Chuyen de toa do trong khong gian

a Chứng minh ABCD là một tứ diện và tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện đó.. b Tính thể tích của tứ diện ABCD.[r]

1 TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

In ẽšãẽ ẽăaaiiiiii

1.2

1.3

1.1.1 Hé truc toa do

1.1.2 Cong thite va cdc tinh chat © Ặ Q Q Ẻ Một số đều lưu ý

Một số bài toán về thể tích và điện tích

Bài toán tham số

Chương 1

TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

1.1 Lý thuyết

1.1.1 Hệ trục tọa độ

Hệ gồm ba trục tọa độ Óz,Óy,Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông

góc @#z trong không gian

Các mặt phẳng tọa độ (Oz), (Owz), (Ozz) đôi một vuông góc

M €Oz<> M(z;0;0) se M€ (Ozy) < M(z;y;0)

e Cho diém M(x; y; 2) Khi d6

+ Diểm N đối xứng với M qua góc tọa độ là WN(—z

+ Diễm P đối xứng với M qua trục Óz 1A P(x; —y :—; —2)

;—Z)

+ Diém Q déi xttng vdi M qua truc Oy là Q(—2; y; —2)

+ Diém R đối xứng với M qua trục Oz lA R(—2x;—y; z)

1.1.2 Công thức và các tính chất

a) Trong hệ trục toa d6 Oxyz

Cho A(xva; ya; 24), B(@p; yp; ZB) Khi đó:

e AB = (ap —asyp — yarn — 2a)

AB = V(#p — #A)? + (Us — ya)? + (28 — Za)?

e Toa độ trung điểm I của đoạn thắng AB là

I LATLB YATYB 2A TT 2B

b) Cho AABC véi A(x; ya; 24), B(@B; yB; ZB),

C(2co; yc; 2c) Khi dé trong tam AABC 1a

ee ee ee

c) Cho tit diện ABCD véi A(x4; ya; 24),

B(xp; yp; 2B), C(«03 yo; 2c), D(xp; yp; Zp)

Toa d6 trong tam ttt dién ABCD 1a

E (oteeteotep UATn TC LH, 2ALZH 2c LZD )

6 t — Ư = (đi — đai — yas 21 — 22)

ek.v = (kay: ky; kz)

e z, ứ cùng phương <> Tư, ở] =ữ

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết 3

Trường THPT Dương Háo Học

* Diện tích tam giác ABC

A

sac = 2 Í8, SẺ] 2

Chuyên đề tọa độ trong không gian

* Diện tích hinh binh hanh ABCD

Vapcapc = || AB, AD] AA

* Thé tich khéi tt? dién ABCD

1.2 Một số đều lưu ý

e Ba điểm A,B,C thắng hàng khi và chỉ khi

[4B, AC] = 0

e Da điểm A,B,C khong thang hang (ba

đỉnh của một tam giác )khi và chỉ khi

[4B, AC] + ở

e Bồn điểm A,B,C,D là bốn đỉnh của một

tứ diện (bốn điểm A,B,C,D không đồng

phẳng) khi và chỉ khi

e Cho điểm Ä/(z;;z) Khi đó

+ Điểm N đối xứng với M qua góc tọa độ

e Cho điểm Ä/(z;;z) Khi đó

+- Hình chiếu của điểm M trên Óz là

e Cho diém M(x; y; z) Khi d6

+ Hình chiéu cia diém M trén (Ory) là

cos ABC = cos (BA, BC) = _BABC_

tính bởi công thức

BÀ nở

cos (BA, BC) = cos (BA, BC)| A cI

e Tìm các điểm đặt biệt trong tam giác

Xét tam giác ABŒ

+ Trong tam cua tam giác là

Trường THPT Dương Háo Học Chuyên đề tọa độ trong không gian

AH, AB, AC dong phang (AB, AC)AH = 0 + H la chan duGng cao ctia tam giác hạ từ đỉnh A khi

