SKKN bồi dưỡng năng lực suy rộng công thức lượng giác để phát hiện phương pháp giải nhanh một số dạng phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11

Lý do chọn đề tài Căn cứ vào nhiệm vụ và mục tiêu của giáo dục phổ thông của nước ta hiện nayđang thực hiện bước chuyển từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cậnnăng lực c

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN

TRƯỜNG T.H.P.T ĐỨC HỢP

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC SUY RỘNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

ĐỂ PHÁT HIỆN PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHO HỌC SINH LỚP 11.

MỤC LỤC

g

PHẦN I TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Cơ sở thực tiễn 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Mục đích nghiên cứu 2

5 Phạm vi, giới hạn, vấn đề nghiên cứu 2

6 Phương pháp nghiên cứu 3

7 Giả thuyết khoa học của đề tài 3

8 Đóng góp của đề tài 3

9 Hướng phát triển tiếp theo của đề tài……… 4

10 Cấu trúc của đề tài 4

PHẦN II NỘI DUNG 5

1 Kiến thức lý thuyết cơ bản 5

2 Các công thức lượng giác suy rộng và các bài toán áp dụng 6

2.1 Các công thức lượng giác suy rộng từ công thức sẵn có và các bài toán áp dụng 6 2.2 Tìm các công thức lượng giác phù hợp giải các phương trình lượng giác chứa cung nx ( * n N ) và các bài toán áp dụng 12 3 Tổ chức thực nghiệm và đối chứng 21 PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 25 1 Kết luận 25

2 Kiến nghị 25

TÀI LIỆU THAM KHẢO 26

PHỤ LỤC 27

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN

TRƯỜNG T.H.P.T ĐỨC HỢP

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC SUY RỘNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

ĐỂ PHÁT HIỆN PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHO HỌC SINH LỚP 11.

Lĩnh vực: Toán học

Họ và tên: LÊ THỊ HINH

Chức vụ: Phó hiệu trưởng

Đơn vị công tác: Trường THPT Đức Hợp

Năm học: 2015- 2016

NĂM HỌC 2015-2016

PHẦN I TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

1 Lý do chọn đề tài

Căn cứ vào nhiệm vụ và mục tiêu của giáo dục phổ thông của nước ta hiện nayđang thực hiện bước chuyển từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cậnnăng lực của người học, để thực hiện được điều đó người giáo viên phải tích cực đổimới phương pháp dạy học từ PPDH theo lối “Truyền thụ một chiều” sang dạy cáchhọc, cách tiếp cận và vận dụng kiến thức, rèn luyện kỹ năng, phải hình thành năng lực

và phẩm chất, từ đó dần thay đổi cách kiểm tra đánh giá từ kiểm tra trí nhớ sang kiểmtra, đánh giá năng lực vận dụng kiến thức giải quyết vấn đề để có thể tác động kịp thờinhằm thúc đẩy học sinh sự ham học hỏi, khám phá và rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo nângcao chất lượng của các hoạt động dạy học và giáo dục

Chương trình toán THPT hiện nay, cụ thể là chương trình lượng giác Lớp 11các phương trình lượng giác đòi hỏi năng lực sáng tạo của học sinh xuất hiện khôngnhiều trong sách giáo khoa, sách bài tập Trong nhiều tài liệu tham khảo cũng có đề

cập đến các bài tập nâng cao về giải phương trình lượng giác nhưng tôi thấy chỉ có

các bài toán vận dụng công thức lượng giác sẵn có trong SGK hoặc các kỹ năng thêmbớt, kỹ năng phân tích nhân tử, những bài tập dạng này chỉ cần kỹ năng thuần túyhướng học sinh vào tư duy đường mòn mà không đòi hỏi tính sáng tạo, tạo hứng thúnghiên cứu cho học sinh Hơn nữa trong xu hướng dạy học hiện nay là đổi mớiphương pháp dạy học nhằm mục đích phát huy năng lực cho học sinh, tạo cho ngườihọc hứng thú trong học tập, nghiên cứu khoa học và áp dụng vào thực tiễn cuộc sốngchứ không chỉ thuần túy là học để thi

