Phương trình lượng giác

Tài liệu Ôn thi Đại HọcLỜI NÓI ĐẦU Các em học sinh thân mến!. Bằng kinh nghiệm của bản thân, tôi viết tài liệu này ngõ hầu trang bị thêm cho các em những kiến thức, kĩ năng, phương pháp

Tài liệu Ôn thi Đại Học

LỜI NÓI ĐẦU

Các em học sinh thân mến!

Chắc rằng tất cả các em đều có mơ ước thành đạt trên con đường học vấn; Tuy nhiên không phải dễ dàng bởi trước tiên các em phải bước vào được ngưỡng của Đại học, điều mà không dễ ai cũng làm được

Bằng kinh nghiệm của bản thân, tôi viết tài liệu này ngõ hầu trang bị thêm cho các em những kiến thức, kĩ năng, phương pháp giải các phương trình lượng giác, giúp các em tự tin trước khi bước vào trường thi;

Mong rằng với kinh nghiệm của tôi cộng với lòng đam mê, khát khao của các em sẽ giúp các

em thành đạt trên đường học vấn

- Phần II: Phương pháp giải

- 1- Phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác 6-8 2- Phương trình đưa về phương trình đối xứng đối với sinx và cosx 8-11 3-Phương trình đưa về phương trình đẵng cấp bậc n đối với sinx và cosx 10-12

4-Phương trình lượng giác dùng công thức hạ bậc 12-14

5-Phương trình lượng giác đưa về dạng chuẩn dùng công thức nhân ba 14-16

6-Phương trình lượng giác dùng phương pháp đặt ẩn phụ 16-21

7- Phương trình lượng giác dùng phương pháp so sánh 21-25

8- Tìm nghiệm của phương trình thoả mãn điều kiện cho trước 25-27 9- Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước

27-29

10- Giải và biện luận phương trình lượng giác theo tham số 29-31

12- Một số bài toán dùng nhiều phép biến đổi lượng giác để đưa vế phương trình tích có

Nhâm Thìn 2012

Hoàng Kim Dĩnh

Tài liệu Ôn thi Đại Học

PHẦN I :TÓM TẮT GIÁO KHOA

I/ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1) Dấu của hàm số lượng giác

Phần tưHSLG

I

0<α<ð/2

IIð/2<α<ð

III

ð<α<3ð/2

IV3ð/2<α<2ð

α

α

cos

sin , α≠

2

π

k∈Z

x

2sin

1 = 1 + cot2α , α≠ kð, k∈Z

x

2cos

1 = 1 + tan2α , α≠

2

π

+ kð, k∈Z

3) Cung liên quan đặc biet a) Cung đối nhau :

cos(-α) = cosα ; sin(-α) = - sinα ; tan(-α) = -tanα ; cot(-α) = -cotα

d) Cung hơn kém nhau ð

sin (ð+α) = -sinα ; cos (ð+α) = -cosα ; tan(ð+α) = tanα ; cot(ð+α) = cotα ;

e) Cung hơn kém nhau

b a

b a

tantan1

tantan

−

+

; tan(a-b) =

b a

b a

tantan1

tantan

+

−

cot(a+b) =

b a

b a

cotcot

1cotcot

+

−

; cot(a-b) =

b a

b a

cotcot

1cotcot

Tài liệu Ôn thi Đại Học tan2a =

a a

a

tantan1

tan2

; cos2a =

2

2cos

sin3a =

4

3sinsin

; cos3a =

4

3coscos

8) Công thức biến đổi a- Tích thành tổng :

sinacosb=[sin(a-b)+sin(a+b)]/2 cosacosb=[cos(a-b)+cos(a+b)]/2 sinasinb=[cos(a-b) -cos(a+b)]/2

b

a−

;cosa + cosb = 2cos

2

b

a+

cos2

b

a−

;tana + tanb =

b a

b a

coscos

)sin( +

; tana - tanb =

b a

b a

coscos

)sin( −

cota + cotb =

b a

b a

sinsin

)sin( +

; cota - cotb =

b a

b a

sinsin

)sin( −

) = 2 cos(x +π4

)

II/ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1-Phương trình lượng giác cơ bản

Với u, v biểu thức của ẩn x

sinu = sinv ⇔  ==π+− + π

π

2 v

u

k2 v

u

k2 v

=

+

≠π

ππ

l v u

k v

=

+

≠π

π

l v u

k v u, 2-Phương trình trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

a) Dạng : asinx + b = 0 (1) với a≠0, b ∈ R

Tài liệu Ôn thi Đại Họcacosx + b = 0 (2)

atanx + b = 0 (3)acotax + b = 0 (4)

b) Cách giải :

(1) ⇔ sinx =

-a b

π

)(4) ⇔ cotx = -

a

b

, x ≠ kð

⇔ cotx = cotv , v ∈ (0,ð)

3 -Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

a) Dạng : asin 2x + bsinx + c = 0 (5) với a, b,c ∈ R

acos 2x + bcosx + c = 0 (6)atan 2x + btanx + c = 0 (7)acot 2x + bcotx + c = 0 (8)

b) Cách giải : Đặt t = cosx , sinx , tanx, cotx

(5),(6),(7),(8) ⇔ at2 + bt + c = 0 (9)

là phương trình bậc hai đối với t, giải phương trình (9) ta tìm tbiết t ta suy ra x với lưu ý :

t = cosx, sinx thì /t/ ≤ 1

4 -Phương trình bậc nhất đối với sin, cos

a) Dạng : asinx + bcosx = c (10) với a, b,c ∈ R

b) Cách giải :

Cách 1 Chia hai vế cho a2 +b

Đặt cosv = 2 2

b a

c

+

⇔ Sin(x + v) = 2 2

b a

⇔ sinx cosv + sinv cosx =

Tài liệu Ôn thi Đại Học

(10) ⇔ (b+c)t2 – 2at +c – b = 0 phương trình bậc hai theo t

6 -Phương trình đối xứng đối với sin, cos

a) Dạng : a(sin x + cosx) + bsinx cosx + c = 0 (11) với a, b,c ∈ R

a/sin x + cosx/ + bsinx cosx + c = 0 (12)

b) Cách giải : Đặt t = sin x + cosx = 2 sin(x+

Chú ý Tương tự với các phương trình gần đối xứng

a(sin x - cosx) + bsinx cosx + c = 0 (13)a/sin x - cosx/ + bsinx cosx + c = 0 (14)Đặt t = sin x - cosx = 2 sin(x-

6 -Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin, cos

a) Dạng : asin 2x + b sinx cosx + c cos2x + d = 0 (15), với a, b,c,d ∈ R

; cos2a =

2

2cos

; sin2x = 2 sinx cosx

ta được phương trình bậc nhất đối với sin2x, cos2x đã biết cách giải

⇔ (a+d) tan2x + b tanx + c +d = 0

là phương trình bậc hai theo tanx đã biết cách giải

Chú ý - Tất cả các PT đã nêu ở trên gọi là các phương trình chuẩn mực

Tài liệu Ôn thi Đại Học

- Không được cộng độ và radian với nhau Thí dụ không được viết

x = 900 + kð mà phải viết x =

2

π

+ kð hoặc x = 900 + k3600

- Phải chỉ rỏ các giá trị k, l, m, n … trong nghiệm

- Cần nhớ gía trị đặc biệt của các hàm lượng giác để làm toán cho nhanh

PHẦN II : PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

1) Phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Bài 1 Giải các phương trình sau :

a) 2 + cos2x = -5sinx (Đề thi ĐHQG Hà Nội 97 khối D)

b) cos2x + 3cosx + 2 = 0 (Đề thi ĐH Đà Nẵng 97 khối D)

c) cos2x + sinx +1 = 0 (Đề thi ĐH Đà Lạt 2001 khối D)

d)

x

x

sin1

cos

− = 1 + sinx (Đề thi ĐH Huế 97 khối D1)

e) 5cosx−cos2x + 2sinx = 0 (Đề thi ĐHSP Hà Nội 97 )

f) 3sinx + 2/cosx/ - 2 = 0 (Đề thi ĐH Thủy sản 2000)

= 1 – 2sinx (Đề thi ĐH Công Đoàn 2001 )

Trước khi giải các phương trình này các em hãy đọc qua tất cả các phương trình để tập nhận xét, rồi nhận dạng trên cơ sở đó chọn cách biến đổi sử dụng công thức thích hợp cho từng phương trình để chuyển từng phương trình về dạng bậc hai đối với một hàm lượng giác

Bài giải

a) 2 + cos2x = -5sinx Nhận xét : Chỉ chứa sinx, cos2x ta nghĩ ngay ra rằng biến đổi cos2x về sinx bằng công thức nhân đôi cos2x=1-2sin2x thì ta được phương trình bậc hai theo sinx

Giải

2 + cos2x = -5sinx ⇔ 2 + (1 – 2sin2x ) = -5 sinx ⇔ 2sin2x – 5sinx – 3 = 0 (1) ;(1) là phương trình bậc hai đối với sinx , ta đã biết cách giải bằng cách đặt t = sin x , /t/ ≤ 1 ta được phương trình bậc hai : 2t2 – 5t – 3 = 0 ⇔ 

π

ππ

k x

k x

26/

26/

ππ

k x

k x

26/7

26/(k∈ Z)Vậy : Nghiệm của phương trình là :  ==−π ++ π

ππ

k x

k x

26/7

26/

, (k∈ Z)

b) cos2x + 3cosx + 2 = 0

Nhận xét : Phương trình chỉ chứa cosx và cos2x nên ta sử dụng công thức nhân đôi cos2x = 2cos2x – 1 thì ta được phuơng trình bậc hai theo cosx :

cos2x + 3cosx + 2 = 0 ⇔ 2cos2x –1 + 3cosx +2 = 0

Hong Kim Dĩnh Trang : 6

Tài liệu Ôn thi Đại Học ⇔ 2cos2x + 3cosx +1 = 0 (các em tự giải tiếp)c) cos2x + sinx +1 = 0

Nhận xét : Phương trình chỉ chứa cos2x và sinx ta biết ngay biến đổi cos2x = 1-sin2x

ta được phương trình bậc hai theo sinx (các em tự giải)d)

x

x

sin1

cos

− = 1 + sinx (*)

Nhận xét Đây là phương trình có chứa ẩn ở mẫu số nên trước tiên ta phải đặt điều kiện, sau

đó ta thấy nếu quy đồng thì vế phải là : 1 – sin2x = cos2x , phương trình trở thành phương trình bậc hai theo cosx

 Với điều kiện trên (*) ⇔ cosx = 1-sin2x ⇔ cosx = cos2x

⇔ cos2x- cosx = 0 ⇔ cosx(1-cosx)= 0

 coscosx x==10

 Ta thấy cosx = 0 không thỏa mãn điều kiện sinx ≠ 1

 Với cosx = 1 ta có : cosx = cos0 ⇔ x = 2kð , (k∈ Z)Vậy : Nghiệm phuơng trình : x = 2kð , (k∈ Z)

e) 5cosx−cos2x + 2sinx = 0 (*)

Nhận xét Phương trình có ẩn trong căn bậc hai, nên thường ta tìm cách làm mất căn bậc hai, nếu ta chuyển 2sinx về vế phải rồi bình phương thì ta được phương trình chứa cosx, cos2x, sin2x dễ dàng chuyển về phương trình bậc hai theo cosx, tuy nhiên chúng ta lưu ý rằng :

A = B ⇔ A = B2 , B ≥ 0

Giải

x

x cos2cos

5 − + 2sinx = 0 ⇔ 5cosx−cos2x = - 2sinx

⇔ 5cosx – cos2x = 4sin2x (1) , sinx ≤ 0(1) ⇔ 5cosx –(2cos2x – 1) =4(1-cos2x)

2/1cos

ππ

23/

23/

k x

k x

, (k∈ Z)

Do sinx ≤ 0Vậy : Nghiệm của phương trình là x = -

3

π

+ k2ð , (k∈ Z)f) 3sinx + 2/cosx/ - 2 = 0 (*)

Nhận xét Phương trình có ẩn trong gí trị tuyệt đối , nên thường ta tìm cách phá giá trị tuyệt đối bằng định nghĩa, nhưng đối với bài toán này ta có thể bình phương thì quá trình giải đơn giản hơn:

Giải(*) ⇔ 2(/cosx/ - 1) = -3sinx

⇔ 4(/cosx/ - 1)2 = 9sin2x (1) , 0 ≤ sinx(1) ⇔ 4cos2x –8/cosx/ + 4 = 9(1-cos2x)

 13/cosx/2 –8/cosx/ - 5 = 0

 /cosx/=1, hoặc /cosx/=-5/13 (loại)

 x = kð ,(k∈ Z) thỏa mãn 0 ≤ sinxVậy Nghiệm của phương trình là x = kð ,(k∈ Z)

Tài liệu Ôn thi Đại Học g) tan2x =

GiảiĐiều kiện : cosx ≠0(*) ⇔ sin2x = cosx(1+cosx)

1cos

π

+ 2lð (k,l,m∈ Z)

x = - 3

π

+2mð h) cos(2x +

0sin

x

x

 sinx = 0  x=kð (k ∈ Z)

Vậy Nghiệm của phương trình là : x= kð (k ∈ Z)

Bài 2 Giải các phương trình sau : (các em tự giải)

a) cos2x + sin2x + 2cosx + 1 = 0 (Đề thi ĐH – khốiA 76 )

2-Phương trình đưa về phương trình đối xứng đối với sinx và cosx

Nều trong phương trình chỉ có sinx+cosx và sin2x thì ta đưa về phương trình đối xứng đối với sinx và cosx.

Lưu ý Khi đặt t=sinx+cosx , /t/ ≤ 2 thì :

sinx cosx = (t2-1)/2 và một số biểu thức đối xứng cần nhớ sin3x + cos3x = (-t3 + 3t) /2 ; sin4x + cos4x = (-t4 +2t2 +1)/2

Hong Kim Dĩnh Trang : 8

Tài liệu Ôn thi Đại Học

Đương nhiên vì sinx và cosx đều có thể biểu diễn theo t=tan

2

x nên ta có the biểu diễn phương trình theo t , rồi giải tìm được t, ta sẽ đưa về dạng cơ bản tan

2

x

=m.