All L BC All BỎ =0

lộn nẻ cùng phương » Lần nà =ÿ + D là chân đường phân giác trong của A của tam giác ABC khi

AB, AC, AT dong phang (AB, AỞIAÌ = 0

* Cách 2:

- Lập phương trình mặt phẳng (ABC)

- Lập phương trình mặt cầu (S) qua bén diém O, A, B,C

- Xác định tâm và bán kính đường tròn giao tuyén ctia (S) va (ABC)

e Tìm các điểm đặt biệt trong tứ diện

O(a; b;c) lA tam mat cau ngoai tiép tit diện ABCD khi

OA? = OB? cœ Hệ phương trình với 3 ấn OB? = OC? a,b,c

* Cách 2:

- Lập phương trình mặt cầu qua bốn điểm A,B,C,D

- Suy ra tâm mặt cầu cần tìm

Bài toán 1.3.2 Cho ba vécto @ = (2;3;1), (1;—2;—1), =(—2:4;3) Xác định

vécto d sao cho aod = 3; bả =4; đ.d =2

Lời giải

Goi d = (x; y; Z)

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết ĩ

Trường THPT Dương Háo Học Chuyên đề tọa độ trong không gian

Bài toán 1.3.4 Cho @ = (1;—3;4)

a) Tìm z; z để véctơ b = (2;g;z) cùng phương với a

b) Tim toa do @ sao cho a, ở ngược hướng và [đ| = 2| #|

* Bai tap tuong tu

Bai 7 Cho @ = (3;—2;4), b = (5: ree = (—3;0; 2)

Tim @ sao cho @.2 = 4: =

Trường THPT Dương Háo Học Chuyên đề tọa độ trong không gian

Đ

Bài 10 Cho ba véctơ = (3:2 <1), 0 = (—4 1:2), @ = (6;3:7), d = (—7;—9; —26)

a) Chitng minh rang @ a,b ẻ không d đồn ng phẳng

b) Phân tích véctơ đth heo ba véctơ #, b„ ở

Bài 11 Cho ba véctơ # = (2;—1;3), B = (1;3;-1), @ = (3:1:1), d = (6; —4;8)

a) Ching minh ring @, b, @ khong dong phang

b) Phân tích véctơ ‘d theo ba vécto a,b, ?

—>

b = (5;7:0), @ = (3;—2;4), d = (4;12;—3)

a) Chitng minh rang ¢ khong dong phang

b) Phân tích véctơ đ theo ba véctở #,bĐ b, ở

Bài toán 1.3.7 Cho A(2;—1;5), B(5; —5; 7), C(11; —1; 6), D(5; 7; 2)

a) Chứng minh rằng ABŒ là hình thang

b) Tim diém M(x; y;1) sao cho A,B, M thang hang

AB, CD cùng phương

Mà BỞ = 1) va AD = (3;8; —3)

Suy ra a va F 3 ko cùng phương

Vậy ABŒD) là hình thang

b) Tìm điểm M(a;y;1) sao cho A,B, M thang hang

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết 11

Trường THPT Dương Háo Học Chuyên đề tọa độ trong không gian

Do đó điểm Œ chia đoạn AB theo tỉ số k = 3

Để H là trực tâm của tam giác ABC thì

FA8, AỞ|AH =0 ([A6, AỞ|AH =0 2ø + 4b — 8e+ 12 =0

Bai toan 1.3.11 Cho A(1; —1;0), B(2; 2; 1), C(13; 3; 4)

a) Chitng minh rang A,B,C là ba đỉnh của một tam giác

b) Tìm tọa độ điểm E 1A chan dudng phan giác trong của góc A của tam giác ABC

c) Tìm tọa độ chân đường cao H vẽ từ D của tứ diện ABCD với (1; 1; 1)

