SKKN Toán THPT rất hay đạt giải cấp tỉnh

Trong việc dạy học toán thì việc tìm ra phương pháp dạy học và giải bài tập toán đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc có hệ thống, sử dụng đúng phương pháp dạy học góp phần hình thành v

Trang 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THCS&THPT NHƯ THANH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH LỚP 10 THÔNG QUA CÁC CÁCH GIẢI BÀI TOÁN DẠNG ax2 +bx c k dx e+ = + ,

Ở TRƯỜNG THCS&THPT NHƯ THANH

Người thực hiện: Lưu Xuân Phượng Chức vụ: Giáo viên -TTCM

Tổ chuyên môn: Toán - tin SKKN thuộc lĩnh vực: Toán học

THANH HÓA, NĂM 2020

Trang 2

MỤC LỤC

Trang 3

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

Toán học là môn học có ứng dụng hầu hết trong tất cả các ngành khoa học

tự nhiên cũng như trong các lĩnh vực khác của đời sống xã hội

Vì vậy toán học có vai trò đặc biệt trong việc phát triển và nâng cao dân trí Toán học không chỉ cung cấp cho người học những kiến thức cơ bản, những

kĩ năng tính toán cần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu để rèn luyện kĩ năng tìm tòi sáng tạo và tư duy logic, một phương pháp luận khoa học

Trong việc dạy học toán thì việc tìm ra phương pháp dạy học và giải bài tập toán đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc có hệ thống, sử dụng đúng phương pháp dạy học góp phần hình thành và phát triển tư duy của học sinh Đồng thời thong qua việc học toán học sinh được bồi dưỡng và rèn luyện phẩm chất đạo đức, các thao tác tư duy để giải bài tập, đặc biệt là phương trình vô tỉ

Hiện nay ngay từ lớp 7 học sinh được hoàn thiện việc mở rộng tập số hữu

tỉ Q thành tập số thực R Trong khi đó giáo viên khi dạy phương trình vô tỉ thì ít khai thác và phân tích đề bài, mở rộng cách giải, dẫn đến học sinh khi gặp các bài toán về phương trình vô tỉ thường lúng túng hoặc chưa biết cách giải hoặc giải được nhưng thiếu chặt chẽ mà còn mắc nhiều sai lầm

Vì vậy việc phát triển năng lực tư duy cho học sinh thong qua giải phương trình

vô tỉ là cần thiết cho nên tôi xin được trình bày một phần nhỏ về đề tài “Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 10 thông qua các cách giải bài toán dạng ax2 +bx c k dx e+ = + , ở trường THCS&THPT Như Thanh” để khắc phục tình trạng trên về giải phương trình vô tỉ góp phần nâng cao chất lượng học môn toán của học sinh trường THCS&THPT Như Thanh

1.2 Mục đích nghiên cứu

Trang bị cho học sinh một số kiến thức về giải phương trình vô tỉ nhằm nâng cao năng lực tư duy môn toán, giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động sáng tạo

và là công cụ giải quyết những bài tập có liên quan đến phương trình vô tỉ

Gây được hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK, sách tham khảo giúp học sinh giải được một số bài tập

Giải đáp được những thắc mắc, khắc phục sữa chữa những sai lầm hay gặp khi giải phương trình vô tỉ trong quá trình dạy học

Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phương pháp cơ bản

và áp dụng thành thạo các phương pháp đó để giải bài tập

Thông qua giải phương trình vô tỉ giúp học sinh thấy rõ mục đích của việc học toán và học tốt hơn các bài tập về phương trình vô tỉ Đồng thời góp phần nâng cao chất lượng giáo dục

1.3 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi áp dụng

1.3.1 Đối tượng nghiên cứu

“Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 10 thông qua các cách giải bài toán dạng ax2 +bx c k dx e+ = + , ở trường THCS&THPT Như Thanh”

1.3.2 Phạm vi áp dụng

Đề tài này đã được áp dụng cho học sinh lớp 10B1 của năm học 2018- 2019 và 10C5 năm học 2019- 2020 (các tiết dạy tự chọn), Trường THCS&THPT Như Thanh

Trang 4

Và có thể áp dụng đối với học sinh lớp 10 của các khóa học sau, học các khối khác trong trường

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu, sách giáo khoa, sách tham khảo

