MỘT SỐ CÁCH NHỚ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Thực tế qua quá trình giảng dạy ở trung tâm GDTX tôi nhận thấy học sinh rất yếu về môn toán vì hấu hết là bị mất căn bản và nhấ
Trang 1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị: Trung Tâm GDTX Thống Nhất
Mã số :………
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“MỘT SỐ CÁCH NHỚ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC”
Người thực hiện : Đoàn Văn Hiệp
Lĩnh vực nghiên cứu:
Quản lý giáo dục Phương pháp dạy học bộ môn :……… Phương pháp giáo dục
Lĩnh vực khác :………
Có đính kèm :
Mô hình Phần mềm Phim ảnh Hiện vật khác
Năm học:2011-2012
Trang 2
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I.THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1 Họ và tên : Đoàn Văn hiệp
2 Ngày tháng năm sinh : 19 tháng 08 năm 1967
3 Nam, nữ : Nam
4 Địa chỉ : Ấp Trần Cao Vân - xã Bàu Hàm II
huyện Thống Nhất - tỉnh Đồng Nai
5 Điện thoại : 061-771556 (CQ)/ NR: 061-3762636
6 Fax : E-mail: gdtx.gdtxthongnhat@dongnai.edu.vn
7 Chức vụ: Giáo viên
8 Đơn vị công tác : Trung tâm GDTX Thống Nhất
II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị ( hoặc trình độ chuyên môn , nghiệp vụ ) cao nhất : Đại học Sư phạm
- Năm nhận bằng : 2005
- Chuyên ngành đào tạo : Toán học
III KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Phương pháp giảng dạy
- Số năm có kinh nghiệm: 24 năm
Trang 3
SỞ GD& ĐT ĐỒNG NAI CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Trung Tâm GDTX Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Thống Nhất, Ngày 20 tháng 04 năm 2012
PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KINH NGHIỆM
Năm học: 2011 – 2012
Tên sáng kiến kinh nghiệm : “Một số cách nhớ công thức lượng giác”
Họ và tên tác giả: Đoàn văn Hiệp Đơn vị : Trung tâm GDTX Thống Nhất
Lĩnh vực :
Quản lý giáo dục Phương pháp dạy học bộ môn :…………
Phương pháp giáo dục Lĩnh vực khác :………
1 Tính mới
- Có giải pháp hoàn toàn mới
- Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có
2 Hiệu quả
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả
3 Khả năng áp dụng
- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối , chính sách : Tốt Khá Đạt
- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dể thực hiện
và dễ đi vào cuộc sống: Tốt Khá Đạt
- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong phạm vi rộng : Tốt Khá Đạt
XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
(Ký tên và ghi rõ họ tên) (Ký tên,ghi rõ họ tên và đóng dấu)
Trang 4
MỘT SỐ CÁCH NHỚ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Thực tế qua quá trình giảng dạy ở trung tâm GDTX tôi nhận thấy học sinh rất yếu về môn toán vì hấu hết là bị mất căn bản và nhất là khi học lượng giác thì khả năng
áp dụng công thức lượng giác vào giải toán của học sinh là rất yếu, vì hầu hết các em không nhớ hoặc nhớ lơ mơ các công thức lượng giác nên việc giải toán lượng giác của các em ngày càng gặp nhiều khó khăn Từ đó các em không còn hứng thú và thậm chí còn có cảm giác sợ hãi khi học phần lượng giác Để giúp các em giải quyết những khó khăn đó, tạo niềm vui, hứng thú và thái độ tự tin trong học tập đồng thời phát huy khả năng ghi nhớ kiến thức để áp dụng vào thực hành, và tính toán nhanh trong các bài tập
Tôi đã quyết định tìm hiểu “Một số Cách nhớ một số công thức lượng giác”
II/ THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI 1/Thuận lợi:
- Được sự quan tâm giúp đỡ của tổ chuyên môn và các đồng nghiệp
- Hầu hết học sinh trong các lớp đều chuyên cần trong học tập
-Học sinh có đầy đủ các phương tiện học tập như sách giáo khoa, sách tham khảo…
- Phụ huynh rất quan tâm đến tình hình học tập của học sinh
2/Khó khăn:
- Một số học sinh tiếp thu chậm, kiến thức không đồng đều với nhau, không nắm vững phần lý thuyết nên gặp khó khăn trong khi tiếp thu bài giảng và làm bài tập
- Một số học sinh ít chịu khó tìm tòi, suy nghĩ, thụ động trong học tập
- Trình độ học sinh không đồng đều nên việc lựa chọn phương pháp truyền đạt, lựa chọn kiến thức cung cấp cho học sinh cũng gặp nhiều khó khăn
- Một số em chưa có ý thức học tập và một số em còn lười
- Ngoài ra phân phối chương trình còn quá ít giờ luyện tập, không cân đối với lượng kiến thức mà các em đã được học
- Đại đa số học sinh hiện nay vẫn giữ thói quen học thuộc lòng các công thức một cách máy móc, mà số lượng công thức thì nhiều cho nên khả năng nghi nhớ kiến thức không được nhiều, nhanh quên dễ nhầm lẫn giác công thức này với công thức khác
- Đến khoảng 70% học sinh ngán ngẩm, không có hứng thú với phần lượng giác, khả năng giải các bài tập áp dụng công thức còn hạn chế vì không nắm vững công thức hay
áp dụng sai công thức Ngoài ra học sinh còn chủ quan khi ỷ lại vào máy tính tay đã tạo cho học sinh tính lười biếng trong tính toán nhanh các phép tính đơn giản Số liệu thống kê:
III/ NỘI DUNG
1/ CƠ SƠ LÝ LUẬN
Bộ môn toán thường được người học nhận xét là môn học: “khô, khó, khổ“, vì tính
đa dạng về các dạng toán, số lượng các công thức áp dụng nhiều, phức tạp do vậy việc ghi nhớ một cách chính xác một khối lượng lớn các công thức là việc rất khó khăn và mất rất nhiều thời gian nếu ta không có phương pháp và cách thức học cụ thể và hợp lý Bên cạnh đó đối với những vần thơ, câu ca có vần có điệu, chứa đựng nội vui vẻ thì rất dễ đi sâu vào lòng người, khiến người đọc dễ nhớ và nhớ lâu hơn
Hình thành cách học, cách ghi nhớ công thức lượng giác cho học sinh, từ đó các em
có thể tìm tòi thêm một số cách thức, qui tắc nhớ riêng cho mình
Trang 5C
Liên tưởng giữa thực tiễn cuộc sống hằng ngày vào bài học và từ bài học vào thực tế
để giảm bớt sự “khô khan” của môn toán
Giúp học sinh tự tìm tòi, xây dựng cho mình một cách thức học nhanh và nhớ lâu các công thức lượng giác để áp dụng vào giải toán lượng giác trên cơ sở chuyển tải từ công thức lượng giác trở thành những vần thơ hoặc những câu văn vần…mà các em dễ ghi nhớ nhất
Giúp học sinh có thái độ thích thú và có niềm say mê học toán đặc biệt là phần lượng giác, cũng như học sinh tự trao đổi với nhau về cách nhớ công thức lượng giác để giải
nhanh các bài tập áp dụng, bài tập trắc nghiệm
Giúp học sinh học tốt phần công thức lượng giác, từ đó từng bước nâng cao chất
lượng môn học đồng thời tạo cơ sở kiến thức cho các bộ môn khoa học khác như Vật lí… Gây sự hứng thú trong học tập của học sinh đối với bộ môn toán nói chung và phần công thức lượng giác nói riêng
2/ NỘI DUNG
1 TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC
VUÔNG
a Định nghĩa:
Cho tam giác ABC vuông tại A Với = Khi đó:
sin = =
cos = =
tan = =
cot = =
b Phương pháp ghi nhớ
Để ghi nhớ các tỉ số lương giác trên ta có thể chuyển đổi từ ngôn ngữ toán học sang ngôn ngữ văn học như sau:
“ Tính sin lấy đối chia huyền.
