giúp học sinh có kiến thức, có kĩ năng giải thành thạo các dạng toán giải phương trình vô tỉ

Do vậy trong quá trình giảng dạy, giáo viên cần thông qua hệthống bài tập để học sinh nắm được khái niệm về phương trình vô tỉ, có kỹ năng thành thạo, vận dụng những kiến thức đã học khi

Trong chương trình toán THCS, SGK không đưa ra lí thuyết

cụ thể về phương pháp giải phương trình vô tỉ, nhưng trong hệthống bài tập lại có đề cập đến Các bài toán dạng này có nhiềutrong các loại sách phát triển, nâng cao, đề thi học sinh giỏi, đề thivào trường chuyên và PTTH Do đó cần phải hướng dẫn cho họcsinh Lớp 9 biết cách giải các bài tập dạng này

Do vậy trong quá trình giảng dạy, giáo viên cần thông qua hệthống bài tập để học sinh nắm được khái niệm về phương trình vô

tỉ, có kỹ năng thành thạo, vận dụng những kiến thức đã học khigiải chúng, đặc biệt giúp các em tránh được sai lầm trong khigiải toán loại này

Để giúp học sinh có kiến thức, có kĩ năng giải thành thạo cácdạng toán giải phương trình vô tỉ, trong quá trình giảng dạy bảnthân tôi đã hệ thống lại các phương pháp và bài tập để vận dụng.Rất mong được sự quan tâm, đóng góp ý của đồng nghiệp để đềtài mang lại hiệu quả cao trong việc ứng dụng vào thực tế giảngdạy.

II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU:

1, Thực trạng:

- Đa số HS trong lớp là con em gia đình thuần nông, ngoài giờ

học trên lớp các em còn phải lao động phụ giúp gia đình Do đócác em rất ít thời gian tự học ở nhà

- Một số học sinh coi nhẹ việc học, lười học dẫn đến hổng kiếnthức ở các lớp dưới và không nắm vững kiến thức trên lớp

- Một số phụ huynh chưa quan tâm đúng mức đến việc học củacon em mình

- Một số em gia đình có hoàn cảnh kinh tế khó khăn, không có tàiliệu, sách nâng cao để nghiên cứu Do đó có ảnh hưởng rất nhiềuđến việc học của các em

- Đa số học sinh chưa nắm vững khái niệm và kiến thức để giải

phương trình vô tỉ Học sinh vận dụng các kiến thức đã học vàogiải phương trình vô tỉ còn hạn chế, chưa nắm vững các phươngpháp giải phương trình vô tỉ

- Với mỗi bài toán giải phương trình vô tỉ, nhiều học sinh khôngxác định được cách làm, không biết áp dụng phương pháp nào

- Một số ít học sinh nắm được phương pháp giải một vài dạngbài tập về phương trình vô tỉ nhưng trong quá trình thực hiện cònhay nhầm dấu, sai điều kiện hoặc không có điều kiện Dẫn đếnbài giải chưa hoàn chỉnh

2, Kết quả của thực trạng trên:.

Qua khảo sát 34 học sinh lớp 9A trường THCS Phúc Thịnh Ngọc Lặc về giải phương trình vô tỉ, thu được kết quả như sau:Tổng

- Thông qua các tài liệu giảng dạy, tài liệu tham khảo, phân tích

so sánh, vận dụng và thực nghiệm trong các tiết dạy Từ đó rút raphương pháp dạy phù hợp với việc đổi mới SGK hiện nay

II CÁC BIỆN PHÁP ĐỂ TỔ CHỨC THỰC HIỆN:

Có nhiều phương pháp giải phương trình vô tỉ, mỗi phươngpháp thường phù hợp với một dạng bài nhất định Tuy nhiênkhông loại trừ khả năng một phương trình chứa căn thức có thểgiải theo nhiều cách khác nhau

Để giúp học sinh nắm vững kiến thức về giải phương trình vô

tỉ, trong quá trình giảng dạy, tôi đã cho học sinh nắm được một sốphương pháp giải phương trình vô tỉ thông qua nhiều dạng bài tập