- Nghiên cứu qua trao đổi học hỏi đồng nghiệp

- Nghiên cứu qua quá trình đúc rút kinh nghiệm trực tiếp giảng dạy

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.1.1 Cơ sở lí luận

Việc giải phương trình vô ti đòi hỏi phải có sự tư duy nhất định, các em còn phải nắm vững kiến thức cơ bản được học từ lớp dưới để vận dụng hợp lí

Trong đề tài tôi đưa ra một dạng toán với nhiều cách giải khác nhau nhằm phát huy năng lực tìm tòi và sáng tạo, tư duy logic phù hợp với học sinh lớp 10 của trường THCS&THPT Như Thanh

Thông qua một dạng toán trang bị cho các em một số phương pháp (ứng với từng cách giải) giải phương trình vô tỉ cơ bản để áp dụng làm các bài tập

Giải quyết tình trạng học sinh máy móc áp dụng công thức chỉ có trong sách giáo khoa không chịu tư duy theo nhiều hướng khác nhau

Rút ra một số chú ý, nhận xét đối với từng cách giải

Chọn lọc một số bài tập hay và phù hợp với nhiều cách giải

2.1.2 Cơ sở thực tiễn

- Đặc điểm địa phương:

Trường THCS&THPT Như Thanh đóng trên địa bàn xã Phượng Nghi, một

xã khó khăn vùng 135 nằm cách xa trung tâm huyện Như Thanh Điều kiện kinh

tế, cơ sở hạ tầng, giao thông, thông tin, văn hoá, chính trị - xã hội còn rất nhiều khó khăn Cơ sở vật chất thiếu thốn, không đồng bộ, lạc hậu so với các khu vực khác trong tỉnh Đặc biệt là trình độ dân trí còn thấp, đại đa số làm nghề nông nên

có rất nhiều hạn chế trong nhận thức và trong phương pháp giáo dục tre

- Đặc điểm nhà trường:

Trường THCS&THPT Như Thanh được thành lập theo Quyết định số 2628/QĐ-UBND của Chủ tịch UBND Tỉnh Thanh Hóa ngày 15 tháng 8 năm

2014, bao gồm hai cấp học là THCS và THPT Sau hơn 5 năm thành lập, trường

đã đi vào hoạt động ổn định và đạt được một số thành tích, bước đầu tạo nền móng vững chắc cho sự phát triển của nhà trường trong những năm học tới Tổng số cán bộ, giáo viên, nhân viên của nhà trường là 56 người, đa số tuổi đời, tuổi nghề còn tre, nhiệt huyết và năng động sáng tạo trong tiếp cận cái mới Năm học này trường có 23 lớp Trong đó, khối THCS có 08 lớp (Lớp 6: 2 lớp Lớp 7: 2 lớp Lớp 8: 2 lớp Lớp 9: 2 lớp), khối THPT có 15 lớp (Lớp 10: 5 lớp, Lớp 11: 5 lớp Lớp 12: 5 lớp)

Cơ sở vật chất nhà trường và trang thiết bị dạy học còn rất nhiều thiếu thốn

Trang 5

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Thực tế qua một số năm giảng dạy bộ môn toán ở t rường THCS&THPT Như Thanh, thông qua việc khảo sát đối tượng học sinh lớp 10 hàng năm tại trường THCS&THPT Như Thanh, tôi nhận thấy phần lớn các em kể cả học sinh khá, giỏi việc giải phương trình vô tỉ đối với các em còn yếu và thiếu linh hoạt trong cách giải Chính vì vậy khi gặp những bài phương trình vô tỉ nói chung và phương trình vô tỉ dạng ax2 +bx c k dx e+ = + nói riêng hầu hết các em làm rất kém Điều này làm cho các em gặp khó khăn và nãn lòng khi học toán đặc biệt khi các em học lên các lớp cao hơn

Năm học 2019 - 2020 qua khảo sát, kiểm tra trước khi áp dụng đề tài với

1 lớp 40 học sinh tôi thấy kết quả tiếp thu về giải phương trình vô tỉ dạng 2

ax +bx c k dx e+ = + như sau:

Giải được

tối đa 3 cách

Giải được tối đa 5 cách

2.3 Các giải pháp thực hiện để giải quyết vấn đề

2.3.1 Khái niệm phương trình vô tỉ

Phương trình vô tỉ là phương trình chứa ẩn trong dấu căn

2.3.2 Giải phương trình vô tỉ

Dạng: ax2 +bx c k dx e+ = +

2.3.3 Ví dụ

Giải phương trình: x2 +4x+ =5 2 2x+3(1)

Bài giải

Cách 1 : (Phương pháp bình phương hai vế)

Định hướng tư duy

Trong chương trình toán lớp lớp 7 ta đã học về hằng đẳng thức và trong chương trình toán 8 ta đã biết phân tích đa thức thành tích các thừa số

Đặt câu hỏi 1:

Trang 6

- Nếu ta áp dụng hằng đẳng thức và bình phương hai vế thì phương trình thu về sẽ là phương trình bậc mấy?

