Phương trình vô tỷ và cách giải một số dạng toán về phương trình vô tỷ

Ngoài ra, trong quá trình thực hiện khóa luận em còn nhận được sựgiúp đỡ nhiệt tình của: Ban giám hiệu Trường Đại Học Tây Bắc, các thầy cô trong khoa Toán-Lý-Tin, các bạn sinh viên K53-Đ

LỜI CẢM ƠNTrong quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, em nhận được

sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo hướng dẫn khoa học Tiến sĩ HoàngNgọc Anh, giảng viên khoa Toán-Lý-Tin, trường Đại học Tây Bắc Emxin bày tỏ sự cảm ơn chân thành tới thầy

Ngoài ra, trong quá trình thực hiện khóa luận em còn nhận được sựgiúp đỡ nhiệt tình của: Ban giám hiệu Trường Đại Học Tây Bắc, các thầy

cô trong khoa Toán-Lý-Tin, các bạn sinh viên K53-ĐHSP Toán cũng nhưgia đình và bạn bè đã tạo những điều kiện thuận lợi, động viên và giúp đỡ

em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này

Trong quá trình thực hiện, khóa luận này không tránh khỏi những thiếuxót, rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và cácbạn sinh viên để khóa luận được hoàn thiện hơn

Cuối cùng em xin chúc các thầy cô giáo sức khỏe, công tác tốt, chúccác bạn sinh viên mạnh khỏe thành công trong học tập

Sơn La, tháng 05 năm 2016Người thực hiện khóa luận

Nguyễn Lệ Quyên

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn khóa luận 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Đóng góp khóa luận 2

7 Cấu trúc khóa luận 3

NỘI DUNG KHÓA LUẬN 4

Chương 1.MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 4

1 Phương trình 4

1.1. Định nghĩa 4

1.2. Các phép biến đổi tương đương phương trình 6

2 Phương trình vô tỷ 9

2.1. Định nghĩa Định lý cơ bản về căn số 9

2.2. Các định lý tương đương cơ bản 10

2.3. Các bước giải phương trình vô tỉ (dạng chung) 11

Chương 2.CÁCH GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 12

1 Các dạng phương trình vô tỉ cơ bản và cách giải 12

1.1. Dạng pf(x) = g(x) 12

1.2. Dạng pf(x) + ph(x) = g(x) 13

1.3. Dạng pf(x) + ph(x) = pg(x) 14

1.4. Dạng pf(x) + ph(x) = pg(x) + pk(x) 15

1.5. Dạng pf(x) + ph(x) + npf(x).h(x) = g(x) 16

1.6. Một số bài tập tự luyện 17

2 Phương pháp giải phương trình vô tỷ 19

2.1. Phương pháp hữu tỷ hóa 19

2.2. Phương pháp đưa về hệ đối xứng 31

2.3. Phương trình giải bằng phương pháp so sánh 36

2.4. Phương pháp ứng dụng các tính chất của hàm số 40

2.5. Một số bài tập tự luyện 42

3 Một số phương pháp để giải phương trình vô tỷ chứa tham số 44

3.1. Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương 44

3.2. Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ 45

3.3. Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ 47

3.4. Sử dụng phương pháp hàm số 48

3.5. Một số bài tập tự luyện 51

KẾT LUẬN CHUNG 53

TÀI LIỆU THAM KHẢO 54

MỞ ĐẦU

Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản mang tính trừutượng, nhưng mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọilĩnh vực của đời sống Tuy nhiên, nó là một môn học khó, khô khan và đòihỏi ở mỗi học sinh phải có nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức đó.Phương trình là một mảng kiến thức quan trọng trong chương trìnhToán phổ thông Giải phương trình là bài toán có nhiều dạng và giải rấtlinh hoạt, với nhiều học sinh kể cả học sinh khá, giỏi nhiều khi còn lúngtúng trước việc giải một phương trình, đặc biệt là phương trình vô tỷ.Phương trình vô tỷ là một lớp các bài toán có vị trí đặc biệt quantrọng trong chương trình toán học bậc phổ thông Trong những năm gầnđây, phương trình vô tỷ thường xuyên xuất hiện nhiều trong các kì thi họcsinh giỏi cũng như kì thi tuyển sinh vào đại học Học sinh phải đối mặtvới rất nhiều dạng toán về phương trình vô tỷ mà phương pháp giải chúnglại chưa được liệt kê trong sách giáo khoa Nó là một trở ngại không nhỏkhiến cho nhiều học sinh không ít ngỡ ngàng và bối rối khi giải các loạiphương trình này Vì vậy, việc trang bị cho học sinh những kiến thức liênquan đến phương trình vô tỷ kèm với phương pháp giải chúng là rất quantrọng