Côsin hai cạnh kề huyền chia nhau
Côtang ta sẽ tính sau
Còn tang hai cạnh chia nhau đối kề ”
Vì sao côtang ta lại tính sau? Vì ta đã biết cot và tan là hai giá trị nghịch đảo của nhau, do vậy nếu tính được tan sẽ suy ra được cot
Ngoài ra ta còn có thể dùng cách so sánh ví von như sau:
“ sin đi học, cos không hư, tang đoàn kết, côtang kết đoàn”.
Chúng ta liên tưởng và ví bốn giá trị sin, cos, tang, côtang như là các cô, cậu học trò nào đó mà mỗi người có một tính cách riêng Để từ đó luận ra tỉ số của từng giá trị, ví dụ
như anh bạn “sin” chẳng hạn thì ta sẽ lấy hai chữ cái đầu của câu “đi học” để lập tỉ số cho
giá trị này, tức là giá trị sin bằng đối chia huyền
Nếu đặt Bˆ= thì từ định nghĩa trên ta có:
α
Trang 6
AB = sin BC = cos BC
AC = sin BC = cos BC
Vậy: “ trong tam giác vuông, cạnh góc vuông bằng sin góc đối hoặc cos góc kề nhân với cạnh huyền ”
Như vậy với cách “mã hóa” từ công thức toán học thành ngôn ngữ văn thơ sẽ
giúp các em ghi nhớ các công thức một cách nhanh nhất và lâu nhất
2 BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC ĐẶC BIỆT
a Bảng giá trị lượng giác của các góc: 0o; 30o; 45o; 60o; 90o
Trong quá trình giải toán lượng giác thì các giá trị trên thường được sử dụng để tính toán, thu gọn, biến đổi……Thế nhưng khi áp dụng thì đại đa số các em đều lúng túng vì không nhớ hoặc nhầm lẫn giữa giá trị này và giá trị kia nên thường dẫn đến một đáp số sai Mặt khác nếu để các em học thuộc lòng một cách máy móc thì rất cực nhọc
Để khắc phục tình trạng đó chúng ta có thể hướng dẫn các em cách xây dựng lại bảng giá trị lượng giác trên (trong trường hợp bị quên) như sau:
b Cách xây dựng
Nếu để ý kỹ thì thì ta thấy dãy các giá trị của sin (với = 0o; 30o; 45o; 60o; 90o) tuân theo qui luật sau: = ; ; ;
Tức là nếu ta biểu diễn dãy số trên dưới dạng phân số thì tử số tăng dần từ đến , còn mẫu số không đổi là 2
Để xác định dãy các giá trị của cos (với = 0o; 30o; 45o; 60o; 90o) ta đảo lại dãy các giá trị của sin
Sau khi xác định xong các giá trị sin , cos thì dễ dàng xác định tan và cot dựa vào công thức: tan ; cot
Chú ý: Nếu cos thì tan không xác định
Nếu sin thì cot không xác định
Như vậy chỉ cần từ 1 đến 2 phút là các em đã có thể xây dựng được bảng giá trị lượng giác như sau:
Trang 7
Trong các góc đặc biệt trên ta thấy góc 45o là góc đặc biệt nhất sin45o=sin45o = nên tan45o = cot45o = 1 Đây là các giá trị tương đối dễ nhớ
Còn với o o thì có phần khó nhớ hơn một chút và dễ nhầm lẫn giữa các
giá trị sin và cos Nhưng không sao nếu các em chịu khó nhẩm vài ba lần câu “thần chú” sau thì mọi chuyện sẽ được giải quyết
“ sin ba cos sáu nửa phần ”
“ cos ba sin sáu nửa phần căn ba ”
Tức là sin30o và cos600 bằng , còn cos300 và sin60o bằng
Ví dụ 1: Hãy nối một dòng ở cột trái với một dòng ở cột phải để được biểu thức đúng
Hướng dẫn: dựa vào bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt ta có