Dựa trên các tài liệu tham khảo do bản thân tự bồi dưỡng, với thực tế giảng dạy

và kinh nghiệm tôi đã chọn tìm hiểu và nghiên cứu đề tài: “Bồi dưỡng năng lực suy

rộng công thức lượng giác để phát hiện phương pháp giải nhanh một số dạng phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11” Tôi tập hợp các bài toán đòi hỏi

năng lực sáng tạo suy rộng công thức lượng giác sẵn có và tìm công thức lượng giácphù hợp để giải lớp các phương trình từ đó cho học sinh tự rút ra các bài học kinhnghiệm và các nhóm tự biên soạn các bài tập vận dụng tượng tự và nộp sản phẩm,

thông qua các tiết học tự chọn trong phân phối chương trình và các buổi hội thảochuyên đề nâng cao do ban chuyên môn nhà trường tổ chức Đồng thời tạo cho các em

có cách nhìn tổng quát và sâu sắc hơn về vấn đề vừa được học Bồi dưỡng năng lực tưduy sáng tạo, qui lạ về quen, năng lực biến đổi lượng giác, năng lực nghiên cứu vàtổng hợp được vấn đề cần nghiên cứu Tôi hi vọng đề tài này được các em học sinhtích cực hợp tác và các đồng nghiệp nhiệt tình giúp đỡ để giúp tôi bổ sung và hoànthiện tốt đề tài này

2 Cơ sở thực tiễn

Nội dung liên quan đến “Giải phương trình lượng giác” thường được quan

tâm trong các kỳ thi tuyển sinh vào các trường ĐH trước đây và kỳ thi THPT Quốcgia hiện nay và trong kỳ thi học sinh giỏi các cấp Mặt khác đây là một phần kiến thứckhó, học sinh học phần kiến thức này thường là học theo hình thức ghi nhớ công thứclượng giác, ít khi nghiên cứu tìm tòi sáng tạo

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm ra được 15 công thức lượng giác suy rộng từ đó vận dụng vào giải nhanhcác phương trình lượng giác

- Từ các bài tập thực hiện chỉ ra được các bài toán tổng quát, các lớp bài toánvận dụng nhằm hướng dẫn học sinh tự học, tự nghiên cứu

- Kết thúc mỗi dạng bài tập các nhóm đưa ra một hệ thống các bài tập tự luyện

và mở rộng các dạng bài tập đó

4 Mục đích nghiên cứu

- Giúp cho bản thân tự trau dồi kiến thức, nâng cao năng lực chuyên môn phục

vụ cho công tác dạy học

- Bồi dưỡng cho học năng lực tư duy sáng tao, tư duy phân tích, tổng hợp từmột dạng toán, từ đó phát triển năng lực tư duy lôgic, khái quát hoá vấn đề

- Bồi dưỡng cho học sinh phát triển năng lực của các hoạt động trí tuệ, rènluyện đức tính cần cù, cẩn thận, góp phần hình thành những phẩm chất đạo đức, nănglực làm việc cần thiết của một người công dân sau này

5.1 Phạm vi nghiên cứu

Học sinh đang học lớp 11, 12; học sinh dự thi học sinh giỏi Tỉnh, học sinh ônthi THPT Quốc gia

5.2 Giới hạn nội dung nghiên cứu: Hoạt động dạy học sinh hoạt chuyên đề bồi dưỡng

năng lực suy rộng công thức lượng giác để giải nhanh một số dạng phương trìnhlượng giác

5.3 Vấn đề nghiên cứu của đề tài: Sử dụng phương pháp dạy học nào để nâng cao

năng lực tư duy sáng tạo trong học tập bộ môn toán cho học sinh THPT đối với phầnGiải phương trình lượng giác

6 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý thuyết về công thức lượng giác, phương pháp giải phương trìnhlượng giác trong chương trình SGK Đại số và giải tích 11

- Nghiên cứu về phương pháp dạy học đặc biệt là phương pháp dạy học theođịnh hướng phát huy năng lực học sinh môn toán

- Nghiên cứu về thực tế giảng dạy môn toán hiện nay ở trường THPT Đức Hợp,khảo sát học sinh, qua sách báo và tài liệu tham khảo môn toán, học hỏi và tiếp thucác ý kiến đóng góp của đồng nghiệp qua các tiết dự giờ

