SKKN TOÁN THPT Rèn luyện năng lực vận dụng kiến thức Toán học để giải quyết một số bài toán thực tiễn trong chương trình Toán 10

Môn Toán ở trường phổ thông góp phần hình thành và phát triển phẩm chất, năng lực học sinh; phát triển kiến thức, kỹ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, áp dụng toán học vào đời sống thực tiễn; tạo dựng sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa Toán học với thực tiễn, giữa Toán học với các môn học khác, đặc biệt với các môn học thuộc lĩnh vực giáo dục STEM. Nội dung chương trình toán lớp 10 là nội dung quan trọng vì nó có vị trí chuyển tiếp và hoàn thiện từ THCS lên THPT và có nhiều cơ hội để đưa nội dung thực tiễn vào dạy học. Nội dung môn Toán thường mang tính trừu tượng, khái quát. Do đó, để hiểu và học được Toán, chương trình Toán ở trường phổ thông cần bảo đảm sự cân đối giữa “học” kiến thức và “áp dụng” kiến thức vào giải quyết vấn đề cụ thể. Tuy nhiên trong thực tiễn dạy học ở trường THPT nhìn chung mới chỉ tập trung rèn luyện cho học sinh vận dụng tri thức học toán ở kỹ năng vận dụng tư duy trong nội bộ môn toán là chủ yếu còn kĩ năng vận dụng tri thức trong toán học vào nhiều môn khác vào đời sống thực tiễn chưa được chú ý đúng mức và thường xuyên. Những bài toán có nội dung liên hệ trực tiếp với đời sống lao động sản xuất còn được trình bày một cách hạn chế trong chương trình toán phổ thông nói chung và chương trình Toán lớp 10 nói riêng.

số bài toán thực tiễn trong chương trình Toán 10

2 Lĩnh vực (mã)/cấp học: Toán (02)/THPT

3 Thời gian áp dụng sáng kiến: từ năm 2016 đến nay

4.Tác giả:

Nơi thường trú: Số nhà 41 đường Phùng Chí Kiên – khu đô thị Hòa Vượng Trình độ chuyên môn: Thạc sỹ

Chức vụ công tác: giáo viên

Nơi làm việc: trường THPT chuyên Lê Hồng Phong

Địa chỉ liên hệ: Số nhà 41 đường Phùng Chí Kiên – khu đô thị Hòa Vượng- Nam Định

Số điện thoại: 0961360888

Tỉ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến: 50%

5 Đồng tác giả

Họ và tên : Nguyễn Phương Hạnh Năm sinh: 1977

Nơi thường trú: Số 3/120 phố Nguyễn Du- TP Nam Định

Tên đơn vị: trường THPT chuyên Lê Hồng Phong

Địa chỉ: 76 Vị Xuyên, thành phố Nam Định

Điện thoại: 0350.3640.297

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

SGK NXB THPT THCS

TT

TH

: Sách giáo khoa : Nhà xuất bản : Trung học phổ thông : Trung học cơ sở : Thực tế

: Toán học

BÁO CÁO SÁNG KIẾN

I ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN

Môn Toán ở trường phổ thông góp phần hình thành và phát triển phẩm chất, năng lực học sinh; phát triển kiến thức, kỹ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, áp dụng toán học vào đời sống thực tiễn; tạo dựng sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa Toán học với thực tiễn, giữa Toán học với các môn học khác, đặc biệt với các môn học thuộc lĩnh vực giáo dục STEM

Nội dung chương trình toán lớp 10 là nội dung quan trọng vì nó có vị trí chuyển tiếp và hoàn thiện từ THCS lên THPT và có nhiều cơ hội để đưa nội dung thực tiễn vào dạy học

Nội dung môn Toán thường mang tính trừu tượng, khái quát Do đó, để hiểu và học được Toán, chương trình Toán ở trường phổ thông cần bảo đảm sự cân đối giữa “học” kiến thức và “áp dụng” kiến thức vào giải quyết vấn đề cụ thể

Tuy nhiên trong thực tiễn dạy học ở trường THPT nhìn chung mới chỉ tập trung rèn luyện cho học sinh vận dụng tri thức học toán ở kỹ năng vận dụng tư duy trong nội bộ môn toán là chủ yếu còn kĩ năng vận dụng tri thức trong toán học vào nhiều môn khác vào đời sống thực tiễn chưa được chú ý đúng mức

và thường xuyên Những bài toán có nội dung liên hệ trực tiếp với đời sống lao động sản xuất còn được trình bày một cách hạn chế trong chương trình toán phổ thông nói chung và chương trình Toán lớp 10 nói riêng

Việc tăng cường rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học để giải quyết các bài toán có nội dung thực tiễn là rất thiết thực và có vai trò quan trọng trong hoàn cảnh giáo dục của nước ta Đã có một số công trình nghiên cứu liên quan đến vấn đề này Sáng kiến kinh nghiệm của chúng chúng tôi muốn góp phần làm sáng tỏ thêm cũng như kế thừa, phát triển, cụ thể hóa những kết quả nghiên cứu của tác giả đi trước vào việc giảng dạy bộ môn Toán lớp 10

Xuất phát từ những lí do trên và với mong muốn được nghiên cứu, đóng góp những vấn đề lí luận và kinh nghiệm trong thực tiễn về lĩnh vực này chúng

chúng tôi chọn đề tài: “Rèn luyện năng lực vận dụng kiến thức Toán học để

giải quyết một số bài toán thực tiễn trong chương trình Toán 10"

II MÔ TẢ GIẢI PHÁP

1 Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến

Trong nội dung học môn Toán lớp 10 hiện nay, với nội dung có liên quan đến bài toán thực tế nhiều học sinh học tập một cách thụ động, chỉ đơn thuần là nhớ kiến thức và áp dụng một cách máy móc mà chưa rèn luyện kỹ năng tư duy Học sinh chỉ học bài nào biết bài đấy hoặc cô lập nội dung của các dạng bài, các phần mà chưa có sự liên hệ kiến thức với nhau vì vậy mà chưa phát triển được

tư duy logic và tư duy hệ thống, tư duy thuật toán Nhất là khi phát triển nội dung các bài toán này để sáng tạo ra các bài toán khác có liên quan hoặc gắn kết trong các môn học khác

Bên cạnh đó: các kiến thức về bài toán thực tế lại quá phong phú, đa dạng, nhiều dạng bài với sự kết hợp linh hoạt những công thức có sẵn Thời gian làm một bài toán theo phương pháp tự luận, nếu không có hướng đi đúng, cũng là vấn đề trở ngại cho học sinh Nếu cứ áp dụng lối mòn đó trong nội dung trắc nghiệm thì rất khó hoàn thành yêu cầu Qua nghiên cứu cho thấy các em học sinh lớp 10 thì việc tiếp cận nội dung liên quan đến bài toán thực tế cần dành nhiều thời gian để tự học, tự nghiên cứu và rút ra kinh nghiệm làm toán trắc nghiệm nhằm nâng cao kiến thức và kỹ năng làm bài Điều đó đang rất thiếu trong hành trình chiếm lĩnh nội dung này

2 Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến

PHẦN I: LÝ LUẬN CHUNG

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 VẤN ĐỀ VẬN DỤNG TOÁN HỌC VÀO THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

1.1.1 Mục tiêu giáo dục THPT và mục tiêu của bộ môn Toán nước ta trong giai đoạn hiện nay

Thủ tướng Chính phủ vừa ban hành Quyết định số 2200/QĐ-TTg phê duyệt “Chương trình trọng điểm quốc gia phát triển Toán học giai đoạn 2021 đến 2030”

Chương trình đặt ra mục tiêu chung là tiếp tục phát triển Toán học Việt Nam bền vững và mạnh mẽ về mọi mặt: nghiên cứu, ứng dụng và đào tạo, tương xứng với tiềm năng trí tuệ của con người Việt Nam, đáp ứng yêu cầu của đất nước trong cuộc cách mạng công nghiệp lần thứ tư; đưa Toán học trở thành một

bộ phận hữu cơ trong sự phát triển chung của khoa học, công nghệ và kinh tế -

xã hội; nâng cao vị thế của Toán học Việt Nam trong khu vực và trên thế giới

Tình hình mới của kinh tế, xã hội Việt Nam cũng đặt riêng cho giáo dục TH những yêu cầu mới Những yêu cầu đó được phản ánh qua mục tiêu bộ môn Toán trong nhà trường phổ thông:

 Cung cấp cho HS những kiến thức, kỹ năng, phương pháp TH phổ thông, cơ bản, thiết thực

 Góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy luận đặc trưng của TH cần thiết cho cuộc sống

 Góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất, phong cách lao động khoa học, biết hợp tác lao động, có ý chí và thói quen tự học thường xuyên