A - 5; B - 1; C - 2; D - 3
Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức A8sin 452 0 2(2cot 300 3) 3cos90 0
Hướng dẫn
A
2
8sin 45 2(2 cot 30 3) 3cos90 8 2 2 3 3 3.0
2
= 4 2 3
3.CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
a Hệ thức giữa các giá trị lượng giác của cung có liên quan đặc biệt
a1/ Cung đối nhau và (tổng bằng 0) ( VD: & 6
6
) cos( ) = cos
A/ sin300cos600 B/ 22 sin450 C/ – cos(-1350) D/ tan(x + )
1/ 1 2/ – cos(1350) 3/ tanx
4/ cos(1350) 5/
4 1
6/
2 3
7/ 43
Trang 8
sin( ) = - sin
tan( ) = - tan
cot( ) = - cot
a2 /Cung bù nhau và ( ) ( tổng bằng ) (VD: &56
6
sin( ) = sin
cos( ) = - cos
tan( ) = - tan
cot( ) = - cot
a3 /Cung phụ nhau và ( ) ( Tổng bằng 2
) (VD: & 3
6
) sin( ) = cos
cos = sin
tan( ) = cot
cot( ) = tan
a4 /Cung hơn kém nhau (VD: &76
6
) sin( + ) = - sin
cos( + ) = - cos
tan( + ) = tan
cot( + ) = cot
Nhận xét: trong nhóm các công thức đối chỉ có cos( ) = cos , trong nhóm công thức bù chỉ có sins( ) = sin , nhóm công thức hơn kém thì tan( + ) = tan , còn trong nhóm công thức phụ thì các giá trị sin, cos của các cung và ( ) chéo nhau, các giá trị tan, cot của các cung và ( ) chéo nhau
Do đó để ghi nhớ nhóm các công thức trên ta cần nhớ câu:
” cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém bi tang ”
Ví dụ 3: Ghi Đ (đúng) hoặc S (sai) vào ô vuông
A/ cos ( ) = cos
B/ sin (
2 ) = cos
C/ cos (
2 ) = sin
D/ - tan( ) = tan
E/ tan( ) = tan( )
Trang 9
F/ cos ( ) = cos ( )
G/ - cos ( ) = cos
H/ sin ( ) = - sin
I/ - sin ( ) = sin
J/ sin ( ) = sin( )
Hướng dẫn: Áp dụng ” cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém bi tang ”
Ví dụ 4: Biết sin = m và cos = n
Tính giá trị của biểu thức T = cos(
2 ) + cos(4 ) theo m và n có kết quả là: A/ T = m + n
B/ T = - (m + n)
C/ T = m - n
D/ T = n - m
Hướng dẫn: Ta có cos(
2 ) = sin ( phụ chéo) cos(4 ) = cos(- ) = cos (cos đối)
Vậy chọn Câu A
Ví dụ 5: Tính giá trị các biểu thức sau: A sin11 sin25
,B sin13 sin21
Hướng dẫn
A sin11 sin25 sin 4 sin 6 sin sin 3 2 6
B sin13 sin21 sin 2 sin 5 sin sin 2
Ví dụ 6: Rút gọn biểu thức A cos3 sin3
1 sin cos
Sau đó tính giá trị biểu thức A khi 3
Hướng dẫn: A cos3 sin3 (cos -sin )(cos2 sin cos sin2 )
(cos sin )(1 sin cos )
(1 sin cos )
= cos sin Khi
3
thì A cos sin 1 3
Ví dụ 7: tìm các mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của các cung và 32
Hướng dẫn:
cos( 32 ) = cos(-(
2
3
)) = cos(
2 ) ( CT đối) = - cos(
2 ) (CT hơn kém ) = - sin (CT phụ)
sin(
2
3
) = sin(-(
2
3
)) = -sin(
2 ) ( CT đối)
Trang 10
= sin(
2 ) (CT hơn kém ) = cos (CT phụ)
tan(
2
3
) 2
3 cos(
) 2
3 sin(
=
cos
sin
= - tan
cot( 32 ) =
) 2
3 sin(
) 2
3 cos(
=
sin
cos
= - cot
Ví dụ 8: Rút gọn biểu thức
A
sin( )cos tan(7 )
2 3 cos(5 )sin tan(2 )
2
Hướng dẫn
2
sin( )cos tan(7 ) sin sin tan
cos cos tan 3
cos(5 )sin tan(2 )
2
Ví dụ 9: Cho P = sin()cos( ) và Q sin sin
2
Tính P + Q = ?