Như chúng ta đã biết, phương trình vô tỷ có nhiều dạng và phươngpháp giải khác nhau Việc tìm phương pháp giải phương trình vô tỷ làniềm say mê của không ít người, đặc biệt là những người đang trực tiếpdạy toán Chính vì vậy, để đáp ứng nhu cầu giảng dạy, học tập và mongmuốn tìm hiểu, nghiên cứu sâu về vấn đề này, tôi đã chọn đề tài khóa luận:

"Phương trình vô tỷ và cách giải một số dang toán về phương trình vô tỷ"

2 Mục đích nghiên cứu

- Xây dựng tài liệu tham khảo chuyên để phương trình vô tỷ

- Giúp học sinh có được hướng tiếp cận dễ dàng hơn, nắm bắt nhanh

và hiểu sâu hơn khi gặp các dạng toán về phương trình vô tỷ

- Nâng cao sự hiểu biết và hiệu quả học tập của bản thân

- Nghiên cứu một số kiến thức cơ bản về phương trình vô tỷ

- Hệ thống các phương pháp giải cơ bản lớp các phương trình vô tỷ

- Trình bày phương pháp giải và biện luận phương trình vô tỷ có chứatham số

Phương trình vô tỷ và cách giải một số dạng phương trình vô tỷ

- Nghiên cứu tài liệu

7 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung củakhóa luận gồm 2 chương:

Chương 1: Một số kiến thức cơ sở

Nội dung của chương này là nhắc lại các kiến thức cơ bản nhất vềphương trình, phương trình vô tỷ

Chương 2: Cách giải một số dạng toán về phương trình vô tỷ

Đây là nội dung chính của khóa luận Trong chương này, tôi trình bày

về thuật toán của mỗi phương pháp trong từng dạng toán cụ thể, đưa racác ví dụ minh họa và các bài tập áp dụng

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 Định nghĩa

Cho hai hàm số của n biến thực x1, , xnlà f (x1, , xn) và g(x1, , xn)

Ta gọi bộ n số thực x = (x1, , xn) ∈ Rn là một điểm trong không gianthực n chiều Rn Khi đó, các hàm số

f (x1, , xn) và g(x1, , xn)được xem là các hàm một biến f (x), g(x) trong Rn

Ta định nghĩa phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến dạng

f (x) = g(x) (1)trong đó, f (x) và g(x) là những biểu thức chứa x Ta gọi f (x) là vếtrái, g(x) là vế phải của phương trình (1) Nếu coi f và g là hàm của nbiến trong không gian thực R thì (1) là phương trình của n ẩn x1, , xn

• Giả sử f (x), g(x) có tập xác định lần lượt là D1, D2 thì D = D1∩ D2gọi là tập (miền) xác định của phương trình (1)

• Nếu x0 ∈ D sao cho f (x0) = g(x0) là một mệnh đề đúng, thì x0 đượcgọi là một nghiệm của phương trình (1)

• Giải phương trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó, tập hợp cácnghiệm của phương trình kí hiệu là S

S = {x0 ∈ D : f (x0) = g(x0})

a) Phương trình vô nghiệm nếu tập nghiệm S của phương trình (1)

Trong tất cả các định nghĩa trên, thay cho trường R, ta có thể lấy mộttrường số K bất kỳ (có thể là Q, C) làm trường cơ sở Khi đó cần chú ýrằng tập hợp nghiệm của phương trình phụ thuộc vào trường cơ sở