 Tạo cơ sở để HS tiếp tục học đại học, cao đẳng, trung học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động

Riêng đối với cấp THPT, môn Toán có vai trò và ý nghĩa quan trọng, đó là tiếp nối chương trình Trung học cơ sở, cung cấp vốn văn hoá TH phổ thông một cách có hệ thống bao gồm các kiến thức, kỹ năng, phương pháp tư duy TH Những kiến thức, kỹ năng TH cùng với phương pháp làm việc trong môn Toán trở thành công cụ để người học học tập những môn học khác, bước đầu tiếp cận các lĩnh vực khoa học khác nhau, là công cụ để HS đi vào TT cuộc sống [1]

Trong giai đoạn phát triển đất nước hiện nay, môn Toán càng trở thành môn học

có vai trò quan trọng để chuẩn bị tiềm lực con người có học vấn phổ thông Vì vậy, vận dụng TH vào đời sống TT càng trở thành một trong những yêu cầu có tính nguyên tắc trong dạy học toán ở trường THPT hiện nay

1.1.2 Vai trò của vận dụng toán học vào thực tế đối với việc đáp ứng yêu cầu về mục tiêu dạy học môn Toán ở trường phổ thông

Vận dụng TH vào TT trong dạy học Toán ở trường THPT là cơ sở để người học toán nâng cao năng lực ứng dụng TH vào TT, vừa đáp ứng các yêu cầu của mục tiêu bộ môn, vừa thực hiện nhiệm vụ giáo dục toàn diện qua môn Toán, cụ thể:

 Góp phần thực hiện tốt hơn nhiệm vụ kiến tạo tri thức

 Góp phần củng cố các kỹ năng TH, kỹ năng vận dụng TH

Thông qua việc vận dụng TH vào TT trong dạy học Toán, HS sẽ được rèn luyện những kỹ năng trên những bình diện khác nhau:

- Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn Toán

- Kỹ năng vận dụng tri thức TH vào các môn học khác nhau

- Kỹ năng vận dụng TH vào đời sống

Ngoài ra, vận dụng TH vào TT trong dạy học Toán làm tăng lượng thông tin giữa TT và TH, một trong những điều kiện để phát triển ở người học năng lực vận dụng TH vào thực TT

 Góp phần phát triển các năng lực trí tuệ

 Góp phần rèn luyện, phát triển văn hóa toán học cho HS

TH là môn học quan trọng được sử dụng như là tiêu chuẩn để chọn lọc người vào một số trường và một số nghề Hơn nữa, qua tìm hiểu các lĩnh vực ứng dụng của TH, người học thấy được giá trị, cái hay, cái đẹp của TH trong các lĩnh vực thực tế (Vật lý, Sinh học, Kinh tế,…), từ đó mong muốn đem hiểu biết

về TH của bản thân để tìm hiểu sâu các vấn đề trong lĩnh vực đó Đây là một

trong những con đường khởi đầu cho việc tạo dựng tương lai và sự nghiệp của người học toán và yêu thích toán

Như vậy, chúng ta thấy TH có vai trò to lớn đối với TT và việc vận dụng

TH vào TT là một yêu cầu có tính nguyên tắc trong dạy học Toán ở trường phổ thông giai đoạn hiện nay Trong các bước của quá trình vận dụng TH vào TT thì bước lập mô hình TH cho BTTT mang tính quyết định

1.1.3 Rèn luyện năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn, giúp học sinh có kỹ năng thực hành các kỹ năng Toán học và làm quen dần các tình huống thực tiễn

Trong thực tế dạy học ở trường phổ thông, một vấn đề nổi lên là giáo viên chỉ quan tâm, chú trọng việc hoàn thành những kiến thức lí thuyết quy định trong Chương trình và Sách giáo khoa; mà quên, sao nhãng việc thực hành, không chú tâm dạy bài tập Toán cho các em, đặc biệt những bài toán có nội dung thực tiễn, dẫn đến tình trạng học sinh thường lúng túng, thậm chí không làm hoàn chỉnh được những bài toán thực ra rất cơ bản và ở mức độ trung bình Học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc vận dụng kiến thức Toán học vào cuộc sống Theo Trần Kiều, việc dạy học Toán hiện nay ''đang rơi vào tình trạng coi nhẹ thực hành và ứng dụng Toán học vào cuộc sống'' [21]

Để tạo điều kiện vận dụng tri thức vào thực tế, còn phải có những kỹ năng thực hành cần thiết cho đời sống, đó là các kỹ năng tính toán, vẽ hình, đo đạc, Trong hoạt động thực tế ở bất kỳ lĩnh vực nào cũng đòi hỏi kỹ năng tính toán: Tính đúng, tính nhanh, tính hợp lí, cùng với các đức tính cẩn thận, chu đáo kiên nhẫn Cần tránh tình trạng ít ra bài tập đòi hỏi tính toán, cũng như khi dạy giải bài tập chỉ dừng lại ở "phương hướng" mà ngại làm các phép tính cụ thể để đi đến kết quả cuối cùng Tình trạng này có tác hại không nhỏ đối với học sinh trong học tập hiện tại và trong cuộc sống sau này

Trong thực tiễn lao động sản xuất, hoạt động xã hội, việc tính toán đo đạc với độ chính xác cần thiết thường xảy ra từng giờ, từng phút; phải biết vận dụng Toán học như tính nhẩm, tính bằng bảng tính, thước tính, bảng đồ thị,

toán đồ, máy tính, một cách thành thạo và đúng đắn Ngoài ra, cần giải quyết nhiều vấn đề trong thực tiễn với phương pháp hợp lí, ngắn gọn, tiết kiệm tư duy, thời gian, tiền của và sức lao động Việc vận dụng Toán học vào thực tiễn cũng như tập dượt nghiên cứu khoa học trong đó có các hoạt động như: thu thập tài liệu trong thực tế, mò mẫm, dùng quy nạp không hoàn toàn để dự kiến quy luật, rồi dùng quy nạp toán học để chứng minh tính đúng đắn của các quy luật dự kiến; thu thập tài liệu thống kê trong sản xuất, quản lí kinh tế trong xã hội để tìm quy luật chung, ước lượng một số dấu hiệu từ mẫu thống kê đến tập hợp tổng quát về năng suất vụ mùa, năng suất lao động, bình quân nhân khẩu, phế phẩm, số lượng cỡ hàng,

Để thực hiện tốt những hoạt động này, cần có những hoạt động tập thể, đi vào nhà máy, xí nghiệp, hợp tác xã, thu thập tư liệu (ghi chép vào sổ thực tế), mạn đàm với công nhân, nông dân tập thể, kỹ thuật viên, với người quản lí kinh

tế, để có được những tài liệu sống, rồi trên cơ sở đó dùnh kiến thức Toán học

mà phân tích hoặc để tích luỹ thực tiễn, làm vốn quý cho việc tiếp tục học Toán cũng như học các môn học khác Bằng các hoạt động đó, học sinh làm quen với các bước vận dụng Toán học vào thực tiễn: đặt bài toán, xây dựng mô hình, thu thập số liệu; xử lí mô hình để tìm lời giải bài toán, đối chiếu lời giải với thực tế, kiểm tra và điều chỉnh

Qua các hoạt động tiếp xúc với người lao động, ngoài thu hoạch về Toán học, còn có thu hoạch về đạo đức, phẩm chất, quan điểm, lập trường của họ Chính vì vậy mà V I Lênin đã nhấn mạnh: " Từ buổi còn thơ, học sinh cần được vận dụng lí thuyết vào thực tiễn Khi trẻ em giúp đỡ các nông trang viên tính toán hàng ngày mà tính đúng, các em đã làm một việc không phải tách rời học tập mà chính việc đó đã giúp chúng áp dụng kiến thức vào đời sống Khi trẻ em giúp uỷ ban xã làm những phép tính thông kê về kinh tế cần thiết thì điều đó đã giúp vào việc học tập của chúng, giúp cho việc giáo dục Cộng sản đối với chúng" [28, tr 437]

Chính vì vậy, việc tăng cường rèn luyện năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn một mặt giúp học sinh thực hành tốt các kỹ năng toán học (như tính nhanh, tính nhẩm, kỹ năng đọc biểu đồ, kỹ năng suy diễn toán học, tính có căn

cứ đầy đủ của các lập luận, .) Mặt khác, giúp học sinh thực hành làm quen dần với các tình huống thực tiễn gần gũi trong cuộc sống, góp phần tích cực trong việc thực hiện mục tiêu đào tạo học sinh phổ thông, đáp ứng mọi yêu cầu của xã hội

1.1.4 Dạy học ứng dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn là một biện pháp có hiệu quả, nhằm chủ động thực hiện các nhiệm vụ dạy học