Để phù hợp với mọi đối tượng học sinh trong lớp tôi giới thiệu cácphương pháp giải thông qua hệ thống bài tập đã được sắp xếp từ

dễ đến khó và đặc biệt phải cho học sinh nắm vững các kiến thức

cơ bản sau:

- A có nghĩa  A 0

- Hằng đẳng thức A2 = A

-  2

A = A với mọi A - A = A nếu A  0 - A Nếu A < 0 - Các hằng đẳng thức đáng nhớ: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (1)

(A - B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (2)

A 2 - B 2 = (A -B)(A + B) (3)

(A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 (4)

(A - B 3 = A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3 (5)

A 3 + B 3 = (A + B)(A 2 - AB + B 2 ) (6)

A 3 - B 3 = (A - B)(A 2 + AB + B 2 ) (7)

1, Phương trình dạng   2

)

(x

f = g(x) và   2

)

(x

)

(x

h = g(x): Cách giải: Đưa phương trình về dạng chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.

* f (x) 2 g(x) f ( x) = g(x) (Phương trình này đã học ở lớp 8)

4 2

Tập nghiệm của phương trình (1) là: S =   2 ; 6 

Hình thành cho học sinh phương pháp giải các phương trình

chứa căn thức mà biểu thức dưới dấu căn có dạng của hằng đẳng thức A2 thì đưa về phương trình có ẩn trong giá trị tuyệt đối và giải tiếp như đã làm ở các lớp dưới.

Để học sinh giỏi có thể phát huy khả năng của mình, tôi ra

thêm các bài tập sau:

Trong bài này đòi hỏi học sinh phải biến đổi biểu thức trong

dấu căn thành dạng bình phương của một nhị thức rồi mới tiếp tục giải như các bài tập trước.

 x 3 = 3x - 1

* Nếu x + 3  0  x  - 3, ta được: x + 3 = 3x - 1  x = 2(TMĐK)

* Nếu x + 3 < 0  x < - 3, ta được: - x - 3 = 3x -1  x = - 0,5không thoã mãn x < - 3 nên không phải là nghiệm

Tập nghiệm của phương trình (2) là: S =   2

1

1  x  x  x 1 31 Hai vế đều không âm, bình

phương hai vế ta được: x - 1 = 91  x = 109 Thoã mãn 1 x 2

Tập nghiệm của phương trình (3) là: S = 





 9 10

Để giải được phương trình (3) này đòi hỏi học sinh phải sáng

tạo trong việc biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng bình phương một biểu thức đó là thêm bớt cùng một lượng Cũng qua bài tập lưu ý học sinh việc đặt điều kiện cho các biểu thức có nghĩa.

Ví dụ 4:

Giải phương trình : x 2  2x 5  x 2  2x 5  7 2 (4)

Yêu cầu học sinh nhận xét về phương trình (4), nó có gì giống

và khác với phương trình (3) Có thể áp dụng cách giải phươngtrình (3) để giải được không ? Việc biến đổi biểu thức dưới dấucăn về dạng bình phương có gì khó khăn ?

Nếu học sinh không tự giải được giáo viên giúp đỡ các embằng gợi ý Nhân hai vế của phương trình (2 ) với 2

Giải: Với x 25 ta có (3)  2x 4  2 2x 5  2x 4  2 2x 5  14

14 1 5 2 1

Tập nghiệm của phương trình (4) là: S = {27}

Qua ví dụ này lưu ý học sinh cần linh hoạt trong quá trình biến

đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng bình phương một biểu thức đôi khi phải thêm bớt hoặc nhân cả hai vế với cùng một số khác 0.

Ví dụ 5:

Giải phương trình: x2  4x 4  4  4 xx  2 ĐK : x 0 (5)  x 2  2  x  2

 x 2  2  x  2 (5’)

* Nếu x 2 thì (5’)  x 2  x  0

Đến đây học sinh có thể giải phương trình này bằng cách đặt ẩnphụ x X  0 để đưa về phương trình bậc hai hoặc phân tích vếtrái thành tích đưa về phương trình tích và giải được x = 1 ( loại )

x g x f x g

* f (x)+ g (x) = h(x) và f (x) + g (x)= h (x) Tìm điều có nghĩa của phương trình: 





 0 )

(

0 )

(

0 )

(

x h x g x f

Giải phương trình rồi đối chiếu với điều kiện để loại nghiệm không thích hợp Nghiệm thích hợp là nghiệm của phương trình đã cho.