2) Giải và biện luận phương trình chứa tham số, nghĩa là xem xét vớigiá trị nào của tham số thì phương trình vô nghiệm, có nghiệm và tìm cácnghiệm đó

Chẳng hạn, (m2+ 1)x + 5 = 0 và x2+ (m + 1)x + 2 = 0 là các phươngtrình ẩn x, chứa tham số m

1.2 Các phép biến đổi tương đương phương trình

1.2.1. Các định nghĩa

a) Phương trình tương đương

Định nghĩa 1.1 Hai phương trình được gọi là tương đương với nhau khichúng có cùng tập nghiệm

Khi hai phương trình f (x) = g(x) và f1(x) = g1(x) tương đương vớinhau ta dùng kí hiệu

f (x) = g(x) ⇔ f1(x) = g1(x)

Ví dụ 1.2 Hai phương trình x − 2 = 0 và √

3 − x = x − 1 tương đươngvới nhau vì cùng có nghiệm duy nhất là x = 2

Chú ý 1.1 1 Nếu theo định nghĩa trên thì hai phương trình vô nghiệmcũng được coi là tương đương với nhau vì có cùng tập hợp nghiệm đó

là tập hợp rỗng

2 Sự tương đương của hai phương trình có tính chất phản xạ, đối xứng,bắc cầu, nghĩa là thỏa mãn các tính chất của một quan hệ tương đươngtrên tập tất cả các phương trình

3 Sự tương đương của các phương trình phụ thuộc vào trường cơ sở.b) Phương trình hệ quả

Định nghĩa 1.2 Nếu mọi nghiệm của phương trình f (x) = g(x) đều lànghiệm của phương trình f1(x) = g1(x) thì phương trình f1(x) = g1(x)được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f (x) = g(x)

Khi phương trình f1(x) = g1(x) là hệ quả của phương trình f (x) = g(x)

ta dùng kí hiệu

Ví dụ 1.3 Phương trình (x2 − 1)(x − 2) = 0 là phương trình hệ quả củaphương trình x2 − 1 = 0.

1.2.2. Các định lý về phương trình tương đương

Định lý 1.1 Cho phương trình f (x) = g(x) Nếu biểu thức h(x) có nghĩatrong tập xác định của phương trình đã cho thì

f (x) = g(x) ⇔ f (x) + h(x) = g(x) + h(x) (1.1)Chứng minh Trong (1.1) thay x bằng một giá trị a nào đó thuộc tập xácđịnh của phương trình f (x) = g(x) thì ta có

f (a) = g(a) ⇔ f (a) + h(a) = g(a) + h(a)

là một mệnh đề luôn luôn đúng, là một tính chất của đẳng thức

Hệ quả 1.1 Có thể chuyển các hạng tử từ vế này sang vế kia của phươngtrình, nhưng phải đổi dấu của nó, tức là:

f (x) + h(x) = g(x) ⇔ f (x) = g(x) − h(x)Nói cách khác, chuyển vế và đổi dấu một biểu thức của một phươngtrình ta được một phương trình tương đương

Hệ quả 1.2 Mọi phương trình đều có thể đưa về dạng mà vế phải bằngkhông Vì vậy, ta luôn có thể ký hiệu phương trình là F (x) = 0

Chú ý 1.2 Điều kiện h(x) có nghĩa trên tập xác định của phương trình

f (x) = g(x)chỉ là điều kiện đủ nhưng không cần

Nói khác đi, nếu có điều kiện ấy thì các phương trình trong (1.1) làphép biến đổi tương đương, còn nếu không có điều kiện ấy thì hai phươngtrình trên có thể tương đương hoặc có thể không

và khác không trong tập xác định của phương trình đã cho thì

f (x) = g(x) ⇔ f (x)h(x) = g(x)h(x) (1.2)Chứng minh Trong (1.2) thay x bằng một giá trị a nào đó thuộc tập xácđịnh của phương trình f (x) = g(x) thì ta có

f (a) = g(a) ⇔ f (a)h(a) = g(a)h(a)

là một mệnh đề luôn luôn đúng, là một tính chất của đẳng thức

Định lý 1.3 Nếu nâng hai vế của một phương trình lên một lũy thừabậc lẻ thì ta được một phương trình tương đương với phương trình đã cho(trên trường số thực).

