )a b;

+ Nếu f x( )0,  x ( )a b;  hàm số f x( ) nghịch biến trên khoảng ( )a b;

+ Nếu f x( )=0, x ( )a b;  hàm số f x( ) không đổi trên khoảng ( )a b;

+ Nếu f x( ) đồng biến trên khoảng ( )a b;  f x( )0, x ( )a b;

+ Nếu f x( ) nghịch biến trên khoảng ( )a b;  f x( )   0, x ( )a b;

+ Nếu thay đổi khoảng ( )a b; bằng một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung thêm giả thiết

“hàm sốf x( ) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”

2 Quy tắc và công thức tính đạo hàm

Quy tắc tính đạo hàm: Cho u =u x( );v =v x C( ); : là hằng số

(sinx) =cos x (sinu) =u.cos u

(cosx) = −sinx (cosu) = −u.sinu

( x) =

x

2

1tan

.   

Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K

+ Nếu f x'( )0 với mọi x K và f x'( ) =0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x K thì

00

00

00

00

(Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox thì không đơn điệu)

* Với dạng toán tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu một chiều trên khoảng có độ

dài bằng l ta giải như sau:

+ Bước 1: Tính y= f x m( ); =ax2 +bx +c

+ Bước 2: Hàm số đơn điệu trên (x x1; 2)y =0 có 2 nghiệm phân biệt

a

00

CỰC TRỊ HÀM SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM ĐA THỨC BẬC BA:

1 Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước

Bài toán tổng quát: Cho hàm số y = f x m( ); =ax3 +bx2 +cx +d. Tìm tham số m để

hàm số có cực đại, cực tiểu tại x x1, 2 thỏa mãn điều kiện K cho trước?

y=0 có hai nghiệm phân biệt vày đổi dấu qua 2 nghiệm đó

 phương trình y = có hai nghiệm phân biệt 0

3

+ = − = −

▪ Hàm số có hai cực trị cùng dấu dương

 phương trình y =0 có hai nghiệm dương phân biệt

y

B

A C

▪ Hàm số có hai cực trị cùng dấu âm

 phương trình y =0 có hai nghiệm âm phân biệt

y

B

A C

khi có 1 nghiệm là b

x a

Vị trí tương đối giữa 2 điểm với đường thẳng:

Cho 2 điểm A x y( A; A) (, B x y B; B) và đường thẳng :ax by c+ + = 0

Nếu (ax A +by A +c ax)( B +by B +c) 0 thì hai điểm A B, nằm về

hai phía so với đường thẳng 

Nếu (ax A +by A +c ax)( B +by B +c)  0 thì hai điểm A B, nằm cùng

phía so với đường thẳng 

Một số trường hợp đặc biệt:

+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Oy

 hàm số có 2 cực trị cùng dấu

 phương trình y = có hai nghiệm phân biệt cùng dấu 0

+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 2 phía đối với trục Oy

 hàm số có 2 cực trị trái dấu

 phương trình y = 0 có hai nghiệm trái dấu

+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Ox

 phương trình y =0 có hai nghiệm phân biệt và y C Đ.y C T  0

Đặc biệt:

+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía trên đối với trục Ox

 phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt và C T

CT C

Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía dưới đối với trục Ox

 phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt và C T

CT C

+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox

 phương trình y =0 có hai nghiệm phân biệt và y C Đ.y C T  0

(áp dụng khi không nhẩm được nghiệm và viết được phương trình đường thẳng đi

qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số)

Hoặc: Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox

 đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt

 phương trình hoành độ giao điểm f x( )= 0 có 3 nghiệm phân biệt (áp dụng

khi nhẩm được nghiệm)

3 Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị

 



  

 + Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực đại a

b

00

 



  

 + Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại a

b

00

 



  

 + Hàm số có một cực tiểu và hai cực đại a

b

00

 



  

 Giả sử hàm số y =ax4 +bx2 +c có 3cực trị:

Tổng quát:

b a

3 2

Tam giác ABC vuông cân tại A b3 = −8a

Tam giác ABC có diện tích SABC =S0 a S3 2 b5

b a

a

2 3

−

=

Tam giác ABC có độ dài cạnhBC =m0 am2 b

0 +2 =0Tam giác ABC có độ dài AB =AC =n0 a n2 2 b4 ab

0

16 − +8 = 0Tam giác ABC có cực trị B C, Ox b2 = 4ac

Tam giác ABC có 3 góc nhọn b a b(8 + 3) 0

Tam giác ABC có trọng tâm O b2 = 6ac

Tam giác ABC có trực tâm O b3 +8a −4ac = 0

Tam giác ABC cùng điểm O tạo thành hình thoi b2 =2ac

Tam giác ABC có O là tâm đường tròn nội tiếp b3 −8a −4abc =0

Tam giác ABC có O là tâm đường tròn ngoại

Tam giác ABC có cạnh BC =kAB =kAC b k3 2 a k2

−8 ( −4)=0Trục hoành chia tam giác ABC thành

hai phần có diện tích bằng nhau

* Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp

+ Bước 1: Tính f x( ) và tìm các điểm x x1, , ,2 x n D mà tại đó f x( )= 0 hoặc hàm số không có đạo hàm

+ Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

* Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn

+ Bước 1:

 Hàm số đã cho y = f x( ) xác định và liên tục trên đoạn a b; 

 Tìm các điểm x x1, , ,2 x n trên khoảng ( )a b; , tại đó f x( ) =0 hoặc f x( ) không xác định

* Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng

 Bước 1: Tính đạo hàm f x( )

 Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm x i ( ; )a b của phương trình

f x( )= 0 và tất cả các điểm i ( ; )a b làm cho f x( ) không xác định

+ Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng

đó

ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1 Đường tiệm cận ngang

Cho hàm số y = f x xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng (a;+) (, −;b) hoặc

(− + ) Đường thẳng ; ) y =y0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số

KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1 KHẢO SÁT MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC VÀ PHÂN THỨC:

Phương trình /

0

y = vô nghiệm

và y = f x( ) là hàm chẵn nên đồ thị ( )C nhận Oy làm trục đối xứng

* Cách vẽ ( )C từ ( )C :

+ Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy của đồ thị ( )C :y = f x( )

+ Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của ( )C , lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy

Ví dụ: Từ đồ thị ( )C :y = f x( )=x3 −3x

suy ra đồ thị ( )C :y = x 3 −3x

Biến đổi ( )C :

+ Bỏ phần đồ thị của ( )C bên trái

Oy, giữ nguyên ( )C bên phải Oy

+ Lấy đối xứng phần đồ thị được giữ

* Cách vẽ ( )C từ ( )C :

+ Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox của đồ thị (C): y = f x( )

+ Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox

O

-2

2

-1 1

+ Giữ nguyên phần đồ thị trên miền u x( )0 của đồ thị ( )C :y = f x( )

+ Bỏ phần đồ thị trên miền u x( ) 0của ( )C , lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox

+ Giữ nguyên (C) với x 1

+ Bỏ (C) với x 1 Lấy đối xứng phần đồ

thị bị bỏ qua Ox

Nhận xét: Trong quá trình thực hiện phép suy

đồ thị nên lấy đối xứng các điểm đặc biệt của

(C): giao điểm với Ox, Oy, CĐ, CT…

+ Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.

Nhận xét: Đối với hàm phân thức thì nên

lấy đối xứng các đường tiệm cận để thực

hiện phép suy đồ thị một cách tương đối chính xác

TIẾP TUYẾN

1 Tiếp tuyến : Cho hàm số y= f x( ), có đồ thị (C) Tiếp tuyến của

đồ thị (C) tại điểm M x y0( 0; 0)( )C có dạng: y = f x( )(0 x x− 0)+y0

Trong đó: Điểm M x y0( 0; 0)( )C được gọi là tiếp điểm ( với y0 = f x( )0 )

k = f x'( )0 là hệ số góc của tiếp tuyến

2 Điều kiện tiếp xúc: Cho hai hàm số ( )C :y = f x( ) và ( )C' :y =g x( )

