Môc lôcĐịnh hướng giải một số bài toán cực trị hình học trong hình tọa độ không gian, lớp 12 THPT ***** TT NéI DUNG Trang A.MỞ ĐẦU... Trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông,
Trang 1Môc lôc
Định hướng giải một số bài toán cực trị hình học trong hình tọa độ
không gian, lớp 12 THPT
*****
TT NéI DUNG
Trang
A.MỞ ĐẦU
Trang 21.Lý do chọn đề tài
Trong việc dạy học toán ta luôn coi mục đích chủ yếu của môn Toán là hình thành và phát triển tư duy toán học, tạo cho học sinh vốn kiến thức và phải biết vận dụng kiến thức vào thực tiễn.Trong quá trình dạy học toán, việc lựa chọn phương pháp phù hợp để giải các bài toán là việc làm cần thiết và quan trọng Chọn được phương pháp thích hợp sẽ cho ta lời giải hay và ngắn gọn, dễ hiểu, tiết kiệm thời gian Vì vậy việc xây dựng và hình thành cho học sinh phương pháp giải từng dạng toán là hết sức cần thiết
Trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông, thi học sinh giỏi hay thi tuyển sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng, thường xuất hiện các bài toán về phương pháp tọa độ trong không gian Có thể nói rằng toán về phương pháp tọa độ trong không gian rất đa dạng phong phú Cực trị hình học trong phương pháp tọa
độ trong không gian là một dạng toán khó đòi hỏi học sinh vừa phải biết tư duy hình học vừa phải biết kết hợp sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian Trong năm học 2015- 2016 được phân công giảng dạy lớp 12 trước khi dạy chương :" Phương pháp tọa độ trong không gian" bản thân tôi luôn trăn trở: làm thế nào để khi học sinh đọc đề thi thấy xuất hiện câu cực trị hình học trong hình toạ
độ không gian nhưng học sinh không cảm thấy sợ Trong quá trình trực tiếp giảng dạy và nghiên cứu tôi thấy đây là dạng toán không chỉ khó mà còn khá hay, lôi cuốn được các em học sinh khá giỏi Để giúp học sinh định hướng được cách làm dạng toán này, hiểu sâu hơn, tự tin hơn khi gặp các bài toán cực trị đặc biệt là cực trị trong hình toạ độ không gian, phát triển tư duy, hướng học sinh tới niềm say mê
sáng tạo, tôi mạnh dạn cải tiến phương pháp giảng dạy với đề tài: "Định hướng
giải một số bài toán cực trị hình học trong hình tọa độ không gian, lớp 12 THPT".
2.Mục đích nghiên cứu Đưa ra phương pháp cơ bản để giải một số bài toán cực trị
trong hình toạ độ không gian đồng thời rèn luyện kỹ năng giải toán cực trị hình học, giúp học sinh có hướng nhìn mới về dạng toán này
3 Đối tượng nghiên cứu Các bài toán cực trị trong hình toạ độ không gian cụ thể
là: các bài toán liên quan đến tìm các điểm thoã mãn điều kiện cho trước, viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng áp dụng cho học sinh lớp 12 THPT
4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp xây dựng cơ sở lý thuyết.
B.NỘI DUNG
I Cơ sở lý luận.
