44 3.2.3 Vận dụng phương pháp phản chứng để giải các bài toán không mẫu mực... 87 4.5 Phương pháp sử dụng các tính chất đặc biệt của hệ thức... Đường tròn CO; r tiếp xúc với các nửa đườn
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HÒA BÌNH
NGUYỄN VĂN MẬU (CHỦ BIÊN) ĐẶNG HUY RUẬN, NGUYỄN MINH TUẤN
KỶ YẾU TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG
LẦN THỨ IV - 2008
HÒA BÌNH 18-21/2008
Trang 2Mục lục
Lời nói đầu 6
1 Đề thi Olympic Toán học Hùng vương 8 1.1 Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 1, năm 2005 8
1.2 Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 2, năm 2006 9
1.3 Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 3, năm 2007 9
1.4 Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 4, năm 2008 10
2 Đáp án Olympic Toán học Hùng vương 12 2.1 Đáp án Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 1 12
2.2 Đáp án Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 3 15
2.3 Đáp án Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 3 18
2.4 Đáp án Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 4 22
3 Một số phương pháp giải toán 26 3.1 Phương pháp quy nạp 27
3.1.1 Nguyên lý quy nạp 27
3.1.2 Phương pháp chứng minh bằng qui nạp 27
3.1.3 Vận dụng phương pháp qui nạp để giải toán đại số và số học 28
3.1.4 Vận dụng phương pháp quy nạp để giải bài tập hình học 37
3.2 Phương pháp phản chứng 43
3.2.1 Nguyên lý Dirichlet còn được phát biểu dưới nhiều dạng tương tự khác: 43
3.2.2 Vận dụng phương pháp phản chứng để giải toán 44
3.2.3 Vận dụng phương pháp phản chứng để giải các bài toán không mẫu mực 46
3.3 Phương pháp suy luận trực tiếp 47
3.4 Phương pháp mệnh đề 52
2
Trang 3MỤC LỤC 3
3.4.1 Khái niệm về logic mệnh đề 52
3.4.2 Các phép toán mệnh đề 52
3.4.3 Công thức của logic mệnh đề 53
3.4.4 Các luật của logic mệnh đề 54
3.5 Phương pháp bảng 59
3.6 Phương pháp sơ đồ 63
3.7 Phương pháp đồ thị 65
3.7.1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản của lý thuyết đồ thị 66
3.7.2 Phương pháp đồ thị 67
4 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình 73 4.1 Phương pháp nghiệm duy nhất 73
4.2 Phương pháp bất đẳng thức 79
4.3 Phương pháp đưa về hệ 84
4.4 Phương pháp đảo ẩn 87
4.5 Phương pháp sử dụng các tính chất đặc biệt của hệ thức 90
4.6 Phương pháp Lượng giác 96
4.6.1 Cơ sở lý thuyết 96
4.6.2 Trình tự lời giải 98
4.6.3 Ví dụ minh hoạ 99
4.7 Sử dụng định lý Lagrange 110
4.8 Sử dụng định lý Rolle 116
4.9 Hệ phương trình dạng hoán vị vòng quanh 122
4.10 Các phương pháp khác 127
4.10.1 Sử dụng phép biến đổi hệ quả 127
4.10.2 Sử dụng tính chất của hàm số liên tục 128
4.10.3 Đẳng cấp hoá 129
4.10.4 Sử dụng hình học, vectơ, toạ độ 131
4.10.5 Sử dụng hàm số 134
5 Số đối xứng và một số quy luật của phép nhân 139 5.1 Số đối xứng và một số tính chất liên quan 139
Trang 46.1 Các số nguyên và các phép tính số nguyên 146
6.2 Các định lý về chia hết 147
6.3 Phép chia có dư 149
6.3.1 Định nghĩa 149
6.3.2 Sự tồn tại và duy nhất của phép chia có dư 149
6.4 Phương pháp dùng phép chia có dư 151
6.5 Phương pháp đồng dư 155
6.5.1 Phép đồng dư 155
6.5.2 Phương pháp đồng dư 158
6.6 Phương pháp sử dụng tính tuần hoàn khi nâng lên lũy thừa 161
6.6.1 Sự tuần hoàn của các số dư khi nâng lên lũy thừa 161
6.6.2 Thuật toán 163
6.7 Phương pháp quy nạp 166