Tổ chức cho học sinh luyện tập ứng dụng kiến thức (bao gồm cả kỹ năng) vào những tình huống khác nhau là một khâu quan trọng của quá trình dạy học, không những giúp học sinh lĩnh hội và củng cố kiến thức mà còn là cơ sở quan trọng chủ yếu để đánh giá chất lượng và hiệu quả học tập Trên cơ sở đó, người thầy lựa chọn hoạt động dạy học tiếp theo: tiếp tục củng cố hoàn thiện nội dung

đó hay chuyển sang học nội dung khác Giai đoạn này - theo G Pôlya - là giai đoạn củng cố kiến thức mới được kết hợp, được làm vững chắc, được tổ chức chặt chẽ, rốt cuộc trở thành kiến thức thực chất Sự kiện mới cần liên quan tới thế giới quanh ta, với kiến thức đã có, với kinh nghiệm hàng ngày, dựa vào chúng, tìm trong chúng sự giải thích, nó phải phù hợp với tính ham hiểu biết tự nhiên của học sinh

Trong thực tiễn dạy học ở trường phổ thông, để truyền thụ một tri thức nào đó, các thầy giáo dạy Toán giàu kinh nghiệm thường cho học sinh thực hiện những bài tập được xây dựng có tính phân bậc từ những tình huống quen thuộc đến những tình huống mới lạ, từ chỗ thực hiện có sự giúp đỡ của thầy dần dần tới hoàn toàn độc lập, từng bước đạt tới các trình độ lĩnh hội, tiến tới hoàn toàn nắm vững kiến thức Có thể nói một cách khác, tổ chức cho học sinh luyện tập ứng dụng kiến thức, kỹ năng, phương pháp toán học vào những tình huống khác nhau là một biện pháp nhằm chủ động thực hiện tốt các nhiệm vụ dạy học một cách toàn diện

Như vậy: Tăng cường rèn luyện cho học sinh khả năng và thói quen ứng dụng kiến thức, kỹ năng và phương pháp toán học vào những tình huống cụ thể khác nhau (trong học tập, lao động sản suất, đời sống ) là một nhiệm vụ quan trọng của giáo dục Toán học, nhằm đạt được các mục tiêu đào tạo; tổ chức cho học sinh luyện tập ứng dụng kiến thức để tiếp thu chúng là một khâu quan trọng trong quá trình dạy học Toán, đồng thời cũng là một biện pháp nhằm chủ động thực hiện các nhiệm vụ dạy học, có tác động trực tiếp và quyết định tới chất lượng đích thực của giáo dục phổ thông Vì thế cần phải tổ chức thực hiện tốt khâu này Điều đó phản ánh sự quán triệt tinh thần của Nguyên lý giáo dục Có

thể nói: rèn luyện khả năng và ý thức ứng dụng Toán học cho học sinh vừa là

mục đích vừa là phương tiện của dạy học toán ở trường phổ thông

1.1.5 Vai trò của việc rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học để giải các bài toán có nội dung thực tiễn - nhìn từ một số quan điểm về năng lực toán học

Theo V A Cruchetxki: ''Năng lực Toán học được hiểu là những đặc điểm tâm lí cá nhân (trước hết là những đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng những yêu cầu của hoạt động học tập Toán học, và trong những điều kiện vững chắc như nhau thì là nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng tạo toán học với tư cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực Toán học'' (dẫn theo [14])

Theo quan điểm này, những năng lực toán học có liên quan đến những đặc điểm tâm lí cá nhân Trước hết là những đặc điểm hoạt động trí tuệ Những điều kiện tâm lí chung, cần thiết để đảm bảo thực hiện thắng lợi hoạt động, chẳng hạn như: khuynh hướng hứng thú; các tình trạng tâm lí; kiến thức kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực Toán học Việc rèn luyện cho học sinh ứng dụng kiến thức vào thực tiễn, nghĩa là việc rèn luyện cho học sinh ứng dụng Toán học vào thực tiễn, có tác dụng tích cực, góp phần phát triển năng lực toán học

cho học sinh Điều này cũng được thể hiện rõ ở các Mục 1.1.3.2, 1.1.3.3, 1.1.4 của Chương 1

Cũng theo V A Cruchetxki, sơ đồ khái quát của cấu trúc năng lực toán học ở lứa tuổi học sinh bao gồm:

1) Về mặt thu nhận những thông tin toán học:

Năng lực tri giác hình thức hóa tài liệu toán học, năng lực nắm được cấu trúc hình thức của bài toán;

2) Về mặt chế biến thông tin toán học:

a) Năng lực tư duy lôgic trong lĩnh vực các quan hệ số lượng và các quan

hệ không gian, các ký hiệu dấu và các ký hiệu số; năng lực suy nghĩ với các ký hiệu toán học;

b) Năng lực khái quát nhanh chóng và rộng rãi các đối tượng, quan hệ, các phép toán của Toán học;

c) Năng lực rút ngắn quá trình suy luận Toán học và hệ thống các phép toán tương ứng; năng lực suy nghĩ với những cấu trúc được rút gọn;

d) Tính mềm dẻo của các quá trình tư duy trong hoạt động toán học;

Trong Quan điểm này, Toán học được hiểu theo nghĩa đầy đủ của nó, chẳng hạn: ở tài liệu toán học trong đó có nói đến kiến thức về Toán thực tiễn; bài toán bao gồm cả bài toán thực tiễn; và như vậy việc rèn luyện cho học sinh vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn sẽ góp phần tích cực trong việc phát triển năng lực toán học của học sinh Về bài tập Toán, ta có thể phân chia thành các loại bài toán như: bài toán vận dụng thuần túy kiến thức Toán học; bài toán vận dụng kiến thức Toán học dưới hình thức suy luận, lập luận, chứng minh, ; bài toán thực tiễn Cùng về một kiến thức Toán học nào đó, học sinh

có thể vận dụng dễ dàng cho hai loại bài toán đầu nhưng sẽ khó khăn khi vận dụng giải bài toán thực tiễn, nếu hai loại bài toán đầu học sinh chưa được thực hành vận dụng

Trong các thành phần của cấu trúc năng lực toán học, theo quan điểm này

ta thấy, để phát triển năng lực toán học, cần thiết phải rèn luyện cho học sinh ứng dụng kiến thức Toán học và đặc biệt là ứng dụng kiến thức Toán học vào giải quyết các bài toán thực tiễn Chẳng hạn, đối với năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài toán thì, việc nắm được cấu trúc hình thức của bài toán thuần túy toán học không khó khăn bằng việc nắm cấu trúc hình thức của bài toán thực tiễn tương ứng (kiến thức Toán học bản chất của hai bài toán là như nhau)

- do bài toán thực tiễn liên quan nhiều đến số liệu, dữ liệu, đối tượng khác nhau của thực tiễn, tạo nên cái vỏ hình thức phong phú, đa dạng hơn Do đó, việc rèn luyện cho học sinh khả năng vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn góp phần phát triển năng lực toán học này

Chúng ta cùng xét một nội dung Toán học có liên quan đến năng lực khái quát nhanh chóng và rộng rãi các đối tượng, quan hệ các phép toán của Toán học:

khi học sinh làm việc với phương trình ẩn x đối tượng của x là số, học sinh có thể khái quát đối tượng của x là vận tốc, quãng đường hay thời gian, Điều

này có nghĩa là, giải những bài toán thực tiễn sẽ tạo điều kiện cho học sinh khái quát dễ dàng hơn, góp phần phát triển năng lực này

Trong cấu trúc năng lực toán học của V A Cruchetxki, các thành phần năng lực có tác dụng tương hỗ nhau, đan xen nhau; chính vì vậy trong việc phát triển năng lực toán học ở học sinh, việc rèn luyện, phát triển năng lực này thường liên quan đến kỹ năng, năng lực khác; chẳng hạn, năng lực nắm được cấu trúc hình thức của bài toán là cơ sở góp phần quan trọng cho năng lực tư duy lôgic trong lĩnh vực các quan hệ số lượng và các quan hệ không gian (nếu không nắm được cấu trúc hình thức của bài toán thì năng lực tư duy lôgic trong lĩnh vực các quan hệ số lượng và các quan hệ không gian của học sinh bị hạn chế đi rất nhiều), Việc rèn luyện cho học sinh vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn vừa nhằm hình thành, củng cố cho học sinh những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, vừa phát triển năng lực tư duy của học sinh Đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, góp phần phát triển năng lực toán học ở học sinh