Chứng minh

Thật vậy, nếu a là nghiệm của phương trình f (x) = g(x), tức là

f (a) = g(a) là đúng thì ta có:

[f (a)]2k+1 = [g(a)]2k+1, k ∈ Nnghĩa là a cũng là nghiệm của phương trình

[f (x)]2k+1 = [g(x)]2k+1Đảo lại, nếu a là nghiệm của phương trình [f (x)]2k+1 = [g(x)]2k+1thì [f (a)]2k+1 = [g(a)]2k+1 là đẳng thức đúng

Do đó, f (a) = g(a) cũng là đẳng thức đúng, hay a là nghiệm của

2.1 Định nghĩa Định lý cơ bản về căn số

Định nghĩa 2.1 Ta gọi mọi phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn thức

là các phương trình vô tỷ

Hay nói khác đi, đó là một phương trình dạng f (x) = 0 trong đó:

• f (x) là hàm số đại số vô tỷ (thực sự có chứa căn thức của biến số);

• x có thể là một biến (khi đó phương trình có một ẩn);

• x có thể xem là n biến với x = (x1, , xn) ∈ C (khi đó phương trình

có n ẩn)

Trong lý thuyết căn số có định lý cơ bản sau đây:

Định lý 2.1 Căn số bậc n của một số phức (a ∈ C, a 6= 0) có n giá trịphức phân biệt

• Mọi số thực âm (a ∈ R, a < 0) không tồn tại căn thức thực bậc chẵnbất kỳ

• Mọi số thực dương (a ∈ R, a > 0) có hai căn thức thực bậc chẵn đốinhau, trong đó giá trị dương của căn thức được gọi là căn số số học

và được kí hiệu bởi 2k√

a

• Mọi số thực khác không đều có một căn bậc lẻ thực duy nhất cùngdấu với nó Căn bậc n bất kỳ của số 0 trên mọi trường đều bằng 0.Như vậy,

(Với k là số tự nhiên khác không)

2.2 Các định lý tương đương cơ bản

Định lý 2.2.

2k+1p

f (x) = g(x) ⇔ f (x) = g2k+1(x)Định lý 2.3

2k+1p

f (x) = 2k+1p

g(x) ⇔ f (x) = g(x)Định lý 2.4

2.3 Các bước giải phương trình vô tỉ (dạng chung)

Để giải phương trình vô tỷ ta tìm cách khử dấu căn Cụ thể:Bước 1: Tìm điều kiện (tập xác định) của phương trình

Bước 3: Biến đổi đưa phương trình về dạng phương trình đã học.Bước 3: Giải phương trình vừa tìm được

Bước 4: So sánh kết quả với điều kiện (tập xác định) và kết luận

Chương 2 CÁCH GIẢI MỘT SỐ DẠNG

TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ

Ví dụ 1.1 Giải phương trình

√

x + 1 = x − 1 (1.1)Giải

[g(x)]2 − f (x) − h(x) ≥ 0 (3)Bình phương hai vế của phương trình (2) được phương trình mới đãbiết cách giải.

So sánh nghiệm với điều kiện (1) và điều kiện (3) rồi kết luận

Ví dụ 1.2 Giải phương trình

√

x + 3 +√

x − 2 = 5 (1.2)Giải:

Với điều kiện (*) phương trình có hai vế không âm nên ta bình phươnghai vế ta có:

(1.2) ⇔ 2x + 1 + 2p(x + 3)(x − 2) = 25

⇔ 2p(x + 3)(x − 2) = 24 − 2x (1.2∗)Điều kiện để (1.2*) có nghĩa: 12 − x ≥ 0 ⇔ x 6= 12 (∗∗)

Bình phương hai vế của (1.2*) ta được:

(1.2∗) ⇔ x2 + x − 6 = 144 − 24x + x2 ⇔ 25x = 150 ⇔ x = 6

Ta thấy, x = 6 thoả mãn điều kiện (*) và (**)

