LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên!. BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH CÓ YẾU TỐ CỰ
Trang 1LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
III BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH CÓ YẾU TỐ CỰC TRỊ
Phương pháp đại số:
+ Gọi véc tơ pháp tuyến hoặc véc tơ chỉ phương của mặt phẳng (hoặc đường thẳng) cần lập là (a; b; c)
+ Thiết lập một phương trình quy ẩn (a theo b, c hoặc ngược lại) từ một dữ kiện về mặt phẳng chứa đường,
song song hoặc vuông góc Giả sử phương trình thu gọn ẩn là a = f(b; c)
+ Thiết lập phương trình khoảng cách mà đề bài yêu cầu, thay a = f(b; c) vào ta được một phương trình hai
ẩn b; c
Xét hàm khoảng cách d =g b c( ; )
+ Nếu c = 0 thì b≠ 0 → =d d , lưu lại giá trị khoảng cách d1 1 này
+ Nếu 0 ( );
Khảo sát hàm g(t) ta thu được kết quả
Chú ý:
+ Công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ( ) 0 0 0
; ( ) + + +
=
d A P
+ Công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng ( ; ) ∆;
∆
∆ =
u AM
d A
u ; với M thuộc ∆
+ Công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng ( ) 1 2 1 2
;
;
;
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆ =
d
u u
Bây giờ chúng ta xét bản chất hình học của các bài toán về khoảng cách thường gặp
Bài toán 1: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A
đến (P) lớn nhất, với A là điểm không thuộc d
Phương pháp giải:
+ Kẻ AH ⊥( );P AK ⊥d⇒AH =d A P và điểm K cố định ( ; ( ))
+ Ta có AH ≤ AK⇒d A P( ; ( ))max = AK ⇔H ≡K Khi đó mặt phẳng (P) cần lập chứa đường thẳng d và
nhận véc tơ
AK là véc tơ pháp tuyến
14 CỰC TRỊ TRONG TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN – P3
Thầy Đặng Việt Hùng
Trang 2LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
Ví dụ 1 (Khối A – 2008)
Cho các điểm A(2; 5; 3) và đường thẳng : 1 2
Lập (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) max
Đ /s: K(3;1; 4), ( ) :P x−4y+ − =z 3 0
=
= −
= −
Lập (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) max
Đ /s: ( ) :P x+ + − =y z 4 0
Bài toán 2: Lập phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P), đi qua điểm A cho trước sao cho khoảng cách từ điểm B đến d lớn nhất? nhỏ nhất?
Phương pháp giải:
+ Kẻ AB⊥d BK; ⊥( )P ⇒BH =d B d và điểm K cố định ( ; )
+ Ta có BH ≤BA⇒d B d( ; )max =BA⇔H ≡A Khi đó đường thẳng d nằm trong (P), đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB, suy ra d có một véc tơ chỉ phương là =;
+ Mặt khác, lại có BH ≥BK ⇒d B d( ; )min =BK ⇔H ≡K Khi đó đường thẳng d nằm trong (P), đi qua A
và đi qua hình chiếu K của B Ta dễ thấy d có một véc tơ chỉ phương là =;;
Ví dụ 1. Cho các điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; –3) và ( ) :P x+2y− − =z 1 0
Lập phương trình đường d nằm trong (P); đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất? nhỏ nhất?
1 max :
1 1 1
6 ; 14
1 min :
1 0 1
−
= =
−
d B d
Ví dụ 2. Cho các điểm A(1; 2; 4), B(1; 2; –2) và ( ) :P x+ − + =y z 1 0
Lập phương trình đường d nằm trong (P); đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất? nhỏ nhất?
Đ /s: max : (1; 1; 0)
min : (1;1;1)
=
d
d
u
u
Còn nữa ở phần 4!!!