Trong 10 chỉ tiêu năng lực toán học cơ bản mà Tổ chức UNESCO đưa ra,

có các chỉ tiêu: năng lực giải một bài toán đã toán học hóa; năng lực giải một bài toán có lời văn (chưa toán học hóa); Ở đây, Tổ chức UNESCO đã đề cập khá rõ ràng năng lực toán học trong việc vận dụng Toán học vào thực tiễn Rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học để giải quyết các bài toán có nội dung thực tiễn dù ở hình thức nào (đã toán học hóa hay chưa toán học hóa) đều góp phần phát triển năng lực toán học cho học sinh, và ở nhiều khía cạnh khác nhau thì đây chính là biện pháp có hiệu quả nhằm phát triển hai chỉ tiêu năng lực toán học quan trọng mà Tổ chức UNESCO nêu ra ở trên Theo các quan điểm, rõ ràng việc phát triển năng lực toán học cho học sinh là một nhiệm vụ đặc biệt quan trọng của thầy, cô giáo thể hiện rõ nét ở hai

lí do sau:

Thứ nhất, Toán học có một vai trò to lớn trong sự phát triển của các nghành

khoa học; kỹ thuật và sự nghiệp cách mạng cần thiết, có một đội ngũ những người có năng lực toán học

Thứ hai, Nhà trường là nơi cung cấp cho học sinh những cơ sở đầu tiên của

Toán học, không ai khác chính thầy giáo, cô giáo là những người hoặc chăm sóc vun xới cho những mầm mống năng khiếu Toán học ở học sinh, hoặc làm thui chột chúng Qua đó ta thấy, việc rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn là một yếu tố quan trọng trong việc phát triển năng lực toán học ở học sinh

1.2 CƠ SỞ LÝ LUẬN VỀ MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC BÀI TOÁN THỰC TIỄN

1.2.1 Một số khái niệm cơ bản

1.2.1.1 Thực tế, thực tiễn

Theo từ điển Tiếng Việt, thực tế là “tổng thể nói chung những gì đang tồn

tại, đang diễn ra trong tự nhiên và trong xã hội, về mặt có quan hệ đến đời sống con người”; thực tiễn là “ những hoạt động của con người, trước hết là lao

động sản xuất, nhằm tạo ra những điều kiện cần thiết cho sự tồn tại của xã hội (nói tổng quát)” [12] Như vậy, ta thấy TT là một dạng tồn tại của thực tế nhưng

không chỉ tồn tại khách quan mà trong đó có hàm chứa hoạt động của con người cải tạo, biến đổi thực tế với một mục đích nào đó

1.2.1.2 Bài toán, bài toán thực tiễn

Theo quan niệm của L.N.Lanđa, A.N.Leeonchiep thì: Bài toán là mục

đích đã cho trong những điều kiện nhất định, đòi hỏi chủ thể cần phải hành động, tìm kiếm cái chưa biết trên cơ sở mối liên quan với cái đã biết Theo cách

quan niệm của Pôlya: “Bài toán đặt ra là sự cần thiết phải tìm kiếm một cách có

ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới mục đích trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay Giải bài toán là tìm ra phương tiện đó” [19]

Theo Bùi Huy Ngọc: “Bài toán thực tế là một bài toán mà trong giả thiết hay kết luận có các nội dung liên quan đến thực tế” [10] Dựa trên quan điểm này và các quan điểm về bài toán, các quan niệm về thực tế, TT đã trình bày,

chúng tôi quan niệm rằng: Bài toán TT là bài toán mà trong giả thiết hay kết

luận có chứa đựng nội dung liên quan đến các hoạt động TT

1.2.2 Về các bước của quá trình vận dụng toán học vào thực tiễn

Khi xem xét việc TH hoá một khoa học, [11] đưa ra: Việc TH hoá một khoa học có thể được chia làm các giai đoạn: Xử lý TH những tài liệu thực nghiệm, xây dựng mô hình TH và lập ra một lý thuyết TH mới Giai đoạn đầu của việc TH hoá đặc trưng bởi sự chuyển tiếp từ sự mô tả về chất của các hiện tượng được nghiên cứu tới sự nghiên cứu chính về các đặc tính về lượng Giai đoạn thứ hai là giai đoạn xây dựng mô hình TH gắn liền với việc sao chép, mô phỏng lại về phương diện lý thuyết đối tượng đang được nghiên cứu những đối tượng xác định làm cơ bản Giai đoạn thứ ba là giai đoạn mà việc TH hoá là đi tới xây dựng một

lý thuyết TH đầy đủ về đối tượng đang được nghiên cứu

Theo [11]: Việc TH hoá một phạm vi hiện tượng nào đó nói chung là phải trải qua 3 giai đoạn: Giai đoạn đầu là chuyển từ sự mô tả về chất (định tính)

sang mô tả về lượng (định lượng); Giai đoạn thứ hai là tìm cách lọc ra được những khái niệm cơ bản thuộc đối tượng nghiên cứu; Giai đoạn thứ 3 là xây dựng nên lý thuyết TH của đối tượng nghiên cứu Các hiện tượng tuân thủ các bước của quy trình TH hóa này bao gồm cả các hiện tượng của TT Trong [6]

đã xác định các ứng dụng TT của TH được tiếp cận và giải quyết theo ba bước chính sau: (1) TH hoá tình huống TT; (2) Dùng công cụ TH để giải quyết bài toán trong mô hình TH; (3) Chuyển kết quả trong mô hình TH sang lời giải của bài toán TT [6] Trong [8] có nhận định rằng việc ứng dụng TH vào TT nói chung đều phải thực hiện theo quy trình sau: “ Tình huống TT  Mô hình hoá TH  Sử dụng các phương pháp TH để giải quyết  Điều chỉnh các kết quả cho phù hợp với tình huống ban đầu”

Như vậy, việc giải quyết một bài toán nảy sinh trong TT bằng công cụ của

TH nói chung, giải quyết một bài toán ứng dụng nói riêng được các tài liệu trên trình bày thống nhất qua các công đoạn: Lập mô hình TH của BTTT; xử lý mô hình TH đã lập bằng công cụ của TH; chuyển kết quả trong mô hình TH sang bài toán TT Tuy nhiên, việc giải quyết một BTTT bằng công cụ TH nói chung phải được bắt đầu từ việc thiết lập được bài toán TT nảy sinh từ tình huống TT Theo tinh thần đó, chúng tôi cho rằng: Quá trình vận dụng TH vào TT thông qua giải một BTTT cần được chia thành bốn bước:

Bước 1: Từ tình huống TT, xây dựng bài toán TT

Bước 2: Chuyển bài toán TT đã xây dựng sang mô hình TH

Bước 3: Dùng công cụ TH để giải bài toán trong mô hình TH

Bước 4: Chuyển kết quả lời giải bài toán trong mô hình TH sang lời giải của bài toán TT

1.2.3 Mô hình hóa toán học bài toán thực tiễn

1.2.3.1 Một số vấn đề cơ bản về mô hình toán học

a Khái niệm mô hình:“Khách thể M là mô hình của khách thể A đối với

một hệ thống S các đặc trưng nào đó nếu M được xây dựng (hoặc được chọn) để

bắt chước A theo những đặc trưng đó” [15] Theo Thái Duy Tuyên: “Mô hình nói chung là một “vật” hay một “hệ thống vật” đóng vai trò đại diện (hoặc vật thay thế) cho một vật (hay hệ thống vật) mà ta cần nghiên cứu” [16] Như vậy,

về mặt nhận thức, mô hình là sản phẩm của trí tưởng tượng, nó ra đời do kết quả của sự trừu tượng hoá ít nhiều đối tượng cụ thể Về bản chất, mô hình là sản phẩm của sự tái hiện những đặc trưng của một khách thể nào đó mà ta cần nghiên cứu

b Phân loại mô hình: Có nhiều cách phân loại mô hình dựa trên các cơ sở khác nhau như phân loại theo ngành, theo mức độ trừu tượng, Tuy nhiên, trong nhiều ngành Khoa học tự nhiên, người ta thường phân chia mô hình thành hai

loại: Mô hình hiện thực (mô hình vật chất) và mô hình tượng trưng (mô hình lý

thuyết) Các mô hình tượng trưng đơn giản như các bản đồ địa lý, các sơ đồ trắc địa, công thức cấu tạo hoá học,

c Mô hình TH: Theo [15], dạng cụ thể nhất của các mô hình lý thuyết là các mô hình ký hiệu, đó là các ký hiệu dùng với tư cách là mô hình: các sơ đồ, đồ thị, hình vẽ, các công thức, các mệnh đề trong một văn tự nào đó Một trong những hình thức quan trọng nhất của các mô hình ký hiệu là các mô hình TH

“Mô hình TH có thể là một con số, một hình học, một hàm số, một hệ thống các phương trình” [15] Mô hình TH thuộc mô hình tượng trưng và được xây dựng

trên ngôn ngữ của TH Trong mô hình TH, người ta đã sử dụng các phương pháp

TH để chính xác hóa, cụ thể hóa, diễn tả mối quan hệ giữa các yếu tố của đối tượng đang được nghiên cứu Trong quá trình phân tích TT, TH thể hiện rõ ưu