6.7.1 Nguyên lý quy nạp 166
6.7.2 Phương pháp chứng minh bằng quy nạp 166
6.7.3 Vận dụng phương pháp quy nạp để giải các bài toán chia hết 168
6.8 Tiêu chuẩn chia hết 173
6.8.1 Phương pháp đồng dư với 1 173
6.8.2 Phương pháp dãy số dư 176
6.8.3 Phương pháp nhóm chữ số 179
7 Biểu diễn toạ độ của các phép biến hình phẳng 182 7.1 Các khái niệm 182
7.1.1 Các khái niệm đã biết 182
7.1.2 Các khái niệm bổ sung 183
7.2 Biểu diễn toạ độ của phép biến hình 187
7.2.1 Các định nghĩa 187
7.2.2 Ví dụ 189
7.3 Phép biến hình tuyến tính (affin) và các tính chất 190
7.3.1 Các định nghĩa 190
7.3.2 Các định lý 190
7.4 Phép dời hình 192
8 Một số phép biến hình phẳng thường gặp 196 8.1 Các phép dời hình 197
Trang 5MỤC LỤC 5
8.1.1 Phép tịnh tiến song song 197
8.1.2 Phép quay 198
8.1.3 Phép đối xứng tâm 200
8.1.4 Phép đối xứng trục 202
8.2 Phép vị tự và phép đồng dạng 205
8.2.1 Phép vị tự 205
8.2.2 Phép đồng dạng 207
8.3 Một số phép biến hình khác 208
8.3.1 Phép co trục 208
8.3.2 Phép nghịch đảo 210
8.4 Bài tập áp dụng phép biến hình 213
8.4.1 Bài tập lý thuyết 213
8.4.2 Sử dụng phép biến hình giải bài tập hình học 215
Trang 6Bài toán 152 8 Trên đoạn AB lấy điểm M và dựng các nửa đường tròn C1, C2, C2
với các đường kính AB, AM, BM Đường tròn C(O; r) tiếp xúc với các nửa đường tròn trên Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng (AB) (Hình 3)
Bài toán 153 9 Hãy dựng đường tròn T đi qua hai điểm A, B cho trước và tiếp xúc với một đường thẳng d cho trước
Lời giải
Phân tích: Giả sử đã dựng được T Xét N[A; 1] : T −→ T0
; B −→ B0 ; d −→ d0 Trong đó, T0 là đường thẳng chứa B0, còn d0 là đường tròn chứa A Đường thẳng T0 tiếp xúc với đường tròn d0 Từ đó suy ra cách dựng T:
Cách dựng: Dựng B0, d0 là ảnh của B, d qua N[A; 1] Từ B0 kẻ tiếp tuyến T0 tới d0 Khi đó, T = N[A; 1](T0) Nói chung, bài toán sẽ có hai nghiệm hình
Bài toán 154 10 Dựng đường tròn đi qua hai điểm cho trước và tiếp xúc với một đường tròn cho trước
Bài toán 155 11 Dựng đường tròn tiếp xúc với một đường tròn C cho trước tại một điểm A cho trước và: a) với một đường thẳng d cho trước b) với một đường tròn T cho trước
Bài toán 156 12(Bài toán Apollonia) Dựng đường tròn tiếp xúc với ba đường tròn cho trước
Bài toán 157 13 Trên mặt phẳng cho ba điểm A, B, D Dựng hai đường tròn C1 3
A, C2 3 B sao cho C1, C2 tiếp xúc với nhau tại D
Trang 78.4 Bài tập áp dụng phép biến hình 221
Tài liệu tham khảo
1 Nguyễn Đăng Phất Các phép biến hình trong mặt phẳng và ứng dụng giải toán hình học NXB Giáo dục 2005
2 Hàn Liên Hải, Phan Huy Khải và các tác giả khác
Toán bồi dưỡng Hình học 10 NXB Hà Nội 1998
3 Phụ san tạp chí KBANT 5/97
4 Lê Hải Châu
Các bài thi chọn học sinh giỏi Toán PTTH toàn quốc NXB GD 1995
5 Hội Toán học Việt Nam
Tạp chí Toán học và tuổi trẻ
6 Tuyển các đề đề nghị IMO các năm từ 1984 đến 2000
7 Đề thi vô địch 19 nước NXB Hải Phòng
8 KBAHT Tạp chí (tiếng Nga) các năm 1980 - 1985
9 Toán học trong nhà trường Tạp chí (tiếng Nga) các năm 1980 - 1985
10 Đ O Scliarxki ; N N Trenxop và I M Iaglom
Tuyển tập các bài tập và Định lý của Toán sơ cấp NXB Hayka 1976
11 Selected Problems from IMO XXX - XXXVI NXB ĐHQG Hà Nội 1995
12 J Kurshac và các tác giả khác
Tuyển các đề thi vô địch Hungary (Bản tiếng Nga) NXB Mir 1976
13 Thực hành giải toán sơ cấp NXB Giáo dục 1987