Chuyên đề Nguyên hàm - tích phân - Toán học

Khi nguyên hàm có dạng phân thức bậc tử lớn hơn hoặc bằng bậc mẫu ta thường dùng phép chia đa thức để giải. Lời giải.[r]

Trang 1

GIẢI NHANH TRẮC NGHIỆM

MÔN TOÁN

TIẾP CẬN 11 CHUYÊN ĐỀ TRỌNG TÂM

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

Trang 2

Chuyên đề 3 NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Phần I: NGUYÊN HÀM

Nếu có hàm số f x( ) việc đi tính đạo hàm của nó chỉ cần áp dụng các công thức đã biết, công việc có vẻ không khó lắm Thế nhưng tìm hàm số nào có đạo hàm bằng f x( ) thì sẽ khó hơn rất nhiều, có nghĩa là ta phải tìm hàm số g x( ) sao cho g' x( ) ( )= f x Hãy cùng nghiên cứu

kĩ hơn vấn đề này!

Định nghĩa Cho hàm số y f (x)= xác định trên tập K (khoảng, nữa khoảng, đoạn của R) Nếu ta có hàm số F x( ) xác định trên K sao cho F' x( )= f (x) thì F x( ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f (x) trên K

Định lí 1. Nếu F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G x( ) ( )=F x C+ cũng là một nguyên hàm của f (x) trên K

Định lí 2 Nếu F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K thì mọi nguyên hàm của

f (x) trên K đều có dạng G x( ) ( )=F x C+ với C là hằng số

Định lí 3. Mọi hàm số f (x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K

Tính chất của nguyên hàm:

- ∫ f '(x)dx f (x) C= + với C là hằng số

- ∫kf (x)dx k f x dx= ∫ ( ) với k là hằng số khắc 0

- ∫f (x) g(x) f (x)dx+  =∫ f x dx( ) ±∫g x dx( )

Bảng nguyên hàm

Chú ý: Công thức tính vi phân của f (x) là d f x ( ) = f ' x dx( ) Ví dụ du u'.dx= , dt t'.dx=

với u,t là hàm theo biến x

Với u là một hàm số

dx C=

dx x C= +

α

+

-+

α

+

-+

1

dx ln x C

∫1

Trang 3

x x

e dx e= +C

x

lna

∫

cosxdx sinx C= +

sinxdx= -cosx C+

dx tanx C

1

dx cot x C

1

Các phương pháp tính nguyên hàm

 Phương pháp 1 Sử dụng bảng nguyên hàm:

cos x

2

1

Lời giải.

5

x

+

∫ 2

3 2

1

2 trên khoảng (0;+∞)

Lời giải

3

=2 3+3 13 + = 2 3+33 +

Ví dụ 3 Tính ∫ (3cosx-3x- 1)dx trên khoảng (-∞ +∞; )

Lời giải

Ta có ( cosx x )dx cos xdx x dx sinx- x dx C sinx x C

ln

Ví dụ 4 Tính e x dx

x

+

Lời giải

Ta có e x dx dx e e dx ln x e.e C x x

+

Trang 4

 Phương pháp 2 Đổi biến số

Ví dụ 5 Tính sin x dx

cos x

Phân tích Để ý khi ta đặt t cosx= ⇒dt=d cosx( )= -sin xdx, ta cần phải chuyển tất cả về theo biến t Muốn như vậy ta biến đổi sin x2 = - 1 cos x2 = - 1 t2

Lời giải

Ta có: sin x dx ( cos x sinx) dx

-=

2 3

1

, đặt t cosx= ⇒dt=d cosx( )= -sin xdx Lúc này

3

1

Ví dụ 6 Tính x dx

x

-+

∫2 11

Phân tích Khi nguyên hàm có dạng phân thức bậc tử lớn hơn hoặc bằng bậc mẫu ta thường

dùng phép chia đa thức để giải

Lời giải

Đặt: t=2x+ ⇒1 dt=2dx⇒dx=dt

2 ,

x

+

 Phương pháp 3 Nguyên hàm từng phần

Chú ý:

- Các loại hàm cơ bản: hàm logarit, hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ

- Khi nguyên hàm có dạng tích hai hàm nhân nhau ta thường sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần

- Thứ tự đặt u là logarit, đa thức, lượng giác, mũ (đọc tắt là lô đa lượng mũ), sau khi đặt u

thì toàn bộ lượng còn lại đặt là dv

Ví dụ 7 Tính ln sinx( )

dx cos x

∫ 2

Lời giải

Đặt u ln sinx( ) du cosx dx

sinx dx

cos x







Trang 5

Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần ta có:

( )

dx tanx.ln(sinx) tanx dx tanx.ln(sinx) x C

sinx

Ví dụ 8 Tính ∫cos xdx

Lời giải

t x

2

t costdt= t costdt

∫2 2∫ , tiếp tục dùng nguyên hàm từng phần để giải quyết

dv costdt v sint

⇒

  , áp dụng công thức nguyên hàm từng phần ta được:

cos xdx= t costdt= t.sint- sintdt= t.sint+ cost+C=2 x.sin x+ cos x C+

Chú ý: Khi đặt dv f (x)dx= ta tính v theo công thức v=∫ f (x)dx, chắc hẳn nhiều em

sẽ hỏi sau khi tính xong sẽ có thêm hằng số C nhưng tại sao ở các ví dụ trên lại không thấy C, thật ra là người ta đã chọn C = 0

Phần II: TÍCH PHÂN

 Định nghĩa Cho hàm số y f (x)= thỏa mãn:

- Liên tục trên đoạn a;b

- F(x) là nguyên hàm của f (x) trên đoạn a;b

Lúc đó hiệu số F(b) F(a)- được gọi là tích phân từ a đến b và kí hiệu là b ( )

a

f x dx F(b) F(a)=

Chú ý:

- a,b được gọi là 2 cận của tích phân

- a b= thì a ( )

a

f x dx =

- a b> thì b ( ) a ( )

f x dx= - f x dx

- Tích phân không phụ thuộc vào biến số tức là b ( ) b ( )

f x dx= f t dt F(b) F(a)=

 Tính chất của tích phân:

f (x)dx= f (x)dx+ f (x)dx

∫ ∫ ∫ với a c b< <

kf (x)dx k f (x)dx=

∫ ∫ với k là hằng số khác 0

f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx

Chú ý: Để tính tích phân từ a đến b, ta tiến hành tìm nguyên hàm rồi sau đó thay cận vào

theo công thức ∫b f x dx F(b) F(a)( ) =

Trang 6

-Ví dụ 1 Tính tích phân I x dx

x

=

-∫7 2

2 3

Lời giải

Đặt t= x2 - ⇒ 3 t2 =x2 - 3

tdt xdx

Đổi cận: x= ⇒ =2 t ;x1 = 7 ⇒ =t 2

Ta được I t dt dt t

t

=∫2 =∫2 = 2 =

1

Chọn đáp án D

Chú ý: Khi tích phân có căn ta thường đặt ẩn phụ t bằng căn

Ví dụ 2 Tính tích phân 2 5

0

( cos )sin

π

A 7

9

Lời giải

sin sin cos

Đặt

Khi đó: 2

0

sin

π

=

0

π

Đặt t=cosx⇒dt = -sinxdx Đổi cận 2 10

0

t

x

t x

π

 =



Khi đó

1

2

1 sin cos

t

x xdx t dt t dt

π

 

= - = =  =

 

6 6

I = + =

Chọn đáp án A.

Ví dụ 3 Tính tích phân sau: I ( )lnx dx

x

=∫3 2 1

1

A. ( )ln

I =

2

3

3 B ( )ln

I = 3

3 C. ( )ln

I =

3

3 D ( )ln

I =

3

2 3

Lời giải

Đặt u lnx du dx

x

Trang 7

Đổi cận : x= ⇒ = 1 u 0 ;x= ⇒ = 3 u ln3

ln u

I= ∫ u du= =

3 3

2

3

Chọn đáp án C

Ví dụ 4 Tính tích phân I= ∫5x3 (x2 + )dx

0

4

A.I = 53

15 C I = 253

7 D I = 253

15

Lời giải

Đặt t= x2+4 Suy ra t2 =x2 + 4 Do đó tdt xdx=

Suy ra I=∫3(t2 - )t.tdt=∫3(t4 - t )dt2

I =t - t  = + =

3

5 3

2

Ví dụ 5 Tính tích phân I=∫1x x( 2 + +e dx x)