Đồ thị ( )C và ( )C  tiếp xúc nhau khi chỉ khi hệ phương trình:

( ) ( ) ( ) ( )

+ Nghiệm x0 của phương trình ( )1 chính là

hoành độ x0 của giao điểm

+ Để tính tung độ y0 của giao điểm, ta thay hoành độ x0 vào

( )

=

y f x hoặc y =g x( )

+ Điểm M x y( 0; 0) là giao điểm của ( )C1 và C( ) 2

ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG

1 Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong

Xét họ đường cong (C m) có phương trình y = f x m( , ), trong đó f là hàm đa thức theo biến x

với m là tham số sao cho bậc của m không quá 2 Tìm những điểm cố định thuộc họ đường cong khi m

thay đổi?

 Phương pháp giải:

+ Bước 1: Đưa phương trình y= f x m( , ) về dạng phương trình

theo ẩn m có dạng sau:Am B+ =0 hoặc Am2 +Bm C+ =0

+ Bước 2: Cho các hệ số bằng 0 , ta thu được hệ phương trình và giải hệ phương trình:  =

 =



A B

000

+ Bước 3: Kết luận:

- Nếu hệ vô nghiệm thì họ đường cong (C m) không có điểm cố định

- Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó là điểm cố định của (C m)

2 Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên:

Cho đường cong ( )C có phương trình y = f x (hàm phân thức) Hãy tìm những điểm có tọa độ nguyên của đường cong?

Những điểm có tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hoành độ và tung độ của điểm đó đều là

số nguyên

 Phương pháp giải:

+ Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số

+ Bước 2: Lập luận để giải bài toán

3 Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng:

Cho đường cong ( )C có phương trìnhy = f x Tìm những điểm đối xứng nhau qua một điểm, qua đường thẳng

Bài toán 1: Cho đồ thị ( )C :y =Ax3 +Bx2 +Cx +D trên đồ thị ( )C tìm những cặp điểm đối xứng nhau qua điểm I x y ( , ) I I

Giải hệ phương trình tìm được a b, từ đó tìm được toạ độ M, N

Trường hợp đặc biệt : Cho đồ thị ( )C :y =Ax3 +Bx2 +Cx +D Trên đồ thị ( )C tìm những cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ

 Phương pháp giải:

+ Gọi M a Aa( 3 +Ba2 +Ca +D N b Ab) ( 3 +Bb2 +Cb D+ )

, , , là hai điểm trên ( )C đối xứng

nhau qua gốc tọa độ

+ Giải hệ phương trình tìm đượca b, từ đó tìm được toạ độ M N,

Bài toán 3: Cho đồ thị ( )C :y =Ax3 +Bx2 +Cx +D trên đồ thị ( )C tìm những cặp điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d y: =A x1 +B1

 Phương pháp giải:

+ Giải hệ phương trình tìm được M, N

4 Bài toán tìm điểm đặc biệt, khoảng cách

Diện tích tam giác MAB không đổi: S MAB = ad bc−

c2

2

❖ Các bài toán thường gặp:

y 0, 0 có đồ thị ( )C Hãy tìm trên ( )C hai điểm A

và B thuộc hai nhánh đồ thị hàm số sao cho khoảng cách AB ngắn nhất

 Phương pháp giải:

+ ( )C có tiệm cận đứng x = −d

c do tính chất của hàm phân thức, đồ thị nằm về hai phía của tiệm

cận đứng Nên gọi hai số   là hai số dương ,

+ Nếu A thuộc nhánh trái: x A  − d x A = − −d   −d

c c c ; y A = f x( )A + Nếu B thuộc nhánh phải: x B  − d x B = − +d   −d

c c c ; y B = f x( )B + Sau đó tính:

= B − A + B − A =  + − −  + B − A

+ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy sẽ tìm ra kết quả

Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số ( )C có phương trình y = f x Tìm tọa độ điểm M thuộc ( )C để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất

 Phương pháp giải:

+ Gọi M x y( ); và tổng khoảng cách từ Mđến hai trục tọa độ là d thì d = x + y

+ Xét các khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ khi M nằm ở các vị trí đặc biệt: Trên trục hoành, trên trục tung

+ Sau đó xét tổng quát, những điểm M có hoành độ, hoặc tung độ lớn hơn hoành độ hoặc tung độ của M khi nằm trên hai trục thì loại đi không xét đến

+ Những điểm còn lại ta đưa về tìm giá trị nhỏ nhất của đồ thi hàm số dựa vào đạo hàm rồi tìm được giá trị nhỏ nhất của d

Bài toán 3: Cho đồ thị ( ) có phương trìnhC y= f x( ) Tìm điểm M trên ( )C sao cho khoảng cách

c c; của hai tiệm cận

+ Gọi M x y( M; M) là điểm cần tìm Khi đó:

+ Sử dụng phương pháp tìm GTLN - GTNN cho hàm số g để thu được kết quả

Bài toán 5: Cho đồ thị hàm số ( )C có phương trình y = f x và đường thẳng

PHẦN II MŨ VÀ LOGARIT LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA

1 KHÁI NIỆM LŨY THỪA

+ Lũy thừa với số mũ nguyên

Cho n là một số nguyên dương

Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a

+ Một số tính chất của lũy thừa

• Giả thuyết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa:

+ Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên

+ Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0

+ Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương

+ Với b 0, phương trình vô nghiệm

+ Với b =0, phương trình có một nghiệm x = 0

+ Với b 0, phương trình có hai nghiệm trái dấu, kí hiệu giá trị dương là n b , còn giá trị âm là

Xét hàm số y =x, với  là số thực cho trước

Hàm số y =x, với  , được gọi là hàm số lũy thừa

Chú ý

Tập xác định của hàm số lũy thừa y =x tùy thuộc vào giá trị của  Cụ thể

• Với  nguyên dương, tập xác định là

• Với  nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là \ 0  

• Với  không nguyên, tập xác định (0;+ )

+ Khảo sát hàm số lũy thừa

❖ Tập xác định của hàm số lũy thừa y =x luôn chứa khoảng

(0; + với mọi )  Trong trường hợp tổng quát, ta khảo sát hàm số y =x trên khoảng này 

Đồ thị như hình sau

LOGARIT VÀ HÀM SỐ LOGARIT

1 KHÁI NIỆM –TÍNH CHẤT VÀ QUY TẮT TÍNH LOGARIT

+ Khái niệm Logarit

Cho hai số dương a b, với a 1 Số  thỏa mãn đẳng thức a =b được gọi là logarit cơ số a của b

và được kí hiệu là loga b

 =loga ba =b

Không có logarit của số âm và số 0

Bảng tóm tắt công thức Mũ-loarrit thường gặp:

• ( )

b b b

• Nếu b 0, tập nghiệm của bất phương trình là , vì a x   b x,

• Nếu b  0 thì bất phương trình tương đương với a x aloga b

.Với a 1, nghiệm của bất phương trình là x  log a b

Với 0 a 1, nghiệm của bất phương trình là x  log a b

Ta minh họa bằng đồ thị sau:

• Với a 1, ta có đồ thị sau

• Với 0  a 1, ta có đồ thị sau

+ Bất phương trình logarit cơ bản

Bất phương trình logarit cơ bản có dạng loga x b (hoặc loga x b ,loga x b ,loga x b ) với

log khi và chỉ khi 0 x a b

BÀI TOÁN LÃI SUẤT NGÂN HÀNG

1 Lãi đơn: là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền

gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi không đến rút tiền ra

a) Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r% /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn ( n * ) là:

a) Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r% /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn ( n * ) là:

S n

r

1

=+

3 Tiền gửi hàng tháng: Mỗi tháng gửi đúng cùng một số tiền vào 1 thời gian cố định

a) Công thức tính: Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép r%/tháng thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n tháng ( n * ) ( nhận tiền cuối tháng, khi ngân hàng đã tính lãi) là S n

( )r ( n )

S r n

S r A

4 Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng:

a) Công thức tính: Gửi ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r%/tháng Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút ra số tiền là X đồng Tính số tiền còn lại sau n tháng là bao nhiêu?