Vậy nghiệm của phương trình là x = 6

1.3 Dạng pf(x) +ph(x) = pg(x)

Dạng này chỉ khác dạng pf(x) +ph(x) = g(x) ở vế phải là pg(x)nên cách giải tương tự như dạng trên

Với (*) thì hai vế của phương trình (1.3*) không âm ta bình phươnghai vế, ta được:

Ta thấy, x2 = 8 thỏa mãn điều kiện (*)

Vậy phương trình (1.3) có nghiệm: x = 81.4 Dạng pf(x) + ph(x) = pg(x) + pk(x)

Sơ đồ lời giải:

Với điều kiện (*) thì phương trình (1.4) có hai vế không âm, biến đổi

và bình phương hai vế, ta được:

Với điều kiện (*) phương trình (1.4*) có hai vế không âm nên ta bìnhphương hai vế, ta có:

⇔ 6x2 + 8x + 2 = 4x2 + 12x

⇔ 2x2 − 4x + 2 = 0

⇔ x2 − 2x + 1 = 0

⇔ x = 1Thử lại, thấy x = 1 thỏa mãn phương trình (1.4)

Vậy nghiệm của phương trình là x = 1Nhận xét 1.1 1 Nếu phương trình pf(x) + ph(x) = pg(x) + pk(x)

Sơ đồ lời giải:

2 (*)

⇔ t2 + t − 12 = 0 (1.5∗∗)Phương trình (1.5**) có hai nghiệm là t1 = 3; t2 = −4.

Vì t = 3 thoả mãn t > 0 thay vào phương trình (1.5*) , ta được:

2px2 − x − 2 = 9 − 2x + 1

⇔px2 − x − 2 = 5 − x (1.5∗∗∗)Điều kiện của (1.5***): x ≤ 5 (∗∗)

Giải phương trình (1.5***) ta có x = 3 thoả mãn điều kiện (*) và (**)

Vậy nghiệm của phương trình là x = 3

2 Phương pháp giải phương trình vô tỷ

Không phải bất cứ một phương trình vô tỷ nào cũng có thể đưa vềđược một trong 5 dạng trên nên sau đây tôi sẽ cung cấp thêm các phươngpháp giải phương trình vô tỉ

2.1 Phương pháp hữu tỷ hóa

Nhìn chung để giải phương trình vô tỷ ta thường quy về phương trìnhhữu tỷ để giải Ta thường dùng các phương pháp sau đây để đưa các phươngtrình vô tỷ về phương trình hữu tỷ mà ta có thể gọi các phương pháp này

là "hữu tỷ hoá"

2.1.1. Sử dụng các phép biến đổi tương đương

Nội dung chính của phương pháp này là luỹ thừa hai vế với số mũ phùhợp Để làm mất căn bậc n thì ta nâng cả hai vế lên luỹ thừa n Nếu chẵnthì chỉ thực hiện được khi hai vế của phương trình là không âm

Một số phép biến đổi tương đương thường gặp

f (x) = g(x) ⇔ f (x) = g2k+1(x)

Ví dụ 2.1 Giải phương trình

1 + 23

p

x + x2 = √

x +√

1 − x (2.1)

Giải Điều kiện

Kết hợp với điều kiện bài ra, ta có x = 0; x = 1 là nghiệm phươngtrình

Ví dụ 2.2 (Hoc sinh giỏi quốc gia năm 2000) Giải phương trình

q

4 − 3√

10 − 3x = x − 2 (2.2)Giải Ta có





2 ≤ x ≤ 4(x − 3)(x3 − 5x2 + x + 30) = 0

Vậy x = 3 là nghiệm của phương trình

2.1.2. Thực hiện phép nhân liên hợp để đơn giản việc tính toán

Ta đã biết nếu x = x0 là nghiệm của phương trình f (x) = 0 thì điều

đó P1(x) là đa thức với degP1 = degP − 1

Nếu x0 là một nghiệm của phương trình f (x) = 0 thì ta có thể đưaphương trình f (x) = 0 về dạng (x−x0)f1(x) = 0 và khi đó việc giải phươngtrình f (x) = 0 quy về phương trình f1(x) = 0