0

1

A.I= 2 2 2

-3 B.I= 2 2 1+

3 C.I= 2 2 2+

3 D I= 2 3 2+

3

Lời giải

Có I=∫1x x( 2 + +e dx x) =∫1x x2 + dx+∫1xe dx I x = +I

1 2

Đặt t= x2 + ⇒ 1 t2 =x2 + 1⇒tdt xdx=

Đổi cận: x= ⇒ =0 t 1;x= ⇒ =1 t 2

Suy ra I = ∫t dt=t =

-2

2 1

2 2 1

Đặt u x x du dx x

dv e dx v e

 , suy ra I2 =xe x10 -∫1e dx x

0

x

e e

= - 1 =

0 1

Vậy I= 2 2 2+

3

Trang 8

Ví dụ 6 Tính tích phân sau: e ( )

e

x lnx

xlnx

=∫

A.I=e4 -e2 + + 2 ln2

2 B.I =e4-e2 - + 1 ln2

2

C.I =e4-e2 + + 1 ln2

2 D I=e4-e2 + + 1 ln3

2

Lời giải

e e

x

∫

2

( )

e e

2

e e

I= 4- 2 + + 1 ln2

2

Chú ý: dx d lnx( )

1

Ví dụ 7 Tính tích phân I x e x dx

x

∫2

1

A.I e= 2 - 1 B.I e= 2 C.I e= 2 + 1 D I e= 2 - 2

Lời giải

x

I=∫2xe dx-∫2dx I I= - 1 2

Đặt: u x x du dx x

dv e dx v e

⇒ = 2-∫2 = 2 - - 2 = 2

1

2

I2 =x2 =

1 1 ⇒ =I e2 - 1

Chọn đáp án A

Ví dụ 8 Tính tích phân I=∫1x x2 + dx

0

A.I = 7

9 B.I = 2

9 C.I = 4

9 D I = 5

9

Lời giải

Đặt t= 3x2 + ⇒ 1 t2 = 3x2 + ⇒ 1 tdt= 3xdx

Trang 9

Đổi cận: x= ⇒ = 0 t 1, x= ⇒ = 1 t 2

I= ∫2t dt2 =

1

3

t3 2 = 1

7

Ví dụ 9 Tính tích phân 2( )

0

2 sin3

π

= ∫

-A 7

9 B 7

8 C 7

9

- D 107 Lời giải

sin 3

u x

=

-

 =

3

du dx

x v

=





 =

-

0 0

2 cos3 1 cos3

π π

0 0

2 cos3 sin 3

I

Chọn đáp án C.

Ví dụ 10 Tính tích phân I=∫e x( +lnx dx)

1

A.I= 3e2+1

4 B.I= 3e2-2

4 D I= 3e2-1

4

Lời giải

Đặt: u= + 1 lnx; dv xdx= Suy ra du dx; v x

x

2

Khi đó: I= x2( +lnx)e- ∫e xdx

1 1

( )e e

1 1

1

e

-= 3 2 1 4

Ví dụ 11 Tính tích phân sau: I x( cos2x dx)

π

=∫4 +

0

2

A.I= 3π2 + -π 1

16 8 4 B.I= 3π2 +π

16 8 C.I= 3π2 + -π 3

16 8 4 D I= 3π2 + -π 1

Lời giải

Đặt: u x,= dv=(2 +cos x dx2 ) Suy ra: du dx,= v= 2x+ 1sin x2

Trang 10

I x x sin x x sin x dx x cos x

π

0

I= 3π2 + -π 1

Ví dụ 12 Tính tích phân: I x dx

-+

=

+ +

∫1 2 1

1

A.I=2 3 2( - ) B.I=2 3 4( - ) C.I=2 3 1( - ) D I=2 3 3( - )

Lời giải

Đặt: u= x2 + + ⇔x 1 u2 =x2 + + ⇒x 1 2udu=(2x+ 1)dx

Đổi cận: x= - ⇒ = 1 u 1; x= ⇒ =1 u 3

( )

udu

u

-1

Ví dụ 13 Tính tích phân I x lnxdx

x

-=∫2 22 1

1

A.I= 5ln2- 3

2 2 B.I= 5ln2- 1

2 2 C.I= 5 2 1ln

-2 D I= 5ln2

2

Lời giải

Đặt u lnx x du x dv



=

2 2

1

2

1

= +  - - 

2

1

Ví dụ 14 Tính tích phân I x dx

x

+

=

-∫5 2

2

1 1

A.386

15 B.38515 C.38415 D 387

15

Lời giải

Đặt: t= x- ⇒ + = ⇒1 t2 1 x dx=2t.dt

Đổi cận: x= ⇒ = 2 t 1; x= ⇒ = 5 t 2

Trang 11

(t )