Trong chương trình hình học 12 chương :"Phương pháp tọa độ trong không gian" tập trung chủ yếu vào các dạng toán xác định tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước, lập phương trình mặt phẳng, đường thẳng Tuy nhiên các kiến thức trong sách giáo khoa chỉ ở mức cơ bản song trong các đề thi học sinh giỏi, đề thi Đại học, Cao đẳng, đề thi thử của một số trường lại vẫn có loại bài tập này.Vì vậy việc cung cấp nội dung phương pháp là hết sức cần thiết
Trang 3II Thực trạng của vấn đề
Trong quá trình giảng dạy học sinh khá giỏi, ôn thi học sinh giỏi, ôn luyện thi
Đại học, Cao đẳng, tôi nhận thấy phần bài tập liên quan đến các bài toán cực trị
hình học trong hình tọa độ không gian là một phần bài tập khó, học sinh tương đối gặp khó khăn trong cách tư duy, định hướng cách giải bởi vì sách giáo khoa hầu như bỏ qua dạng bài tập này, các tài liệu tham khảo cũng có nhắc tới song không có tính hệ thống.Vì vậy, học sinh lúng túng khi gặp phải tình huống này Khi chưa cải tiến phương pháp mỗi lớp chỉ được vài em tập trung làm bài tập dạng này, tuy nhiên cũng không có tính hệ thống mà làm thiên về phương pháp đại số Nếu trang
bị cho các em những kỹ năng, tình huống cơ bản, từ đó giúp mỗi học sinh tự đúc kết kinh nghiệm riêng cho bản thân mình thì khi gặp một bài toán dạng như thế này thì các em sẽ định hướng, tư duy được cách giải theo hướng hình học một cách tự tin, nhanh chóng và chính xác
III Các sáng kiến kinh nghiệm, giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 1.Kiến thức trang bị.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ta có các kết quả sau:
1.1 Nếu n u n ; v n cùng phương với u v;
.Chọn n u v;
1.2 Mặt phẳng (P) đi qua điểm M0 ( ; ; )x y z0 0 0 nhận véc tơ n A B C( ; ; ) làm véc tơ pháp tuyến có phương trình : A x x( 0 ) B y y( 0 ) C z z( 0 ) 0 (A2 B2 C2 0 )
1.3 Đường thẳng (d) đi qua điểm M0 ( ; ; )x y z0 0 0 nhận véc tơ u a b c( ; ; ) làm véc tơ chỉ phương có phương trình tham số :
0 0 0
(a2 b2 c2 0 )
Nếu a,b,c đều khác 0 thì ta có phương trình chính tắc :x x0 y y0 z z0
1.4.Cho 2 điểm A x y z( ;A A; ); ( ;A B x y z B B; )B ,điểm M x( M;y z M; M) chia AB theo tỷ số k :
được xác định bởi công thức sau
1 1 1
M
M
M
x
k
y
k
z
k
2.Các dạng toán cơ bản.
Để giúp học sinh khá giỏi giải tốt các bài toán cực trị trong hình học không gian thường gặp trong các kỳ thi đại học, cao đẳng và thi học sinh giỏi, tôi đã đúc kết thành những dạng toán cơ bản như sau:
Dạng 1.Tìm các điểm thõa mãn điều kiện cho trước
Trang 4Bài toán 1.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) Tìm điểm M
trên (P) sao cho :
a) MA MB nhỏ nhất b) MA MB lớn nhất
Phương pháp Hướng dẫn học sinh hình thành các bước giải bài toán
a) MA+MB nhỏ nhất
Bước 1 : Xét vị trí tương đối của A, B so với mặt phẳng (P).
Bước 2 :+) Nếu A, B khác phía đối với (P)(AB không song song với (P)).
(MA + MB)min khi M, A, B thẳng hàng M AB(P)
+) Nếu A, B cùng phía đối với (P)
Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua (P).Khi đó MA + MB = MA1 + MBA B1
Do A1 và B khác phía đối với (P) nên (MA + MB) min
(MA1 + MB) min A B1 M, A1, B thẳng hàng M A1B (P).Tìm toạ độ M
Bước 1 : Xét vị trí tương đối của A,B so với mặt phẳng (P).
Bước 2 :+) Nếu A, B cùng phía đối với (P).
MA MB max khi M, A, B thẳng hàng M AB(P)
+) Nếu A, B khác phía đối với (P)
Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua (P) Khi đó MA MB = MA MB1 A B1
Do A1 và B cùng phía đối với (P) nên MA MB max MA MB max A B1
M, A1, B thẳng hàng
Ví dụ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x+y+z-4=0.
Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho :
a) MA+MB nhỏ nhất, biết A(1;0;0) , B(1;2;0)
Định hướng: Để giải bài toán này ta cần xác định các bước làm :
Bước 1: Xét vị trí tương đối của hai điểm A, B so với mặt phẳng (P).