Định hướng trả lời 1:

- Học sinh nhận biết khi bình phương ta thu được phương trình bậc bốn

- Để giải phương trình bậc 4 thì ta phải giải như thế nào?

- Đưa về phương trình tích hoặc phương trình trùng phương

- Phương pháp để phân tích thừa số?

- Học sinh tư duy kiến thức đã học và tìm cách giải quyết bài toán, trong khi giải các em có thể vận dụng sơ đồ hoocne, chia đa thức, hệ số bất định, dùng máy tính để phân tích đa thức

 Trình bày cách giải

Vì x2 +4x+ > ∀5 0, x bình phương hai vế, ta có:

(1) ⇔ x4+16x2 +25 8+ x3+10x2 +40x=8x+12

4 8 3 26 2 32 13 0

1

x

⇔ = − (vì x2 +6x+ = +13 (x 3)2 + > ∀4 0, x)

Vậy, phương trình (1) có một nghiệm là x= −1

➢ Nhận xét:

- Ưu điểm:

+ Cách giải này phù hợp với với đối tượng học sinh trung bình và học

sinh lớp 9,10 có thể giải thành thạo cách này

+ Cách giải hoàn toàn tự nhiên và sơ cấp

+ Các em có thể dùng máy tính để thực hiện bình phương

- Nhược điểm:

+ Có những bài bình phương dẫn đến phương trình bậc 4 việc giải bậc

bốn gặp khó khăn

+ Học sinh dễ mắc sai lầm khi bình phương hai vế mà vế trái lại âm

nhưng dùng phương pháp biến đổi tương dương

+ Học sinh không để ý và lấy cả nghiệm ngoại lai.

Cách 2: (Phương pháp đặt ẩn phụ hoàn toàn)

- Để đơn giản bài toán, chuyển bài toán từ dạng phương trình vô tỉ về dạng phương trình không chứa căn ngoài cách 1 ta còn có thể sử dụng cách nào?

- Ta có thể đặt ẩn phụ

- Vậy để đơn giản ta có thể đặt như thế nào?

- Đặt 2x+ = ≥3 t 0

Trang 7

 Trình bầy cách giải

Đặt 2x+ = ≥3 t 0, khi đó 2 3

2

t

x= − thì phương trình (1) trở thành

4 6 2 9 2 3

t

− + + − + = ⇔ (t−1)(t2+ + =2t 5) 0 ⇔ t= ⇒1 x= −1

- Ưu điêm:

+Với phương pháp đặt ẩn phụ hoàn toàn ta có thể chuyển một phương

trình vô tỉ về một phương trình dạng đa thức bậc 3 với nghiệm nguyên đơn giản

và việc phân tích thành phương trình tích là dễ dàng với các em

+ Bài toán trở nên tường minh dễ quan sát

+ Phù hợp với với đối tượng học sinh trung bình và kiến thức cơ bản từ trung học cơ sở

+ Đối với phương pháp đặt ẩn phụ thì sẽ làm cho bài toán dài dòng.

+ Khi đặt ẩn phụ ta cần quan tâm đến điều kiện cho ẩn phụ để việc loại nghiệm hiệu quả hơn

+ Khi giải được nghiệm của ẩn phụ phải thế vào chỗ đặt để tìm nghiệm của phương trình đầu

Cách 3: ( Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn)

Nếu ta cũng dùng phương pháp đặt ẩn phụ xong nếu ta không đổi hoàn toàn về biến x thì ta được phương trình như thế nào?

Học sinh tư duy và nháp để thực hiện đổi biến và phải lưu ý với các em là khi rút x từ cách đặt ta chỉ thế ngược lại vào vị trí x (không thế vào x )2

Nhận xét về phương trình mới nhận được?

Đây là phương trình bậc hai đối với ẩn x và cũng là phương trình bậc hai đối với ẩn t, vậy các em có thể xem x là tham số và t là ẩn và ta giải phương trình bậc hai với ẩn t xem liệu có giải quyết được bài toán hay không

Đặt 2x+ = ≥3 t 0 , phương trình (1) trở thành

2 2 2 6 8 0

t + − −t x x− = (2)

Ta xem (2) là phương trình bậc hai với ẩn t, tham số x có

2 ( 2) ( 4)

S = − = + + − −x x và P= − −x2 6x− = +8 (x 2)(− −x 4)

Do đó phương trình (2) có hai nghiệm t x= +2,t = − −x 4

2

x≥ − nên t= − − <x 4 0, không thỏa mãn t≥0 Với t x= +2, ta có :

Trang 8

2x+ = +3 x 2 ⇔ 2x+ =3 x2+4x+4 (vì với 3

2

x≥ − thì x+ >2 0)

x+ = ⇔ = −x (thỏa mãn ĐK)

Có thể giải phương trình (2) như sau:

(2) ⇔ x2 +2x+ +2 2x+ =3 2 2x+3

Đặt 2x+ = ≥3 t 0thì phương trình (2) trở thành

t − + +t x x+ = (3)

Ta xem (3) là phương trình bậc hai với ẩn t, tham số x, có ' ( 1)2 ( x2 2x 2) (x 1)2

' 0 (x 1)2 0 (x 1)2 0

x+ = ⇔ = −x (hỏa mãn điều kiện)

Vậy, phương trình có một nghiệm là x= −1

➢Nhận xét:

- Ưu điểm :

Đây là phương pháp để ta giải quyết các bài toán khó khi thực hiện đổi biến hoàn toàn nhưng không giải quyết được hoặc các phương pháp khác không giải quyết được

- Nhược điểm :

Phương pháp dài dòng phải có tư duy phân tích logic để khi đặt ẩn phụ đổi biến ta được một phương trình hai biến khi đó ta xem một biến là tham số và biến còn lại tham gia vào một phương trình bậc hai Tuy nhiên vấn đề đặt ra ở đây là phương trình bậc hai này có ∆ là số chính phương hay một hằng đăng thức bậc hai hay không Nếu ∆không là số chính phương hoặc không là hằng đẳng thức bậc hai thì việc giải quyết sẽ đi vào bế tắc

Cách 4 (Phương pháp đưa về dạng A2 =B2)

Nhắc lại hằng đẳng thức ( )2

a b+ và ( )2

a b− ?

Ta có: ( )2 2 2

2

a b+ =a + ab b+ ; ( )2 2 2

2

a b− =a − ab b+

Từ phương trình đã cho liên hệ để đưa về hằng đẳng thức?

Định hướng trả lời 2:

Ở đây ta lưu ý số 2 trong công thức và số 2 trước dấu căn để thực hiện đưa về hằng đẳng thức

Đk: 3

2

x≥ −

Ta có:

x+ = x+

Trang 9

⇔ (x+ −3 2x+3)(x+ +3 2x+ =3) 0

⇔ 2x+ + = +3 1 x 3 (vì 3

2

x≥ − thì x+ >3 0 )

⇔ 2x+ = + ⇔ = −3 x 2 x 1 (thỏa mãn Đk)

➢Nhận xét:

- Ưu điểm :

Ngắn gọn, xúc tích không cần phải trình bày dài dòng

Đòi hỏi học sinh phải có kĩ năng phân tích, đánh giá, thành thạo và nhìn nhận hằng đẳng thức

Cách 5 (Phương pháp đưa về tổng bình phương)

Nhận xét về biểu thức ( ) (2 )2

f x + g x =

Từ ( ) (2 )2 ( ) 0

( ) 0

f x

f x g x

g x

=





Đặt câu hỏi 2

Vậy liệu ta có thể đưa phương trình đã cho về dạng tổng bình phương như vậy hay không?

Áp dụng hằng đẳng thức trong cách giải 4 để đưa bài toán về dạng tổng bình phương

Đk: 3

2

x≥ −

(1)⇔ x2 +4x+ −5 2 2x+ =3 0 ⇔ x2+2x+ +1 ( 2x+3)2 −2 2x+ + =3 1 0

2 3 1 0

x x

+ =



 ⇔ x= −1 (thỏa mãn đk)

➢Nhận xét:

- Ưu điểm :

Ngắn gọn, xúc tích không cần phải trình bày dài dòng

- Nhược điểm :

Đòi hỏi học sinh phải có kĩ năng phân tích,đánh giá, thành thạo và nhìn nhận hằng đẳng thức

Cách 6 (Phương pháp sử dụng bất đẳng thức)

Nhắc lại bất đẳng thức côsi ?