Tập nghiệm của phương trình (6) là: S = {16}

Đây là phương trình có chứa căn thức dưới dấu căn, không

có dạng bình phương một biểu thức nên ta biến đổi chúng bằng cách bình phương hai vế của phương trình Khi bình phương hai

vế cần chú ý đặt điều kiện để căn thức có nghĩa và điều kiện để bình phương hai vế không âm Có thể khắc sâu điều này bằng ví

dụ sau:

Ví dụ 7:

Giải phương trình: x 3 x 5 (7)

Nếu chỉ đặt điều kiện cho căn thức có nghĩa tức x 3 Sau khibình phương hai vế và giải ta được : x - 3 = ( x - 5 )2

0 28

Thật vậy : Với x = 4 , vế trái bằng 1 còn vế phải bằng -1

Do vậy để tránh sai lầm trên ta có thể làm theo hai cách Thửlại các kết quả tìm được hoặc đặt điều kiện để hai vế không âm rồimới bình phương

Đối với học sinh khá nên cho học sinh tìm hiểu vì sao xuấthiện nghiệm ngoại lai x2 = 4 ? Phương trình nào là phương trình

hệ quả ? Bài tập trên nên giải như sau :

x 3 x 5 (7)

Điều kiện để căn thức có nghĩa với x 5 thì phương trình (7)

2

) 5 (

x2 = 4 không thoả mãn ĐK x 5 nên bị loại

Tập nghiệm của phương trình là: S =   7

Sau khi khắc sâu cho học sinh những vấn đề trên, cho học sinhluyện tập bằng những ví dụ khác ở mức độ khó hơn.

Ví dụ 8:

Giải phương trình 2x 3  x 1  1 ĐK x  1 (8)

Nếu tiến hành bình phương 2 vế ngay thì học sinh sẽ vấp phảikhó khăn đó là đặt điều kiện cho 2 vế không âm tương đối phứctạp để đơn giản nên chuyển  x 1 sang vế phải, lúc bấy giờ ta cóphương trình với hai vế đều không âm:

x

x x

x 1  2  7 

2  2x 1  2x 7  x

 2x + 1 = 2x - 7 + x + 2 2 ( 2x 7 )

 8 - x = 2 2 ( 2x 7 ) (9’)

* Nếu 8 - x < 0 hay x > 8 phương trình vô nghiệm

* Nếu 7/2  x  8 thì cả hai vế của (9’) đều không âm, bìnhphương hai vế ta có: 64 - 16x + x2 = 4x(2x - 7)  7x2 - 12x - 64

= 0

Giải phương trình này ta được:

x1 = 4 thoả mãn đk x72

x2 = - 167 không thoả mãn đk x27 (loại)

Vậy phương trình (9) có nghiệm duy nhất: x = 4

Qua hai bài tập trên học sinh thấy, đôi khi nâng lên luỹ thừahai lần mới khử hết căn Cần lưu ý nâng luỹ thừa bao giờ cũngphải đặt điều kiện để hai vế phương trình không âm

Cần lưu ý học sinh có những bài đặt điều kiện cho các căn thức có nghĩa tương đối phức tạp, trong những trường hợp đó ta cần giải từng điều kiện rồi kết hợp chúng trên trục số.

Điều kiện là các giá trị của x thoả mãn hệ :

2

0 1

0 6

8 2

2 2

x x

x x

x x x

x x

; x = -257 loại vì không thoảmãn x 1 ;x  1 (loại)

Tập nghiệm của phương trình (10) là: S = {-1; 1}

3, Một số dạng phương trình vô tỉ khác thường gặp:

Cách giải: Đặt ẩn phụ hoặc đưa về dạng giải hệ phương trình hoặc kết hợp cả hai cách.

y

y y

5 2

y

y y

Tập nghiệm của phương trình (11) là: S = { 41; - 41}

Trên cơ sở học sinh có khái niệm về phương pháp đặt ẩn phụ,

cần cho học sinh làm một số bài tập khác đòi hỏi sự sáng tạo trong qua trình đặt ẩn phụ.