Bước 2: Lập luận để tìm ra vị trí của điểm M thuộc mp(P) dựa vào phần lý thuyết.
P)
M
A
M1
B
M A
P)
A1 M
B
P)
A
B
M
P)
A
A1 M
B
Trang 5Giải
Đặt f x y z( ; ; ) x y z 4
a.f(1;0;0) (1; 2;0) ( 3)( 1) 0f nên hai điểm A và B nằm cùng phía đối với (P) Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua (P).Khi đó MA + MB = MA1 + MBA B1
Do A1 và B khác phía đối với (P) nên (MA + MB) min
(MA1 + MB) min A B1 M, A1, B thẳng hàng M A1B (P)
Đường thẳng vuông góc với (P) đi qua A(1;0;0) nhận véc tơ pháp tuyến n(1;1;1)
của (P) làm vec tơ chỉ phương có phương trình là:
1
y t
z t
Gọi I là giao của đường thẳng với (P) thì tọa độ điểm I là nghiệm của hệ :
2 1
I(2;1;1)
Do I là trung điểm của A A1 nên A1(3;2;2)
Ta có A B1
(-2;0;-2)
Đường thẳng đi qua A1(3;2;2) nhận véc tơ A B1 (-2;0;-2) làm vec tơ chỉ phương
có phương trình là :
3 2 2
y
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ
3
( ; 2; )
4 0
y
M
x y z
.Vậy ( ; 2; )3 1
b) f(1;2; 1) (0;1;2) ( 2)( 1) 0 f nên hai điểm A và B nằm cùng phía đối với (P) Khi đó MA MB A B, MA MB max khi M, A, B thẳng hàng M AB(P)
Ta có A B(-1;-1;3)
Đường thẳng đi qua A (1;2;-1) nhận véc tơ A B(-1;-1;3) làm vec tơ chỉ phương
có phương trình là
1 2
1 3
Trang 6Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ
1 2
1 3
4 0
x y z
2 1
( 1;0;5) 0
5
t x
M y
z
Bài toán 2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A A1 ; ; ; 2 A n.Xét
1 1 2 2 n n
.Trong đó 1 ; ; ; 2 nlà các số thực cho trước thoã mãn
1 2 n 0
Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho w có độ dài nhỏ nhất
Phương pháp.Cần hướng dẫn học sinh hình thành quy trình bài toán theo các bước Bước 1 Xác định điểm cố định.
Gọi G là điểm thoã mãn : 1GA 1 2GA2 n GA n 0
với MA k MG GA k k, 1,n
Khi đó w 1MA1 2MA2 n MA n
= 1 2 n MG
Bước 2 Lập luận tìm vị trí của điểm M.
Do 1 2 n 0 nên w có độ dài nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất, mà M thuộc (P) nên MG nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của G lên (P)
Ví dụ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+y+z-4=0.Tìm
điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho: MA 3MB 4MC
nhỏ nhất, biết A(1;2;-1), B(0;1;2),C(0;0;3)
Định hướng Xác định các bước làm bài toán này.
Bước 1 Xác định điểm cố định theo hướng dẫn ở phần phương pháp.
Bước 2 Lập luận để tìm vị trí của điểm M.
Giải
Ta có : MA 3MB 4MC (MI IA ) 3( MI IB ) 4( MI IC ) 8 MI IA 3IB 4IC
Ta cần tìm điểm I sao cho IA 3IB 4IC
8
Vậy I(1;
8
5
;
8
17
8 ) và I cố định
=8 MI nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của I lên (P) Phương trình đường thẳng đi qua I vuông góc với (P) nhận vec tơ pháp tuyến
(1;1;1)
n của (P) làm vec tơ chỉ phương có phương trình là:
Tọa độ của M là nghiệm hệ phương trình :
4 0
x y z
M(1;
2 1;5
2)
Trang 7Vậy M(1;
2 1;5
2)
Bài toán 3.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểmA A1 ; ; ; 2 A n.Xét biểu
1MA1 2MA2 3MA3 n MA n
, trong đó 1 ; ; ; 2 nlà các số thực cho trước.Tìm M thuộc (P) sao cho :
a) T có giá trị nhỏ nhất biết 1 2 n 0
b) T có giá trị lớn nhất biết 1 2 n 0
Phương pháp.