t

=∫2 2 2

1

1 1 2 =∫2( t4 + t2 + )dt

1

2 4 4 = t + t + t =

2

5 3

1

Ví dụ 15 Tính tích phân: I sinx dx

cos x

π +

=∫3 2 0

1

A. I = 3 1 + B. I = 3 3 + C. I = 3 2 + D I = 3 1

Lời giải

cos x

π

+

∫

1 2

3

0 0

Đặt t cos x= ⇒dt= -sin xdx

Suy ra Suy ra I dt

t t

1 2

2 2

1

2 1

Vậy I = 3 1+ Chọn đáp án A.

x

+

∫1

1

2

A.I= 4 2 +ln3 B.I=4 3+ln3 C.I= 4 2 +ln2 D I= 2 2 +ln3

Lời giải

x

+

1

2

Tính: I (x ) dx

-=∫1 + 12

1

1 3 2 1

Tính: I2 =ln x( + )-1

1

2 =ln3

Vậy: I = 4 2 +ln3

+

∫

1

Ví dụ 17 Tính tích phân I x dx

x

+

= +

∫1

0

A.I= + 1 2 ln3

2 B.I= + 1 1 ln3

2 C.I= - 1 2 ln3

2 D I= + 1 2 ln2

2

Trang 12

Lời giải

+

x

+

0 0

1 2

1 1

0

1

2 = + 12 2ln3

Ví dụ 18 Tính tích phân: I=∫1(x e+ 2x)xdx

0

A.I = e2 + 7

4 11 B.I = e2 + 7

4 12 C.I = e2 + 5

4 12 D I = e2 + 1

4 12

Lời giải

I=∫1 x e+ 2 xdx=∫1x dx2 +∫1xe dx I2 = +I

1 2

x

I =∫x dx= =

1

2

1

Tính I =∫1xe dx2x

2

0

Đặt u x= ⇒du dx= ; dv e dx= 2x ⇒ =v 1e2x

2

x

I = .e2 1 - ∫1e dx2 = 2 - 2 1 = 2 +

2

Vậy I I= +1 I2 =e2 + 7

4 12

Chọn đáp án B

Ví dụ 19 Tính tích phân:I e lnx xdx

x

1

A.I = e3

2 B.I = e

2 C.I = e2

3 D I = e2

2

Lời giải

( )

e

x x

lnx dx lnxd lnx ln x

x

xdx

e

I

|

-• =

∫

2

2 1

2 2 1 1

2

1

2

Trang 13

Ví dụ 20 Tính tích phân I e lnxdx.

x x

∫ 2 1

1 1

A.I e

e

2 B.I e

e

2 C.I e

e

+

2 D I e

e

2

Lời giải

Ta có: I e lnx dx e lnx dx

1 1

+ I e lnx dx e lnxd(lnx)

x

1

1 1

e

ln x

1

+ Tính I e lnx dx

x

=∫

2 2

1

Đặt u lnx, dv dx du dx,v

x

e

e e

lnx

1 1 1

Vậy I e

e

-= 3 4

2

Ví dụ 21 Tính tích phân:

I

=

-∫

11 3

2 1 3 2

A.I= + 4 ln3

3 2 B.I= + 2 ln1

3 2 C.I= + 2 ln3

3 2 D I= + 2 ln5

Lời giải

Đặt t= 3x- ⇒2 t2 =3x- ⇒2 2tdt=3dx⇒dx= 2tdt

3

x= ⇒ =2 t 2; x= 11 ⇒ =t 3

3

(x )xdx x t t dt t t dt

+

2 2

Ví dụ 22 Tính tích phân: I x x cosx dx( )

π

=∫2 +

0

A.I=π3 +π

24 2 B.I=π3 + +π 2

24 2 C.I=π3 + -π 1

24 2 D I=π3 + -π 2

24 2

Lời giải

Ta có: I x dx xcosxdx

=∫2 2 +∫2

Với I x dx x

π

=∫2 2 = 3 2 = 3

Trang 14

Với I xcosxdx

π

=∫2

2

0

Đặt u x dv cosxdx= ⇒du dx v sinx=

I xsinx sinxdx cosx

π

0

1

Vậy I=π3 + -π 1

24 2

Ví dụ 23 Tính tích phân sau: I ( x sinx cosxdx)

