Toán học Ôn tập phần giới hạn hàm số38145

Lời nói đầuTrong chương trình toán trung học phổ thông,tính giới hạn và ứng dụng của giới hạn là một phần rất quan trọng mà thường xuyên học sinh phải sử dụng.. Tuy nhiên giới hạn dãy s

Lời nói đầu

Trong chương trình toán trung học phổ thông,tính giới hạn và ứng dụng của

giới hạn là một phần rất quan trọng mà thường xuyên học sinh phải sử dụng

Tuy nhiên giới hạn dãy số thường khó với học sinh khá và học sinh trung bình

Nhưng trong đề thi đại học thường chỉ có giới hạn hàm số chứa tỷ lệ lớn nên khi các em gặp thường các em làm khá tốt

Tôi viết chuyên đề này nhằm mục đích đưa ra các phương pháp tính giới hạn

cơ bản và thường được sử dụng rộng dãi nhất ; để các thầy cô và các em có thể tham khảo và cũng là góp ý cho tác giả

Rất mong quý thầy cô và các em học sinh quan tâm góp ý cho đề tài hoàn thiện hơn

Tôi xin trân trọng cảm ơn !

Tác giả

Hoàng quý - Thpt lương tài 2 – SĐT:01686.909.405

Mục lục Phần I giới hạn của dãy số.

A - Các kiến thức cần nhớ.

B - Giới hạn dãy số

Dạng I : Các bài toán giới hạn cơ bản

Dạng 2 Tìm giới hạn khi biết biểu thức truy hồi của dãy số

Phần ii : Giới hạn hàm số

A - Các kiến thức cần nhớ

B- Các dạng toán

I / dạng cơ bản

II/ Giới hạn dạng :

0

sin

x

x x

III/ Giới hạn dạng:  1

iV/ Giới hạn dạng Mũ và lôgarit

V/ SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM ĐỂ TèM GIỚI HẠN

Phần iII : ứng dụng của giới hạn

A- Sử dụng giới hạn để tìm tiệm cận của hàm số:

B- Sử dụng giới hạn để xét tính liên tục

Phần iV Giới thiệu một số đề thi

Phần I giới hạn của dãy số.

A - Các kiến thức cần nhớ.

1) Định nghĩa

Dãy số  u n có giới hạn là a nếu với mọi số dương cho trước 

( nhỏ bao nhiêu tuỳ ý ) tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi n > N thì u n  a  Ta viết lim n hoặc viết

2 Các định lý.

+) Định lý 1.

Nếu (un) là dãy số tăng và bị chặn trên thì nó có giới hạn

Nếu (un) là dãy số giảm và bị chặn dưới thì nó có giới hạn

+) Định lý 2. Các phép toán trên các giới hạn của dãy số

+) Định lý 3. [Nguyên lý kẹp giữa] Giả sử ba dãy số thoả mãn:

v n u n w n với nN*và v w n a thì

n n









 lim

3 Các giới hạn cơ bản.

+) C C và với









n

+) Nếu u n 0 thì 

n

u

1

+) Nếu u n  thì 1 0

n

u

4 Cấp số cộng và cấp số nhân.

+) Cho u1,u2, ,u n, là cấp số cộng với công sai d Khi đó:

u n u n1 du1 (n1)d và

] ) 1 ( 2 [ 2 ] [

2

2

u

+) Cho u1,u2, ,u n, là cấp số nhân với công bội q với q1

Khi đó: 1 và

1 1



 

n

u

q

q u

u u

u S

n n













1

) 1 (

2 1

B - Giới hạn dãy số

Dạng I : Các bài toán giới hạn cơ bản

Phương pháp chung : +) sử dụng biểu thức liên hợp

+) Sử dụng các định lý về giới hạn

+) Sử dụng các tổng cơ bản

Lưu ý : Ta có thể sử dụng định nghĩa để tìm giới hạn song trong các đề thi đại học

thì việc sử dụng định nghĩa không có , nên trong chuyên đề này tôi chỉ đề cập các vấn đề liên quan thi đại học là chính các bài toán bám sát đề thi đại học và thường sử dụng các định lý quan trọng của giới hạn