Giải phương trình ta được: t1 = 2 (TMĐK), t2 = - 1/2 (loại)

Với t1 = 2, ta giải phương trình: 2 4 5



 x

x = 2  x2 - 4x - 9 = 0 Phương trình có hai nghiệm: x1 = 2 + 13, x2 = 2 - 13

6 7 1

x x

x

Bây giờ ta phải kiểm tra xem các giá trị x = - 1 ; x = - 6 có thoảmãn đk căn thức có nghĩa hay không Cách kiểm tra :

* Với x = - 1 ta có x2 + 7x +7 = (-1)2 + 7(-1) + 7 = 1 > 0(TMĐK)

* Với x = - 6 ta có x2 + 7x +7 = 1 > 0(TMĐK)

Tập nghiệm của phương trình (13) là: S = {- 6; -1}

3 3

3 2 3

2

Y X Y

X Y

Y

X Y

Y X

Tập nghiệm của phương trình (14) là: S = {3}

Ngoài cách giải như trên bài tập này còn có cách giải bằngphương pháp bất đẳng thức tức là sử dụng tính đối nghịch ở hai vếcủa phương trình

Cụ thể : Ta nhận thấy x = 3 là nghiệm của phương trình Bâygiờ ta chứng minh x > 3 và -1 x 3 đều không phải là nghiệmcủa phương trình

Thật vậy : Với x > 3 thì 3 x 2  1 và x 1  2 suy ra vế trái lớnhơn 3 còn vế phải bằng 3 suy ra phương trình vô nghiệm

Với -1 x 3 thì 3 x 2  1 và x 2  2 suy ra vế trái nhỏ hơn 3;

vế phải bằng 3 Vậy phương trình vô nghiệm

Do đó x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình (14).

Phương pháp này tương đối khó đối với học sinh, do đó ta có thểcho các em làm thêm một vài bài tập tương tự để giúp học sinhhiểu rõ hơn về phương pháp này

Phương pháp đặt ẩn phụ và phương pháp hệ phương trình dùng để giải được nhiều dạng phương trình vô tỉ như dạng 1 và dạng 2 đã nêu ở trên Vì vậy, khi giảng dạy, giáo viên nên khuyến khích học sinh lựa chọn cách giải nhanh gọn nhất.

2

2 u v v u

Giải hệ, ta được: u1 = 2 (TMĐK), u2 = - 12 (loại)

Với u1 = 2 ta giải phương trình: x 1 = 2 (x  1)  x = 5

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x = 5

C KẾT LUẬN

I KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU:

Với những kinh nghiệm như vừa trình bày ở trên, sau khinghiên cứu và áp dụng giảng dạy ở bộ môn Toán 9, bản thân vàđồng nghiệp thấy trình độ học sinh được nâng lên rõ rệt Học sinh

đã nhận dạng thành thạo phương trình chứa căn thức và đứngtrước một phương trình chứa căn thức các em đã biết lựa chọnphương pháp giải phù hợp Mức độ đạt được cụ thể là:

II KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT:

Với những kiến thức về phương trình vô tỉ được đề cập trong

SGK Toán 9 không đáp ứng được đầy đủ nhu cầu của các em

Vì vậy, để HS học tốt phần này, cần phải kết hợp các tài liệu,sách báo tham khảo Đặc biệt là hình thành cho HS thói quen nhìnnhận bài toán, từ đó có phương pháp giải phù hợp Do đó, bảnthân tôi có một số kiến nghị đề xuất sau:

- Thư viện cần tăng cường bổ sung thêm sách tham khảo, sáchnâng cao để đáp ứng nhu cầu học tập của HS

- Cung cấp đầy đủ tranh ảnh, đồ dùng trực quan, dụng cụ đo đạcđối với bộ môn toán nói riêng và các bộ môn khác nói chung

- Lắp đặt hệ thống máy chiếu sử dụng trong các tiết dạy để đạthiệu quả tốt hơn

Do năng lực bản thân có hạn và do một số khó khăn mang lại,chắc chắn đề tài tôi nghiên cứu còn nhiều thiếu xót và hạn chế.Rất mong được sự đóng góp ý kiến chân thành của đồng nghiệp

và các cấp lãnh đạo

Tôi xin chân thành cảm ơn !