điểm và sức mạnh hơn các khoa học khác bởi: “TH nêu ra những mô hình khá

tổng quát và đủ rõ ràng để nghiên cứu TT" [16]

1.2.3.2 Mô hình hóa TH các bài toán TT

Các kiến thức và phương pháp TH chỉ có thể vận dụng trên các mô hình

TH Vì vậy, không thể sử dụng các phương pháp TH để giải ngay các BTTT mà cần phải thiết lập mô hình TH cho các BTTT, nói một cách khái quát hơn là cần

mô hình hóa TH cho BTTT đang xét Dựa trên quan điểm về mô hình TH,

chúng ta có thể hiểu: Mô hình hóa TH cho một BTTT là nhìn nhận bài toán hoàn

toàn dưới ngôn ngữ TH qua việc sử dụng các biến, các biểu thức, kí hiệu TH để chuyển đổi những thông tin (có thể bằng lời) trong bài toán TT thành các dữ kiện

TH và tổ chức lại các dữ kiện TH đó đảm bảo diễn tả một cách chính xác, cụ thể mối quan hệ giữa các yếu tố trong bài toán TT nhằm phát biểu bài toán TT dưới dạng bài toán thuần túy TH

+ Các hoạt động thành phần của việc TH hóa bài toán TT:

Hoạt động 1: Xây dựng mô hình định tính cho vấn đề đặt ra: Xác định mục tiêu

xây dựng mô hình; phân tích, xác định yếu tố trung tâm, yếu tố điều khiển vấn

đề đang xét, sắp xếp (theo thứ tự) bắt đầu từ yếu tố có ý nghĩa quan trọng nhất theo đặc trưng cần nghiên cứu

Hoạt động 2: Phát hiện các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng: Xác định các đại

lượng đã cho (đại lượng cố định, đại lượng biến đổi), các đại lượng cần tìm, phân tích mối liên hệ giữa chúng (mối liên hệ theo giả thiết của bài toán hoặc những mối liên hệ tổng quát có tính quy luật)

Hoạt động 3: Biểu thị những đại lượng chưa biết bằng các biến đại diện; sử

dụng các biểu thức, kí hiệu TH thích hợp diễn tả lại dưới dạng ngôn ngữ TH mối quan hệ định tính, định lượng của các yếu tố trong bài toán (thiết lập mối quan

hệ TH giữa các biến số và các hệ số điều khiển hiện tượng dưới dạng những hàm số, phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình,…)

Hoạt động 1 và 2 là kết quả của sự tương tự, từ vốn kiến thức TH của bản thân và những kinh nghiệm trải nghiệm TT người ta đi đến hình dung một cách

sơ bộ về vấn đề cần nghiên cứu Trong giai đoạn này, vai trò của trí tưởng tượng

và liên tưởng rất quan trọng Trong hoạt động 3: Sự thành công của việc xây dựng mô hình TH cho một BTTT phụ thuộc vào việc xây dựng chu đáo các luận

cứ về các thuộc tính của khách thể nghiên cứu

1.2.4 Một số thành tố trong khả năng mô hình hóa TH các BTTT

Theo từ điển Tiếng Việt thì khả năng là: Cái vốn có về vật chất hoặc tinh

thần, để có thể làm được việc gì Theo tâm lý học thì khả năng là tập hợp các tính chất, phẩm chất tâm lý cá nhân đóng vai trò là điều kiện bên trong tạo điều kiện thuận lợi cho việc thực hiện tốt một dạng hoạt động nhất định Như vậy, khả năng của con người về một lĩnh vực nào đó được thể hiện qua việc họ thực hiện các hoạt động thuộc lĩnh vực này Vì thế, khả năng của con người mang dấu ấn cá nhân và cũng có thể được phát triển nhờ tính bền bỉ, kiên trì học tập, rèn luyện, trải nghiệm Mô hình hóa TH BTTT là một hoạt động riêng, phổ biến, cần thiết trong đời sống và có thể rèn luyện được nhờ sự bền bỉ trong hoạt động của người làm toán

Như vậy, có thể hiểu: Khả năng mô hình hóa TH BTTT là khả năng vận

dụng những hiểu biết của mình để chuyển một BTTT về dạng bài toán thuần túy

TH

Dựa trên kết quả nghiên cứu về các bước vận dụng TH vào TT, quan điểm

về việc TH hóa BTTT đã trình bày, căn cứ vào kết quả nghiên cứu của Kơrutecxki (Nga) về cấu trúc năng lực TH của HS (bao gồm: năng lực thu, nhận thông tin TH, năng lực chế biến thông tin TH, năng lực lưu trữ thông tin TH, thành phần tổng hợp khái quát, khuynh hướng TH của trí tuệ), chúng tôi xác định một số thành tố cấu trúc trong khả năng mô hình hóa TH BTTT của người học như sau:

1) Khả năng liên tưởng; kết nối các ý tưởng TH trước tình huống TT

Biểu hiện của khả năng này là HS có khả năng, thói quen thu nhận thông tin TH từ tình huống TT, phát hiện ra kiến thức TH cần và có thể sử dụng để giải quyết vấn đề nảy sinh từ tình huống TT (có thể là kiến thức một môn học hoặc kiến thức kết hợp liên môn) Khả năng này đòi hỏi người học phải kết hợp một cách sáng tạo các kiến thức đã học với trải nghiệm TT của bản thân

2) Khả năng phân tích các yếu tố trong giả thiết của bài toán

Khả năng này bao gồm các khả năng thành phần:

- Khả năng xác định các yếu tố trung tâm của bài toán, loại bỏ những yếu tố không bản chất: Khả năng này giúp cho người học định hình được đường lối giải bài toán một cách nhanh nhất Sau khi xác định được yếu tố trung tâm của bài toán HS cần biết cách loại bỏ những yếu tố không bản chất làm cho bài toán trở nên đơn giản hơn và hướng đúng trọng tâm hơn

- Khả năng xác lập mối quan hệ giữa các yếu tố; khả năng đánh giá mức độ phụ thuộc giữa các yếu tố trong bài toán: Trong bài toán các dữ kiện ràng buộc lẫn nhau, ẩn ý dưới dạng lời văn buộc HS phải có suy luận để tìm được mối liên hệ giữa các đại lượng và mức độ phụ thuộc để có thể xây dựng được mô hình TH cho bài toán Mối quan hệ giữa các yếu tố có hai dạng: Một là mối quan hệ theo giả thiết của bài toán và hai là mối quan hệ tổng quát có tính quy luật (chẳng hạn: Quy luật về mối quan hệ vận tốc, quãng đường, thời gian) Ngoài ra việc xác định, đánh giá mức độ phụ thuộc giữa các yếu tố trong bài toán giúp người làm toán xây dựng được các phương trình, hệ phương trình,…biểu diễn chuẩn xác mối quan hệ giữa các yếu tố đó

3) Khả năng sử dụng ngôn ngữ, ký hiệu TH để thay thế ngôn ngữ lời văn của BTTT

Sau khi xác lập, đánh giá mối quan hệ, mức độ phụ thuộc giữa các yếu tố trong bài toán; xác định yếu tố trung tâm của bài toán và loại bỏ những yếu tố không bản chất, HS tiến hành bước lập mô hình cho BTTT Khả năng chuyển đổi thông tin giữa bài toán có nội dung TT và bài toán TH được biểu hiện qua việc HS sử dụng các biến, các biểu thức, ký hiệu TH để chuyển đổi những thông tin trong bài toán thành các dữ kiện TH và tổ chức lại các dữ kiện TH đó đảm bảo diễn tả một cách chính xác, cụ thể mối quan hệ giữa các yếu tố trong bài toán TT, nhằm phát biểu bài toán TT dưới dạng bài toán thuần túy TH Trong quá trình đó đòi hỏi HS cần thận trọng trong việc lựa chọn ẩn số, biểu diễn các yếu tố (đại lượng) TT bằng ký hiệu, khái niệm TH; biểu đạt các mối quan hệ bằng các mệnh đề TH, các biểu thức chứa biến; biểu đạt các mối quan hệ bằng

đồ thị, biểu đồ, hình vẽ,…Ngoài ra, HS cần có khả năng tóm tắt, biểu diễn những đại lượng, cảnh vật TT dưới dạng hình ảnh, sơ đồ,…

4) Khả năng điều chỉnh mô hình TH

Sau khi lập được mô hình TH cho bài toán cần giải, HS phải kiểm tra được tính đúng đắn, phù hợp của các ký hiệu, ẩn số, biểu thức, phép toán giữa các biểu thức với các dữ kiện đã cho trong bài toán và có thể điều chỉnh một số phép toán, cách ký hiệu ẩn số,…trong mô hình TH nếu cần thiết Ở mức độ phức tạp hơn, HS có khả năng khái quát hóa các yêu cầu của bài toán hoặc điều chỉnh giả thiết, kết luận của bài toán để có được hệ thống bài toán phong phú và có tính khái quát

