A
b c
CÔNG THỨC ĐÁNG NHỚ
A Các công thức cơ bản thường dùng để giải bài toán lượng giác:
x
x
cos
2
2 cotx = (sinx ≠ 0 hay x ≠ k )
x
x
sin
3 sin2x + cos2x = 1
4 tanx.cotx = 1
5 = 1 + tan2x cos2 x = =
x
2
cos
1
x
2 tan 1
1
x
2 2
cot 1
cot
6 = 1 + cot2x sin2x =
x
2
sin
1
x
x
2
2 1 tan
tan cot
1
1
7 Công thức nhân đôi:
cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x – 1 = 1 – 2sin2x
sin2x = 2sinx.cosx
tan2x =
x
x
2 tan 1
tan 2
8 Công thức nhân 3:
sin3x = 3sinx – 4sin3x
cos3x = - 3cosx + 4cos3x
tan3x =
x
x x
2 3
tan 3 1
tan tan
3
9 Công thức hạ bậc:
sin2x =
2
2 cos
cos2x =
2
2 cos
cos3x =
4
3 cos cos
sin3x =
4
3 sin sin
10 Công thức tính theo hàm : t = tan Định lí hàm số Cosin:
2
x
1
2
t
t
1
1
t
t
1
2
t
t
2
a b c
p
R C
c B
b A
a
2 sin sin
sin( x + y ) = sinx.cosy + cosx.siny Diện tích: S b.c.sinA= acsinB = absinC
2
1
2
1 2
4
abc
pr p p a p b p c
2
tan
an
cot
in
cos
Trang 2 cos(x + y ) = cosx.cosy – sinx.siny - cosx sin( x - )
2
cos(x – y ) = cosx.cosy + sinx.siny - cosx cos( - x)
y x
y x
tan tan 1
tan tan
y x
y x
tan tan 1
tan tan
2
2
cosx.cosy = [cos( x – y ) + cos(x + y)] cosx sin( - x)
2
1
2
sinx.siny = [cos( x – y ) – cos(x + y)] sinx 1 x k2
2
1
2
sinx.cosy = [sin( x – y ) + sin(x + y)] sinx 0 x k
2 1
2
2
cos 2
y x y
2
sin 2 sin xy x y
2
cos 2 sinxy xy
2
sin 2
cosxy x y
4
2
4
sinxcosx
sinxcosx
cos x
tanx = tany x = y + k (nhớ điều kiện cosx 0) 1 – cos2x 2 2
sin x
cotx coty x y k (nhớ điều kiện sinx 0)
Dạng của phương trình Cách giải
Phương trình bậc nhất hoặc bậc hai đối với
f(x), trong đó f(x) là một biểu thức lượng giác
nào đó
Đặt ẩn phụ t = f(x)
Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
Asinx + Bcosx = C ( đk: A2+ B2 C2 ) Đặt z = , chia 2 vế cho z, đưa về dạng sin
2 2
B
A ( x ± ) = sinu hoặc cos(x )cosu
Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx
và cosx có dạng như sau:
Asin 2 x + Bsinx.cosx + Ccos 2 x = 0
Có 2 cách giải:
Cách 1: Hạ bậc rồi đưa về dạng Asinx + Bcosx = C
Cách 2:
B 1 : Thử xem cosx = 0 có phải là nghiệm của
Trang 3phương trình không
B 2 : Chia hai vế cho cos2x, rồi giải bình thường Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx có
dạng:
A(sinx ± cosx) + Bsinx.cosx + C = 0
Đặt t = sinx ± cosx để giûải, đk t 2; 2
Nếu t = sinx + cosx sinxcosx =
2 1 2
t
Nếu t = sinx – cosx sinxcosx =
2 1 2
t
Phương trình khác, không thuộc các dạng trên Bằng phương pháp biến đổi để đưa về dạng cơ bản
4
2
4
2/ sinx – cosx = 2sin( x - ) = -
4
) 4 cos(
x
3/ sin4x + cos4x = 1 - sin1 22x = (công thức giải nhanh)
2
3 cos 4 4
x
4
sin x cos x4 2 2
cos x
2
1 cos 2 2
x
2
1 cos 2 2
x
2
1 cos 2 2
x
2
3 cos 4 4
x
4/ sin6x + cos6x = 1 - sin3 22x = (công thức giải nhanh)
4
5 cos 4 8
x
6
sin x cos x6 2 3
cos x
3
1 cos 2 2
x
3
1 cos 2 2
x
2
1 3cos 2 4
x
4
5 cos 4 8
x
B Bài tập:
Bài 1: Phương trình bậc nhất hoặc bậc hai đối với f(x)
2
3 )
6
3
5 2
cos(
3
4
3 4
3
3 4
3
2
4 3 cos(
) 6
5
2
0
x
6
m/ 3sin22x + 7cos2x – 3 = 0 n/ 6cos2x + 5sinx – 7 = 0
q/ 6sin23x + cos12x = 1 r/ 4sin4x + 12cos2x = 7
5
3 )
4
Trang 4w/ 4sinx – 3cosx = 5 x/ 3cosx + 2 3sinx = z/ 2sin2x + 3cos2x = sin14x
2
`
9
13
Bài 2: Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx có dạng như sau:
Asin2x + Bsinx.cosx + Ccos2x = 0 (đk: A2+ B2 + C2 ≠ 0)
a/ 2sin2x + ( 1 - 3)sinx.cosx + ( 1 - 3)cos2x = 1
b/ 4sin2x + 3 3sin2x – 2cos2x = 4
c/ sin3x cos3x 2cosx 0
3cos x4 sin x.cos xsin x
e/ 2 2 3(cos2x sinx.cosx)
tan sinx x2 sin x
2 sin x4 cos x
(2sinx – 1)(2cos2x 2sinx m) 3 - 4 2 Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thoả điều kiện 0 x
cos x
Bài 3: Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx có dạng: A(sinx ± cosx) + Bsinx.cosx + C = 0
a/ 3(sinx + cosx) + 2sin2x + 3 = 0
b/ sinx – cosx + 4sinx.cosx + 1 = 0
c/ sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0
d/ sin3x + cos3x = 0
e/ sinx.cosx - 2(sinx + cosx) + 1 = 0
f/ sin3x + cos3x =
2 2
Bài 4: Phương trình đưa về dạng tích:
a/ sin5x + sinx – sin3x = 0
b/ cos2x – cos6x = sin3x + sin5x
c/ (sinx – cosx)2 – ( 2 + 1 )(sinx – cosx) + 2 = 0
d/ tan + sinx = 2
2
x
e/ sinx + sin2x + sin3x = 3(cosx + cos2x + cos3x)
f/ sinx + sin2x + sin3x = 4cos
2
3 cos cos 2
x x x
g/ tanx + tan2x= tan3x
Bài 5: Dùng công thức hạ bậc
a/ sin4x + cos4x =
2 1
b/ sin6x + cos6x = sin4x + cos4x
c/ sin4x – sin2x – 2 = 0
d/ sin4x + cos4x – cos2x = 1 - sin 2x
4
e/ tan2x + cot2x – 2 = 0
Bài 6: Các dạng phương trình khác
a/ sin2x – 2sinxcosx – 3cos2x = 0
b/ 6sin2x + sinx.cosx – cos2x = 2
c/ sin2x – 2sin2x = 2cos2x
d/ 2sin22x – 3sin2x.cos2x + cos22x = 2
e/ 4sinx.cos(x – ) + 4sin( + x).cosx + 2sin( ).cos( + x) = 1
2
x
2
Trang 5f/ 2sin3x + 4cos3x = 3sinx
2 2
3 cos(
2
sin2 x x
2 cos ) 2 2 ( sin 2
cos 2
sin 2
cos 2
h/ sinx.sin7x = sin3x.sin5x
i/ sin5x.cos3x = sin9x.cos7x
j/ cosx.cos3x – sin2x.sin6x – sin4x.sin6x = 0
k/ sin4x.sin5x + sin4x.sin3x – sin2x.sinx = 0
l/ sin5x + sin3x = sin4x
m/ sinx + sin2x + sin3x = 0
n/ cosx + cos3x + 2cos5x = 0
o/ cos22x + 3cos18x + 3cos14x + cos10x = 0
p/ sin2x + sin22x + sin23x =
2 3
q/ sin23x + sin24x = sin25x + sin26x
r/ sin22x + sin24x = sin26x
s/ cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2
t/ cos23x + cos24x + cos25x =
2 3
u/ 8cos4x = 1 + cos4x
v/ sin4x + cos4x = cos4x
w/ 3cos22x – 3sin2x + cos2x = 0
x/ tan(x + ) + cot(
3
0 ) 3
6 x
8
7 4 cot(
) 4
3
2
x x
2 tan(
), 3
2
( x x
z1/ sin2x + 2cotx = 3
z2/ tanx = 1 – cos2x
z3/ tan( x – 150).cot(x + 150) =
3 1
z4/ sin2x + 2cos2x = 1 + sinx – 4cosx
z5/ 3sin4x + 5cos4x – 3 = 0
z6/ (2sinx – cosx).(1 + cosx) = sin2x
z7/ 1 + sinx.cos2x = sinx + cos2x
z8/ sin2x.tanx + cos2x.cotx – sin2x = 1 + tanx + cotx
z9/ tan cosx – sinx.cos3x =
2
x
8 2
z10/ sin2x + sinx.cos4x + cos24x =
4 3
z11/ (2sinx – 1).(2sin2x + 1) = 3 – 4cos2x
z12/ cos
2
3 )
3
7
( x
z13/ 6tan ) 2 3
3 2
(
x
z14/ 3cos2x + 2(1 + 2sinx).sinx3 2 0
Trang 6z15/ 2 2(sinx + cosx).cosx = 3 + cos2x
z16/ cos2x - 3sin2x = 1 + sin2x
z17/ 4 3sinx.cosx + 4cos2x – 2sin2x =
2 5
z18/ sin( 2x)cot3x + sin( + 2x) - cos5x = 0
2
2
z19/ tan2x + cos4x = 0
z20/ 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8
z21/ sin4(x + ) = + cos2x – cos4x
4
4 1
z22/ (2sinx + 1).(3cos4x + 2sinx – 4) + 4cos2x = 3
z23/ 2sin3(x + ) = 2sinx
4
z24/ 2sinx + cotx = 2sin2x + 1
z25/ tan2x(1 – sin3x) + cos3x – 1 = 0
z26/ 1 + cot2x =
x
x
2 sin
2 cos
1
z27/ 6sinx – 2cos2x =
x
x x
2 cos 2
cos 4 sin 5