Vi 12 x 7 Nên ba điểm A,B,C là ba đỉnh của một tam giác

b) Ta có E là chân đường phân giác trong góc A của AA BC nên

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết 13

Trường THPT Dương Háo Học Chuyên đề tọa độ trong không gian

Dif 1 AC © 4 Di AỞ =0 © 43a+b+ec=5

AH, AB, AC’ dong phẳng (AB, AC).AH =0 a+b—4ce=0

Bài 1 Cho A(1;0;—2), 5(2;1;—1),C(1;—2; 2)

a) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABŒ

b) Tìm tọa độ trung điểm các cạnh của tam giác ABC

c) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác

Bai 2 Cho hai điểm A(2;4;—3), B(5;—7;1) Tim N trên trục z“Óz cách đều hai điểm

A,B

Bài 3 Cho tam giác ABC biết A(1; 0; -2), B(—2;1;1), C(1; -3; —2) Goi D 1A diém chia

doan thang AB theo ti sé 2 vA E 1A điểm chia đoạn thắng BC theo tỉ số —2

a) Tim toa độ điểm D va E

b) Tinh cosin góc tạo bởi hai véctơ AD va AE

Bài 4 Cho ba điểm A(3; 0; 4), B(1;2;3), C(9;6; 4) Tim toa độ điểm D sao cho ABCD là

hình bình hành

Bai 5 Cho ba điểm A(—1;3;2), (3; 4:0), (0; —1;3) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD

là hình bình hành

Bai 6 Cho M(2;—1;4) va I(—3;2;5) Tìm điểm A⁄' đối xứng với M qua I

Bài 7 Cho điểm M trên trục Óy cách đều hai điểm A(—4;3;2), B(—1;2;—3)

Bai 8 Cho ba điểm A(7;ð;1), Ø(4;5;—2), C(3;4;2) Tìm điểm thuộc mặt phẳng (Oxy)

cách déu ba diém A,B,C

Bai 9 Cho ba diém A(1;0;0), B(0;0; 1), C(2;1;1) Tim toa dé diém D sao cho ABCD 1a

hinh binh hanh

Bài 10 Cho hình hộp ABC'D.A'B'C'D c6 A(1;0;1), B(2;1;2), D1; -1;1), C’(4; 5; —5)

Tìm tọa độ các điểm còn lại

Bài I1 Cho hình bình hành ABCD với A(—3;—2;0), Ø(3;—3;1), C(5;0;2) Tìm tọa độ

điểm D và tính góc giữa AỞ và BỦ

Bài 12 Cho tứ diện ABŒD biết A(2;1; —1), B(3;0;1),C(2;—1;3) và D thuộc trục Ởy,

biết VABƠPD = 9 Tim toa do dinh D

Bai 13 Cho A(—3; 2; —7), B(2; 2; —3), C(—3; 6; —2), D(1; 0; 2)

a) Chứng minh tam giác ABC cân Tính chu vi tam giác ABC

b) Tìm tọa độ tầm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Bai 14 Cho A(1;0;—1), B(1;2;1), C(3;2; 1), D(2;1; /2 — 1) X4c dinh tam I va ban kính

mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

10 10 5

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết lỗ

Trường THPT Dương Háo Học Chuyên đề tọa độ trong không gian

Bai 15 Cho A(1;0;2), B(—2; 1; 3), C(3; 2; 4)

a) Tim tọa độ trọng tâm G tam giác ABC

b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC

c) Tim toa do tam I đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC

đ) Tìm tọa độ chân đường cao AH của tam giác ABC

e) Tìm tọa độ chân đường phân giác trong kẻ từ À của tam giác ABC

Bài 16 Tính độ dài đường phân giác trong của góc A của AAĐŒ, biết

a) A(; ~2;2), B(—5; 6; 4), C(0; 1; =2)

b) A(2; -1; 3), B(4;0; 1), C(—10; 5; 3)

