Giải bài toán cực trị trong hình học bằng phương pháp tọa độ: Phương pháp chung: Ta thực hiện theo các bước sau: + Thiết lập hệ tọa độ thích hợp, từ đó suy ra tọa độ các điểm cần thiết..
Trang 13 Giải bài toán cực trị trong hình học bằng phương pháp tọa độ:
Phương pháp chung: Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Thiết lập hệ tọa độ thích hợp, từ đó suy ra tọa độ các điểm cần thiết.
+ Thiết lập biểu thức điều kiện (nếu có) Thiết lập biểu thức giải tích cho các điểm cần tìm cực trị.
+ Lựa chọn phương pháp tìm cực trị, thông thường là:
- Phương pháp tam thức bậc hai.
- Sử dụng bất đăng thức.
- Sử dụng đạo hàm.
CÁC VÍ DỤ:
1) Cho góc tam diện Oxyz, trên Ox, Oy, Oz lấy các điểm A, B, C
a/ Tính khoảng cách từ O đến mp(ABC) theo OA = a, OB = b, OC = c
b/ Giả sử A cố dịnh còn B, C thay đổi những luôn thỏa mãn OA = OB + OC Hãy xác định vị trí của B và C sao cho thể tích tứ diện OABC là lớn nhất
HD:
+ Chọn hệ trục Oxyz, khi đó: A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)
+ PT (ABC):
1
= + +
c
z b
y a
x
, d(O, (ABC)) =
2 2 2 2 2
2c c a a b b
abc
+ +
+ VOABC =
24 2
6
1 6
a c b a
+
≤
(Theo bđt côsi)
Do đó Max(VOABC) = 24
3
a
đạt được khi b = c = 2
a
2) Cho tứ diện SABC có SC = CA = AB = a 2, SC vuông góc với mp(ABC), tam giác ABC vuông tại A, các điêm M thuộc SA, N thuộc BC sao cho AM = CN = a (0 < t < 2a)
a/ Tính độ dài đoạn MN Tìm giá trị của t để đoạn MN ngắn nhất
b/ Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung của BC và SA
HD:
+ Chọn hệ trục tọa độ Cxxyz với B thuộc Cx, S thuộc Cz, khi đó:
1
Trang 2A(a; a; 0), B(2a; 0; 0), C(0; 0; 0), S(0; 0; a 2).
+ Phương trình SA:
[ ]a u
u z
u a y
u a x
; 0 , 2
∈
=
−
=
−
=
suy ra M(a−u;a−u;u 2)
+ Vì AM = t suy ra u = 2
t
Khi đó M − − 2
2
; 2
1
; 2
a a
2 3
6 3
2 2 4 3
2 2
t
a MinMN
a a at
b/ Khi đoạn MN ngắn nhất thì
0
; 0
; 3
2 , 3
2
; 3
2
; 3
N a
a a M
Lúc đó
=
=
0
0
BC MN
SA MN
, tức là Mn là đoạn vuông góc chung của SA và BC
3) Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1, cạnh bằng a Trên cạnh AA1 kéo dài về phía A1 lấy điểm M và trên cạnh BC kéo dài về phía C lấy điểm N sao cho MN cắt cạnh C1D1 Tính giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn MN HD:
+ Chọn hệ trục tọa độ Axyz trong đó B thuộc Ax, D thuộc Ay và A1 thuộc Az, khi đó: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0),
A1(0; 0; a), C1(a; a; a)
+ AA1:
0
: );
; 0
; 0 (
; ,
0
0
v a N a
v z
v y
a x BC u M a
u u
z
y
x
⇒ +∞
∈
=
=
=
⇒ +∞
∈
=
=
=
+ Vì MN cắt C1D1 nên MD1 // NC1
a v
av u a
u a v a
a
−
=
⇔
−
=
−
⇔
Khi đó MN = u + v - a = v a
a av v
−
+
2
, suy ra MinMN = 3a khi v = 2a ⇒u 2= a
và khi đó MN đi qua trung điểm I của C1D1 (Dùng phương pháp đạo hàm)
2