Để làm được điều này HS phải có khả năng ước tính, dự đoán các kết quả của bài toán phù hợp với TT, tránh đưa ra kết quả xa rời TT hoặc phi TT

1.3 VỀ CHƯƠNG TRÌNH CHỦ ĐỀ ĐẠI SỐ LỚP 10

1.3.1 Mục tiêu

- Về kiến thức: Hiểu và nắm được: Các khái niệm, phép toán về mệnh đề và tập

hợp; các khái niệm về hàm số, sự biến thiên và đồ thị của hàm số bậc nhất, bậc hai; các khái niệm về phương trình, phương pháp giải phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai một ẩn, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn; các khái niệm và tính chất liên quan đến bất đẳng thức, bất phương trình; các khái niệm tần số, tần suất, bảng phân bố tần số- tần suất ghép lớp; công thức tính số trung bình, trung

vị, mốt, phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu; khái niệm số đo của góc và cung lượng giác, các giá trị lượng giác của góc lượng giác

- Về kỹ năng: Rèn luyện kỹ năng diễn đạt các nội dung toán học thêm rõ ràng và

chính xác; hiểu đầy đủ hơn về suy luận và chứng minh trong TH; rèn luyện kỹ năng vẽ và đọc đồ thị của hàm số, nhận biết các tính chất của hàm số thông qua

đồ thị của nó; thành thạo trong việc giải các phương trình và hệ phương trình bậc nhất và bậc hai; rèn luyện kỹ năng áp dụng các tính chất của bất đẳng thức

và bất phương trình để giải thành thạo các bài toán về chứng minh bất đẳng

thức, giải các bất phương trình và các bài toán liên quan; biết trình bày một mẫu

số liệu dưới dạng bảng, biết vẽ các loại biểu đồ, tính các số đặc trưng của mẫu

số liệu; sử dụng thành thạo các công thức lượng giác cơ bản, rèn luyện kỹ năng biến đổi lượng giác; Biết xác định mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

- Về tư duy, thái độ:

+ Rèn luyện tư duy lôgíc, ngôn ngữ chính xác phát triển khả năng suy đoán; rèn luyện hoạt động trí tuệ cơ bản (phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa); hình thành những phẩm chất trí tuệ: tính linh hoạt, độc lập, sáng tạo,…; hình thành, phát triển tác phong làm việc khoa học, thói quen tự kiểm tra; rèn luyện khả năng suy luận có lý, hợp lôgíc trong những tình huống cụ thể; rèn luyện khả năng tiếp nhận và biểu đạt các vấn đề TT một cách chính xác, khoa học

+ Giáo dục cho HS tinh thần, thái độ học tập nghiêm túc, chủ động, độc lập, sáng tạo trong học tập môn Toán, rèn luyện đức tính ham hiểu biết, yêu khoa học, nghiêm túc trong lao động, năng động sáng tạo

1.3.2 Cấu trúc nội dung chương trình

Chương 3: Phương trình - Hệ phương trình (16 tiết)

- Đại cương về phương trình

- Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn

- Một số phương trình quy về bậc nhất hoặc bậc hai

- Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

- Một số ví dụ về hệ phương trình bậc hai hai ẩn

Chương 4: Bất đẳng thức - Bất phương trình (23 tiết)

- Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức

- Đại cương về bất phương trình

- Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

- Dấu của nhị thức bậc nhất

- Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

- Dấu của tam thức bậc hai

- Bất phương trình bậc hai

- Một số phương trình và bất phương trình quy về bậc hai

Chương 5: Thống kê (9 tiết)

- Một vài khái niệm mở đầu

- Trình bày một mẫu số liệu

- Các số đặc trưng của mẫu số liệu

Chương 6: Góc lượng giác và công thức lượng giác (11 tiết)

- Góc và cung lượng giác

- Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác

- Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt

- Một số công thức lượng giác

1.3.3 Xem xét yêu cầu về mô hình hóa TH các BTTT trong chương trình Đại số 10

Trong chương trình Đại số lớp 10, các bài toán có nội dung TT được trình bày theo tỉ lệ sau:

Chương 1: 8/62 bài tập chiếm 12,9%

Chương 2: 5/46 bài tập chiếm 10,9%

Chương 3: 3/64 bài tập chiếm 4,7%

Chương 4: 3/89 bài tập chiếm 3,4%

Chương 5: 18/21 bài tập chiếm 85,7%

Chương 6: 3/69 bài tập chiếm 4,3%

Nói chung số lượng các BTTT trình bày trong các chương chưa nhiều nhưng có phong phú hơn về số lượng và nội dung so với chương trình cũ Để giải được các bài toán này HS phải thiết lập được mô hình TH cho bài toán Trong chương trình SGK Đại số lớp 10 hiện hành không có phần chỉ dẫn và ví

dụ minh họa cho việc lập mô hình TH cho các BTTT Việc hướng dẫn, rèn luyện cho HS các kỹ năng trong việc lập mô hình TH cho BTTT hoàn toàn phụ thuộc vào cách chỉ dẫn của GV

vectơ và của điểmđối với trục và hệ trục toạ độ Chương II: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng (12 tiết)

Chương này trình bày một khái niệm quan trọng là tích vô hướng, các áp dụng của tích vô hướng, trong đó chủ yếu nói về hệ thức lượng trong tam giác Các hệ thức đó được chứng minh chủ yếu dựa vào các kiến thức đã có về vectơ Chương III: Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng (20 tiết)

Chương này đi sâu tìm hiểu về phương trình của đường thẳng, đường tròn, elip và những tính chất của chúng

- Về kỹ năng: Rèn luyện kỹ năng về các dạng toán có liên quan đến véc tơ; các

bài toán về tích vô hướng; giải tam giác và các dạng toán về đường thẳng, đường tròn, elip

- Về tư duy, thái độ:

+ Rèn luyện tư duy lôgíc, ngôn ngữ chính xác phát triển khả năng suy đoán; rèn luyện hoạt động trí tuệ cơ bản (phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa); hình thành những phẩm chất trí tuệ: tính linh hoạt, độc lập, sáng tạo,…; hình thành, phát triển tác phong làm việc khoa học, thói quen tự kiểm tra; rèn luyện khả năng suy luận có lý, hợp lôgíc trong những tình huống cụ thể; rèn luyện khả năng tiếp nhận và biểu đạt các vấn đề TT một cách chính xác, khoa học

+ Giáo dục cho HS tinh thần, thái độ học tập nghiêm túc, chủ động, độc lập, sáng tạo trong học tập môn Toán, rèn luyện đức tính ham hiểu biết, yêu khoa học, nghiêm túc trong lao động, năng động sáng tạo

1.4.2 Cấu trúc nội dung chương trình hình học 10

- Các định nghĩa

- Tổng và hiệu hai vectơ

-Tích của một số với vectơ

-Hệ trục tọa độ

Chương 2:Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng(12 tiết)

- Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0o đến 180o

- Tích vô hướng của hai vectơ

- Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Chương 3: Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng (12 tiết)

- Phương trình đường thẳng

-Phương trình đường tròn

- Phương trình đường Elíp

Chương 2 BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ 10

2.1 CÁC NGUYÊN TẮC XÂY DỰNG BIỆN PHÁP

Trong mục này chúng chúng tôi đưa ra một số nguyên tắc làm căn cứ cho việc xây dựng các biện pháp thực hiện việc rèn luyện cho học sinh khả năng mô hình hóa TH các BTTT trong dạy học Đại số lớp 10

Nguyên tắc 1: Đảm bảo mục tiêu dạy học Đại số lớp 10 theo chương

trình hiện hành, phù hợp nội dung dạy học Đại số lớp 10

SGK và phân phối chương trình hiện hành của Bộ Giáo dục và Đào tạo là pháp lệnh nhà nước về giáo dục Chương trình và SGK môn Toán được xây dựng trên cơ sở kế thừa những kinh nghiệm tiên tiến trong và ngoài nước theo một hệ thống nhất quán về phương diện TH và phương diện sư phạm, chương trình SGK đã được thực hiện thống nhất trong phạm vi cả nước Vì vậy việc rèn luyện cho học sinh khả năng mô hình hóa TH BTTT trong dạy học chương trình

Đại số lớp 10 phải được thực hiện trên cơ sở nội dung SGK và phân phối chương trình hiện hành

Nguyên tắc 2: Đảm bảo tác động trực tiếp và tích cực tới việc rèn luyện,

phát triển các yếu tố của khả năng mô hình hóa TH các BTTT

Việc xác định các biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện, phát triển các thành

tố thành phần của khả năng mô hình hóa TH BTTT Do đó, đảm bảo tác động tới các thành tố của khả năng mô hình hóa TH BTTT phải là tư tưởng xuyên suốt, có tính bắt buộc đối với tất cả các biện pháp đề xuất

Nguyên tắc 3: Đảm bảo phù hợp với trình độ nhận thức chung của học sinh.