π

=∫2 +

0

2

A.I π= - 3

2 B.I= π C.I π= - 1

2 D I π= + 3

2

Lời giải

I sinx.cosxdx xcosxdx

2

( )

I sinx.cosxdx sinx.d sinx sin x

1

0

I xcosxdx

π

=∫2

2

0

2

dv cosxdx v sinx

I xsinx sinxdx

π π

2 0

0

2

Ví dụ 24 Tính tích phân I (x sin x cosx dx)

π

=∫2 + 2 0

A.I=π - 2

2 3 B.I=π - 5

2 3 C.I=π + 2

2 3 D I=π - 1

2 3

Lời giải

I xcosxdx sin xcosxdx I I

1 2

Đặt u x du dx

dv cosxdx v sinx





π

0

1

Trang 15

( ) sin x

I sin xd sinx

2

1

I=π - 2

2 3

Ví dụ 25 Tính tích phân: I=∫1(x+ ) (e x- )dx

0

A.I e= - 9

2 B.I e= - 3 C.I e= + 9

2 D I e= - 3

2

Lời giải

( x ) ( x )

1

( ) ( x ) ( x )

⇒ = + - 10-∫1

-0

(x ) (e x x) e x x  e

1

0

Chú ý: v=∫ (e x- 3) (dx= e x- 3x)+C, chọn C = 0

Ví dụ 26 Tính tích phân: I=∫1 x x ln( + +x) dx

0

A.I = 2

3 B.I = 7

6 C.I = 5

6 D I = 11

6

Lời giải

Ta có: I=∫1 x x ln( + +x) dx =∫1 x dx2 +∫1 xln( +x)dx I I= +

1 2

Tính: I =∫1 x dx2 = x3 1 =

0

2

Tính: I2 =∫1 xln( +x)dx

0

Đặt u ln( x) du x dx



+

1 1

1

ln  x x ln( x)

0

Vậy: I = + =2 1 7

3 2 6

Trang 16

Ví dụ 27 Tính tích phân sau: I x lnx dx.

x

+

1

2 1

A.I ln= 10 - 3

4 B.I ln= 10 - 1

4 C.I ln= 10 - 5

4 D I ln= 10 + 1

4

Lời giải

x

+

1

Tính: I2 =∫2xlnxdx

1

Đặt u lnx dv xdx du x dx

x v



 =



2

1 2

I = 2.lnx2 -∫2 dx= ln

1

3

2 2

Vậy I ln= 5+ln2- = 3 ln10- 3.

Ví dụ 28 Tính tích phân I=∫e x x( 2 +lnx dx)

1

2

A.I= 2e 4+e2

4 B.I= 2e 4+e2-1

4 C.I= 2e 4 +e3

4 D I = 2 e 4

4

Lời giải

I=∫x x +lnx dx= ∫x dx+∫xlnxdx

( )

e e

3

x dx= x = e

1 1

Ta có: e xlnxdx x lnx e e x dx e x e e

x

I=∫x x +lnx dx= e4 - + 2 + = + 2

-1

Ví dụ 29 Tính tích phân I=∫3x x - ln x( - )dx

2

A.I = 45

2 B.I= 8 2ln C.I= 45 8 2 - ln

2 D I= 45 8 2 + ln

2

Lời giải

( )

I=∫3 x dx2 -∫3 xln x- dx x= 33- =I -I

2

Trang 17

( )

I1 =∫3 xln x- dx

2

Đặt u ln x( )

-



=



1

2 , Suy ra I x ln x( ) x d ln x( ( ) ) ln x dx

x

1

3

x

2

3

2

Vậy I= 45 8 2 - ln

2

Ví dụ 30 Tính tích phân I x ln x dx

x

+

=∫2 2 2

1

A.I = ln32

3 B.I = 3

2 C.I = +3 ln32

2 3 D I = +5 ln32

Lời giải

Ta tách tích phân I như sau: I xdx ln x dx

x

=∫2 +∫2 2

1 1

I = xdx=x =

∫

2

1

3

I ln x dx

x

=∫2 2

2

1

Đặt t lnx dt dx

x

Đổi cận: x= ⇒ = 2 t ln ; x2 = ⇒ = 1 t 0

ln ln

I = ∫ t dt= =

2

Vậy I I= +1 I2= + 3 ln32

Ví dụ 31 Tính: I x .x lnx dx

x

=

1

A.I= - 1 ln 5- 1 - 11

3

5 5 B.I= - 1 ln 5+ 1 + 11

3

C.I= 1 ln 5- 1 + 11

3

5 5 D I= - 1 ln 5- 1 + 11

3

Lời giải

5

Trang 18

lnx dx lnx dx ln ln

Do đó: I= - 1 ln 5- 1 + 11

3

Ví dụ 32 Tính tích phân: I=π∫x x sinx dx( + )

