Thay t ọa độ các điểm vào phương trình mặt phẳng, ta thấy chỉ có tọa độ điểm M th ỏa mãn... Tính di ện tích tam giác IAB..[r]
Trang 1Tailieumontoan.com
Sưu tầm
CHUYÊN ĐỀ XÁC ĐỊNH
TÂM, BÁN KÍNH, DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH
MẶT CẦU
Tài liệu sưu tầm, ngày 15 tháng 11 năm 2020
Trang 2I KI ẾN THỨC CẦN NHỚ:
Phương trình mặt cầu dạng chính tắc:
Cho m ặt cầu có tâm I a b c( ; ; ), bán kính R Khi đó phương trình chính tắc của mặt cầu là
:
Phương trình mặt cầu dạng khai triển là ( ) 2 2 2
Khi đó mặt cầu có có tâm I a b c( ; ; ), bán kính 2 2 2 ( 2 2 2 )
0
R= a +b + −c d a +b + − >c d
II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Hệ Oxyz ( Tìm tọa độ tâm mặt cầu )
Tìm tâm và bán kính, ĐK xác định mặt cầu
PTMC biết tâm, dễ tính bán kính (Chưa học PTMP)
PTMC biết 2 đầu mút của đường kính
PTMC ngoại tiếp tứ diện
PTMC qua nhiều điểm, thỏa ĐK
PTMC biết tâm, tiếp xúc với mặt phẳng
PTMC biết tâm và đường tròn trên nó
PTMC biết tâm và ĐK của dây cung
PTMC biết tâm thuộc d, thỏa ĐK
PTMC biết tâm thuộc mặt phẳng, thỏa ĐK
PTMC biết tâm, thỏa ĐK khác
Toán Max-Min liên quan đến mặt cầu
Điểm thuộc mặt cầu thỏa ĐK
Toán thực tế, liên môn liên quan PTMC
BÀI T ẬP MẪU
Trang 3(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Trong không gian oxyz, cho mặt cầu
S x− + y+ + z− = Tâm của ( )S có tọa độ là
A (−2; 4; 1− ) B. (2; 4;1− ) C (2; 4;1) D. (− − −2; 4; 1)
Phân tích hướng dẫn giải
2 HƯỚNG GIẢI:
B1: Cho mặt cầu ( ) ( ) (2 ) (2 )2 2
:
S x−a + y b− + −z c =R thì ( )S có tâm là I a b c( ; ; )
T ừ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
L ời giải
Ch ọn B
Ta có mặt cầu ( ) ( ) (2 ) (2 )2
S x− + y+ + z− = có tọa độ tâm là (2; 4;1− )
Bài tập tương tự và phát triển:
Câu 1 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) : (S x 1)2 (y2)2 (z 3)2 16 Tâm của ( )S có
tọa độ là
A. ( 1; 2; 3). B.(1;2;3) C. ( 1;2; 3). D. (1; 2;3).
L ời giải
Ch ọn D
Từ phương trình mặt cầu dạng 1, suy ra tâm I(1; 2;3).
Câu 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình ( ) (2 )2 2
Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu đó
A I(−1;3; 0); R= 3 B I(1; 3; 0− ); R= 9 C I(1; 3; 0− ); R= 3 D I(−1;3; 0); R= 9
Lời giải Chọn C
Mặt cầu đã cho có tâm I(1; 3; 0− ) và bán kính R= 3
Câu 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( )S : x2+y2+z2−6x+4y−8z+ = Tìm 4 0
tọa độ tâm I của mặt cầu ( )S
A I(3; 2; 4− − ) B I(−3; 2; 4)
C I(3; 2; 4− ) D I(−3; 2; 4− )
Lời giải
Mặt cầu ( )S có tâm là I(3; 2; 4− )
Trang 4Câu 4 Trong không gian Oxyz cho m, ặt cầu ( ) :S x2 y2 z22y 4z 2 0 Độ dài đường kính
của mặt cầu ( )S bằng
Lời giải Chọn A
Từ phương trình mặt cầu dạng 2, suy ra (0;1; 2),I R 0 1 4 2 3,
Câu 5 Trong không gian Oxyz , phương trình mặt cầu ( )S có tâm ( 1;2;0), I bán kính R 3 là
Lời giải Chọn B
Phương trình mặt cầu ( )S có tâm ( 1;2;0), I bán kính R 3 là
(x 1) (y2) z 9
Câu 6 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( )S có phương trình
x +y +z − x− y− z+ = Tính diện tích mặt cầu ( )S
Lời giải
Ch ọn B
Mặt cầu ( )S có tâm I(1; 2;3) và bán kính R= 12+22+ −32 5 = 3
Diện tích mặt cầu ( )S là: S=4π R2 =4 3π 2 =36π
Câu 7 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( ) ( ) (2 )2 2
S x− + y+ +z = Mặt cầu
( )S có thể tích bằng
36
Lời giải Chọn B
Mặt cầu ( ) ( ) (2 )2 2
S x− + y+ +z = có tâm là (1; 2; 0− ), bán kính R= 3
Thể tích mặt cầu 4 3
36 3
Câu 8 Trong không gian Oxyz, Cho mặt cầu ( )S 2 2 2
3x +3y +3z +6x+12y−18z− = Tâm c3 0 ủa ( )S
có tọa độ là
A I(− −3; 6;9) B.I(1; 2; 3− ) C I(− −1; 2;3) D I(3; 6; 9− )
L ời giải
Trang 5Ta có 3x2+3y2+3z2+6x+12y−18z− = ⇔3 0 x2+y2+z2+2x+4y−6z− = 1 0
Mặt cầu ( )S có tâm là I(− −1; 2;3)
Câu 9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( )S 2 2 ( )2
3 25
x +y + +z = Điểm nào dưới đây thuộc ( )S
A M(4; 0; 0) B N(0; 4; 0) C P(0; 4; 0) D Q(0; 0; 4)
L ời giải
Thay tọa độ các điểm vào phương trình mặt phẳng, ta thấy chỉ có tọa độ điểm M thỏa mãn
Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( ) 2 ( )2 2
S x + y− +z = Trong các điểm cho dưới đây, điểm nào nằm ngoài mặt cầu ( )S ?
A M(1;1;1) B N(0;1; 0) C P(1; 0;1) D Q(1;1; 0)
L ời giải
Mặt cầu ( )S có tâm I(0;1; 0), bán kính R= 2
Khoảng cách từ các điểm đã cho tới tâm mặt cầu:
2
MI = = ; R NI = < , 0 R PI = 3> , R QI = <1 R Do đó điểm P nằm ngoài mặt cầu
Câu 1 Trong không gian Oxyz tìm t, ất cả các tham số m để x2 y2 z2 2x 4ym 0 là một phương trình mặt cầu
Lời giải
Từ phương trình mặt cầu dạng 2, suy ra 2 2 2
0 1 2 m 0 m 5
Câu 2 Trong không gian Oxyz cho m, ặt cầu ( ) :S x2 y2 z2 2x 4y4z m 0 có bán kính 5
R Giá trị của tham số m bằng
L ời giải
Ch ọn B
Từ phương trình mặt cầu dạng 2, suy ra tâm I1; 2;2
R m m
Trang 6Câu 3 Trong không gian Oxyz cho m, ặt cầu ( ) :S x2 y2 z24x 8y2mz 6m0 có đường kính bằng 12 thì tổng các giá trị của tham số m bằng
L ời giải
Ch ọn D
Đường kính bằng 12 , suy ra bán kính R 6
Từ phương trình mặt cầu dạng 2, suy ra tâm I2; 4; m, R 416m2 6m , 6 Suy ra m26m16 0 m1 m2 (Theo Viet) 6
Câu 4 Trong không gian Oxyz , phươngtrình mặt cầu ( )S có tâm (1; 3;2) I và qua điểm (5; 1;4)A là
A. (x1)2 (y3)2 (z 2)2 24 B.(x 1)2 (y3)2 (z 2)2 24
C. (x 1)2 (y3)2 (z 2)2 24 D. (x 1)2 (y3)2 (z 2)2 24
L ời giải
Ch ọn D
Phương trình mặt cầu ( )S có tâm (1; 3;2) I bán kính RIA 42 22 22 2 6là
(x1) y3) z 2)
Câu 5 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( )S có tâm là điểm I(1; 0; 1− ) và đi qua điểm
(2; 2; 3)
M − Phương trình của ( )S là
A 2 2 2
(x 1)+ +y + −(z 1) =3 B 2 2 2
(x 1)− +y + +(z 1) =3.
C (x 1)+ 2+y2+ −(z 1)2 =9 D (x 1)− 2+y2+ +(z 1)2 = 9
L ời Giải
Chon D
2 2
IM = + + − = =R
I
R
Taâm (1;0;-1)
co ùPT :
Câu 6 Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB với A(2;1;1) ,
(0;3; 1)
A 2 ( )2 2
(x−1) + y−2 +z =3,
C 2 ( ) (2 )2
(x−1) + y−2 + +z 1 =9 D 2 ( )2 2
(x−1) + y−2 +z =9
L ời Giải
Ch ọn B
Tọa độ trung điểm của AB: 2 0 3 1 1 1 ( )
; ; 1; 2; 0
I + + − + ⇒ I
Trang 7( )2
IA= + − + = = Mặt cầu R (S): (1; 2; 0)
3
I R
Taâm
=
có PT: 2 ( )2 2
(x−1) + y−2 +z =3
Câu 7 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : x-2y-2z-8=0 Phương trình mặt cầu tâm
(1; 2; 1)
I − và tiếp xúc với mặt phẳng ( )P là
A. ( ) (2 ) (2 )2
x+ + y+ + −z = B. ( ) (2 ) (2 )2
x− + y− + +z =
C. ( ) (2 ) (2 )2
x− + y− + +z = D ( ) (2 ) (2 )2
x+ + y+ + −z = . L ời Giải
Ch ọn C
( )
2
1 4 2 8
Mặt cầu (S) I(1; 2; 1)
R
−
Taâm
= 3 có PT: ( ) (2 ) (2 )2
x− + y− + +z =
Câu 8 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( )S có tâm I(1; 2;3) và tiếp xúc với trục hoành có
dạng
A. ( ) (2 ) (2 )2
x− + y− + −z = B. ( ) (2 ) (2 )2
x− + y− + −z =
C. ( ) (2 ) (2 )2
x+ + y+ + +z = D. ( ) (2 ) (2 )2
x− + y− + −z = . L ời Giải
Ch ọn A
Mặt cầu (S) (1; 2;3)
13
I R
Taâm
= có phương trình ( ) (2 ) (2 )2
x− + y− + −z =
Câu 9 Viết phương trình mặt cầu có tâmI(1; 2;3)và đi qua giao điểm của đường thẳng
1
3
= +
= −
= +
với mặt phẳng( )Oxy
A (x+1)2+ +(y 2)2+ +(z 3)2 =27 B (x−1)2 + −(y 2)2+ −(z 3)2 =27
(x−1) +(y−2) + −(z 3) =3 3 D 2 2 2
(x+1) +(y+2) + +(z 3) =3 3
L ời giải
Ch ọn B
Trang 8Mặt phẳng Oxyz là : z = 0
Gọi A= ∩d (Oxyz)⇒ = − ⇒t 3 A( 2;5; 0)−
Vì điểm A nằm trên mặt cầu nên bán kính của mặt cầu là 2 2 2
( 3) 3 ( 3) 3 3
Phương trình mặt cầu ( )S tâm I(1; 2;3) và bán kính R=3 3 là
( )2
(x−1) +(y−2) + −z 3 =27
Câu 10 Cho mặt cầu ( )S có tâm I(1; 2;3) và diện tích bằng 32 π Phương trình của ( )S là
L ời giải
Ta có: S =4πR2 ⇔4πR2 =32π ⇔ =R 8
Khi đó ( ): Tâm: 1; 2;3( )
Bán kính: 8
I S
R
=
( ) ( ) (2 ) (2 )2
Câu 1 Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0− ) và C(0; 0; 6) Bán kính mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp OABC là
A 7
7
3
L ời giải
Phương trình mặt cầu có dạng: ( ) 2 2 2
S x +y +z − ax− by− cz+ = d
Do A, B, C và O thuộc mặt cầu ( )S nên:
0
a d
b d
c d d
+ + =
− + =
=
1
a
2
b= − , c=3 , d = 0
Do đó, mặt cầu có bán kính bằng: 2 2 2 7
2
Trang 9Câu 2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, Viết phương trình mặt cầu đi qua
(2 ;3 ; 3 , ) (2; 2 ; 2 , ) (3 ;3 ; 4)
A − B − C và có tâm nằm trên mặt phẳng (Oxy )
A (x 6)2 (y 1)2 z2 29 B (x 6)2 (y 1)2 z2 29
C (x6)2 (y 1)2 z2 29 D (x 6)2 (y1)2 z2 29
Lời giải Chọn A
Giả sử I a b( ; ; 0)∈(Oxy và ) r là tâm và bán kính của mặt cầu ( )S và đi qua
(2 ;3 ; 3 , ) (2; 2 ; 2 , ) (3 ;3 ; 4)
Phương trình mặt cầu ( )S là (x a )2 (y b)2 z2 r2
Vì mặt cầu ñi qua A(2 ;3 ; 3 , − ) (B 2; 2 ; 2 , − ) (C 3 ;3 ; 4) nên
Vậy phương trình mặt cầu ( )S là (x 6)2 (y 1)2 z2 29
Câu 3 Cho I(1; 2;3− ) Viết phương trình mặt cầu tâm I, cắt trục Ox tại hai điểm A và B sao cho
2 3
AB=
A (x−1)2+ +(y 2)2+ −(z 3)2 =16 B (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2 =20
C (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2 =25 D (x−1)2 +(y+2)2+(z−3)2 =9
L ời giải
Gọi M là hình chiếu vuông góc của I (1; -2;3) trên trục Ox
⇒ M (1;0;0) và M là trung điểm của AB
Ta có: ( ) (2 ) (2 )2
2
AB
IMA
M ⇒IA= IM +AM = + = ⇒ = R
Phương trình mặt cầu cần tìm là: ( ) (2 ) (2 )2
x− + y+ + −z =
Trang 10Câu 4 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu ( )S có tâm I(1;1;3) và mặt phẳng
( )P : 2x−3y+6z+ =11 0 Biết mặt phẳng ( )P cắt mặt cầu ( )S theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 3 Viết phương trình của mặt cầu ( )S
: −1 + −1 + −3 =25
: −1 + −1 + −3 =5
: +1 + +1 + +3 =25
: −1 + −1 + −3 =7
L ời giải
Chọn A
Ta có : ( ( ) )
2.1 3.1 6.3 11
+ − +
Suy ra R= d2 +r 2 = 42+32 = 5
Vậy, mặt cầu có phương trình : ( ) ( ) (2 ) (2 )2
: −1 + −1 + −3 =25
Câu 5 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 2 1
3 6 2
và điểm I(1; 2;5− ) Lập phương trình mặt cầu ( )S tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A , B sao cho tam giác IAB
vuông tại I
L ời giải
Ch ọn A
Đường thẳng d đi qua M(2; 0;1) và có một véc tơ chỉ phương là u =(3; 6; 2)
H O A
B
Trang 11Gọi H là hình chiếu của I trên đường thẳng d ta có ( ), ,
IM u
IH d I d
u
, với
(1; 2; 4)
IM = −
, u=(3; 6; 2)
IM u
IH d I d
u
Theo đề bài ta có tam giác IAB vuông cân tại I nên IA=IH 2 = 40
Vậy phương trình mặt cầu ( )S là ( ) ( ) (2 ) (2 )2
Câu 6 Vi ết phương trình mặt cầu S có tâm I 1; 0;3 và c ắt : 1 1 1
− = + = −
điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông t ại I
9
9
3
− + + − =
3 + + + + =
Lời giải Chọn A
Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương =(2;1; 2)
u và P(1; 1;1− )∈d
Ta có: =(0; 1; 2− − )
IP ⇒u IP,=(0; 4; 2− )
Suy ra: ( ) , 20
d ;
3
u IP
I d
∆IAB vuông tại I⇔ ∆IAB vuông cân tại I ( ) 40
3
Vậy (S) : ( )2 2 ( )2 40
9
Câu 7 Cho mặt cầu ( )S có tâm I(1;1;1) Một mặt phẳng ( )P cắt ( )S theo giao tuyến là một đường tròn
( )C Biết chu vi lớn nhất của ( )C bằng 2π 2 Phương trình của ( )S là
L ời giải
Đường tròn ( )C đạt chu vi lớn nhất khi ( )C đi qua tâm I của mặt cầu ( )S
Ta có: C=2πR=2π 2⇔ =R 2
Trang 12Khi đó Tâm: 1;1;1( )
( ) :
Bán kính: 2
I S
R
=
( ) ( ) (2 ) (2 )2
Câu 8 Cho I(1; 2;3− ) Viết phương trình mặt cầu tâm I, cắt trục Ox tại hai điểm A và B sao cho
2 3
AB=
A (x−1)2+ +(y 2)2+ −(z 3)2 =16 B (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2 =20
C (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2 =25 D (x−1)2 +(y+2)2+(z−3)2 =9
Lời giải Chọn A
Gọi M là hình chiếu vuông góc của I (1; -2;3) trên trục Ox
⇒ M (1;0;0) và M là trung điểm của AB
Ta có: ( ) (2 ) (2 )2
2
AB
IMA
M ⇒IA= IM +AM = + = ⇒ = R
Phương trình mặt cầu cần tìm là: ( ) (2 ) (2 )2
x− + y+ + −z =
Câu 9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng : 1 3
− − và mặt cầu ( )S
tâm I có phương trình ( ) ( ) (2 ) (2 )2
S x− + y− + +z = Đường thẳng d cắt ( )S tại hai điểm ,A B Tính diện tích tam giác IAB
A 8 11
16 11
3 C
11
8 11
9
Lời giải
Ch ọn A
Đường thẳng d đi qua điểm C(1; 0; 3− ) và có vectơ chỉ phương u = −( 1; 2; 1− )
Mặt cầu ( )S có tâm I(1; 2; 1− ), bán kính R=3 2
Trang 13Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d
Khi đó: IH IC u,
u
=
, với IC=(0; 2; 2− − )
; 2x+ −y 3z− = 4 0
Vậy 62 22 22 66
3
1 4 1
+ +
Suy ra 18 22 4 6
Vậy, 1 1 66 8 6 8 11
IAB
Câu 10 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu ( )S có tâm I(−1; 2;3) cắt
mặt phẳng ( )β : 2x− +y 2z− = theo một hình tròn giao tuyến có chu vi bằng bằng 88 0 π có
diện tích bằng
Lời giải
Đường tròn giao tuyến có chu vi bằng 8π nên bán kính của nó là r =4
Khoảng cách từ tâm mặt cầu tới mặt phẳng giao tuyến là ( ( ) ) 2 2 6 82 1 2
2 1 2
d =d I β = − − + − =
Theo công thức 2 2 2
20
Diện tích của mặt cầu ( )S là 2
4 80
Mức độ 4
Câu 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( ) ( ) (2 ) (2 )2
M là điểm thuộc mặt cầu ( )S sao cho biểu thức A=2x M −y M +2zM đạt giá trị lớn nhất, giá
trị biểu thức B=x M +y M +z M bằng
L ời giải
Ch ọn D
Ta có A=2x M −y M +2zM =2(x M − −1) (y M − +2) (2 z M − + 3) 6
( 2 2 2) ( ( ) (2 ) (2 )2)
Trang 14Dấu bằng xảy ra khi
1 2
3 2
M
M
M
= +
− = − = − = > ⇒ = −
= +
, thay vào phương trình
( )S ta được: 2 2 2 4
3
t + +t t = ⇒ =t Do đó 11 2 17; ;
3 3 3
và B=x M +y M +z M =10
Câu 2 Trong không gian Oxyz, cho điểm I(3; 4; 0) và đường thẳng : 1 2 1
− Phương trình mặt cầu ( )S có tâm I và cắt ∆ tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng
12 là
L ời giải
Ch ọn D
Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1; 2; 1− và có véc-tơ chỉ phương ) u =(1;1; 4− )
Ta có IM= − − −( 2; 2; 1)
, 9; 9; 0
IM u
⇒ = −
IM u
⇒ =
Khoảng cách từ I đến đường thẳng ∆ là ( ) , 9 2
18
IM u
d I
u
Diện tích tam giác IAB bằng 12 nên
8
IAB S AB
d I
Bán kính mặt cầu ( )S là 2 ( ) 2 2 2
2
AB
Phương trình mặt cầu ( )S cần lập là ( ) (2 )2 2
Câu 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; 1− và mặt phẳng ) ( )P :x+ − − =y z 3 0
Gọi ( )S là mặt cầu có tâm I nằm trên mặt phẳng ( )P , đi qua điểm A và gốc tọa độ O sao
cho diện tích tam giác OIA bằng 17
2 Tính bán kính R của mặt cầu ( )S
L ời giải
Ch ọn A
Gọi I a b c ( ; ; )
Ta có IA=IO=R ⇔ hình chiếu của I lên OA là trung điểm 1; 0; 1
2 2
của OA
Trang 15( )
2
OIA
2
17 2a 2b 2c 2a 2c 1
2a 2b 2c 2a 2c 16 0
⇔ + + − + − =
Theo bài ra ta có
( )
17 2
OIA
S
∆
=
∈
3 0
a b c
+ − − =
1 0
8 0
3 0
a c
a b c
− − =
⇔ + + − + − =
+ − − =
( ) ( ) ( )
1 2 3
Từ ( )1 và ( )3 ta có 1
2
a c b
− =
=
1 2
b
= +
⇔ =
thế vào ( )2 ta có
c+ + +c − + + − =c c 2
1
c c
= −
⇔ =
1; 2; 2 2; 2;1
I I
⇒
⇒OI = = R 3
Câu 4 Trong không gian Oxyz, cho điểm 1; 3; 0
2 2
và mặt cầu ( ) 2 2 2
S x +y +z = Đường
thẳng d thay đổi, đi qua điểm M, cắt mặt cầu ( )S tại hai điểm phân biệt A và B Tính diện tích lớn nhất S của tam giác OAB
A S = 7 B S = 4 C S =2 7 D S =2 2
Lời giải
Ch ọn A
Mặt cầu ( )S có tâm O(0; 0; 0) và bán kính R=2 2
Vì OM = < nên 1 R M thuộc miền trong của mặt cầu ( )S Gọi H là chân đường cao hạ từ O
của tam giác OAB
Đặt x OH= , ta có 0< ≤x O M = , đồng thời 1 2 2 2
8
OH
HA= R − = −x
Khi đó diện tích tam giác OAB là:
A
B M H
O