2

4

1 2

3/ lim

5

n

n n



Gi¶i : Nh©n víi biÓu thøc liªn hîp 2

1

n   n n

2

2

2

1 1

2

n n





3

3

n



=1

2 2

1

4

n n n



Ta cã

1

2





Céng l¹i :

Ta cã :

1



VËy

VÝ dô1 : T×m c¸c giíi h¹n sau :

1 1

2009 2008

1/ lim

n n











n

n

Tính lim ln n



Giải :

1 1

2008

1 2008

2009

2009 2010

2009

n





n

n

Tính lim ln n



Ta đi chứng minh 2 ln 1   0(*)

2

x

x  x   x x

Thật vậy xét   ln 1  2 0 và

2

x

f x  x  x  x g x  x ln 1 x x 0

Dễ dàng chứng minh các hàm số đồng biến với x > 0 suy ra điều phải chứng minh (*)

Ta có : lnx n ln 1 12 ln 1 22 ln 1 32 ln 1 n2

6

x

x



2

lim

2 2

x

n n n







lim ln

2

n

Ví dụ 2 : Tìm các giới hạn sau :

Dạng 2 Tìm giới hạn khi biết biểu thức truy hồi của dãy số

Phương pháp chung :

+) Ta xác định số hạng tổng quát của d ãy số

Để xác định số hạng tổng quát ta thường sử dụng cấp số cộng ; cấp số nhân ; phương

pháp quy nạp toán học ; hay có thể là phương trình tuyến tính sai phân hay chỉ là phép rút

gọn đơn giản

Cho dãy số (un) xác định bởi: với

1

1

1

1 5

n

u

u  u







   



 



*

N

n



Tìm lim n



Giải

Theo giả thiết ta có:

1 1

1 5

n



    

2

1 5

n



   

3

1 5

n



   

1

1 5

     Cộng từng vế các đẳng thức trên ta có:

1

n n



        

n

       

1

1 1

1

1

5

n

n

   



 

 



lim n lim

n

   

   

 

u1 2

Cho dãy số  u n xác định bởi :

u n1 u n 2 n N*

Tìm lim n



Giải Ta có dãy số  u n chính là dãy n 2 2 2 2

n dau

u





Ta chứng minh được dãy số  u n có giới hạn Đặt lim n

Chuyển qua giới hạn ta có a a   2 a 1;a2 vì u n 0 nên lim n 2

Cho    2

2

f n  n  n  Xét dãy         Tìm

*

n





f n  n  n   n   n  

Ví dụ 1

Ví dụ 2

Ví dụ 3

 

     

2 2



2

n

n u

n

Suy ra : lim 1

2

n

Cho dãy số (un) xác định bởi: với

1

2 1

1

2009

n

u

u









a) CMR: (un) là dãy tăng

b) CMR: (un) là dãy không bị chặn trên

n

n

Giải.

2

2009

n

u

u  u   n1 u n

b) (Phương pháp phản chứng)

Giả sử (un) là dãy bị chặn trên Do nó là dãy tăng nên nó có giới hạn, tức là: u n a







Mặt khác lấy giới hạn các vế của đẳng thức đã cho ta có:

2

2009

a

a  a a0

Chứng tỏ (un) là dãy không bị chặn trên, tức là: 



n

u

lim

c)Từ giả thiết ta biến đổi:

2 1

2009

n

u

2009

n

u

u u   u  

n

u

u   u u 

u

u

n

u

u   u u 

n

n

lim 2009

n

n



Cho dãy số (un) xác định bởi:

 2   

1

5

u  u   u u  nN

Đặt   Tìm

1

1

* 2

n n

u







Ví dụ 4

Ví dụ 5

Giải : Ta có  2 và ( nếu dãy bị chặn trên thì có

1

1

5

u  u  u   u n  u1 5 giới hạn ) Giả sử dãy lim n (Phương pháp phản chứng)

  a5

Từ giả thiết chuyển qua giới hạn thì 1 2  vô lý vậy

5

  

1

5

u   u u   u    u  u 

1

1

n n

v

lim

2

n

 

Các bài tập tương tự

Bài 1 Cho dãy số (un) xác định bởi:





















2

1

; 0

1 2

2 1

n n

n

u u

u

u u

2

1

u

b) Xác định công thức tổng quát của (un) theo n





lim

Bài 2 Cho dãy số (xn) xác định bởi:























4

1 ) 1 (

1 ,

1 0

n

n

x x

n x

a) CMR: (xn) là dãy số tăng





lim

Bài 3 Tính các giới hạn sau: 2

2

3

1 2

4 / lim

n

n n





Bài 4 Tính các giới hạn sau:

a)     .( 11) b)

3 2

1 2 1

1 lim

n n

3

1 1 )(

2

1 1 (

n





Phần ii : Giới hạn hàm số

A - Các kiến thức cần nhớ.