Bước 1.Xác định điểm cố định.
Gọi G là điểm thoã mãn 1GA1 2GA2 n GA n 0
.Ta có: MA k MG GA k k, 1;n
1MA1 2MA2 n MA n
1GA1 2GA2 n GA n
Bước 2.a) Nếu 1 2 n 0 Do 2 2 2
1GA1 2GA2 n GA n
giá trị nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất
b) Nếu 1 2 n 0, T có giá trị lớn nhất khi MG nhỏ nhất
MG nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của G lên (P)
Ví dụ1 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+y+z-4=0 Tìm
điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho:MA2 3MB2 nhỏ nhất, biết A(1;2;-1),B(-1;0;3)
Định hướng
Bước 1 : Xác định điểm cố định Trước hết cần phân tích các vec tơ MA MB , thành tổng của 2 vec tơ
Bước 2: lập luận để MA2 3MB2 lớn nhất Tìm vị trí của điểm M
Giải
2 3 2
Giả sử IA 3IB
=0.Gọi I(x;y;z) ta có :
3
2
3
2
3
2
x
y
z
I(-2;-1;5)
Do I cố định nên IA IB2 , 2có độ dài không đổi.Vậy MA2 3MB2lớn nhất khi 2
nhất MI nhỏ nhất Mlà hình chiếu của I lên (P)
Phương trình đường thẳng đi qua I vuông góc với (P) nhận vec tơ pháp tuyến
(1;1;1)
n của (P) làm vec tơ chỉ phương có phương trình là : 2 1 5
Trang 8Tọa độ của M là nghiệm hệ phương trình
4 0
x y z
3
3
;17
3 ) Vậy M( 4;
3
3
;17
3 )
Ví dụ 2( Trích đề thi HSG Tỉnh Thanh Hóa năm học 2015-2016).
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(4;1;5), (3;0;1), ( 1;2;0)B C và mặt phẳng (P) có phương trình: 3x 3y 2 37 0z .Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao
cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất: S = MA MB MB MC MC MA .
Định hướng.Hướng dẫn HS thực hiện theo các bước đã phân tích
Bước 1 Tìm điểm cố định.Trước hết cần phân tích các vec tơ MA MB ,
,MC thành tổng của 2 vec tơ
Bước 2 Sau đó lập luận để S nhỏ nhất.
Giải
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC suy raG2;1;2
Ta có:
A
Do GA GB GB GC GC GA . không đổi nên S đạt giá trị nhỏ nhất khi MG đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó M là hình chiếu của G lên (P)
Phương trình đường thẳng đi qua G vuông góc với (P) nhận vec tơ pháp tuyến
(3; 3; 2)
P
n
của (P) làm vec tơ chỉ phương có phương trình là : 2 1 2
Toạ độ điểm M là nghiệm hệ :
Ta tìm đượcM( 4;7; 2)
Nhận xét :Với cách định hướng phân tích bài toán như trên học sinh sẽ thấy vấn
đề của bài toán trở nên đơn giản, dễ giải quyết.
Dạng 2.Một số bài toán về viết phương trình mặt phẳng
Bài toán 1 Cho 2 điểm phân biệt A, B.Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A
và cách B một khoảng lớn nhất
Phương pháp.
Bước 1.Gọi H là hình chiếu của B lên (P).Tam giác ABH vuông tại H
Trang 9Ví dụ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2; -1; 1) và cách gốc toạ độ
một khoảng lớn nhất
Định hướng.Để viết phương trình mặt phẳng thì ta cần xác định điểm đi qua và
vec tơ pháp tuyến Như vậy, ở bài toán đã cho (P) chứa A.Vậy cần xác định véc tơ pháp tuyến ở bài toán như thế nào? Hướng dẫn học sinh là theo 3 bước trên
Giải.