Bai 17 Cho A(—1; 2; 4), B(2; 1; 3), C(0; 0; 5), D(3; 0; —2)

a) Chứng minh rằng ABCD là một tứ diện Tính thể tích của tứ diện và độ dài

đường cao của tứ diện kẻ từ D

b) Xét hình hộp ABŒD'.A'ECŒCD, tìm tọa độ các đỉnh A’, B’,C’, D’ cua hinh hộp

c) Tim toa độ điểm I là chân đường phan giác trong của góc A của AAD trong

Bài toán 1.3.12 Cho đ = (2:—1;1), b =(1;-3;2), ¢ = (—3; 2; —2)

a) Chứng minh ba véctơ đó không đồng phẳng

Hay =

d =31@ +20 +20¢

Bài toán 1.3.13 Cho bốn điểm A(0;2;—2), Ø(—3;1;—1), Œ(4;3;0), 2(2;1;-—?2)

a) Chứng minh ABCD là một tứ diện và tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện đó

b) Tính thể tích của tứ diện ABCD

Suy ra AB, AC AD không đồng phẳng

Hay A,B,C,D tao thành một tứ diện

Bài toán 1.3.14 Cho A(1; B(1; 4; 0), C(—4; 1; 1), D(—5; —5; 3)

a) Tinh cosin của góc hai vécto cán ,B

b) Chitng minh tit dién ABCD có hai canh đối AC và CD vuông góc nhau

Trường THPT Dương Háo Học Chuyên đề tọa độ trong không gian

Bai toan 1.3.15 Cho A(1;0;1), B(—1; 1; 2), C(—1; 1,0), D(2; —1; —2)

a) Chitng minh rang A,B,C,D là bốn đỉnh của một tứ diện

b) Tính đường cao của tam giác BCD hạ từ đỉnh D

c) Tính góc CBD va góc giữa hai đường thắng AB, CD

d) Tính thể tích khối tứ diện ABCD Ti đó suy ra độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A

Vậy BA, BC, BD không đồng phang

Hay A,B,C,D là bốn đỉnh của một tứ diện

b) Gọi DK là đường cao của tam giác BCD

Vane = | [BD, AC| AD| =s

Gọi AH là chiều cao của tứ điện ABCD Khi đó

Bai 1 Cho tứ diện ABCD biết A(2;3; 1), B(4;1;—2), C(6; 3; 7), d(—5; —4; 8) Tìm độ dai

đường cao của tứ diện xuất phát từ đinht D

Bài 2 Cho A(3;4; —1), 5(2:0;3),Œ(—3; 5; 4)

a) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC

b) Tính số đo các góc của tam giác ABC

c) Tính diện tích tam giác ABC

—>

Bài 3 Cho @ = (4:3: —U, # = :- -1), ở = (—3:1:2)

a) Chiing minh @, re @ khong ding phẳng,

b) Từ điểm A dựng 1Ö - ở TB Db, AA’ = @ Tinh thể tích khối hộp

ABCD.A'B'C'D' 6 ba kich thuéc AB, AD AA’

Bài 4 Cho A(2;—1;6), B(—3;:—1;—4), C(5;—1;0), O(1;2; 1)

a) Chứng minh A,B,C,D không cùng thuộc một mặt phẳng

b) Tính tọa độ trọng tâm tứ diện ABCD

c) Tinh thé tic tit điện ABCD

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết 19

Trường THPT Dương Háo Học Chuyên đề tọa độ trong không gian

a) Chứng minh bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng

b) Tinh diện tích tam giác ABC 'Pừ đó suy ra độ dài đường cao hự từ đỉnh A và

bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC

c) Tính góc CBD va góc giữa hai đường thắng AB, CD

d) Tính thể tích khối tứ diện ABCD Từ đó suy ra độ dài đường cao của tứ diện

hạ từ đỉnh D

Cho A(1;0;0), Ø(0;0;1),C(2;1; 1)