Hướngdẫn
Ta có P =sin()cos( )=sin cos ,Q sin sin cos sin
2
Vậy P + Q = sin 2
b Công thức cộng
cos(a+b) = cosa cosb – sina sinb
cos(a- b) = cosa cosb + sina sinb
sin(a+b) = sina cosb + cosa sinb
sin(a - b) = sina cosb – cosa sinb
Cách thức để ghi nhớ bốn công thức này vẫn là cách tìm một vài điểm đặc biệt nào đó
và chuyển thể thành dạng văn nói sao cho có vần, có điệu để học sinh dễ học, dễ nhớ chẳng hạn như:
“ cos cùng loài khác dấu sin cùng dấu khác loài ”
Ở đây ta cần giải thích cho học sinh hiểu được như thế nào là cùng loài, khác loài?
Các tích: cosa cosb; sina sinb được gọi là cùng loài, còn các tích: sina cosb; cosa sinb được gọi là khác loài Còn khác dấu, cùng dấu thì chỉ cần hiểu một cách nôm na là nếu bên trái dấu bằng là giá trị lượng giác của một tổng thì bên phải dấu bằng sẽ là hiệu của
các tích trên và ngược lại
Chú ý: Cần lưu ý cho học sinh nắm được mức độ ưu tiên về “thứ tự “ của các giá trị
trong công thức sẽ phụ thuộc vào vế trái
Ví dụ: Khi triển khai công thức: cos(a+b) = cosa cosb – sina sinb vì vế trái là
cos(a+b) nên tích cosa cosb được viết trước rồi mới đến tích sina sinb
Còn trong công thức: sin(a+b) = sina cosb – cosa sinb (vì khác loai) mà vế trái là sin(a+b) nên tích sina cosb được ưu tiên
Trang 11
Hoặc là :
“Sin thì sin cos cos sin Cos thì cos cos sin sin đổi liền ( đổi dấu liền) Tang thì thương (của) tổng hai tang Mẫu là một (1) hiệu tích tang hai hàm”.
Ví dụ 10 : Tính cos11
12
Hướng dẫn :
11
= 1 2 3 2 2 6
4 CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH, TÍCH THÀNH TỔNG
a Công thức biến đổi tổng thành tích
cos + cos = 2cos cos
cos - cos = -2sin
sin + sin = 2sin cos
sin - sin = 2cos sin
chúng ta hướng dẫn học sinh mã hóa như sau:
“ cos cộng cos bằng hai cos, cos
cos trừ cos bằng trừ hai sin,sin
sin cộng sin bằng hai sin, cos
sin trừ sin bằng hai cos, sin ”
Chú ý: Bên vế phải luôn tích là hai hệ thức lượng giác của góc và mà hệ thức của góc được viết trước
Đối với công thức: tan + tan = được ghi nhớ qua câu sau:
“ tang ta cộng với tang mình bằng sin hai đứa chia cos mình cos ta”
Ở đây ta liên tưởng và như là đôi bạn thân chơi với nhau và có cách xưng hô là ta
và mình
Ví dụ 11: Tính D = sinx + sin3x + sin5x + sin7x
Hướng dẫn: (sin7x+sinx) + (sin5x+sin3x) = 4sin4x.cos2x.cosx
b Công thức biến đổi tích thành tổng