Chuyên đề tọa độ trong không gian Oxyz

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạ[r]

CHUYÊN ĐỀ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

1 Hệ trục tọa độ trong không gian

Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox Oy Oz, , vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O Gọi i j k, , là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox Oy Oz, , Hệ ba trục như vậy

gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian

Chú ý: i2  j2 k2 1 và i j i k k j 0

2 Tọa độ của vectơ

a) Định nghĩa: u  x y z; ;  u xiy jzk

b) Tính chất: Cho a( ;a a a1 2; 3),b( ; ; ),b b b1 2 3 k

 a b (a1b a1; 2b a2; 3b3)

 ka (ka ka1; 2; ka3)



1 1

2 2

3 3







 



 0(0;0;0),i (1;0;0), j (0;1;0), k (0;0;1)

 a cùng phương b b( 0)  akb k(  )

1 1

3

1 2

1 2 3

3 3

a kb

a

a kb







 



 a b a b1.1a b2 2a b3 3  a b a b1 1a b2 2a b3 3 0

1 2 3

1 2 2

a  a a a

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

cos( , )

a b a b a b

a b

a b

    (với a b, 0)

3 Tọa độ của điểm

a) Định nghĩa:M x y z( ; ; )OM  x i y j z k (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)

Chú ý:  MOxy z 0;MOyz x 0;MOxz y 0

 MOx  y z 0;MOy  x z 0;MOz  x y 0

b) Tính chất: Cho A x( A; y A; z A), B x( B; y B; z B)

 AB(x Bx A;y By z A; Bz A)

 2 2 2

AB  x x  y y  z z

A B A B A B

 Toạ độ trọng tâm Gcủa tam giác ABC:

A B C A B C A B C

 Toạ độ trọng tâmGcủa tứ diện ABCD:

A B C D A B C D A B C C

4 Tích có hướng của hai vectơ

a) Định nghĩa: Trong không gian Oxyzcho hai vectơ a( ;a a a1 2; 3), b( ; ; )b b b1 2 3 Tích có hướng

của hai vectơ a và b, kí hiệu là a b, , được xác định bởi

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số

b) Tính chất:

 [ , ]a b a; [ , ]a b b

 a b,  b a, 

 i j,  k; j k, i; k i,  j

 [ , ]a b a b .sin a b, (Chương trình nâng cao)

 a b, cùng phương  [ , ]a b 0 (chứng minh 3 điểm thẳng hàng)

c) Ứng dụng của tích có hướng: (Chương trình nâng cao)

 Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: , a b và c đồng phẳng  [ , ].a b c0

 Diện tích hình bình hành ABCD : S ABCD  AB AD, 

2

ABC

S  AB AC

 Thể tích khối hộp ABCDA B C D   : V ABCD A B C D ' ' ' '  [AB AD AA, ] 

6

ABCD

Chú ý:

– Tích vơ hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuơng

gĩc, tính gĩc giữa hai đường thẳng

– Tích cĩ hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích

khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – khơng đồng phẳng, chứng minh

các vectơ cùng phương

 

 

0

0 0

a vàb cù ng phương a b

a b c đồng phẳng a b c

,

5 Một vài thao tác sử dụng máy tính bỏ túi (Casio Fx570 Es Plus, Casio Fx570 Vn Plus, Vinacal

570 Es Plus )

Trong khơng gian Oxyz cho bốn điểm A x A; y ;A z A ,B x B;y B; zB ,C x C;y C; zC , D x D;y D; zD

w 8 1 1 (nhập vectơ AB)

q 5 2 2 2 (nhập vectơ AC )

q 5 2 3 1 (nhập vectơ AD )

C q53q54= (tính AB AC, )

C q53q54q57q55= (tính [AB AC AD, ] )

Cqc(Abs) q53q54q57q55= (tính [AB AC AD ) , ]

C1a6qc(Abs) q53q54q57q55=

(tính 1[ , ]

6

ABCD

6 Bài tập

Câu 1 Gọi  là gĩc giữa hai vectơ a và b , với a và b khác 0 , khi đĩ cos bằng

A. .

a b

a b

a b

a b



a b

a b



Câu 2 Gọi  là gĩc giữa hai vectơ a1; 2;0 và b2;0; 1 , khi đĩ cos bằng

2

2 5

 Câu 3 Cho vectơ a1;3; 4, tìm vectơ b cùng phương với vectơ a

A b    2; 6; 8  B b   2; 6;8  C b  2;6;8  D b2; 6; 8    Câu 4 Tích vơ hướng của hai vectơ a  2; 2;5 , b0;1; 2 trong khơng gian bằng

A 10 B 13 C 12 D 14

Câu 5 Trong không gian cho hai điểm A1; 2;3 , B 0;1;1, độ dài đoạn AB bằng

Câu 6 Trong không gian Oxyz , gọi , , i j k là các vectơ đơn vị, khi đó với M x y z thì OM bằng  ; ; 

A  xi y jzk B xiy jzk C x j yi zk D. xiy jzk.

