LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn IV. BÀI TOÁN VỀ GÓC CÓ YẾU TỐ CỰC TRỊ Phương pháp giải: + Gọi véc tơ pháp tuyến hoặc véc tơ chỉ phương của mặt phẳng (hoặc đường thẳng) cân lập là (a; b; c) + Thiết lập một phương trình quy ẩn (a theo b, c hoặc ngược lại) từ một dữ kiện về mặt phẳng chứa đường, song song hoặc vuông góc. Giả sử phương trình thu gọn ẩn là a = f(b; c) + Thiết lập phương trình về góc, thay a = f(b; c) vào ta được một phương trình hai ẩn b; c. Chú ý: + Góc giữa hai đường thẳng ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 . cos( ; ) cos ; . = =       u u d d u u u u + Góc gi ữ a hai m ặ t ph ẳ ng ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 . cos( ; ) cos ; . = =       n n P P n n n n + Góc gi ữ a đườ ng th ẳ ng và m ặ t ph ẳ ng ( ) . sin( ; ) cos ; . = =       P d P d P d n u d P n u n u + Ta bi ế t r ằ ng hàm sin φ đồ ng bi ế n khi 0 < φ < 90 0 , ng ượ c l ạ i hàm cos φ ngh ị ch bi ế n. V ậ y khi hàm xét max, min là hàm sin thì góc l ớ n ứ ng v ớ i hàm max, góc nh ỏ ứ ng v ớ i hàm nh ỏ . Còn khi hàm xét max, min là hàm cosin thì ng ượ c l ạ i, đề bài yêu c ầ u tìm góc l ớ n thì hàm ph ả i đạ t min, góc nh ỏ thì hàm đạ t max. Ví dụ 1. Cho 1 2 2 1 : ; ': ;( ): 2 2 3 0 1 2 1 2 1 2 − + + − = = = = + + − = − − x y z x y z d d Q x y z L ậ p (P) ch ứ a d sao cho a) góc gi ữ a (P) và (Q) nh ỏ nh ấ t. b) góc gi ữ a (P) và d’ l ớ n nh ấ t. Đ/s: a) ( ): 2 5 3 0 + + + = P x y z b) ( ):7 5 9 0 − + − = P x y z Ví dụ 2. Cho điểm A(1; −1; 2) và mặt phẳng ( ) : 2 3 0. − − + = Q x y z Lập phương trình đường d đi qua A; song song với (P) đồng thời tạo với đường 1 1 : 1 2 2 + − ∆ = = − x y z m ộ t góc l ớ n nh ấ t? nh ỏ nh ấ t. Đ/s: 2 2 1 1 2 max : 1 (5 4) 5 5 5 7 cos φ 0 cos φ 1 3 5 4 2 3 3 min : 1 0 1 − + −  = =  − − = ⇒ ≤ ≤ ⇒  − − +  = =   x y z t x y z t t Ví dụ 3. Cho đ i ể m A(−1; 0; −1) và hai đườ ng 1 2 2 3 2 3 : ; ': 2 1 1 1 2 2 − − + − − + = = = = − − x y z x y z d d 14. CỰC TRỊ TRONG TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN – P5 Thầy Đặng Việt Hùng LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn Lập phương trình đường ∆ đi qua A đồng thời cắt đường d sao cho góc giữa ∆ và d’ lớn nhất? nhỏ nhất? Đ/s: 2 2 1 1 max : 2 9 2 2 1 cosφ 0 cosφ 1 1 3 6 14 9 5 min : 4 5 2 + +  = =  − = ⇒ ≤ ≤ ⇒  + + + +  = =  −  x y z t x y z t t Ví dụ 4. Cho các điểm A(1; 4; 2), B(−1; 2; 4) và đường thẳng 1 2 : 1 1 2 − + = = − x y z d L ậ p ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng (P) ch ứ a d và a) kho ả ng cách t ừ A đế n (P) max. b) góc gi ữ a (P) và m ặ t ph ẳ ng (xOy) min. c) góc gi ữ a (P) và tr ụ c Oy max. Ví dụ 5. Cho đ i ể m A(1; 4; 2), đườ ng th ẳ ng 1 4 : 2 1 3 + − = = − x y z d và (P): x + y + z – 1 = 0 L ậ p ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng ∆ đ i qua A sao cho a) ∆ // (P) và kho ả ng cách gi ữ a ∆ và d l ớ n nh ấ t. b) ∆ // (P) và góc gi ữ a ∆ và d l ớ n nh ấ t? nh ỏ nh ấ t? c) 1 ': 3 1 = − +   ∆ ⊥ = +   = − +  x t d y t z t và kho ả ng cách t ừ đ i ể m B(−1; 1; −1) l ớ n nh ấ t? nh ỏ nh ấ t?