Định hướng trả lời 1

Trang 10

Cho a≥0,b≥0, ta có :

2

a b

ab

+ ≥ hay a b+ ≥2 ab , dấu “=” xảy ra khi và

chỉ khi a b=

Vấn đề đặt ra ở đây làm sao ta xác định được đâu là a và đâu là b?

- Sử dụng máy tính cầm tay hoặc nhẫm nghiệm ta nhận được một nghiệm

là x= −1.Khi đó học sinh có thể sử dụng điều kiện xảy ra dấu bằng để xác định

a và b

- Với x= −1thì 2x+ =3 1 chọn a=1,b=2x+3

Đk: 3

2

x≥ −

Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số

Ta có : 2 1.(2x+ ≤ +3) 1 (2x+ =3) 2x+4

Khi đó:x2 +4x+ =5 2 2x+ ≤3 2x+4 ⇔ 2 ( )2

⇒ x+ = ⇔ = −1 0 x 1(thỏa mãn đk)

Vậy phương trình có 1 nghiệm x= −1

➢Nhận xét:

- Ưu điểm :

Ngắn gọn, không dòi hỏi biến đổi phức tạp

Đòi hỏi học sinh phải có kiến thức cơ bản về bất đẳng thức cosi áp dụng cho hai số không âm, đây là bất đẳng thức cơ bản tuy nhiên khi nhắc tới bất đẳng thức học sinh thường sợ, sau khi sử dụng bất đẳng thức các

em còn phải đánh giá một biểu thức không âm bé hơn hoặc bằng không, đây là điều mà ít học sinh nghỉ tới khi chưa được tiếp cân dạng toán

Cách 7 (Phương pháp nhân liên hợp)

Trong phương pháp giải phương trình lớp 9 dạng căn thức ta còn một phương pháp rất hay sử dụng là phương pháp nào?

Định hướng trả lời 1

Phương pháp nhân liên hợp

Vấn đề đặt ra là làm sao biết để nhóm thành cụm để ta có thể nhân liên hợp được?

Ta có thể dùng máy tính cầm tay để biết phương trình có nghiệm duy nhất ( không là nghiệm kép)

Từ đó ta sẽ nhóm được cụm như sau: 2( 2x+ − −3 x 2)(x2+2x+1)

Trang 11

Đk: 3

2

x≥ −

(1)⇔ 2( 2x+ − − −3 x 2) (x2+2x 1) 0+ = (2)

Vì 2x+ + + >3 x 2 0, 3

2

x

∀ ≥ −

Ta có (2) ⇔ ( 2 3 2)( 2 3 2) 2

+ + +

⇔ (x2 2 x 1) 2

2x 3 x 2

+ + +

⇔ x2+2 x 1 0+ = ⇔ = −x 1( vì 2 1 0, 3

2

2x 3 x 2 + > ∀ ≥ −x

Vậy phương trình có nghiệm x= −1

➢Nhận xét:

- Ưu điểm :

Phương pháp nhân liên hợp là một phương pháp quen thuộc

được áp dụng khá nhiều trong các bài toán giải phương trình và hệ phương trình vô tỉ Cách giải đơn giản và hiệu quả này không những giúp ta tiếp cận bài toán theo phương pháp tự nhiên hơn mà còn giúp ta tự tạo được nhiều bài toán mới me một cách dễ dàng, thông qua đó có thể rèn luyện thêm kỹ năng cho mình

+ Nắm vững hằng đẳng thức và biết suy ra lượng liên hợp của biểu thức + Phương pháp dài dòng viết nhiều, đòi hỏi các em phải trình bày cẩn thận + Đối với lượng liên hợp khi ta nhân học sinh thường không để ý xét biểu thức có khác không hay không

+ Đưa phương trình về dạng tích thừa số và thông thường có một thừa số

vô nghiệm, do đó đòi hỏi học sinh phải đánh giá thường theo một cách nào đó

Cách 8 ( phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình)

Bằng phương pháp đặt ẩn phụ các em hãy chuyển phương trình đã cho về hai phương trình đối xứng x, y Tức là khi hoán vị thì phương trình này biến thành phương trình kia, kết hợp hai phương trình đó thì ta được hệ phương trình đối xứng

Phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại hai là lấy phương trình này trừ phương trình kia

Đk: 3

2

x≥ −

Đặt : 2x+ = +3 y 2(*)⇒ 2x+ =3 y2 +4y+4, kết hợp bài toán ban đầu ta có

hệ phương trình

2 2



Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	790,5 KB