Câu 7 Tích có hướng của hai vectơ a( ;a a a1 2; 3),b( ; ; )b b b1 2 3 là một vectơ, kí hiệu a b,  , được

xác định bằng tọa độ

A. a b2 3a b a b3 2; 3 1a b a b1 3; 1 2a b2 1 B a b2 3a b a b3 2; 3 1a b a b1 3; 1 2a b2 1

C a b2 3a b a b3 2; 3 1a b a b1 3; 1 2a b2 1 D a b2 2a b a b3 3; 3 3a b a b1 1; 1 1a b2 2

Câu 8 Cho các vectơ uu u u1; 2; 3 và vv v v1; ;2 3, u v 0 khi và chỉ khi

A u v1 1u v2 2u v3 3 1 B u1     v1 u2 v2 u3 v3 0

C. u v1 1u v2 2u v3 30 D.u v1 2u v2 3u v3 1 1 Câu 9 Cho vectơ a1; 1; 2 , độ dài vectơ a là

Câu 10 Trong không gian Oxyz, cho điểm M nằm trên trục Oxsao cho M không trùng với gốc tọa

độ, khi đó tọa độ điểm M có dạng

A. M a ;0;0 , a0 B M0; ;0 ,b  b0 C M0;0;c c, 0 D M a ;1;1 , a0 Câu 11 Trong không gian Oxyz, cho điểm M nằm trên mặt phẳng Oxy sao cho  M không trùng với

gốc tọa độ và không nằm trên hai trục Ox Oy , khi đó tọa độ điểm M là ( , ,, a b c0)

A 0; ;b a  B. a b; ;0  C 0;0;c  D a;1;1 Câu 12 Trong không gian Oxyz, cho a0;3; 4 và b 2a , khi đó tọa độ vectơ b có thể là

A 0;3; 4  B 4;0;3  C 2;0;1  D. 8;0; 6   Câu 13 Trong không gian Oxyz cho hai vectơ u và v , khi đó u v,  bằng

A. u v .sin u v , B u v .cos u v , C u v .cos u v , D u v .sin u v ,

Câu 14 Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a1; 1; 2 ,  b3;0; 1 ,  c  2;5;1, vectơ

m  a b c có tọa độ là

A 6;0; 6  B 6;6;0 C. 6; 6;0  D 0;6; 6 

Câu 15 Trong không gian Oxyzcho ba điểm A1;0; 3 ,  B 2; 4; 1 ,  C 2; 2;0  Độ dài các cạnh

AB AC BC của tam giác ABC lần lượt là

A 21, 13, 37 B 11, 14, 37 C 21, 14, 37 D 21, 13, 35 Câu 16 Trong không gian Oxyz cho ba điểm A1;0; 3 ,  B 2; 4; 1 ,  C 2; 2;0  Tọa độ trọng tâm G

của tam giác ABC là

A. 5 2; ; 4

5 2 4

; ;

3 3 3

2

Câu 17 Trong không gian Oxyz cho ba điểm A1; 2;0 , B 1;1;3 , C 0; 2;5  Để 4 điểm A B C D, , ,

đồng phẳng thì tọa độ điểm D là

A. D2;5;0 B D1; 2;3 C D1; 1;6  D D0;0; 2 Câu 18 Trong không gian Oxyz, cho ba vecto a( ; ; ),1 2 3 b ( 2 0 1; ; ),c ( 1 0 1; ; ) Tìm tọa độ của

vectơ n  a b 2c3i

A n6; 2;6 B n6; 2; 6  C n0; 2;6 D. n  6; 2;6 Câu 19 Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;0; 2), ( 2;1;3), (3; 2; 4)B  C Tìm tọa độ

trọng tâm G của tam giác ABC

A. 2;1;3

3

3

Câu 20 Cho 3 điểm M2;0;0 ,  N 0; 3;0 ,   P 0;0;4  Nếu MNPQ là hình bình hành thì tọa độ của

điểm Q là

A Q 2; 3; 4 B. Q2;3; 4 C Q3; 4; 2 D Q 2; 3; 4    Câu 21 Trong không gian tọa độ Oxyzcho ba điểm M1;1;1 , N 2;3; 4 , P 7;7;5 Để tứ giác MNPQ

là hình bình hành thì tọa độ điểm Q là

A Q6;5; 2 B Q6;5; 2 C Q6; 5; 2  D Q  6; 5; 2 Câu 22 Cho 3 điểm A1;2;0 , 1;0; 1 ,  B   C 0; 1;2   Tam giác ABC là

C tam giác vuông đỉnh A D tam giác đều

Câu 23 Trong không gian tọa độ Oxyzcho ba điểm A1; 2; 2 , B 0;1;3 , C 3; 4;0 Để tứ giác

ABCD là hình bình hành thì tọa độ điểm D là

A D4;5; 1  B D4;5; 1  C D  4; 5; 1 D D4; 5;1 

Câu 24 Cho hai vectơ a và b tạo với nhau góc 600 và a 2;b 4 Khi đó a b bằng

A 8 320. B 2 7 C 2 5. D 2 Câu 25 Cho điểm M1; 2; 3 , khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng Oxy bằng 

Câu 26 Cho điểm M2;5;0, hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Oy là điểm

A M2;5;0 B M0; 5;0  C. M0;5;0 D M  2;0;0 Câu 27 Cho điểm M1; 2; 3 , hình chiếu vuông góc của điểm Mtrên mặt phẳng Oxy là điểm 

A. M1; 2;0 B M1;0; 3  C M0; 2; 3  D M1; 2;3 Câu 28 Cho điểm M2;5;1, khoảng cách từ điểm M đến trục Ox bằng

Câu 29 Cho hình chóp tam giác S ABC với I là trọng tâm của đáy ABC Đẳng thức nào sau đây là

đẳng thức đúng

A IAIBIC B IA IB CI  0 C IA BI IC0 D. IA IB IC0.

Câu 30 Trong không gian Oxyz, cho 3 vectơ a  1;1; 0



  ; b 1;1; 0





đề sau, mệnh đề nào sai:

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,

giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn

Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh

Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí