Bước 1: Xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp ABC Bước 2: Kẻ qua O và vuông góc với mp ABC Bước 3: Dựng mp trung trực của cạnh bên cắt tại I Đặc biệt: Nếu điểm A nhìn đoạn [r]
Trang 1MẶT CẦU, KHỐI CẦU
1 Định nghĩa
Tập hợp những điểm M trong không gian cách điểm O cố định 1 khoảng không đổi bằng R ( R > 0) được gọi là mặt cầu tâm O bán kính R Kí hiệu: ( )S M OM/ R
R
M O
2 Công thức
Diện tích mặt cầu: S 4R2
Thể tích khối cầu:
3
4 3
3 Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp nếu tất cả các đỉnh của hình chóp đều nằm trên mặt cầu
Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
M
O
C
B A
S
Đặc biệt: Nếu điểm A nhìn đoạn MN cố định dưới 1 góc vuông thì điểm A thuộc mặt cầu đường kính MN
Ví dụ: Trong hình này thì A, B, C, M, N cùng thuộc mặt cầu đường kính MN (TâmI là trung điểm của đoạn MN)
C
B A
Bài tập
1) Cho hình chóp đều S.ABC cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với đáy 1 góc bằng 600
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
Bước 1: Xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp ABC
Bước 2: Kẻ qua O và vuông góc với mp (ABC)
Bước 3: Dựng mp trung trực của cạnh bên cắt tại I
Trang 2b) Xác định tâm và tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC.
c) Mp (P) qua cạnh AB và vuông góc với cạnh SC chia khối chóp ra làm 2 phần Tính tỉ số thể tích của 2
phần đó Ds: a)
3
8 3
a
; b)
3
343
1296a ; c) 6
2) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, SA(ABC), AB = a, AC =a 3, mặt bên (SBC) tạo với đáy 1 góc bằng 600
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
b) Xác định tâm và tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp
c) Mp (P) qua cạnh AB và vuông góc với cạnh SC chia khối chóp ra làm 2 phần Tính tỉ số thể tích của 2
phần đó Ds: a)
3
3
; )
a
b a
3) Cho hình chóp S.ABCD Đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SAB là tam giác đều nằm trên mp vuông góc với mp (ABCD) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Ds:
21 6
a
4) Cho 2 mp (P) và (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng Trên lấy hai điểm A và
B với AB=a Trong mp (P) lấy điểm C, trong mp(Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với và
AC = BD = AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mp (BCD) theo
3 3
;
h
5) Cho tứ diện ABCD với AB=AC=a, BC=b Hai mp (BCD) và (ABC) vuông góc với nhau và góc BDC =
0
90 Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a và b. Ds:
2 2 2 2
4
a b
a
6) Cho tứ diện ABCD Biết AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp
tứ diện Ds:
2 2 2 3
a b c
Gợi ý: Gọi M và N lần lượt là trung điểm AB, CD, tâm mặt cầu là trung
điểm I của MN , ghi nhớ hệ thức
2
2 2 2 2
2
a
b c m
với m là trung tuyến kẻ từ A của 1 tam giác ABC bất kì 7) Cho tứ diện ABCD có AB3,BC 4, AC5, DA vuông góc với mp (ABC), E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên DB, DC
a) Chứng minh rằng A, B, C, E, F cùng thuộc 1 mặt cầu
b) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCFE ds: V 125 / 6
KHỒI TRỤ VÀ KHỐI NÓN
A KHỐI TRỤ
1) Khái niệm:
Khối trụ là hình tròn xoay sinh bởi 1 hình chữ nhật ( kể cả các điểm trong nó ) khi quay quanh 1 đường trung bình của hình chữ nhật đó
Trang 3
O
R
h
2) Công thức:
Hình trụ có bán kính đáy R, chiều cao h ( như hình vẽ ) có:
Diện tích xung quanh là S xq 2Rh
Diện tích toàn phần S tp 2Rh2R2
Khối trụ có bán kính đáy R, chiều cao h có thể tích là V R h2
Bài tập:
1) Cho hình trụ có 2 đáy là 2 hình tròn bán kính R có tâm là O, và O’ Cho OO’=R 2 Điểm A thuộc đường tròn đáy (O’), điểm B thuộc đường tròn đáy (O) sao cho O A OB'
a) Tính S xq;S V tp;
b) Tính góc giữa OO’ và AB và thể tích của tứ diện OO’AB
Ds: b) 450;
3 2 6
R
V
2) Cho một hình trụ có chiều cao 2m và bán kính đáy 7m Gọi (O) và (O’) là 2 đường tròn đáy Một mp (P) không song song với trục cắt đường tròn (O) tại A, B và cắt đường tròn (O’) tại C, D sao cho ABCD là hình vuông
a) Tính diện tích hình vuông ABCD Ds: 100m2 b) Tính khoảng cách giữa trục OO’ và các trục của hình vuông Ds: 2 6 à 5v 3) Một hình trụ T có bán kính đáy R và chiều cao là R 3 Cho A, B là 2 điểm thuộc hai đường tròn đáy hình trụ sao cho góc giữa AB với trục hình trụ bằng 300
a) Chứng minh độ dài AB không đổi
b) Tính khoảng cách giữa AB và trục hình trụ Ds:
3 2
a
B KHỐI NÓN
1) Khái niệm:
Khối nón là 1 hình tròn xoay sinh bởi 1 hình tam giác cân ( kể cả các điểm trong nó ) khi quay quanh trục đối xứng của tam giác đó
Trang 4
h
R
l S
2) Công thức:
Diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy R, đường sinh l là: S xq Rl
Thể tích khối nón có bán kính đáy R, chiều cao h là:
2
3 d 3
Bài tập:
1) Cho 1 hình nón có thể tích 96 ( cm3), tỉ số giữa đường cao và đường sinh là
4
5 Tính diện tích toàn phần của
hình nón Ds: 96 ( cm2)
2) Cho 1 hình nón đỉnh S có đáy là hình trón (O;R) và góc ở đỉnh bằng 600 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn đáy hình nón Tính thể tích hình nón, hình chóp S.ABC và khoảng cách từ O đến mp (SBC)
Ds:
3
3 3 3 13
R
3) Cho hình nón đỉnh S, độ dài đường sinh là d, góc giữa đường sinh và mặt đáy là 300 Mp (P) qua đỉnh hình chóp, hợp với mặt đáy góc 600, cắt hình nón theo 2 đường sinh SA và SB Tính:
a) Diện tích toàn phần của hình nón
b) Diện tích của tam giác SAB và khoảng cách từ O đến (SAB)
Ds: b)
2 2
;