Bài 3 Giải các phương trình sau :

a) sinx cosx = 6(sinx+cosx-1)

b) sinx cosx +2sinx +2cosx =2 (Đề thi ĐH Huế 2000 - A)

c)

12sin

sincos

+

+

x

x x

=1 (Đề thi ĐH DL VL 1997)

d) sin2x +4(cosx-sinx) =4 (Đề thi Tây Nguyên 2000 - D)

e) sinx – cosx +7sin2x =1 (Đề thi ĐH DL Đông Đô 1997)

Nhận xét Đây là phương trình đối xứng đối với sinx, cosx rất rõ ràng, ta chỉ cần thực hiện theo đúng cách giải thì không khó khăn gì

sinx cosx = 6(sinx+cosx-1)

+

=+

ππ

ππ

ππ

π

24/4

/

24/4/

l x

k x

π

22/

2

l x

k x

(k,l,m∈ Z)

b) sinx cosx +2sinx +2cosx =2

sinx cosx +2sinx +2cosx =2

⇔ sinx cosx +2(sinx +cosx) =2 ( cách giải như trên )

c)

12sin

sincos

+

+

x

x x

=1Nhận xét : Phương trình chỉ chứa sinx + cosx và sin2x ta đặt t như trên Tuy nhiên lưu ý chứa ẩn ở mẫu số nên trước khi giải cần đặt điều kiện sin2x ≠1

Giải

 Điều kiện : sin2x ≠1

 Với điều kiện trên phương trình viết lại :

 cosx + sinx = sin2x + 1

Tài liệu Ôn thi Đại Học

4

π

) = sinx - cosx và sin2x , sau khi biến đổi ta

có phương trình giống bài d,e (Các em tự giải)

g) /sinx+cosx/+3sin2x =1Nhận xét : Trong phương trình chứa /sinx+cosx/ và sin2x nên theo cách giải ta đặt :

h) 1+cos3x – sin3x = sin2xNhận xét : Trong phương trình chứa cos3x – sin3x và sin2x ta biến đổi cos3x – sin3x = (cosx – sinx)( sin2x + sinx cosx + cos2x) =(cosx – sinx)( 1 + sinx cosx )như vậy phưong trình chỉ chưá cosx-sinx và sinx cosx ta đã biết cách giải

) = 0 đây là phương trình cơ bản các em đã biết cách giải

Bài 4 Giải các phương trình sau (tự giải)

a) sin2x +sinx + cos3x = 0 (ĐS : x=

-π

+2nð , x = 2kð )

3-Phương trình đưa về phương trình đẵng cấp bậc n đối với sinx và cosx

Bài 5 Giải các phương trình sau :

a) 2sin2x – cosx sinx – cos2x = -1 (Đề thi ĐH Nông N1 1997 - A)

Hong Kim Dĩnh Trang : 10

Tài liệu Ôn thi Đại Học

b) 3cos4x – 4cos2x sin2x + sin4x = 0 (Đề thi ĐH QGHCM 1998 – A)

c) 4(cos4x+ sin4x) + 3 sin4x = 0 (Đề thi ĐH DL VLang 1998 - A)

d) cos3x+ sin3x = sinx-cosx (Đề thi ĐH Đ Nẵng 1999 - A)

Bài giải a) 2sin2x – cosx sinx – cos2x = -1Nhận xét Đây là dạng toán cơ bản ta chỉ cần chuyển –1 về trái (hoặc thay sin2x + cos2x = 1 rồi chuyển về vế trái) thì được một phương trình đơn giản

Giải

2sin2x – cosx sinx – cos2x = -1 ⇔ 2sin2x – cosx sinx +1– cos2x = 0

⇔ 2sin2x – cosx sinx +sin2x = 0 ⇔ 3sin2x – cosx sinx = 0

 sinx( 3sinx – cosx ) = 0 ⇔ 

3

0sin

x x

Giải

 cosx = 0 không phải là nghiệm

 cosx ≠ 0 chia hai vế cho cos 4x ta được phương trình bậc 4 theo tanxtan4x – 4tan 2x +3 = 0 đặt t = tan2x , 0 ≤ t thì phương trình viết lại :

t2 - 4 t + 3 = 0 ⇔ t=1 hay t = 3+ Với t = 1 ta có tan2x = 1 ⇔ 

1tan

ππ

l x

k x

4/

4/

ππ

n x

m x

3/

3/

ππ

ππ

ππ

n x

m x

l x

k x

3/

3/

4/

4/

( k,l,m.n ∈ Z )

c) 4(cos4x+ sin4x) + 3 sin4x = 0Nhận xét : Trong phương trình thoạt nhìn vào ta thấy không phải là phương trình đẵng cấp đốivới sinx và sinx Tuy nhiên nếu biến đổi :

cos4x+ sin4x=1-2sin2xcos2x =1-

2

1sin22x , sin4x=2sin2x cos2x thì ta dễ thấy đây là phương trình đẵng cấp bậc hai theo sin2x và cos2x

Giải

4(cos4x+ sin4x) + 3 sin4x = 0 ⇔ 4(1-2sin2xcos2x) + 3 2sin2x cos2x = 0

 4-2sin22x + 2 3 sin2x cos2x = 2 ⇔ -2sin22x +2 3 sin2x cos2x+2 = 0

 2cos22x +2 3 sin2x cos2x = 0 đây là phương trình đã biết cách giải

Tài liệu Ôn thi Đại HọcLưu ý Thử giải phương trình trên theo hai cách khác nhau để rèn luyện kỷ năng.

d) cos3x+ sin3x = sinx-cosxNhận xét Vế trái cos3x+ sin3x vế phải sinx-cosx thoạt nhìn ta thấy chúng không có liên quan

gì với nhau , nhưng để ý :

sinx-cosx = (sinx-cosx)(sin2x + cos2x) =sin3x –cos3x – cosx sin2x + sinx cos2x thì sau khi biến đổi ta được phương trình đẵng cấp bậc ba

Giải

cos3x+ sin3x = sinx-cosx ⇔ cos3x+ sin3x = sin3x –cos3x – cosx sin2x + sinx cos2x

⇔ 2cos3x + cosxsin2x – sinxcos2x = 0 ⇔ cosx= 0 hay 2cos2x + sin2x –sinxcosx =0

Bài 6 Giải các phương trình sau : (tự giải)

a) 3sin2x – 2sinx cosx – cos2x = 0 (ĐS : x =

4

π

+ kð, x=a + lð với tana = 3)

b) sin3x – 7sin2xcosx + 11sinxcos2x – 6cos3x = 0

d) 5sin4x + 3cos3xsinx +6cos2xsin2x-cosxsin3x+cos4x = 2 (Đs : x =

2

π

+ kð, x= lð)

e) 4(sin 3 x+cos 3 x) = cosx + 3sinx (Đề thi dự bị 1-ĐH – 2004-A)

4-Phương trình lượng giác dùng công thức hạ bậc

Khi gặp các phương trình có chứa sin 2 x, cos 2 x , sin 4 x, cos 4 x , sin 6 x, cos 6 x ,… hay sin 2 2x, cos 2 2x, sin 2 4x, cos 2 4x….thì đầu tiên các em thử dùng công thứcnhân đôi hoặc công thức hạ bậc để giải thử xem , sau đó mới tìm cách giải khác.

Bài 7 Giải các phương trình sau

a) cos2x + cos22x+ cos23x +cos24x = 2 (Đề thi học sinh giỏi THPT 1985)

b) sin2x + sin22x + sin23x =

2

3

(Đề thi ĐHQG HN -D - 2000)

c) sin 2x + sin23x -3 cos22x = 0 (Đề thi ĐH Kế toán – TC - 2001)

d) sinxcos4x +2sin22x = 1-4sin2(

4

π

2

-x

) (Đề thi ĐH Cảnh Sát ND – 2001)

e) sin6x + cos6x =cos4x (Đề thi HV Ngân Hàng – 1998)

Bài giải a) cos2x + cos22x+ cos23x +cos24x = 2Nhận xét : Đây là phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác cos của góc x,2x,3x,4x cách tốt nhất để giải là chúng ta hạ bậc

Giải

cos2x + cos22x+ cos23x +cos24x = 2 ⇔

2

2cos

+2

4cos

+2

6cos

+2

8cos

=2

⇔ cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0 ⇔ (cos2x+ cos8x) +(cos4x+cos6x) = 0

⇔ 2(cos5xcos3x+cos5xcosx) = 0 ⇔ 2cos5x(cos3x+cosx) = 0⇔ 4cos5xcos2xcosx= 0

Hong Kim Dĩnh Trang : 12

Tài liệu Ôn thi Đại Học

02cos

0cos

x x

ππ

ππ

m x

l x

k x

2/5

2/2

2/

2/4/

2/

ππ

ππ

ππ

m x

l x

k x

/

2/4/

2/

ππ

ππ

ππ

m x

l x

k x

(k,l,m ∈ Z)

b) sin2x + sin22x + sin23x =

23

Nhận xét : Đây là phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác sin của góc x,2x,3x cách tốtnhất để giải là chúng ta hạ bậc

+2

4cos

+2

6cos

=23

 cos2x + cos4x + cos6x = 0 ⇔ (cos2x + cos6x) + cos4x = 0

 2cos4x cos2x + cos4x = 0 ⇔ cos4x(2cos2x+1) = 0





=+

=

012cos2

04cos

04cos

ππ

ππ

m x

l x

k x

23/22

23/22

2/4

ππ

ππ

m x

l x

k x

3/

3/

4/8/

ππ

ππ

m x

l x

k x

3/

3/

4/8/

(k,l,m ∈ Z)

c) sin 2x + sin23x -3 cos22x = 0 (Đề thi ĐH Kế toán – TC - 2001)Nhận xét : Đây là phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác sin , cos của góc x,2x,3x chúng ta cũng làm như trên

sin 2x + sin23x -3 cos22x = 0⇔

2

2cos

+2

6cos

-3

2

4cos

= 0

⇔ cos6x +cos4x+cos2x +1 = 0 ⇔ ( cos6x +cos2x )+(cos4x +1) = 0

⇔ 2 cos4xcos2x+2cos22x = 0 ⇔ 2 cos2x(cos4x +cos2x) = 0

02cos

0cos

x x

ππ

ππ

k x

k x

k x

2/3

2/2

2/

2/4/

2/

ππ

ππ

ππ

k x

k x

k x

2/4/

2/

ππ

ππ

ππ

k x

k x

k x

(k,l,m ∈ Z)

Tài liệu Ôn thi Đại Học

d) sinxcos4x +2sin22x = 1-4sin2(

4

π

2

-x

)Nhận xét Nếu để ý kĩ thì chúng ta thấy 2sin2x biến đổi được về cos4x như vậy vế trái chưá tích cos4x(sinx –1), còn vế phải con đường tốt nhất là hạ bậc

2sin2(4

π

2

-x)] ⇔ sinxcos4x –cos4x = -2(1-sinx)

⇔ cos4x(sinx –1) -2(sinx-1) = 0 ⇔ (sinx-1)( cos4x –2) = 0 ⇔ sinx-1 = 0

⇔ sinx = 1 (vì cos4x –2 = 0 vô nghiệm) ⇔ x=

sin6x + cos6x =cos4x  sin4x + cos4x – sin2xcos2x =cos4x

 1-3 sin2xcos2x =cos4x 

1-4

3sin22x =1-2sin22x  sin2x=0

2x = kð (k∈ Z)  x = kð/2 (k∈ Z)

Bài 8 Giải các phương trình sau : (tự giải)

a) sin 2x = cos22x+ cos23x (Đề thi ĐHQG HN -B - 1998)

b) cos2x + cos22x+ cos23x +cos24x =

2

3

(Quan hệ Quốc Tế 1997)

c) 2cos2x + 2cos22x+ 2cos23x –3=cos4x(2sin2x+1) (Đề thi ĐHSP2 -DE – 2000)

d) sin 2x + sin23x = cos22x+ cos24x (Đề thi ĐHKT HN - 2000)

(Đề thi học sinh giỏi THPT 1979)

h) sin6x + cos6x = 1+sin4x (Đề thi ĐHDL Hải Phòng – 2000)

i) sin23x – cos24x = sin25x – cos26x (Đề thi ĐH năm 2002-B)

k) cos23x.cos2x – cos2x = 0 (Đề thi ĐH 2005-A)

l) cos2x +cos4x – 2= 0 (Đề thi CĐ TC-KT năm 2005)

m) cos4x – 2sin2x + 2 = 0 (Đề thi CĐ xây dựng số 2-2005)

n) 3cos4x – 8 cos6x + 2cos2x + 3 =0 (Đề thi dự bị ĐH -2003-B)

o) 4sin2 3 cos 2 1 2cos (2 3 )

x

− = + − (Đề thi dự bị 1-ĐH – 2005-A)

5-Phương trình lượng giác đưa về dạng chuẩn dùng công thức nhân ba

Khi gặp các phương trình có chứa sin3x, cos3x , sin6x, cos6x , … hay sinx , sin 3 x hoặc cosx, cos 3 x….thì đầu tiên các em thử dùng công thứcnhân ba để giải thử xem , sau đó mới tìm cách giải khác.

Hong Kim Dĩnh Trang : 14

Tài liệu Ôn thi Đại Học

Bài 9 Giải các phương trình sau

a) 4sin3x –3cos2x = 3(4sinx – 1) (Đề thi QGHN – A - 1995)

b) sin3x + 2cos2x –2 = 0 (Đề thi Đà Nẵng– A - 1998)

c) 4cos2x – cos3x = 6cosx –2(1+cos2x) (Đề thi Thái Nguyên– D -1997)

d) sin3x + cos2x = 1+2sinxcos2x (Đề thi NN Hà Nội– 1998)

BÀI GIẢI a) 4sin3x –3cos2x = 3(4sinx – 1)

Nhận xét : Phương trình chứa sin3x , cos2x và sinx gợi ý cho ta biến đổi sin3x và cos2x về sinx

Giải

4sin3x –3cos2x = 3(4sinx – 1)  4(3sinx- 4sin3x) –3(1-2sin2x) =12sinx –3

 -16sin3x + 6sin2x = 0  sinx = 0 hay sinx =

8

3 sinsinx x==30/8

m a x

l a x

k x

,,

2

2

ππ

ππ

m a x

l a x

k x

sin3x + 2cos2x –2 = 0  3sinx – 4sin3x –2(1-cos2x) =0  3sinx – 4sin3x –4sin2x =0

 sinx(3 – 4sinx –4sin2x) =0  sinx = 0 hay 4sin2x + 4sinx – 3 = 0

2/1sin

ππ

26/5

26/

l x

k x

ππ

ππ

m x

l x

k x

26/5

26/

(k,l,m∈ Z)

c) 4cos2x – cos3x = 6cosx –2(1+cos2x)Nhận xét Phương trình cos3x, cos2x, cos2x, cosx gợi ý cho ta biến đổi cos3x, cos2x về cosx

Giải

4cos2x – cos3x = 6cosx –2(1+cos2x)  4cos2x –(4cos3x – 3cosx) = 6cosx –4cos2x

 -4cos3x + 8cos2x – 3cosx = 0  cosx(-4cos2x +8cosx –3)= 0

 cosx=0 hay 4cos2x –8cosx +3 = 0

2/1cos

23

vô nghiệm)

Tài liệu Ôn thi Đại Học

ππ

23/

23/

l x

k x

ππ

ππ

m x

l x

k x

2/

23/

23/

(k,l,m∈ Z)

d) sin3x + cos2x = 1+2sinxcos2x

Nhận xét Đây cũng là phương trình có sin3x cho nên gợi ý cho ta biểu diễn toàn bộ các biểu thức còn lại theo sinx

Giải

sin3x + cos2x = 1+2sinxcos2x  3sinx – 4sin3x + 1- 2sin2x = 1+ 2sinx cos2x

 3sinx – 4sin3x - 2sin2x = 2sinx cos2x  sinx (3-4sin2x – 2sinx – 2cos2x) = 0

 sinx [3-4sin2x – 2sinx – 2(1-2sin 2x)] = 0  sinx(1-2sinx) = 0

0sin

ππ

π

26/5

26/

m x

l x

k x

ππ

π

26/5

26/

m x

l x

k x

(k,l,m∈ Z)

Bài 10 Giải các phương trình sau (tự giải)

a) 4(sin3x - cos2x) = 5(sinx-1) (Đề thi ĐH Luật - 1999)

b) 4sin 3x –1 = 3sinx - 3 cos3x (Đề thi Hải Quan - 1998)

c) cos3x – 2cos2x = 2 (Đề thi ĐH CSND - 2000)

d) sin3x + sin2x = 5sinx (Đề thi ĐH Y Hải Phòng– 2000)

e) cos10x+2cos24x + cos3xcosx=cosx+8cosxcos33x

(Đề thi ĐH KT-KT –1998)f) cos3x + cos2x – cosx -1 = 0 (Đề thi ĐH – 2006-D)

6-Phương trình lượng giác dùng phương pháp đặt ẩn phụ

a) Đây là là một dạng toán hay, đòi hỏi chúng ta phải biết quan sát, phân tích sau đó chọn ẩn phụ thích hợp.

Bài 9 Giải các phương trình sau

-x

) = 2

1 sin(

10

π

+2

3x

) (Đề thi ĐH Thủy Lợi – 2001)

BÀI GIẢI a) 8cos3( x+

Tài liệu Ôn thi Đại HọcNhận xét Giữa hai đại lượng ( x+

3

π

) = cos3x  8cos3t = - cos3t  8cos3t = -(4cos3t – 3cost)

 12cos3t– 3cost = 0  cost = 0 hay cos 2 t =

4

1

2/1cos

+

=+

+

−

=+

+

=+

ππ

π

ππ

π

ππ

π

ππ

π

n x

m x

l x

k x

23/23/

23/23/

23/3/

23/3/

Vậy Nghiệm của phương trình là :

ππ

ππ

π

2n/6

23/

23/2

x

m x

l x

k x

π

cost)  sin3t –sint = cost

 sint(sin2t – 1) = cost  -cos2t sint = cost  

0cos

t t t

π

+ kð  x =

4

3 + kð (k∈ Z)

 -costsint = 1  sin2t = -2 Vô nghiệm

Vậy Nghiệm của phương trình là : x =

4

3 + kð (k∈ Z)

) sint  -sin3t = -cos2t sint  4sin3t – 3sint + cos2t sint=0

 sint(4sin2t – 3 + cos2t) = 0  sint= 0 hay sin2t = 1  t = k

2

π

(k∈ Z)

Tài liệu Ôn thi Đại Học

 x+

4

π

= k 2

-x

) = 2

1 sin(

10

π

+2

3x

) (Đề thi ĐH Thủy Lợi – 2001)

b- Khi gặp những phương trình chỉ có chứa sinx, cosx, tanx, cotx, tan2x, cot2x thường chúng

ta đặt ẩn phụ t = tanx với điều kiện x ≠

2

π

+ kð (k∈ Z)

Bài 11 Giải các phương trình sau :

a) 1 + 3tanx = 2sin2x (Đề thi ĐH QGHN D – 2000)

b) 3 tanx+1 (sinx+ 2cosx) = 5(sinx + 3cosx) (Đề thi ĐH QGHCM – A2 –98)

c) cot2x = tan2x + 2tan2x+1 (Đề thi ĐH An Ninh – 1999)

d) tan2x + sin2x =

2

3

e) sin2x + 2tanx = 3 (Đề thi ĐH Bách Khoa –A –2001)

f) tanx + 2cot2x = sin2x (Đề thi Học Viện HCQG – 2001)

g) 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx (Đề thi Học Viện Quân Y –2001)

h) tanx +2cot2x = sin2x (Đề thi ĐHSP Hà Nội –2001)

BÀI GIẢI a) 1 + 3tanx = 2sin2x

Với cách đặt như trên phương trình viết lại : 3 t+1(t+2) = 5(t+3)

 ( t+1-2)[3(t+1) + t+1 + 5] = 0  t+1 =2  t = 3  tanx = tana (tana =3)

 x = a +k π , k ∈ Z (vì 3(t+1) + t+1 +5 >0 )

Vậy Nghiệm của phương trình : x = a +k π , k ∈ Z với tana = 3

c) cot2x = tan2x + 2tan2x+1

Tài liệu Ôn thi Đại Học+ Với t = 1 ta có : tan2x = 1  2x =

Cả hai nghiệm đều thoả mãn điều kiện của bài toán

Vậy Nghiệm của phương trình là : x = log2(

6

π

+ k π , ( k ∈ Z)+ Với t = - 1/ 3  tanx = - 1/ 3  x = -

Bài 12 Giải các phương trình sau (tự giải)

a) sin2x + 2tanx = 3 (Đề thi ĐH Bách Khoa –A –2001)

b) tanx + 2cot2x = sin2x (Đề thi Học Viện HCQG – 2001)

c) 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx (Đề thi Học Viện Quân Y –2001)

d) tanx +2cot2x = sin2x (Đề thi ĐHSP Hà Nội –2001)

e) sinx + 3 cosx + sinx+ 3cosx =2 (Đề thi ĐHSP2 Hà Nội –200-DE)

c- Khi gặp những phương trình chỉ có chứa tanx+cotx ,

x

tan

1

+ x

1

đặt ẩn số phụ t = tanx + cotx =

x

2sin

a) 2cot2x + 2/cos2x + 5tanx + 5 cotx + 4 = 0 (Cao Đẵng SP Hà Nội a 2001)

b) 3/sin2x + 3tan2x + 4(tanx + cotx ) – 1 = 0 (Đề số 13 trong bộ đề thi đại học)

BÀI GIẢI a) 2/cos2x +2cot2x + tanx + 5 cotx + 4 = 0

Tài liệu Ôn thi Đại Học

3

2 (loại)

d- Khi gặp những phương trình chứa sin3x ,sinx ,cos3x, cos x hoặc những phương trình sau khi biến đổi

đưa về dạng như trên , thường ta xét cosx = 0,rồi khi cosx ≠ 0 ta chia hai vế cho cos3x

Bài tập 14

a) 9sin3x – 5 sinx + cos3x = 0 (Đề thi ĐHSP Quy Nhơn – 2001)

b) sinx sin2x + sin3x = 6cos3x (Đề thi ĐH Y Khoa HCM – 1997)

c) sin3x = cosx cos2x(tan2x + tan2x) (Đề thi HV Ngân Hàng – 1999)

d) sinx – 4 sin3x + cosx = 0 (Đề thi ĐH Y Khoa HN – 1999)

BÀI GIẢI a) 9sin3x – 5 sinx + cos3x = 0

Ta thấy cosx ≠ 0 , nên chia hai vế cho cos3x với lưu ý 1+ tan2x = 1/cos2x thì phương trình viết lại như sau :

9 tan3x –5tanx(1+tan2x) +1 = 0  4tan3x –5tanx +1 = 0  (tanx-1)(4tan2x + 4tanx – 1) = 0Tới đây ta đã biết cách giải

Lưu ý Phương trình trên có thể biến đổi để đưa về phương trình đẵng cấp bậc ba đối với sin và cos như sau : 9sin3x – 5sinx(sin2x + cos2x) + cos3x = 0

 4sin3x –5sinxcos2x + cos3x = 0 ta dễ dàng làm như trên

b) sinx sin2x + sin3x = 6cos3x  2sin2xcosx + 3sinx – 4sin3x = 6cos3x (*)

Nhận xét cosx ≠ 0 , nên chia hai vế cho cos3x ta được phương trình :2tan2x +3tanx(1+tan2x) –4tan3x = 6  tan3x – 2tan2x – 3tanx +6= 0  (tan2x-3)(tanx – 2) = 0

tgx tgx

ππ

π

m x

l x

k a x

3/

3/ trong đó k,l,m ∈ Z và tana = 2

Vậy Nghiệm của phương trình là :

ππ

π

m x

l x

k a x

3/

3/ trong đó k,l,m ∈ Z và tana = 2

d) sinx – 4 sin3x + cosx = 0 (tự rèn luyên bằng cách giải theo cách ở trên)

Riêng đối với bài này chúng ta có thể làm cách sau :

 Ta thấy cosx = 0 không phải là nghiệm

 Với cosx ≠ 0 ta nhân hai vế của phương trình với cosx ta được :cosx sinx –4cosx sin3x + cos2x = 0  sin2x –2sin2x(1-cos2x) + 1+cos2x = 0

 sin2x + cos2x –2sin2xcos2x +1 = 0 đây là phương trình bậc nhất đối xứng đối với sin2x, cos2x nên ta đặt t = sin2x+cos2x , /t/ ≤ 2 được :

t –(t2 –1) +1 = 0  t2 –t –2 = 0  t = -1 hay t = 2 loại Với t = -1 ta có sin(x+