Biến đổi phương trình về dạng sau 2(x − 3) + (√

x + 6 − 3√

x − 2) = 0.Vấn đề còn lại của chúng ta là phải phân tích √

x + 6 − 3√

x − 2 = 0

để có thừa số (x − 3) Ta có (x + 6) − 9(x − 2) = −8(x − 3), điều này giúp

ta liên tưởng đến hằng đẳng thức a2 − b2 = (a + b)(a − b) Ta biến đổi

(x − 3)(2 − √ 8

x − 6 + 3√

x − 3) = 0Đến đây ta chỉ cần giải phương trình

x − 6 + 3√

x − 3 = 0hay

√

x − 6 + 3√

x − 3 = 4Phương trình này có một nghiệm x = 11 − 3

√5

2 , x =

11 + 3√

52Vậy phương trình có nghiệm là x = 3 và x = 11 − 3

√5

Ví dụ 2.4 (Đề thi đề nghị Olympic 30-4 THPT Thái Phiên, Đà Nẵng).Giải phương trình

1 + 3√

x

√ − 1 = 0 (2.4)

Giải Điều kiện

ẩn phụ để tìm nghiệm rồi thay vào biểu thức vừa đặt để tìm nghiệm theo

ẩn ban đầu

Với phương pháp này ta tiến hành theo các bước sau

Bước 1 Chọn ẩn phụ và tìm điều kiện xác định của ẩn phụ

Đây là bước quan trọng nhất, ta cần chọn biểu thức thích hợp để đặt

làm ẩn phụ Để làm tốt bước này ta cần phải xác định được mối quan hệcủa các biểu thức có mặt trong phương trình Cụ thể là, phải xác địnhđược sự biểu diễn tường minh của một biểu thức qua một biểu thức kháctrong phương trình đã cho.

Bước 2 Chuyển phương trình ban đầu về phương trình theo ẩn phụvừa đặt và giải phương trình này

Thông thường sau khi đặt ẩn phụ thì những phương trình thu được

là những phương trình đơn giản hơn mà ta đã biết cách giải

Bước 3 Giải phương trình với ẩn phụ đã biết để xác định nghiệmcủa phương trình đã cho

Nhận xét rằng, có rất nhiều cách để đặt ẩn phụ Ta sẽ mô tả một sốcách đặt ẩn phụ qua ví dụ sau đây

Ví dụ 2.5 Giải phương trình

1 + 23

Với t = 2, ta có √

x +√

1 − x = 2 vô nghiệm

Vậy x = 0 hoặc x = 1 là nghiệm của phương trình

Ta nhận thấy cách giải trên dựa theo mối liên hệ đó là đẳng thức(2.5*)

Ngoài ra, ta có thể ta có thể tạo ra mối quan hệ khác giữa các đốitượng tham gia phương trình theo cách sau

Cách 2 Từ phương trình đã cho ta có thể rút ra được một căn thứctheo biểu thức chứa căn còn lại là √

x)2 + (√

1 − x)2 = x + 1 − x = 1 (2.5∗∗)

ta thu được phương trình t(t − 1)(2t2 − 4t + 3) = 0 có nghiệm t = 0 và

t = 1, hay x = 1, x = 0 là nghiệm của phương trình đã cho

Cách 3 Nhận xét rằng phương trình đã cho chỉ chứa tổng và tíchcủa hai biểu thức chứa căn và chúng thỏa mãn (2.5**), do đó ta có thểđặt √

Tiếp tục nhận xét, ta thấy đẳng thức (2.5**) giúp ta liên tưởng đếnđẳng thức lượng giác sin2α + cos2α = 1 Điều này dẫn đến cách giải sau.Cách 4 Đặt x = sin2t , với t ∈

h0; π2

i(Điều này hoàn toàn hợp lí vì

x ∈ [0; 1] nên ứng với mỗi giá trị của x xác định duy nhất một giá trị của