Phù hợp với trình độ nhận thức chung của HS là một trong những yêu cầu quan trọng đảm bảo cho việc thực hiện biện pháp được khả thi Như vậy, các chỉ dẫn thực hiện trong biện pháp nên được trình bày cô đọng, dễ hiểu, hệ thống ví

dụ minh họa trong các biện pháp nên chọn lọc phù hợp nội dung chương trình Đại số lớp 10 THPT hiện hành

Nguyên tắc 4: Đảm bảo tính mục đích, tính khả thi và tính hiệu quả của

việc rèn luyện cho HS các thành tố cơ sở của khả năng mô hình hóa TH các BTTT trong dạy học

* Tính mục đích: Mục đích của việc rèn luyện cho HS khả năng mô hình hóa TH các BTTT trong chương trình Đại số lớp 10 trước hết giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản, đồng thời rèn luyện cho học sinh ý thức và khả năng vận dụng TH, góp phần tích cực vào việc thực hiện nhiệm vụ giáo dục ở trường THPT trong giai đoạn hiện nay

* Tính khả thi của biện pháp là khả năng thực hiện được, áp dụng được vào thực tế dạy học Tính khả thi này phụ thuộc nhiều vào trình độ nhận thức chung và thái độ học tập tích cực của HS

* Tính hiệu quả của việc rèn luyện cho HS khả năng mô hình hóa TH các BTTT trong chương trình Đại số lớp 10 trước hết là khả năng nắm vững kiến thức cơ bản của bài học, sau đó là sự thành thạo của HS trong việc liên hệ xử lý

các vấn đề nảy sinh trong học tập, trong lao động sản xuất và trong đời sống Muốn vậy các BTTT phải đơn giản, gần gũi, quen thuộc với HS để các em dễ dàng tiếp cận nó bằng vốn kinh nghiệm, trải nghiệm của bản thân trong đời sống, lao động và sản xuất Khi rèn luyện GV cần phải chọn lọc các vấn đề là những bài toán bám sát SGK và sát với vốn kinh nghiệm vốn có của HS Bởi những bài toán đó sẽ giúp tạo ra một bức tranh sinh động về bài học và gây hứng thú giúp HS có thể cảm thụ tốt nội dung bài học

2.2 CÁC VÍ DỤ CỤ THỂ THEO TỪNG CHƯƠNG

2.2.1: Rèn luyện cho học sinh khả năng mô hình hóa toán học trong các bài toán thực tế của chương I- Mệnh đề và tập hợp

Ví dụ 1 Trong một buôn làng của người dân tộc, cư dân có thể nói được tiếng

dân tộc, có thể nói được tiếng kinh hoặc nói được cả hai thứ tiếng Kết quả của một đợt điều tra cơ bản cho biết:

- Có 912 người nói tiếng dân tộc

- Có 653 người nói tiếng kinh

- Có 435 người nói được cả hai thứ tiếng

Hỏi buôn làng có bao nhiêu cư dân?

Hướng dẫn HS dùng biểu đồ Ven (hình 2.3) để giải bài toán trên: Ta vẽ hai hình tròn Hình A ký hiệu cho số dân cư nói tiếng dân tộc Hình B ký hiệu cho

số dân cư nói tiếng kinh Ta gọi số phần tử của tập hữu hạn A bất kỳ là n(A)

435

B

A

Hình 2.3

Như vậy: n(A)= 912; n(B)= 653; n( AB)= 435 Ta cần tìm số phần tử của tập hợp A hợp B Trước hết, ta cộng các số n(A) và n(B), nhưng như vậy thì

số phần tử thuộc vào giao của A và B được kể làm hai lần Do vậy, tổng

n(A)+n(B) ta phải trừ đi n( AB) và được: n(AB)=n(A)+n(B)-n( AB) (1) Thay các giá tri của n(A), n(B), n(AB) ta được n(AB)=1130 Vậy số cư dân của buôn làng là 1130 người

Ví dụ 2: ( Ví dụ tương tự) Một nhóm du khách đi du lịch nước ngoài trong đó

gồm có:

- 28 người biết tiếng Anh;

- 13 người biết tiếng Pháp;

- 10 người biết tiếng Đức;

- 8 người biết tiếng Anh và tiếng Pháp;

- 6 người biết tiếng Anh và tiếng Đức;

- 5 người biết tiếng Pháp và tiếng Đức;

- 2 người biết tất cả ba thứ tiếng Anh, Pháp, Đức

Và đặc biệt trong đoàn có 41 người không biết một thứ tiếng nào trong ba thứ tiếng ấy

Hỏi đoàn du khách có bao nhiêu người?

được tính làm hai lần, nên trong tổngn A n B n C ta trừ

Vậy tổng số du kháchcủa đoàn du lịch là3441 75 du khách

2.2.2: Rèn luyện cho học sinh khả năng mô hình hóa toán học trong các bài toán thực tế của chương II- Hàm số bậc nhất và bậc hai

A Tóm tắt lý thuyết cơ bản chương II

+) Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng yaxb a,  0Tập xác định 

Khi a > 0, hàm đồng biến trên 

Khi a < 0, hàm số nghịch biến trên 

2

b x a



 , có bề lõm quay lên trên nếu a  , xuống dưới nếu 0 a  0

B Các ví dụ và bài toán có nội dung thực tế được ứng dụng trong lí thuyết và bài tập

*Ứng dụng trong lí thuyết

1 Hàm số bậc nhất

Trong cuộc sống hàng ngày chúng ta thường gặp những hình ảnh của đường parabol Như khi ta ngắm các đài phun nước, hoặc được chiêm ngưỡng cảnh bắn pháo hoa muôn màu, muôn sắc Nhiều công trình kiến trúc cũng được tạo dáng theo hình parabol, như cây cầu, vòm nhà, cổng ra vào… Điều đó không chỉ đảm bảo tính bền vững mà còn tạo nên những vẻ đẹp của công trình

Trong cuộc sống và trong tự nhiên có rất nhiều các sự vật, hiện tượng có quan hệ với nhau theo mối tương quan hàm số chẳng hạn để củng cố khái niệm hàm số, ta cho học sinh biết về một số hàm số toán học và thể hiện hàm số đó trong thực tiễn, hoặc các em tự tìm ra những mối quan hệ giữa các sự vật, hiện tượng xung quanh thể hiện là mối tương quan hàm số

Ví dụ 1: Thông qua thực tế khái niệm về hàm số theo tình hình kinh tế và xã hội của đất nước như: Theo thông báo của ngân hàng AGRIBANK, ta có bảng dưới đây về lãi suất gửi tiết kiệm kiểu bậc thang với số tiền gửi tiết kiệm VND, được

Khi 0 x10, số tiền phải trả là f x 14000x

Khi x 10, số tiền phải trả là :

2 Hàm số bậc hai

Ví dụ 1: Bài toán bóng đá:

Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt đến độ cao nào đó rồi rơi xuống Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một cung parabol trong mặt phẳng với toạ độ t h , trong đó t là thời gian (tính bằng giây), kể từ khi quả bóng ; được đá lên, h là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng Giả thiết rằng quả bóng được đá từ độ cao 1,2m Sau đó 1 giây, nó đạt độ cao 8,5m và 2 giây sau khi đá lên, nó ở độ cao 6 m

a) Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị độ cao h theo thời gian t và có phần đồ thị trùng với quỹ đạo của quả bóng trong tình huống trên

b) Xác định độ cao lớn nhất của quả bóng

c) Sau bao lâu thì quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi đá lên

Thu gọn các hệ thức trên, ta có hệ phương trình bậc nhất.

Câu 3 Độ cao của quả bóng golf tính theo thời gian có thể được xác định bằng một hàm bậc hai Với các thông số cho trong bảng sau, hãy xác định độ cao lớn nhất mà bóng đạt được trên đường bay là bao nhiêu?

dẫn nước bằng chia tấm nhôm thành 3 phần rồi gấp 2 bên lại theo một góc vuông Người ta cần nghiên cứu cách để tạo ra đường rãnh có diện tích mặt ngang S lớn nhất để có thể cho nước đi qua nhiều nhất

a) Lập hàm số để biểu diễn diện tích S theo biến x ( x là bề ngang hai phần bên của tấm nhôm)

b) Xác định miền giá trị hợp lý cho x và cho y

c) Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được

d) Xác định x để có được diện tích S lớn nhất

feet) sau thời gian t (giây) tính từ lúc bắt đầu ném/ bay ra được cho bởi công thức:   2

16

h t   t v th , trong đó v0 là vận tốc ném ra ban đầu và h0 là chiều cao vật lúc ném ra Dựa vào hàm số này, hãy giải 2 bài toán sau

A Giả sử một quả bóng đá được đá lên với vận tốc ban đầu là 32 ft/s Vậy

hãy tính xem sau bao lâu quả bóng sẽ rơi trở lại mặt đất?

B Một nghệ sĩ tung hứng tung quả bóng lên không trung từ độ cao 5 feet

với vận tốc ban đầu là 16ft/s

a) Hãy viết một công thức xác định độ cao của bóng sau thời gian t(s) tính từ lúc ném ra

b) Người nghệ sĩ có bao nhiêu thời gian để bắt lại quả bóng tính từ lúc ném lên cho đến khi nó rơi xuống đất?

Câu 6 Chiều cao h (feet) tính từ mặt cầu của chiếc Cầu Cổng Vàng (Golden Gate Bridge) được xác dịnh bởi công thức

a) Xác định độ cao của trụ cầu

b) Xác định khoảng cách giữa hai trụ cầu, biết rằng hai trục cầu này có độ cao bằng nhau

Câu 7

Thác Thiên Thần ở Venezuela là một trong những thác nước cao nhất Thế Giới Từ đỉnh thác nước này, nước đổ một mạch 2421 feet trước khi đến được dòng sông chảy bên dưới Biết rằng dòng nước đổ theo hình Parabol được xác định bằng hàm số:

16 2421

h t   t  , trong đó t (s) là thời gian tính từ lúc nước bắt đầu đổ

Câu 8 Một túi sỏi có thể phủ được 1 diện tích khoảng 525 ft2 Người ta mới dùng 20 túi sỏi như thế để phủ một khu đất hình vuông Hãy ước lượng

cạnh của khu đất hình vuông này khoảng bao nhiêu feet?

Câu 9

Một vận động viên bóng chuyền đánh một quả bóng lên với vận tốc ban đầu

là 20 ft/s từ độ cao 4 ft (tính từ tay

đánh bóng đến mặt đất) (Học sinh sử

dụng lại hàm số tại câu số 5)

a) Viết công thức tính độ cao quả bóng tính theo thời gian t(s) sau khi được đánh ra

b) Độ cao lớn nhất quả bóng đạt được là bao nhiêu?

c) Đối phương có bao nhiêu giây để chạy đến cứu quả bóng trước khi nó chạm đến mặt đất?

Câu 10

Một máy bay trực thăng cứu hộ đang chuẩn bị phun nước vào một đám cháy rừng từ trên không Độ cao h (feet) của nước so với mặt đất tính theo thời gian t (s) kể từ lúc máy bay phun ra được xác

h t   t  t  Khoảng cách theo phương ngang tính từ điểm cháy đến máy bay là x = 91.t (ft), t (s) cũng

là thời gian kể từ lúc máy bay phun nước ra Vậy khoảng cách từ đám cháy đến máy bay theo phương ngang là bao

nhiêu?

Câu 11

Khung của một tấm ảnh có kích thước

25 inch x 20 inch Nếu diện tích tấm hình đặt trong khung này là 266 inch2thì tính xem độ rộng đường viền của

khung là bao nhiêu inch?

2.2.3: Rèn luyện cho học sinh khả năng mô hình hóa toán học trong các bài toán thực tế của chương III:Phương trình và hệ phương trình; chương IV: Bất đẳng thức và bất phương trình

A Tóm tắt kiến thức cơ bản của chương III và chương IV

- Các phép biến đổi tương đương các phương trình

- Phép biến đổi cho phương trình hệ quả

- Giải và biện luận phương trình ax  b 0

- Giải và biện luận phương trình bậc hai ax2bx c 0,a 0

- Giải và biện luận phương hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

- Định Vi-ét (thuận và đảo)

- Giải hệ phương trình bậc hai hai ẩn

- Các tính chất của bất đẳng thức Bất đẳng thức Cô-si và bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối

- Bất phương trình tương đương

- Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, định lí về dấu của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai

- Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc hai

- Một số phương trình và bất phương trình qui về bậc hai

B Các ví dụ và bài toán có nội dung thực tế được ứng dụng trong lí thuyết và bài tập

Rèn luyện cho HS khả năng sử dụng những biểu thức chứa biến để biểu thị những tình huống thực tế đó là trong dạy học cần chú trọng cho HS lập phương trình là tập luyện cho họ biểu thị những tình huống thực tế bằng những biểu thức có chứa những biến đại diện cho những đại lượng chưa biết Cần tập cho

HS một mặt biết chuyển từ những tình huống thực tế sang những biểu thức biểu thị chúng và mặt khác biết chuyển từ những biểu thức sang những tình huống thực tế phù hợp với chúng chính vì thế ta nên tiến hành theo từng bước sau:

1 Đặt ẩn số Ẩn số là cái chưa biết, cái phải tìm Thông thường bài toán yêu cầu tìm cái gì thì ta đặt cái đó làm ẩn Cũng có khi ta đặt những bài toán và với cách đặt ẩn như thế mà phương trình lập nên quá phức tạp hoặc khó khăn thì cần thay đổi cách chọn ẩn hoặc chọn thêm ẩn Ẩn mà ta chọn phải liên quan đến cái cần tìm và cho phép ta lập phương trình dễ dàng hơn

2 Lập phương trình Sau khi đặt ẩn ( nêu điều kiện cho ẩn nếu có ) ta tiến hành biểu thị các đại lượng qua các số đã biết và ẩn số, để lập được phương trình (các phương trình) ứng với bài toán cần giải, ta cố gắng hình dung thật cụ thể và rõ ràng điều kiện của bài toán ( quan hệ giữa cái cần tìm, cái chưa biết và những cái

đã cho) Trong những trường hợp phức tạp, ta phải phân tích, tách ra từng phần, phiên dịch mỗi phần theo ngôn ngữ đại số, sắp xếp chúng theo một trình tự hợp

lí, sau đó kết hợp những phần đã nói để có thể biểu diễn cùng một đại lượng bằng hai cách khác nhau thành một đẳng thức Như vậy ta sẽ có phương trình Thông thường ở mỗi bài toán ta đưa ra bao nhiêu ẩn, cần thiết lập bấy nhiêu phương trình Cũng có những trường hợp ngoại lệ: ta đưa thêm ẩn phụ vào và sau đó khử được ẩn đó đi hoặc có trường hợp dẫn đến PT nghiệm nguyên

Chú ý: trong những bài toán thực tế giải bằng cách lập phương trình (hệ phương trình, bất phương trình) có những đại lượng liên quan chặt chẽ với nhau khi nói đến đại lượng này ta phải nghĩ ngay đến đại lượng kia dù trong bài toán không nói đến đại lượng quan hệ đó

Trình tự các bước trong lời giải bài toán bằng cách lập phương trình

(HPT, PT)

- Chọn ẩn số, xác định điều kiện cho ẩn (nếu có)

- Biểu thị các đại lượng qua ẩn số và các số đã cho

- Lập phương trình (HPT, BPT)

- Chọn nghiệm thích hợp trả lời

Vai trò PT, HPT, BPH đối với đời sống thực tiễn được thể hiện rất phong phú, đa dạng ở nhiều lĩnh vực, Giúp con người giải quyết các bài toán trong cuộc sống như về kinh tế, kỹ thuật, Thông qua một số ví dụ sau:

+) Toán tìm số

Ví dụ 1 Số trứng ở rổ thứ nhất gấp đôi số trứng ở rổ thứ hai Nếu bớt đi 20 quả

ở rổ thứ nhất và bỏ thêm 10 quả vào rổ thứ hai thì số trứng ở rổ thứ nhất gấp 4

3lần số trứng ở rổ thứ hai Tính số trứng ban đầu ở mỗi rổ ?

Trước những bài toán thực tế trên, điều quan trọng là phải hướng dẫn học sinh phân tích bài toán để biết được trong bài toán có những đại lượng nào ? quan hệ giữa chúng ra sao ? toán học hoá các đại lượng và các mối quan hệ ấy ?

Trong ví dụ của bài toán trên, ta gặp các đại lượng Số trứng ở rổ thứ nhất

(chưa biết) gấp đôi số trướng ở rổ thứ hai (chưa biết) chính vì thế cần chọn ẩn là các đại lượng chưa biết

Ta gọi số trứng ở rổ thứ nhất và ở rổ thứ hai theo thứ tự là





Gọi số trứng ở rổ thứ nhất và ở rổ thứ hai theo thứ tự

x y

Ví dụ 2.Tìm hai số biết tổng là 17 và tổng các bình phương của chúng là 157 Nếu ta đặt ẩn với cả hai số là x và y thì ta có ngay hệ phương trình