7 Giả thuyết khoa học của đề tài

Trên cơ sơ lý luận của phương pháp dạy học môn toán và thực tiễn dạy học vềphương trình lượng giác nếu biết khai thác, vận dụng thành thạo công thức lượng giácsẵn có, biết phân tích đề bài, học sinh sẽ phát huy được năng lực suy rộng, phát hiệncông thức lượng giác phù hợp để áp dụng vào giải một số dạng phương trình lượnggiác khó, đòi hỏi tính sáng tạo Từ đó học sinh rút ra cho bản thân các bài học kinhnghiệm, hệ thống hóa dạng toán, tích cực, chủ động, sáng tạo hơn trong việc học tập

và nghiên cứu

8 Đóng góp của đề tài

- Bồi dưỡng được cho học sinh năng lực suy rộng các công thức lượng giác sẵn

có, tìm tòi sáng tạo các công thức lượng giác phù hợp giải nhanh một số dạng phương

trình lượng giác hay và khó phục vụ cho học sinh tham gia các kỳ thi THPT Quốc gia,

kỳ thi học sinh giỏi các cấp hằng năm

- Cung cấp cho học sinh cơ sở lý thuyết phương trình lượng giác và các kỹ năngtrình bày lời giải bài toán giải phương trình lượng giác

- Giúp cho các em học sinh rèn kỹ năng giải toán và không thấy e ngại khi gặpbài toán khó

- Giúp cho giáo viên có thêm nhiều kinh nghiệm về đổi mới phương pháp vànâng cao chất lượng dạy học

9 Hướng phát triển tiếp theo của đề tài

Vì thời gian có hạn vì vậy ở đề tài này Tôi mới chỉ dừng lại ở nội dung họcsinh sử dụng các công thức lượng giác vào giải các dạng phương trình lượng giác,hướng tiếp theo của đề tài Tôi sẽ hướng dẫn học sinh vận dụng các công thức này vàocác lớp bài toán chứng minh bất đẳng thức lượng giác và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhấtcủa các hàm số lượng giác

10 Cấu trúc của đề tài

Phần I: Tổng quan về vấn đề nghiên cứu

Phần II: Nội dung

1 Kiến thức lý thuyết cơ bản

2 Các công thức lượng giác suy rộng và các bài toán áp dụng công thức,sản phẩm của các nhóm học sinh tự ra các bài tập tương tự

3 Tổ chức thực nghiệm và kết quả đối chứng

Phần III: Kết luận và khuyến nghị

PHẦN II NỘI DUNG

1 Kiến thức lý thuyết cơ bản

Các phương trình lượng giác cơ bản:

Nếu a 1 đặt cos  a thì phương trình (1) có nghiệm x x  k2k2 (k )

Phương trình: tanu(x)=tanv(x) u x( ) v x( ) k, (k Z) với

2 Các công thức lượng giác suy rộng và các bài toán áp dụng.

2.1 Các công thức lượng giác suy rộng từ công thức sẵn có và các bài toán áp dụng

Hướng dẫn các nhóm học sinh chỉ ra được các công thức lượng giác suy rộng từcác công thức lượng giác sẵn, phát hiện phương pháp giải nhanh và chính xác một sốdạng phương trình lượng giác Từ đó rút ra các bài học kinh nghiệm bằng cách tổngquát hóa các dạng phương trình lượng chứa cung nx (n N*)

 Công thức gốc 1: sin 3a=3sina- 4sin3a

Công thức suy rộng: sin 3 2

3 4sin (1.1) sin

VD1: Giải phương trình sau: 6 cos3x=1+8sin2x.cos3x

Lời giải: 6 cos3x=1+8sin2x.cos3x (1)

Vì x=k (k Z) không là nghiệm của phương trình (1) nên áp dụng công thức (1.1)

Vì x=k (kZ) không là nghiệm của phương trình (2) nên áp dụng công thức (1.2)

(2) sin 3 4sin 3 4sin 3 sin

sin 3 3 4sin 3 sin

Bài học kinh nghiệm:

Phương trình: 3 4sin  2x  3 4sin 3 3 4sin 3  2 x   2 n x 1 sin(3n 1x) sinx

3) 4sin 12sin 3 36sin 9 27 1

1 2cos 2 1 2cos 6 1 2cos18 sin 27

công thức 1.4)

 Công thức gốc 2: cos 3x= 4cos3x- 3cosx

Công thức suy rộng: cos3 2

4cos 3 cos

x

x

x   (2.1) hoặc cos 4cosx 2x 3  cos3x (2.2)

Ví dụ 3: Giải phương trình sau: 1+ 6 sin3x = 8 cos2x.sin3x

Lời giải: 1+ 6 sin3x = 8 cos2x.sin3x (3)

Ví dụ 4: Giải phương trình 4cos 2 x 3 4cos 3  2 x 3  1

Lời giải: 4cos 2x 3 4cos 3  2 x 3  1 (4)

(4) cos 4 cos 3 4cos 3 3 cos

cos3 4cos 3 3 cos

sin18 cos sin18 sin( )

2 2

Bài học kinh nghiệm:

Phương trình: 4cos 2x 3 4cos 3  2 x 3 4cos 3  2 n x 3  1 cos(3n 1x) cosx

Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng

Giải các phương trình sau:

1) 4cos 2 x 3 4cos 3  2 x 3 4cos 9  2 x 3  1  cos 27x cosx

1 tan

x x

x



Công thức suy rộng : 2 2 tan

1 tan

tan 2

x x

Ví dụ 6: Giải phương trình sau: 1 tan  2x  1 tan 2 1 tan 4  2 x   2 x 8

Lời giải: ĐK : cosx 0, cos2x 0, cos4x 0 , áp dụng CT (3.1) ta có:

1 tan 1 tan 2 1 tan 4 8

tan 2 tan 4 tan 8 1

Ví dụ 7: Giải phương trình sau:  2   2   2 

cot 1 tanx  x 1 tan 2 1 tan 4  x  x  8 (7)Lời giải: ĐK: sin 8x 0 , áp dụng CT (3.2) ta có:

x k Z thỏa mãn điều kiện

Bài học kinh nghiệm: Với ĐK : sin 2n 1x 0

Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải phương trình sau:

1 1 tan  2x  1 tan 2 1 tan 4  2 x   2 x  8.cot 8x tanx 1

2 cot 1 tanx  2x  1 tan 2 1 tan 2  2 x   2 2x.(1 tan 8 ) 16  2 x  tan16x 1

Ví dụ 8: Bài tập kết hợp các công thức suy rộng từ các công thức gốc 1,2,3

(cotx cot 3 ).(4cosx x 3) 2  (8.1)Lời giải: ĐK: sin3x 0

Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau:

1 (tan 3x tan ).(3 4sin ) 2x  2x   tan 3x 1

Công thức suy rộng: sin sina1 b cotsin(a a b cot)b

 (4.1) , cos cosa1 b tansin(a a b tan)b

sin sin 2x xsin 2 sin 3x xsin 3 sin 4x x  (9)Lời giải: ĐK: sin 3x 0, sin 4x 0, Áp dụng CT (4.1) ta có:

cot cot 2 cot 2 cot 3 cot 3 cot 4

Ví dụ 10: Giải phương trình sau: tan tan 2x x tan 2 tan 3x x tan 3 tan 4x x  3 0 (10)

Lời giải: ĐK: cos3x 0, cos4x 0, cosx 0, cos2x 0   , áp dụng CT (4.3) ta có:

tan 2 tan tan 3 tan 2 tan 4 tan 3

tan 2 tan tan 3 tan 2 tan 4 tan 3

0 tan

tan 4 tan

0 tan 4 tan 4 tan

Baì học kinh nghiệm:

sin 3 sin 6x xsin 6 sin 9x xsin 9 sin12x xsin12 sin15x x   cot 3x cot15x

2 tan tan 2x x tan 2 tan 3x x tan 3 tan 4x x tan 4 tan 5x x  4 0  tan 5x tanx

2.2 Tìm các công thức lượng giác phù hợp giải các phương trình lượng giác chứa cung nx ( n N* ) và các bài toán áp dụng

Hướng dẫn học sinh phân tích đề bài phát hiện công thức lượng giác phù hợp với mỗi phương trình lượng giác từ đó giải nhanh, chính xác các phương trình lượng giác chứa cung nx ( n N* ) Sau mỗi dạng các em tự rút ra cho mình bài học kinh

nghiệm bằng cách tổng quát hóa cho mỗi dạng phương trình lượng giác chứa cung nx

( n N* )