1) Định nghĩa

Cho hàm số f(x) xác định trên K có thể trừ điểm a K Ta nói hàm số

f(x) có giới hạn là L ( hay dần tới L) khi x dần tới a nếu với mọi dãy số

 x n x nK x, n   a n N* sao cho khi limx n a thì lim f x n L

Ta viết : lim f xx a   L hay

f x  L

2) Các định lý

Định lý 1 (Cỏc phộp toỏn về giới hạn hàm số ) ( với lim   ;lim   )

 

lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x)

 

lim f (x).g(x) lim f (x).lim g(x)

x a x a

x a

x a

lim f (x)

f (x)

g(x) lim g(x)





lim f (x)x a lim f (x) f xx a    0 

Định lý 2:Nếu hàm số cú giới hạn thỡ giới hạn đú là duy nhất

Định lý 3:Cho 3 hàm số g(x),f(x),h(x) cựng xỏc định trong khoảng K chứa a và

g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) Nếu lim g(x)xa  lim h(x)xa  L thỡ

lim f (x) L

Định lý 4: Nếu lim f (x)x a 0 thỡ limx a 1

f (x)

Nếu lim f (x)x a thỡ limx a 1 0

f (x)

Định lý 5:(giới hạn đặc biệt) limx 0s inx 1 ; ; ;

x

x

sinx

x 0

sin ax

ax

x 0

ax

sin ax

*Cỏc dạng vụ định:

1) Dạng 0 2) Dạng

0

 

 

 



 

 

 

3) Dạng    4) Dạng 0 

Phương pháp chung : Khử dạng vô định

+) Phân tích ra thừa số

+) Nhân với biểu thức liên hợp thường gặp

A B cã biÓu thøc liªn hîp A B

AB cã biÓu thøc liªn hîp AB

3 A3 B cã biÓu thøc liªn hîp 3 A2  3 AB 3 B2

3 AB cã biÓu thøc liªn hîp 3 A2 B A3 B2

+) §Æt biÕn phô

+) Thªm bít mét sè hoÆc mét biÓu thøc

B- C¸c d¹ng to¸n

I ) d¹ng c¬ b¶n

T×m giíi h¹n sau :

1

1

1

n x

x nx n

x





Gi¶i : M=

1

lim

1

x

M

x





1

lim

1

x

x







M=  1

2

n n

T×m giíi h¹n sau :

2 1

1

x

x

x



 

 Gi¶i : §©y lµ d¹ng 0 

Ta cã

1

x

x



 

Do x  1  nªn

1

1

x

x x



 



1

1

( 1)

x

x x

x



 



 L­u ý : §©y lµ bµi to¸n c¬ b¶n nh­ng häc sinh rÊt dÔ viÕt sai khi viÕt :

1

1

1

x

x



 



D¹ng I : Ph©n tÝch ra thõa sè

VÝ dô 1

VÝ dô 2

D¹ng II Thªm bít nh©n liªn hîp

Tìm giới hạn sau :

3 2 0

lim

x

N

x





2 0

lim

x

N

x





0

lim

x

N



Nhân các biểu thức liên hợp

lim

x

N



Rút gọn và Kq : N = 5

Tìm giới hạn sau : lim 3      

x

Giải : Đây là dạng   Ta chuyển về các dạng vô định khác

lim (3    ) (   )

x

Xét các giới hạn sau : 3   

x

Đặt x 1 Ta có

y

1 0

lim

y

P

y



2 lim   

x

Nhân với biểu thức liên hợp 1 và

3

a b c

P   

2

2

m n

P   

Vậy

P    

Ta có bài toán tổng quát :

n x

n



Tìm giới hạn sau :  