Nhận xét : Như vậy, khi định hướng rõ ràng phương pháp thì học sinh có tư duy
trực quan hơn, làm bài nhanh hơn, cảm thấy tự tin hơn với bài làm của mình.
Bài toán 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A không thuộc đường
thẳng d Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P)
lớn nhất
Bước 3.Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và nhận AK
làm vectơ pháp tuyến
Ví dụ (Trích đề thi tuyển sinh Đại học, khối A năm 2008).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng d:
Lập phương trình mặt phẳng ( ) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất
Định hướng: Bài toán này có thể giải theo 2 cách, nếu không có sự định hướng về
phương pháp thì hầu như các em làm theo cách 2 là cách thiên vể đại số và giải tích nhiều hơn, ngay cả đáp án cũng thiên về phương pháp này Nhưng khi có sự định hướng rõ ràng về mặt phương pháp thì học sinh sẽ làm theo cách thứ nhất thiên về hình học, ít phải tính toán Xét cả 2 cách làm sau đây sau đó học sinh sẽ tự rút ra được nhận xét về 2 cách làm này
Giải
Bước2.Lập luận tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)
Ta có =AB
Bước 3.(P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc Avới AB
(P)
B
Gọi H là hình chiếu của O trên mp(P)
Khi đó = OA
Vậy mp(P) đi qua A(2;-1;1) và nhận làm véc tơ pháp
tuyến.Vậy (P) :
(P)
O
P)
A
H
K d
Phương pháp:Bước 1.Gọi H là hình chiếu của A trên (P),
K là hình chiếu của A lên đường thẳng d
Bước 2 Ta có d(A;(P)) =AH AK
Vậy d(A;(P)) lớn nhất khi và chỉ khi AH =AK Hay HK
Trang 10Cách 1 Gọi H là hình chiếu của A trên ( ), K là hình chiếu của A lên đường thẳng d.Ta có d(A;(P)) =AH AK
Vậy d(A;()) lớn nhất khi và chỉ khi AH =AK Hay HK
Vậy ( ) chứa đường thẳng d và nhận AKlàm vec tơ pháp tuyến
Ta có K d nên K(1+2t;t;2+2t) và AK t(2 1; t 5; 2 1)t
Đường thẳng d có vtcp u d
(2;1;2) đi qua (1;0;2)Theo giả thiết ta có: AK u . d 0 t 1
Cách 2 Đường thẳng d đi qua 2 điểm là M(1;0;2) và N(-1;-1;0) Do ( ) chứa đường thẳng d nên M, N thuộc ( ) Gọi n ( ; ; )A B C
là vec tơ pháp tuyến ()
PT mặt phẳng ( ) chứa điểm M nên có phương trình :
A(x-1)+By+C(z-2)=0(A2 B2 C2 0)
Vì () đi qua N nên ta có: B =-2A-2C
+) Nếu C=0 thì A 0 nên d(A;( ))= 9
5
+) Nếu C 0thì đặt t A,t
C
.Ta có : d(A;( ))=
2 2
f t
/
Max f t( )= (1) 2
9
f d(A;())=3 2 t=1 hay A=C Chọn A=C=1 Vậy B=-4 Phương trình mặt phẳng ( ): 1(x-1)-4y +1(z-2)=0.Hay mặt phẳng ( ): x-4y+z-3=0
Nhận xét:Cách 1dễ làm, ít phải tính toán, thiên về hình học, cách 2 nặng về đại số.
Bài toán 3 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P), đường thẳng
d.Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa d sao cho góc giữa (Q) và (P) nhỏ nhất (d
và (P) không vuông góc với nhau)
Phương pháp Hướng dẫn học sinh thực hiện theo các bước sau đây:
Bước 1 Gọi M là điểm thuộc đường thẳng d Dựng đường thẳng qua M vuông góc
với mặt phẳng (P) Lấy điểm A cố định trên đường thẳng đó HạAH ( )Q ,AK d
Véc tơ pháp tuyến của () là
Phương trình mặt phẳng () : 1(x-1)-4y +1(z-2)=0
Vậy mặt phẳng (): x-4y+z-3=0
P)
A
H
K d
