LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên!. BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH CÓ YẾU TỐ CỰ
Trang 1LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
III BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH CÓ YẾU TỐ CỰC TRỊ (tiếp theo)
Bài toán 3: Lập phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P), đi qua điểm A cho trước sao cho khoảng cách giữa d và d’ lớn nhất, với d’ là đường thẳng cho trước và cắt (P)
Phương pháp giải:
+ Gọi I = ∩d' ( )P , qua A dựng đường thẳng '' d // 'd ⇒d'' // (Q), với (Q) là mặt phẳng chứa d và ''. d
Khi đó d d d( ; ')=d d( '; ( )Q ) (=d I Q; ( ))
+ Kẻ IH ⊥( );Q IK ⊥d''⇒IH =d I Q( ; ( ))và điểm K cố định
+ Ta có IH ≤IK⇒d I Q( ; ( ))max =IK ⇔H ≡K Khi đó đường thẳng d nằm trong (P), đi qua A và vuông góc với đường thẳng IK, suy ra d có một véc tơ chỉ phương là =;
Gọi A là hình chiếu vuông góc của A lên d’, suy ra ' AA // IK, khi đó ' =;'
Vậy đường thẳng d cần lập đi qua điểm A và có véc tơ chỉ phương là =;'
Ví dụ 1. Cho điểm A(1; 0; 1), đường thẳng ' : 2 1
d và ( ) :P x− + − =y z 2 0
Lập phương trình đường d đi qua A; nằm trong (P) sao cho khoảng cách giữa d và d’ lớn nhất?
Đ /s: = − −(1; 1; 2)
d
Ví dụ 2. Cho điểm A(1; 1; –3), B(2; 1; 0), đường thẳng : 1 2
−
d và ( ) : 2P x− + + =y z 1 0
14 CỰC TRỊ TRONG TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN – P4
Thầy Đặng Việt Hùng
Trang 2LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
Lập phương trình đường ∆ đi qua A; nằm trong (P) sao cho
a) khoảng cách từ B đến d lớn nhất? nhỏ nhất?
b) khoảng cách giữa ∆ và d lớn nhất?
Ví dụ 3. Cho điểm O(0; 0; 0) và đường thẳng : 1 1 ; ' : 1 1
Lập phương trình đường ∆ đi qua O; vuông góc với d và cách d’ một khoảng lớn nhất?
= ⇒∆ x = y = z
Hướng dẫn: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua O và vuông góc với d, suy ra ∆ phải nằm trong (P)
Khi đó ta lại quy về bài toán đã xét ở trên!
Ví dụ 4. Cho điểm A(0; 1; –1), đường thẳng : 1
d và ( ) :P x−2y+2z− =1 0 Lập phương trình đường ∆ đi qua A; song song với (P) sao cho khoảng cách giữa ∆ và d lớn nhất?
Bài toán 4: Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A cho trước, d cắt d1 và khoảng
cách giữa d và d2 lớn nhất
Phương pháp giải:
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và chứa d1, suy ra d nằm trong (P) Khi đó quy về bài toán 3!
Ví dụ 1. Cho điểm A(0; -1; 2) và đường thẳng : 1 2
−
Lập phương trình đường ∆ đi qua A và cắt d sao cho
a) khoảng cách từ B(2; 1; 1) đến đường thẳng ∆ là lớn nhất
b) khoảng cách giữa ∆ và ' : 5
− = =
−
Đ /s: a) ( )
max :
11
min :
d B
Ví dụ 2. Cho điểm A(1; 1; 2), đường thẳng : 1 1
−
d và (P): x + y + 2z – 1 = 0
Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua A sao cho
a) ∆ // (P) và khoảng cách giữa ∆ và d lớn nhất
b)
1 ' : 3
1
= − +
và khoảng cách từ điểm B(−1; 1; −1) lớn nhất? nhỏ nhất?