0

A.I= 1 π 3 + π

4

Lời giải

I=π∫x dx2 +π∫xsinxdx =π∫x dx2 -π∫xd(cosx)

( )

x π xcosx π πcosxdx

0

π

= 3 + +

0

1 3

Ví dụ 33 Tính tích phân: I=∫2( x+ ).lnxdx

1

A I=16 3 4ln - B I=14 2 6ln + C I=14 2 6ln - D I=16 2 6ln

Lời giải

Đặt u lnx dv ( x )dx du v x x dx x



1

Khi đó I ( x x lnx) x x dx

x

+

= 2 + 2-∫2 2

1 1

( )

ln

-2 2 1

14 2 10 4

14 2 6

Chọn đáp án C.

Ví dụ 34 Tính tích phân sau: I x sinx dx

x

+

0

2 1

A ln(π 2 + 2)= π B ln(π 2 + 1)+ π C ln(π 2 + 1)- π D ln(π 2 + 1)

Lời giải

x

Trang 19

Tính x d x( ) ( ) ( )

1

0

Tính I xsinxdx

π

=∫

2

0

Đặt x u sinxdx dv= ⇒du dx v = cosx

I2 = -x.cosxπ +π∫cosxdx= +π sinxπ =π

0

Vậy I ln(= π 2 + 1)+ π

Chọn đáp án B.

Ví dụ 35 Tính tích phân sau: I x( sin x)dx

π

=∫2 +

0

A I=π+ 2

3 C I=π π+ 2

4 D I =π π+ 2

4

Lời giải

Ta có: I xdx xsin xdx x xsin xdx xsin xdx

=∫2 +∫2 = 2 2 +∫2 = 2 +∫2

0

4

Tính J xsin xdx

π

=∫2

0

2 Đặt

du dx

u x

dv sin xdx v cos x

=

π

Vậy I=π2+π

4

Chọn đáp án D.

Ví dụ 36 Tính tích phân sau: I x dx

x

+

=

∫1

0

A I= 28 2 3 + ln

27 3 2 B.I= - 2 28 3ln

3 27 2 C.I= 28 2 3 - ln

27 3 2 D I= - 3 28 2ln

2 27 3

Lời giải

Đặt: 3x+ =1 t ta được x=t23-1⇒dx=23tdt

Đổi cận: x= ⇒ =0 t 1;x= ⇒ =1 t 2

+

∫2 3 ∫2 2

ln

= 28 2 3

-27 3 2

Trang 20

Ví dụ 37 Cho tích phânI x lnx dx

x

-=∫2 3 2 1

2 Đáp án nào sau đây đúng:

A lnx

x

- 2

1

- +21 ∫2 2

1

x +21 ∫2x2

1

x

∫2 2 1

1

Lời giải

2

3

Tính: J lnx dx

x

=∫2 2 1

Đặt: u lnx,dv dx

x

= = 12 Khi đó du dx,v

= 1 = - 1

= - 2+∫2 2

1 1

Ví dụ 38 Tính tích phân: I=∫1( -x)e dx x

0

Lời giải

Đặt u x x

dv e dx

 =

-

 =



1 ta có du x dx

v e

 =

-

 =



Suy ra: I (= -x)e x10 +∫1e dx x

0

1 = -( x)e x1 +e x1

0 0

1

I = e – 2

Chọn đáp án D.

Ví dụ 39 Tính tích phân I x e dx x

x

+

∫1 2 0

2

A I= - 1 ln2 B I= + 1 ln2 C I= + 2 ln2 D I= + 1 ln3

Lời giải

+ Tính được I x dx ln

x

+

∫1

1 2 0

1

+ Tính được I2 =∫1xe dx x =

0

1

+ Tính đúng đáp số I = 1 +ln2

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	819,02 KB