5 Vay vốn trả góp: Vay ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r%/tháng Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi hoàn nợ số tiền là X đồng và trả hết tiền nợ sau đúng n tháng

a) Công thức tính: Cách tính số tiền còn lại sau n tháng giống hoàn toàn công thức tính gửi ngân hàng

và rút tiền hàng tháng nên ta có

n n

6 Bài toán tăng lương: Một người được lãnh lương khởi điểm là A đồng/tháng Cứ sau n tháng thì lương người đó được tăng thêm r%/tháng Hỏi sau kn tháng người đó lĩnh được tất cả số tiền là bao

7 Bài toán tăng trưởng dân số:

Công thức tính tăng trưởng dân số

G x F x C cũng là một nguyên hàm của f x( ) trên K

2) Nếu F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K thì mọi nguyên hàm của f x( ) trên

K đều có dạng F x( )+C , với C là một hằng số

Do đó F x( )+C C,  là họ tất cả các nguyên hàm của f x( ) trên K

3 Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số f x( ) liên tục trên K đều có nguyên hàm

trên K

Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp

1 0dx =C 2 dx = +x C

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

1 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

a Đổi biến dạng 1:

Nếu : f x dx( ) =F x( )+C và với u =( )t là hàm số có đạo hàm thì : f u du( ) =F( ( ))t +C

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

• Bước 1: Chọn x =( )t , trong đó ( )t là hàm số mà ta chọn thích hợp

• Bước 2: Lấy vi phân hai vế : dx ='( )t dt

• Bước 3: Biến đổi : = ( ) ( ) = ( )

f x dx( ) f t ' t dt g t dt

• Bước 4: Khi đó tính : f x dx( ) = g t dt( ) =G t( )+C

* Các dấu hiệu đổi biến thường gặp :

a x

a x. Đặt x =acos t2(x a b x− )( − ) Đặt x = +a (b a sin t– ) 2

b Đổi biến dạng 2:

Nếu hàm số f(x) liên tục thì đặt x =( )t Trong đó ( )t cùng với đạo hàm của nó ('( )t là những hàm số liên tục) thì ta được :

2 NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K:

u x v x dx( ) '( ) u x v x( ) ( ) v x u x dx( ) '( ) Hay udv =uv −vdu ( với du =u x dx dv’( ) ,  =v x dx’( ) )

' ( )( )

cossin '( )

Vậy I lnx Q( )x Q x dx

x

1( )

Đặt

x

cossin

cossin Bằng phương pháp tương tự ta tính được

a Phương pháp đổi biến số dạng 1

Định lí Nếu 1) Hàm x =u t( ) có đạo hàm liên tục trên  

 ;  2) Hàm hợp f u t( ( )) được xác định trên  

 ; , 3) u( ) =a u, ( ) =b

b Phương pháp đổi biến dạng 2

Định lí: Nếu hàm số u =u x( )đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn a b;  sao cho

• Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo u

Vậy: = b = b   = u b

I f x dx g u x u x dx g u du

( ) ( )

*Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần

Chú ý: Nên chọn u là phần của f(x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn dv =v dx'

là phần của f(x)dx

là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm

TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN

1 Tích phân hàm hữu tỉ Dạng 1: I =

( ) liên tục trên đoạn  ; )

+) Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm A và B sao cho:

• Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa thức

• Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trường hợp:

+ Khi Q(x) chỉ có nghiệm đơn  1, , ,2 nthì đặt

n n

+ Khi Q(x) có nghiệm bội

2 2

2

2Khi đó ta có :

- Nếu  0,a  0 f x( )=a u( 2 +k2)  f x( ) = a u 2 +k2 (1)

2

;2

+Bước 2: Quy đồng mẫu số , sau đó đồng nhất hệ số hai tử số để suy ra hệ hai ẩn số A,B

+Bước 3: Giải hệ tìm A,B thay vào (1)

Tích phân này chúng ta đã biết cách tính

x (1)