Ví dụ 11: Giải phương trình sau: 1 1 1 0

sin 2xsin 4xsin 8x  (11)

Hướng dẫn học sinh tìm công thức: Các hạng tử trong phương trình có đặc điểm gì ? (1

sin 2a) , vì vậy các em tìm xem 1

sin 2a được biến đổi thành biểu thức nào?

sin 2 sin 2 sin sin 2 sin sin 2 sin sin 2

Vận dụng công thức (5) với sin 8x 0ta có :

(11) cot cot 2 cot 2 cot 4 cot 4 cot 8 0

sin 2xsin 4xsin 8xsin16x  (  cotx cot16 )x

Ví dụ 12: Giải phương trình sau: tan tan 2 tan 4 0

cos 2 cos 4 cos8

cos 2 cos cos 2 cos cos 2

sin 2 cos cos 2 sin

cos cos 2 = tan2a-tan a

tan tan 2 tan 2 1 0 tan 2 tan ( n , 2)

cos 2 cos 4 cos 2

n

n n

Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau:

1 tan tan 2 tan 4 tan 4 0

cos 2 cos 4 cos8 cos8

x x x x   tan 8x tanx

2 tan 2 tan 4 tan 8 tan16 0

cos 4 cos8 cos16 cos32

x x x x  tan 32x tan 2x

Ví dụ 13: Giải phương trình sau: cos cos3 cos9 0

sin 3 sin 9 sin 27

sin 3 sin sin 3 sin sin 3 sin sin 3

1 (sin 3 cos cos3 sin ) 12

sin 3 sin 9 sin 3

n

n n

Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau:

1 cos3 cos9 cos 27 0

sin 9 sin 27 sin 54

x  x x   cot 3x cot 54x

2 cos cos3 cos9 cos 27 0

sin 3 sin 9 sin 27 sin 54

x x  x x   cotx cot 54x

Ví dụ 14: Giải phương trình sau: cos 2 cos 6 cos18 0

sin 3 sin 9 sin 27

Học sinh chốt được công thức : cos 2 1( 1 1 ) ( sin 3a 0)

sin 3 2 sin sin 3

Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau:

1 cos 2 cos 6 cos18 cos54 0

sin 3 sin 9 sin 27 sin 81

x  x  x x   sin 81x sin 3x

2 cos 6 cos18 cos54 cos162 0

sin 9 sin 27 sin 81 sin 243

x  x x  x   sin 243x sin 9x

Ví dụ 15: Giải phương trình sau: sin sin 3 sin 9 0

cos3 cos9 cos 27

x x x  (15)

Hướng dẫn học sinh tìm công thức: Các hạng tử trong phương trình có đặc điểm gì ? (sin

Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau:

1 sin sin 3 sin 9 sin 27 0 ( tan 81x=tan x)

cos3 cos9 cos 27 cos81

x x x x  

2 sin 3 sin 9 sin 27 0 ( tan 81x=tan 3x)

cos9 cos 27 cos81

Ví dụ 16: Giải phương trình sau: cos5 cos10 cos 20 3

cos cos 2 cos 4

a a

Vận dụng công thức (10), với cosx 0, cos 2x 0, cos 4x 0 ta có :

(16) 2cos 4 2cos 2 1 2cos8 2cos 4 1 2cos16 2cos8 1 3

Bài học kinh nghiệm: với cosx 0, cos 2x 0, cos 2   n x 0 ta có phương trình:

cos 5 cos10 cos 5.2 1 cos 4.2 x=cos2x (n )

n

n n

n

Kết quả các nhóm học sinh tự ra các bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau:

1 cos5 cos10 cos 20 cos 40 4

cos cos 2 cos 4 cos8

x  x  x  x   cos32x cos 2x

2 cos10 cos 20 cos 40 cos80 4

cos 2 cos 4 cos8 cos16