a) Chứng minh ba điểm A,B,C là ba đỉnh của một tam giác

b) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC

e) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành

d) Tính độ dài đường cao của tam giác hạ từ đỉnh A

e) Tính số đo các góc của tam giác ABC

Cho A(1;0;0), Ø(0;1;0),C(0;0;1), 2O(—2;1; —1)

a) Chứng minh ABCD là một tứ diện

b) Tính các góc tạo bởi các cạnh đối của tứ diện

e) Tính thể tích của tứ diện ABCD và chiều cao của tứ diện hạ từ đỉnh A

Cho lăng trụ tam giác A BŒ.A'E'ŒC' với A(1;—2;—2), B(0;0;—3),C(—1;0;6), A(2;3;—1)

a) Tính thể tích khối lăng trụ

b) Tính độ dài đường cao lăng trụ

Cho tứ diện 15Œ với A(—1;0; —2), B(—3; 2; —1), C(0;1;—4), D(—2; —1;3) Tính

khoảng cách từ D đến mặt phẳng (AC)

Cho Tam giác ABC với A(1;2; —1), B(2; —1; 3), C(—4; 7; 5)

a) Tính độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác ABC

b) Tính độ dài đường phân giác trong của tam giác ABŒ kẻ từ B

Cho A(4; 2; 3), B(—2; 1; —1), C(3; 8; 7), D(—6; 2; z)

a) Chứng minh tam giác ABC cân

b) Tìm D để tam giác ABD cân tại Ð

c) Tính tọa độ trọng tâm tam giác ABD

d) Tính diện tích tam giác ABC

Tính diện tích tam giác ABC biết A(1;0;0), 8(0;2;0),C(2;1;3)

Cho A(1;1;0), Ø(0;2;1),C(1;0;2), D(1;1;1)

a) Chitng minh A, B,C, D khéng déng phẳng Tính thể tích của tứ diện ABCD

b) Tìm tọa độ trọng tâm Œ của tam giác ABC và trọng tâm tứ diện ABCD

c) Tính diện tích các mặt của tứ diện ABCD

đ) Tính độ dài các đường cao của tứ diện ABCD

e) Tính các góc của hai đường thắng AB và CD

Cho A(1;0;0), Ø(0;0;1),C(2;1; 1)

a) Chứng minh 4,7, là ba đỉnh của một tam giác

b) Tính diện tích và chu vi của tam giác ABC

e) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành

đ) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ A

e) Tính các góc của tam giác ABC

) Xác định tọa độ trực tâm của tam giác ABC

ø) Xác định tọa độ tầm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

1.3.4 Bài toán tham số

Bài toán 1.3.18 Cho bốn điểm A(—2;-4;3), (0;0;2), C(1;3;2), D(3a;5;0) Xác định a để A,B,C,D cùng nằm trên một mặt phẳng

Để A,B,C,D cùng thuộc một mặt phẳng khi

(AB, AC).AD =069a-9=06a=1

* Bài tập tương tự

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết 21

Trường THPT Dương Háo Học Chuyên đề tọa độ trong không gian

Cho tam giác ABC biết A(m2;rmm — ã;—2), B(—2m; 3m; —1), C(3m — 2; 2m? —

1;6) Xác định m để tam giác ABC có trọng tâm G thuộc trục Óz

Cho ba điểm A(2;5;3), B(3;7;4), C(x;y;6) Tim x,y dé ba diém A,B,C thang hang

Cho ba diém A(3;1;0), B(2;1;-1), C(a;y;—1)

a) Tim x,y dé A,B,C thang hang

b) Tìm z, đề G (2: —Ï; -;) là trọng tâm tam giác ABC

Cho hai vécto @ = (2; 1; 72), 6

a) Tinh do dai cdc vécto @, b ,

b) Tính góc giữa hai vécto a,b

b) Tính tích vô hướng hai véctơ #, b

Tính độ dài, tích vO hướng và góc giữa các véctơ sau _