0

n x

ax

x



Giải : Đặt 1 1 khi thì

n

ax y x

a



Dạng III Đặt biến phụ

Ví dụ 3

Ví dụ 4

Ví dụ 5

Ta có : 1 2

R

n



Dạng tổng quát : Tìm giới hạn

0

1/ lim

x

x



 

0

x

n n x



P x a xa x  a x  n N

0

3/ lim

m x

P x x



II/ Giới hạn dạng :

0

sin

x

x x

và Tổng quát :   (*) với

 

sin

x a

f x

f x

1) Các bài toán cơ bản :

Các giới hạn cơ bản ( với a0;b0):

0

sin

1/ lim

x

ax a x

0

sin

2 / lim

sin

x

ax a

bx b

0

tan 3/ lim

x

ax a x

0

1 cos

4 / lim

2

x

ax a x



2) Phương pháp

a) Phương pháp :

B1) Nhận dạng giới hạn

B2) Sử dụng các công thức lượng giác ; nhân với biểu thức liên hợp Thêm bớt ;đặt biến phụ

B3) Đưa bài toán về đúng dạng (*)

B4) Tìm kết quả

b) Yêu cầu :

+) Học sinh nhớ các công thức lượng giác

- Công thức cộng

- Công thức nhân đôi ; nhân ba ; hạ bậc

- Công thức biến tổng thành tích ; tích thành tổng

+) Học sinh nhớ các biểu thức liên hợp

3) áp dụng

A- Loại 1( sử dụng các phép biến đổi lượng giác )

Phương pháp : Trong phương pháp này tác giả hướng dẫn học sinh chủ yếu bằng

phương pháp sử dụng các công thức lượng giác ; thêm bớt ;nhuần nhuyễn ; đua về dạng (*)

Ví dụ 1 Tìm các giới hạn sau :

2 0

1 cos lim

x

x A

x







2 2

2

2

x

x

( Có thể nhân liên hợp với 1+cosx )

Ví dụ 2 Tìm các giới hạn sau : 2

0

lim

x

B

x







2

b a

Ví dụ 3 Tìm giới hạn sau : 2

0

1 cos cos 2 cos3 lim

x

C

x







0

1 cos cos cos cos 2 cos cos 2 cos cos 2 cos3 lim

x

C

x





0

1 cos3 cos cos 2

1 cos (1 cos 2 ) cos lim

x

C





Làm tương tự bài 1 C = 7

Ví dụ 4 Tìm giới hạn sau :

2 2

4 lim

cos 4

x

x D

x









Giải :    suy ra

2

4

x D

x

x



16

D







Ví dụ 5 Tìm giới hạn sau :

3

sin 3 lim

1 2cos

x

x E

x









Giải:

sin 3 4sin

E

Rút gọn E  3

Các bài tập tương tự

1/Tính các giới hạn sau:

2

2

4

x

2 sin(x 1) sin x cos x



; (-1); 3/

x

3

7 / lim(x 4)sin ;(3);

x

 

2/Tính các giới hạn sau:

0

1 cos cos 2 cos3 cos

x

n N x



0

cos cos

2

2 / lim

sin(tan )

x

x x





1

cos 2 3/ lim

1

x

x x







2 2

0

tan( ) tan( ) tan

4 / lim

x

x



1

5 / lim 1 tan

2

x

x

4

6 / lim tan 2 tan( )

4

x









B-Loại 2 (Nhân với các biểu thức liên hợp)

Phương pháp : Trong phương pháp này tác giả hướng dẫn học sinh chủ yếu bằng

phương pháp sử dụng các biểu thức liên hợp ; thêm bớt nhân liên hợp chứa căn bậc 2;3 là chủ yếu (có thể làm bằng cách khác)

0

lim

sin

x

x C

x





Giải : Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp 2 1 cos x

suy ra KQ: C =

2

2sin

x x

2 8

0

1 cos cos 2 lim

x

B

x







Giải : Thêm bớt và nhân liên hợp

B

0

(1 cos 2 ) 1 cos 2 cos (1 cos ) 1 cos

lim

x

B





B=5/2

0

lim

x

B



Các bài tập tương tự

Tính các giới hạn sau:

3 2 0

cos 2 cos

1/ lim

sin

x

x



0

1 cos

2 / lim

1 cos

x

x x





1 cos 2 3/ lim

1 cos

x

x x







2 1

cos( 1) cos 2( 1)

4 / lim

1

x

x





2 1

sin

5 / lim

2

x

x x







2

2 2

6 / lim

sin sin 2

x

x x



 

1 cos cos 2

7 / lim

x

x





C-Loại 3 (đặt biến phụ)

Phương pháp : Trong phương pháp này tác giả hướng dẫn học sinh chủ yếu bằng

phương pháp sử dụng các biến phụ

1

cos 2 lim

1

x

x A

x









GiảI: Đặt x-1= y Ta có x=y+1 và khi : x1 thì y0

Ta có

2

A





4

lim tan 2 tan( )

4

x







Giải: Đặt Ta có và khi : thì

4

x  y

4

x y 

4

x

0

y

B

Ví dụ 3 Tìm giới hạn sau :  

1

2

x

x



Giải : Đặt y  1 x Ta có x= 1-y và x1thì y0

 

1

0

2 lim

sin 2

y

y

y





Các bài tập tương tự

Tính các giới hạn sau: (Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ đổi biến)

3

x

4

x

sin 2





 

x 2

cos x





III/ Giới hạn dạng:  1

Phương pháp : Dạng tổng quát lim   g x 

x a



  

1) Nếu lim   và thì

S A

2) Nếu A1 và B  thì ta có ngay kết quả

3) Nếu A=1 và B  thì ta đặt f(x)=1+h(x)

Ta có :     Kết quả : ( -bất kỳ)

lim 1 ( ) g x

x a



4) Đặc biệt : lim 1 1 và

x

x



   

0

lim 1 x

Tổng quát : với

 

  1

lim 1

f x

f x



f x  

lim 1   f x 1 với

     f x xa0

T=0 nếu a1a2

1 2

x

a x b

a x b





nếu

1 2 1

b b a

T e



3 2

1 lim

x

x

x A

x







Giải :

3

3



             

1

0

cos lim cos 2

x x

x B

x



cos cos 2 cos 2

B





3 2sin sin

2



3 2

Be

2

lim sin x

x







2

lim sin x

x





y      x x  y

2

x

0

y

2

2

2sin

sin

2

2

y y

y

y





Bài Tập Tính các giới hạn

1) lim 1 ; (e ); lim ; (e ); lim 1 sin x ; (e)





  2)   3)

x

x 1

x 1

x 1









5) 6)

iV/ Giới hạn dạng Mũ và lôgarit:

Phương pháp : +) Dạng tổng quát :  

f x

x a

x a

e

f x







ln 1

x a

f x

f x







+) Dạng cơ bản: ;

0

1

x x

e x



0

ln 1

x

x x







+) KÕt qu¶ :  

0

1

x x

a

x



   

0

ln

a x

x





0

lim

x

A

x







Gi¶i : Ta cã

2

2 0

cos lim

x x

B

x







Gi¶i : Ta cã

B

2

0

lim

2

x x

B



x a

x a









x a

x a







Gi¶i : Ta cã

1 lim ln lim ln 1

a x a

D





0

ln cos

ln cos

x

ax

bx



ln 1 cos 1

ln 1 cos 1

ax

E

bx

bx



E a22

b



0

lim ln

x







lim ln lim ln x lim ln 1 1 x

lim ln 1 1 11 11 lim ln 1 1 11  1 0

x x x

x





Bài tập Tính các giới hạn Dạng - Lôgarit

2 3

2

(x 1) 1

 

4

log e

(DHGT) 2) 3)

 m



x a a>0 5)

sin x 6) limx e



lnx-1 x-e

x 0

x 2



sin x x-sin x

8)

x-2

x+1

a;b;c>0 10)

ax

ln cos ax



2

1

x x x

lntan

1+x3

14) lim

x b







V- SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM ĐỂ TèM GIỚI HẠN

Bài toán: Tính giới hạn   Dạng ( ).

 





0

lim

x x

P x L

Q x

0 0

1)Phương pháp chung:

Ta biến đổi giới hạn trên về dạng sau:

0

0

0 0

x x

f x f x

f x

x x



: